【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：B3函数的单调性与最值]

D3 等比数列及等比数列前n 项和【数学理卷·2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】19．（本题满分12分） 设数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 的前n 项和n S 满足)1(23-=n n b S 且2512,b a b a == （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式：（Ⅱ）设,n n n c a b =⋅，设n T 为{}n c 的前n 项和，求n T . 【知识点】 等差数列等比数列数列求和D2 D3 D4【答案解析】(1) 21n a n =-, 3n n b =. （2）13(1)3n n T n +=+-（1）∵数列{b n }的前n 项和S n 满足S n =32（b n -1），∴b 1=S 1=32(b 1-1)，解得b 1=3． 当n≥2时，b n =S n -S n-1=32(b n -1)- 32(b n-1-1)，化为b n =3b n-1． ∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3×3n-1=3n ．∵a 2=b 1=3，a 5=b 2=9．设等差数列{a n }的公差为d ．∴11349a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得d=2，a 1=1．∴a n =2n-1．综上可得：a n =2n-1，b n =3n ． （2）c n =a n •b n =（2n-1）•3n ．∴T n =3+3×32+5×33+…+（2n-3）•3n-1+（2n-1）•3n ， 3T n =32+3×33+…+（2n-3）•3n +（2n-1）•3n+1．∴-2T n =3+2×32+2×33+…+2×3n-（2n-1）•3n+1=23(31)31n ⨯---（2n-1）•3n+1-3=（2-2n ）•3n+1-6．∴T n =3+(n-1)3n+1． 【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n 项和公式即可得出．【数学理卷·2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】8．已知等比数列{}n a 满足n a ＞0，n ＝1,2，…，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当n ≥1时，2122221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+＝ （ ）A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3【答案解析】C 由等比数列的性质可得a n 2=a 5•a 2n-5=22n ，=（2n ）2，∵a n ＞0，∴a n =2n ，故数列首项a 1=2，公比q=2，故log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=log 2a 1•a 3•…•a 2n-1=log 2(a 1)n q 0+2+4+…+2n -2 =log 22n •2(022)2n n +-=log 22n+n2-n =log 22n2=n 2，故答案为C.【思路点拨】由题意可得a n =2n ，可得数列首项a 1=2，公比q=2，进而可得原式=log 2(a 1)n q 0+2+4+…+2n-2，代入由对数的性质化简可得答案．【数学理卷·2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】4. 已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则=++1081311a a a a （ ） A. 27B.3C.1-或3 D.1或27【知识点】等差数列 等比数列 D2 D3 【答案解析】A ∵13213,,22a a a 成等差数列∴3a 1+2a 2=a 3，∴3a 1+2a 1q=a 1q 2∴q 2-2q-3=0 ∵q ＞0∴q=3∴=++1081311a a a a =q 3=27故选A【思路点拨】由已知可得，3a 1+2a 2=a 3，结合等比数列的通项公式可求公比q ，而=++1081311a a a a =q 3，代入即可求解.【数学理卷·2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】21.（本题满分13分）已知函数2()sin f x x x =，各项均不相等的有限项数列{}n x 的各项i x 满足||1i x ≤.令11()()nni i i i F n x f x ===⋅∑∑，3n ≥且n ∈N，例如：123123(3)()(()()())F x x x f x f x f x =++⋅++.(Ⅰ)若⎪⎭⎫⎝⎛=π2n f a n ，数列{}n a 的前n 项和为S n ，求S 19的值； (Ⅱ)试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由。

H 单元 解析几何目录H 单元 解析几何 ...................................................................................................................... - 1 - H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ................................................................................. - 1 - H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 ............................................................................. - 1 - H3 圆的方程 ............................................................................................................................. - 2 - H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 ......................................................................................... - 