2019.3北京市丰台区高三文科数学一模试题(Word版含答案)

ABC D O EA 1B 1C 1D 1开始 输入a S =0，n =1 n = n +1 S = S +a n n ≤ 否是丰台区高三年级第二学期统一练习（一）数 学（文科）.3一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合U =R ，2{560}A x x x =-+≥，那么UA =(A) {2x x <或3}x > (B) {23}x x << (C) {2x x ≤或3}x ≥(D) {23}x x ≤≤2．“a =2”是“直线ax +2y =0与直线x +y +1=0平行”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件3．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，||4=a ，||3=b ，则||+a b 等于(A) 3737(C) 13134．记集合22{(,)4}A x y x y =+≤和集合{(,)|20,0,0}B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2内的概率为 (A)21π(B)1π(C)41 (D)π-24π5．如图所示，O 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1对角线A 1C 与AC 1的交点，E 为棱BB 1的中点，则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能．．．是6．程序框图如图所示，若输入a 的值是虚数单位i ，则输出的结果是(A) -1 (B) i -1 (C) 0(D) - i7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：① 若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ② 若α//β，m α⊂，则m //β；(A) (B) (C) (D)③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥； ④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ①②(C) ③④ (D) ②③8．若函数()f x 满足条件：当12, [1,1]x x ∈-时，有1212|()()|3||f x f x x x -≤-成立，则称()f x ∈Ω．对于函数3()g x x =，1()2h x x =+，有 (A) ()g x ∈Ω且()h x ∉Ω (B) ()g x ∉Ω且()h x ∈Ω (C) ()g x ∈Ω且()h x ∈Ω (D) ()g x ∉Ω且()h x ∉Ω二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知抛物线24y x =上一点P (3，y )，则点P 到抛物线焦点的距离为 ． 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 2=1，S 5=10，则S 7= ．11．已知函数1,0,()(2),<0.x e x f x f x x ⎧-≥=⎨+⎩ 则(1)f -= ．12．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点 A ，点A 的纵坐标为45，则cos α= ． 13．某路段检查站监控录像显示，在某段时间内有2000辆车通过该站，现随机抽取其中的200辆进行车速分析，分析结果表示为如图所示的频率分布直方图．则图中a = ，估计在这段时间内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的约有 辆． 14．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数2()([])f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为[0,1]； ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称； ③函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1； ④函数()y f x =在(0,1)上是增函数．其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）AαxyO三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值．16．（本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC =12AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；（Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得PA //平面BMQ ．17．（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且312n n S a =-*()n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．PABCD QM18．（本小题共14分）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点3(1,)2． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)直线2y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，在OA 上存在一点M ，OB 上存在一点N ，使得12MN AB =，若原点O 在以MN 为直径的圆上，求直线斜率k 的值．19．（本小题共14分）已知函数32()4f x x ax bx =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）当0x ≥时，曲线()y f x =总在直线24y a x =-上方，求a 的取值范围．20．（本小题共13分）已知123{(,,,,)n n S A A a a a a ==，0i a =或1，1,2,,}i n =(2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）如果(0,0,0,0)U =，存在m 个4V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）如果0(0,0,0,,0)n W =个，,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三年级第二学期统一练习（一）数 学（文科）参考答案.3题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B C B A A A DC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．4 10．21 11．e -112．35- 13．0.02，600 14． ③④（写对一个给2分，多写不给分）注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分∵ 0<A <π （或写成A 是三角形内角） ……………………4分∴3A π=． ……………………5分 （Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=311cos 22x x =++ ……………………7分 1sin()62x π=++， ……………………9分∵3A π= ∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ<+< （没讨论，扣1分）…………………10分∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． ……………………13分16．