3 - H5 椭圆及其几何性质 ............................................................................................................. - 5 - H6 双曲线及其几何性质 ......................................................................................................... - 9 - H7 抛物线及其几何性质 ....................................................................................................... - 11 - H8 直线与圆锥曲线（AB 课时作业） ................................................................................ - 11 - H9 曲线与方程 ....................................................................................................................... - 16 - H10 单元综合 ......................................................................................................................... - 16 -H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程【数学文卷²2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】1.直线023c o s =++y x α的倾斜角的取值范围是（ ）A. ]65,2()2,6[ππππ B. ),65[]6,0[πππ C.]65,0[π D.]65,6[ππ【知识点】直线的倾斜角与斜率、直线的方程H1【答案解析】B【思路点拨】先求出斜率的取值范围，再求出倾斜角的范围。

A 单元 集合与常用逻辑用语目录A1 集合及其运算 ............................................................................................................................ 1 A2 命题及其关系、充分条件、必要条件 .................................................................................... 4 A3 基本逻辑联结词及量词 ............................................................................................................ 9 A4 单元综合 (9)A1 集合及其运算【湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学2015届高三10月四校联考数学（文）答案】1 已知集合A={x 03x <<},B={x 24}x ≥,则A B ⋂=( )A {2x 3}x x ≤<或0<B {23}x x <<C {23}x x ≤<D R 【知识点】集合及其运算A1【答案解析】C 因为B= {2x 2}x x ≥≤-或，所以A B ⋂={23}x x ≤<，故选C. 【思路点拨】先求出B 再求结果。

【数学（理）卷·2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411） word 版】2.已知集合{}{}2|11,|log 1M x x N x x =-<<=<，则M N =A.{}|12x x -<<B.{}|10x x -<<C.{}|01x x <<D.{}|11x x -<<【知识点】集合及其运算.A1 【答案】 【解析】C 解析：由题意：{}{}2|11,|log 1M x x N x x =-<<=<{}|02x x =<<，所以MN ={}|01x x <<，故选C.【思路点拨】先解出集合N ，再求出交集即可。

L 单元 算法初步与复数目录L 单元 算法初步与复数 ............................................................................................................... 1 L1 算法与程序框图 ...................................................................................................................... 1 L2 基本算法语句 .......................................................................................................................... 9 L3 算法案例 .................................................................................................................................. 9 L4 复数的基本概念与运算 .......................................................................................................... 9 L5 单元综合 . (13)L1 算法与程序框图【数学（理）卷·2015届浙江省重点中学协作体高考摸底测试（201408）】L112．如右图，如果执行右面的程序框图，输入正整数m n ,，满足m n ，那么输出的P 等于 。

【知识点】循环结构的程序框图；排列公式.【答案解析】mn A 解析 ：解：第一次循环：1,1,+1k p p n m ===-； 第二次循环：()()2,12k p n m n m ==-+-+； 第三次循环：()()()3,123k p n m n m n m ==-+-+-+; …第m 次循环：()()(),12...1k m p n m n m n n ==-+-+- 此时结束循环，输出()()()12...1m n p n m n m n n A =-+-+-=故答案为：mn A .【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量P 的值，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析即可．【数学（文）卷·2015届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试（201408）】L1D23．若开始某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 6【知识点】程序框图，等差数列的前n 项和公式.【答案解析】C 解析 ：解：框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1， 执行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4； 判断4＞20不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9； 判断9＞20不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16； …由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和， 由()2121202n n p n+-==>，且n ∈N *，得n=5．故选C ．【思路点拨】框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p ＞20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n 的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n 项和问题．当前n 项和大于20时，输出n 的值．【数学（文）卷·2015届浙江省重点中学协作体高考摸底测试（201408）】L1 4．如图给出的是计算11124108+++的值的一个程序框图， 则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是 （ ）。

CDEABP N 单元 选修4系列目录N 单元 选修4系列 ....................................................................................................................... 1 N1 选修4-1 几何证明选讲...................................................................................................... 1 N2 选修4-2 矩阵 ................................................................................................................... 3 N3 选修4-4 参数与参数方程................................................................................................ 3 N4 选修4-5 不等式选讲 ......................................................................................................... 17 N5 选修4-7 优选法与试验设计. (21)N1 选修4-1 几何证明选讲【文·宁夏银川一中高二期末·2014】22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且BC BD 31=,CA CE 31=，AD ，BE 相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；(II) AP ⊥CP 。

算法初步与复数【文·湖北武汉二中模拟（二）·2014】 6.程序框图如图，如果程序运行的结果为132S =,那么判断框中可填入( )A..11k ≤B. 11k ≥C. 10k ≤D. 10k ≥ 【知识点】当型循环结构的程序框图.【答案解析】C 解析：解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…， ∵程序运行的结果为S=132，∴终止程序时，k=10， ∴判断框的条件是k≤10，故答案选C. 【思路点拨】程序框图的功能是求S=1×12×11×…，由程序运行的结果为S=132，得终止程序时，k=10，从而求出判断框的条件．【典型总结】本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k 值．【文·江西省重点中学盟校高三二联·2014】4.对于实数a 和b ,定义运算b a *,运算原理如右图所示,则式子321ln *41e -⎪⎭⎫⎝⎛的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【知识点】程序框图的简单应用. L1【答案解析】 D 解析：解：由题意可知a=2,b=3,输出3×3=9. 【思路点拨】按程序框图运行即可得到结果.【文·广东珠海市高三第二学期学业质量检测】6．执行如右图所示的程序框图，则输出的 y =A ．12B ．1C ．－1D ．2【知识点】循环结构的程序框图【答案解析】D 解析 ：解：第1次循环，y=2,i=1 第2次循环，y= y=2,i=1,i=2 第3次循环，y=-1,i=3 第4次循环，y=2,i=4 ...........框图的作用是求周期为3的数列，输出y 的值，满足2014≥2014，退出循环，循环次数是2014次，即输出的结果为2， 故答案为：2．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算循环变量y ，i 的值，并输出满足i ≥2014的值．【理·山西山大附中高三5月月考·2014】阅读如下程序框图，如果输出4i =，那么空白的判断框中应填人的条件是A ．?10≤SB ．?12≤SC ．?14≤SD ．?16≤S 【知识点】程序框图；算法.L1【答案解析】A 解析：解：根据算法的运算，第一次循环后2,2i S ==，第二次循环后3,8i S ==，第三次循环后4,12i S ==这时要输出i 所以应填?10≤S 【思路点拨】按算法的关系可依次计算出各次的值.】4．如图，程序框图所进行的求和运算是B 【答案解析】A 解析：解：由程序框图可知第一次运行102S =+，第二次运行1124S =+，按执行过程可知程序为111124620+++ . 【思路点拨】可按程序框图进行运算，累计各次结果即可求出.【理·宁夏银川一中高三三模·2014】8．