（本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC =12AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；（Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得PA //平面BMQ ． 证明：（Ⅰ）AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形， ……………………2分 ∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC =90° ，∴∠AQB =90° ， 即QB ⊥AD ． ……………………3分 ∵ PA =PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ． ……………………4分 ∵ PQ ∩BQ =Q ， ……………………5分∴AD ⊥平面PBQ ． ……………………6分（Ⅱ）当1t =时，PA //平面BMQ ． （没写结论扣2分） ……………………8分连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ∵BC //12DQ ， ∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， ……………………9分 ∵点M 是线段PC 的中点，∴ MN // PA ． ……………………10分∵ MN ⊂平面BMQ ，PA ⊄平面BMQ ， ……………………11分 ∴ PA // 平面BMQ ． ……………………13分17．（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且312n n S a =-*()n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式． 解：（I ）当n =1时，11312a a =-， ∴ a 1=2． ……………………2分 ABC DQMN当2n ≥时， ∵312n n S a =- ① 1131(2)2n n S a n --=-≥ ② ①-②得：133(1)(1)22n n n a a a -=---，即13n n a a -=， (3)分∴ 数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列． ……………………4分∴123n n a -=⋅． ……………………6分（II ）∵1n n n b b a +=+，∴当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅……13223b b =+⋅02123b b =+⋅ ……………………8分相加得12111132(333)53413n n n n b b ----=+⋅+++=+=+-． ……………………11分（相加1分，求和1分，结果1分） 当n =1时，111345b -+==， ……………………12分∴ 134n n b -=+． ……………………13分18．（本小题共14分）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点3(1,)2． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)直线2y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，在OA 上存在一点M ，OB 上存在一点N ，使得12MN AB =，若原点O 在以MN 为直径的圆上，求直线斜率k 的值．解：(Ⅰ)依题意，可设椭圆E的方程为22221(0)x y a b a b +=>>． ……………………1分 ∵12c a =， ∴2a c=，22223b a c c =-=． ……………………3分∵ 椭圆经过点3(1,)2， ∴椭圆的方程为22143x y +=． ……………………5分 (Ⅱ) 记,A B 两点坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y ，得22(43)1640k x kx +-+=． ……………………7分∵ 直线与椭圆有两个交点， ∴ 24(16)16(43)0k k ∆=-+>， ∴214k >． ……………………9分由韦达定理 1221643k x x k +=+，122443x x k =+． ∵ 原点O 在以MN 为直径的圆上， ∴ OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=． ∵ 12MN AB =，M 在OA 上，N 在OB 上 ∴0OA OB ⋅=， ……………………10分又11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，∴ OA OB ⋅=12121212(2)(2)x x y y x x kx kx +=+--21212(1)2(+)+4k x x k x x =+-222416(1)2+4=04343kk k k k =+-++．∴241=32k >， ……………………13分∴23=k ……………………14分19．（本小题共14分）已知函数32()4f x x ax bx =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）当0x ≥时，曲线()y f x =总在直线24y a x =-上方，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）∵32()4f x x ax bx =+++，∴2'()32f x x ax b =++． (2)分∵()f x 在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数， ∴当x =时，()f x 有极大值，即'(0)0f =， ……………………4分∴0b =． ……………………6分 （Ⅱ）2'()32(32)f x x ax x x a =+=+，∵ ()f x 在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数， ∴213a -≥，即32a ≤-． ……………………8分∵曲线()y f x =在直线24y a x =-的上方，设322()(4)(4)g x x ax a x =++--， (9)分∴在[0,)x ∈+∞时，()0g x ≥恒成立． ∵ 22'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+， 令'()0g x =，两个根为a-，3a ，且03aa <<-， ……………………10分 x (0,)a - a -(,)a -+∞ '()g x － 0 ＋()g x 极小值∴当x a=-时，()g x 有最小值()g a -． ……………………12分令333()(4)(4)0g a a a a -=-++--->， ∴38a >-，由32a ≤-， ∴ 322a -<≤-. ……………………14分 另解：32()4f x x ax =++，2'()32(32)f x x ax x x a =+=+当a =0时，3()4f x x =+，2'()30f x x =≥，函数()f x 在定义域上为增函数，与已知矛盾，舍；……………………7分当a >0时，由（Ⅰ）知，'()(32)f x x x a =+， 函数()f x 在2(,)3a -∞-上为增函数，在2(,0)3a-上为减函数，与已知矛盾，舍； ……………………8分当a <0时，'()(32)f x x x a =+，由已知可得213a<-，∴32a ≤- ……………………9分设322()(4)(4)g x x ax a x =++--， ……………………10分∴ 22'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+。