已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项是A. -20B. 52C. -192D. -160【知识点】程序框图；二项式定理【答案解析】D 解析：程序运行过程中，各变量的值如下表示： a i 是否继续循环 循环前 2 1/第一圈-1 2 是第二圈213 是第三圈 2 4 是 第四圈 -1 5 是可以看出：a 值成周期性变化，周期为3，循环结束时2011=i ，2011除以3，余数为1，故最后输出a 值与第三圈相同，所以2=a ， 二项式的展开式的通项为：r rr r r r rr x C xx C T ---+⋅⋅⋅-=-=3666612)1()1()2(， 令03=-r ，得：3=r ，所以展开式中的常数项是：1602)1(36334-=⋅⋅-=C T ，故选：D【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环结构计算并输出a 值．求出a 的值，再利用二项式定理求出展开式中的常数项即可。

I 单元 统计目录I 单元 统计 .................................................................................................................................... 1 I1 随机抽样 ................................................................................................................................... 1 I2 用样本估计总体 ....................................................................................................................... 3 I3 正态分布 ................................................................................................................................. 12 I4 变量的相关性与统计案例 ..................................................................................................... 14 I5 单元综合 .. (16)I1 随机抽样【理·宁夏银川一中高三三模·2014】13．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有18件，那么此样本的容量n= 。

2014-2015学年上海市十二校联考高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分，每题4分）1．设集合A={x|﹣＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∪B=．2．已知{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=．3．在行列式中，元素a的代数余子式值为．4．如果函数f（x）=是奇函数，则f（﹣2）=．5．设f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，则x=．6．一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为．7．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是．8．已知数列{a n}满足a n=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n+a2n﹣1，﹣2（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为．9．函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是．10．已知||=||=2，与的夹角为，则+在上的投影为．11．数列{a n}的通项公式an=，前n项和为S n，则=．12．在锐角△ABC中，角B所对的边长b=10，△ABC的面积为10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长为．13．已知函数f（x）=2，若g（x）=f（3x）在上是增函数，则ω的最大值．14．记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15．设p，q是两个命题，（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2B．C．D．17．已知函数f（x）=sinπx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为（）A．B．y=f（2x﹣1）C．D．18．关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3三、简答题（本大题满分74分）19．（文）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求异面直线SC与AD所成角；（2）求点B到平面SCD的距离．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，且．（1）求角A的大小；（2）若，求证△ABC是直角三角形．21．（文）某民营企业年初用108万元购买一条先进的生产流水线，第一年各种费用支出12万元，以后每年支出都比上一年支出增加6万元，若每年年收入为63万元．（1）问第几年开始总收入超过总支出？（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：总盈利最大时，以3万元出售该套流水线；（盈利=收入﹣支出）方案二：年平均盈利最大时，以30万元出售该套流水线．问那种方案合算？22．（16分）（文）已知函数f（x）=（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．23．（18分）（文）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足b1=a1，b n=a n+a n（n≥2，﹣1n∈N*），则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”．（1）若数列{a n}的通项为数列a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{d n}的通项为数列d n=2n+n，求数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n；（3）若数列{c n}的通项公式为c n=An+B，（A，B是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．2014-2015学年上海市十二校联考高三（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分，每题4分）1．设集合A={x|﹣＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∪B={x|﹣1≤x＜2} ．【分析】集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可．解：B=x|x2≤1=x|﹣1≤x≤1，A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故答案为：{x|﹣1≤x＜2}．【点评】本题考查集合的基本运算，属基本题，注意等号．2．已知{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=8．【分析】直接利用等差数列的性质，求出a3，a4，然后a3+a4的值．解：{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，可得a3=3，a2+a4+a6=15，可得a4=5，∴a3+a4=8．故答案为：8．【点评】本题考查等差数列的基本性质的应用，考查计算能力．3．在行列式中，元素a的代数余子式值为﹣1．【分析】首先化去第一行第二列得到a的代数余子式，解余子式的值得a的值．【解答】在行列式中，元素a在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到a的代数余子式为：，解这个余子式的值为﹣1．故元素a的代数余子式的值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了三阶矩阵，考查了行列式的解法，是基础题．4．如果函数f（x）=是奇函数，则f（﹣2）=﹣1．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（2×2﹣3）=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．5．设f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，则x=．【分析】由反函数的性质知，函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），由于f﹣1（2x+1）=1故可得2x+1=2，解即可解：由题意函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），又f﹣1（2x+1）=1，故2x+1=2，解得x=，故答案为：．【点评】本题考查反函数，求解本题关键是理解反函数的性质，由此得出2x+1=2．6．一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为72+18．【分析】根据正三棱柱的特点，侧面是长为侧棱长，宽为底边三角形边长的三个矩形，两个底面都是边长为6的等边三角形，然后根据矩形的面积与等边三角形的面积公式列式进行计算即可得解．解：∵一个正三棱柱有三个侧面，∴侧面积=3×（4×6）=72，底面面积=2××6×（6×）=18，所以，则这个棱柱的表面积为72+18．故答案为：72+18．【点评】本题考查了等边三角形的性质，几何体的表面积，要注意等边三角形的高等于边长的．7．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是{，} ．【分析】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解．解：cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；∵x∈（0，π），∴sinx=；∴x=或；故答案为：{，}．【点评】本题考查了三角函数的化简与求值，属于基础题．8．已知数列{a n}满足a n=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n+a2n﹣1，﹣2（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为163．【分析】由已知得f（4）﹣f（3）=（a1+a2+…+a5+a6+a7）﹣（a1+a2+…+a5）=a6+a7，由此利用a n=，能求出结果．解：∵数列{a n}满足a n=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣2+a2n﹣1，（n∈N*），∴f（4）﹣f（3）=（a1+a2+…+a5+a6+a7）﹣（a1+a2+…+a5）=a6+a7=（62﹣1）+27=163．故答案为：163．【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要注意数列的性质和递推公式的合理运用．9．函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1] ．【分析】利用三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性即可得出．解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1=，由0≤x≤得﹣，∴﹣，∴﹣1≤2sin（2x﹣）≤2，∴﹣2≤2sin（2x﹣）﹣1≤1；函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1]．故答案为[﹣2，1]．【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性是解题的关键．10．已知||=||=2，与的夹角为，则+在上的投影为3．【分析】根据两个向量的模长和夹角做出两个向量的和的模长，看出两个向量的和与的夹角，有向量的夹角和模长用向量的投影公式得到结果．解：∵||=||=2，与的夹角为∴|+|=2×2×=2∵+与的夹角是，∴+在上的投影为|+|cos=2×=3故答案为：3【点评】本题考查向量的投影，在计算投影的时注意看清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，再用模长乘以夹角的余弦．11．数列{a n}的通项公式an=，前n项和为S n，则=．【分析】先利用裂项相消法求出S n，再求极限即可．解：S n=1+=1+﹣+﹣+…+﹣=﹣，则==．故答案为：．【点评】本题考查数列极限的求法，属中档题，解决本题的关键是先用裂项相消法求和，再利用常见数列极限求解．12．在锐角△ABC中，角B所对的边长b=10，△ABC的面积为10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长为．【分析】根据正弦定理，由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值，然后由B 为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，根据三角形的面积公式表示出△ABC的面积，让面积等于10化简后，得到a与c的关系式，记作①，利用余弦定理表示出cosB，把①代入也得到关于a与c的关系式，记作②，①②联立利用完全平方公式化简后即可求出a+c的值，进而求出三角形BAC的周长．解：由正弦定理得：=2R，又b=10，R=13，解得sinB=，由△ABC为锐角三角形，得到cosB=，∵△ABC的面积为10，∴acsinB=10，解得ac=52①，则cosB===，化简得：a2+c2=196②，联立①②得：（a+c）2=a2+c2+2ac=104+196=300，解得a+c=10，则△ABC的周长为10+10．故答案为10+10．【点评】此题考查学生灵活应用正弦、余弦定理化简求值，掌握完全平方公式的灵活运用，灵活运用三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．13．已知函数f（x）=2，若g（x）=f（3x）在上是增函数，则ω的最大值．【分析】g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+），利用正弦函数的单调性可求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．解：∵g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴由2kπ﹣≤3ωx+≤2kπ+（k∈Z），ω＞0得：≤x≤（k∈Z），∵f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴≤，∴0＜ω≤．∴ωmax=．故答案为：．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期与单调性，考查三角综合运算能力，属于中档题．14．记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为[﹣22，﹣18] ．【分析】根据题意数列{a n}是等差数列可得其通项公式为a n=2n+（a﹣2），进而得到b n=+﹣1，结合二次函数的性质解决问题即可．解：由题意可得：数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列所以a n=a+2（n﹣1）=2n+（a﹣2）．所以b n=+﹣1，即b n是关于n的一元二次函数．由二次函数的性质可得：，解得：﹣22≤a≤﹣18．故答案为：[﹣22，﹣18]．【点评】解决此类问题的关键是熟悉等差数列的通项公式以及二次函数的性质，并且进行正确的运算也是关键．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15．设p，q是两个命题，（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】先分别化简p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0，再考虑p与q的推出关系，即可得结论．解：由题意，p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0∴由q可以推出p，由p不可以推出q∴p是q的必要非充分条件故选：B．【点评】本题的考点是四种条件，以不等式解集为依托，合理运用定义时解题的关键．16．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．解：∵A：f（x）=x2不是奇函数，故不满足条件①又∵B：的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而C：既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故C：f（x）=sinx符合输出的条件故选：C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．17．已知函数f（x）=sinπx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为（）A．B．y=f（2x﹣1）C．D．【分析】先由图象的周期进行排除不符合的选项，再结合函数的图象所过的特殊点进行排除错误的选项，从而找出正确的选项即可．解：由已知图象可知，右图的周期是左图函数周期的，从而可排除选项C，D 对于选项A：，当x=0时函数值为﹣1，从而排除选项A故选：B．【点评】本题主要考查了三角函数的图象的性质的应用，考查了识别图象的能力，还要注意排除法在解得选择题中的应用．18．关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3【分析】观察本题中的函数，可得出它是一个偶函数，由于所给的四个选项都是比较大小的，或者是由函数值的大小比较自变量的大小关系的，可先研究函数在（0，+∞）上的单调性，再由偶函数的性质得出在R上的单调性，由函数的单调性判断出正确选项解：∵∴函数是一个偶函数又x＞0时，与是增函数，且函数值为正，故函数在（0，+∞）上是一个增函数由偶函数的性质知，函数在（﹣∞，0）上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立考察四个选项，A选项无法判断m，n离原点的远近；B选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；C选项是正确的，由f（m）＜f（n），一定可得出m2＜n2；D选项f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m3＜n3，不成立综上知，C选项是正确的故选：C．【点评】本题是一个指数函数单调性的应用题，利用其单调性比较大小，解答本题的关键是观察出函数是一个偶函数，且能判断出函数在定义域上的单调性，最关键的是能由函数图象的对称性，单调性转化出自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立这个结论，本题考查了判断推理能力，归纳总结能力，是函数单调性与奇偶性综合中综合性较强的题，解题中能及时归纳总结可以顺利求解此类题三、简答题（本大题满分74分）19．（文） 如图，四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，AB=3，SA=4（1）求异面直线SC 与AD 所成角； （2）求点B 到平面SCD 的距离．【分析】（1）由已知BC ∥AD ，∠SCB 就是异面直线SC 与AD 所成角，由此能求出直线SC 与AD 所成角．（2）利用等体积可求点B 到平面SCD 的距离．解：（1）∵BC ∥AD ，∴∠SCB 就是异面直线SC 与AD 所成角， ∵SA ⊥BC ，BC ⊥AB ，SA ∩AB=A ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴BC ⊥SB ，Rt △SBC 中，SB=5，BC=3， ∴tan ∠SCB=，∴直线SC 与AD 所成角为arctan ．（2）连接BD ，设点B 到平面SCD 的距离为h ． ∵V S ﹣BCD =V B ﹣SCD ， ∴=，∴，∴h=，∴点B 到平面SCD 的距离为．【点评】本题考查直线与直线所成角的求法，考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，且．（1）求角A的大小；（2）若，求证△ABC是直角三角形．【分析】（1）利用，得到，然后求角A的大小；（2）利用B+C=120°化简，通过两角和的正弦函数求出B的大小，然后证明△ABC是直角三角形．解：（1）=∴，则A=60°（2）证明：B+C=120°，所以，，则，所以B+30°=60°或B+30°=120°B=30°，则C=90°，或B=90°．所以△ABC是直角三角形【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，向量的数量积的应用，考查计算能力，推理证明能力．21．（文）某民营企业年初用108万元购买一条先进的生产流水线，第一年各种费用支出12万元，以后每年支出都比上一年支出增加6万元，若每年年收入为63万元．（1）问第几年开始总收入超过总支出？（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：总盈利最大时，以3万元出售该套流水线；（盈利=收入﹣支出）方案二：年平均盈利最大时，以30万元出售该套流水线．问那种方案合算？【分析】（1）设第n年开始，盈利为y万元，从而可得y=63n﹣[12n+]﹣108=﹣3n2+54n﹣108；从而令y＞0解得即可．（2）分别计算两种方案的总获利，比较即可．解：（1）设第n年开始，盈利为y万元，则y=63n﹣[12n+]﹣108=﹣3n2+54n﹣108，（n∈N*）；令y＞0得，3n2﹣﹣54n+108＜0，故9﹣3＜n＜9+3，∵n∈N，∴第3年开始盈利．（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：∵y=﹣3n2+54n﹣108=﹣3（n﹣9）2+135，∴当n=9时，y max=135；故共可获利135+3=138万元；方案二：年平均盈利为=54﹣3（n+）≤18，（当且仅当n=，即n=6时，等号成立），共可获利18×6+30=138万元；但方案一的时间长，故方案二合算．【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．22．（16分）（文）已知函数f（x）=（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．【分析】（1）由题意知，≥3x；从而解不等式；（2）由题意知f（0）==0，再由f（1）+f（﹣1）=0解出a．b；从而验证即可；（3）由单调性的定义去证明．解：（1）由题意知，≥3x；化简得，3（3x）2+23x﹣1≤0，解得，﹣1≤3x≤；故x≤﹣1；（2）由题意，f（0）==0，故a=1；再由f（1）+f（﹣1）=0得，b=3；经验证f（x）=是奇函数，（3）证明：∵y=f（x）的定义域为R，∴b≥0；任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（3a+b），∵x1＜x2，∴＞0；故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，当3a+b=0时，f（x）在R上不具有单调性．【点评】本题考查了函数的性质应用及证明，属于基础题．23．（18分）（文）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足b1=a1，b n=a n+a n（n≥2，﹣1n∈N*），则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”．（1）若数列{a n}的通项为数列a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{d n}的通项为数列d n=2n+n，求数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n；（3）若数列{c n}的通项公式为c n=An+B，（A，B是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．【分析】（1）由a n=n，可得b1=a1=1，当n≥2时，b n=a n+a n﹣1=2n﹣1，即可得出．（2）由数列d n=2n+n，数列{d n}的“生成数列”，p1=d1=3，当n≥2时，p n=d n+d n﹣=3×2n﹣1+2n﹣1．可得p n=，当n=1时，T1=p1=3，当n≥2 1时，利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．（3）l n=．当B=0时，l n=2An﹣A，l n+1﹣l n=2A，即可判断出．当B≠0时，由于l1=c1=A+B，l2=3A+2B，l3=5A+2B，判断l2﹣l1与l3﹣l2是否相等即可得出．解：（1）∵a n=n，∴b1=a1=1，当n≥2时，b n=a n+a n﹣1=n+n﹣1=2n﹣1，当n=1时也成立，∴b n=2n﹣1．（2）由数列d n=2n+n，数列{d n}的“生成数列”，=2n+n+（2n﹣1+n﹣1）=3×2n﹣1+2n﹣1．p1=d1=21+1=3，当n≥2时，p n=d n+d n﹣1∴p n=，当n=1时，T1=p1=3，当n≥2时，T n=3++=3+3×2n﹣6+（n﹣1）（n+1）=3×2n+n2﹣4．（3）l n=．当B=0时，l n=2An﹣A，l n+1﹣l n=2A，∴数列{c n}的“生成数列”{l n}是等差数列．当B≠0时，由于l1=c1=A+B，l2=3A+2B，l3=5A+2B，此时l2﹣l1=2A+B，l3﹣l2=2A，∵2A≠2A+B，∴数列{c n}的“生成数列”{l n}不是等差数列．综上可得：当B=0时，数列{c n}的“生成数列”{l n}是等差数列．当B≠0时，数列{c n}的“生成数列”{l n}不是等差数列．【点评】本题考查了新定义“生成数列”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。