北京市丰台区2018年高三年级一模数学试题（文)注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．复数1i=+ A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -2．已知命题p ：∃x <1，21x ≤，则p ⌝为 A ．∀x ≥1, 2x ＞1 B ．∃x <1, 21x > C ．∀x <1, 21x >D ．∃x ≥1, 21x >3．已知0a b <<，则下列不等式中恒成立的是A ．11a b> B C ．22a b >D ．33a b >4．已知抛物线C 的开口向下，其焦点是双曲线2213y x -=的一个焦点，则C 的标准方程为 A ．28y x = B ．28x y =-C ．2y =D ．2x =5．设不等式组05,05x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩确定的平面区域为D ，在D 中任取一点(,)P x y 满足2x y +≥的概率是A ．1112B ．56C ．2125D ．23256．执行如图所示的程序框图，那么输出的a 值是A ．12-B ．1-C ．2D ．127．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．43B ．4C ．83D第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题8．已知集合{|20}A x x =-≤≤，{|03}B x x =<≤，则A B =U ____． 9．圆心为(1,0)，且与直线1y x =+相切的圆的方程是____．10．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．11．已知点(2,0)A ，(0,1)B ，若点(,)P x y 在线段AB 上，则xy 的最大值为____． 12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，2()(1)1f x x =--+． ①当[1,0]x ∈-时，()f x 的取值范围是____；②当函数()f x 的图象在直线y x =的下方时，x 的取值范围是____． 13．已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==． ①若3AB AC =u u u v u u u v ，则AB CD ⋅=u u u v u u u v____；②若AP AB AD =+u u u v u u u v u u u v，则AP u u u v 的最大值为____．三、解答题14．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在[0,]π上的单调递增区间．15．在数列{}n a 和{}n b 中，1=1a ，12n n a a +=+， 13b =，27b =，等比数列{}n c 满足n n n c b a =-.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式； （Ⅱ）若6m b a =，求m 的值．16．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//AD BC ，2AD BC =，90DAB ABP ∠=∠=︒．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PAB ； （Ⅱ）求证：AB ⊥PC ；（Ⅲ）若点E 在棱PD 上，且CE P 平面PAB ，求PEPD的值．17．某地区工会利用 “健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19)，[19,21]九组，整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求当天这1000名会员中步数少于11千步的人数；（Ⅱ）从当天步数在[11,13)，[13,15)，[15,17)的会员中按分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于200分的概率； （Ⅲ）写出该组数据的中位数（只写结果）．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为F ，点(2,0)A -在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程与离心率；（Ⅱ）设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线AD ，AE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值． 19．已知函数1()ln ()ex f x a x a =+∈R ． （Ⅰ）当1e a =时，求曲线()yf x =在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在定义域内不单调，求a 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 复数21i =+2-212i i =- 故答案为：D. 2．C 【解析】根据全称命题与存在性命题之间的关系，可知命题2:1,1p x x ∃<≤的否定为21,1x x ∀，故选C ．3．A 【解析】构造函数1y x =是减函数，已知0a b <<,则11a b>，故A 正确>故B 不正确；C 构造函数2ay =是增函数，故22a b <，故选项不正确；D. 33a b >，构造函数3y x =是增函数，故33a b <，所以选项不正确.故答案为：A. 4．B 【解析】双曲线2213y x -=的一个焦点为()0,2-，故抛物线的焦点坐标也是()0,2-，从而得到方程为28x y =-. 故答案为B. 5．D 【解析】不等式组05,05x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩确定的平面区域为D 是正方形，满足2x y +≥，即在直线2x y +≥上方的部分，根据几何概型的计算公式得到2325P =.故答案为：D. 6．D 【解析】根据题意得到当a=2,n=2 A=1,2,1,3,2,4,2,22n a n a n a n ==-===== 由此可看出周期为3，当n=2018时输出结果，此时a=12. 故答案为：D. 7．A 【解析】根据三视图可知原图是个三棱锥，右侧面垂直于上底面，体积为：114222.323⨯⨯⨯⨯= 故答案为：A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 8．{|23}x x -≤≤ 【解析】集合{|20}A x x =-≤≤，{|03}B x x =<≤，则{|23}A B x x ⋃=-≤≤. 故答案为：{|23}x x -≤≤. 9．22(1)2x y -+= 【解析】圆心为()1,0，设圆的方程为()2221x y r -+=，与直线1y x =+相切，故r =∴=故答案为()2212x y -+=. 10．14-【解析】在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故222132,3,cos .24a b c a b b c ab +-=∴===-故答案为：14-. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.11．12【解析】已知点()2,0A ，()0,1B ，线段AB 方程为：112y x =-+，[]122,0,2,22.2x y x x y xy +=∈+=≥⇒≤故最大值为：12.12．[1,0]- 1,0+-∞（）（1,）U 【解析】奇函数()f x ,故可以求函数在[]0,1上的值域，当0x >时，()()211f x x =--+在[]0,1上的值域为[]0,1，故在[]1,0x ∈-上的值域为[]1,0x ∈-；当函数()f x 的图象在直线y x =的下方时，即()211x x --+<,解得x 的取值范围是1,01,+-⋃∞（）（）.故答案为：(1). []1,0- (2). 1,01,+-⋃∞（）（）.13．34-2 【解析】由题意，（1）中，因为3AB AC =u u u r u u u r，所以C 为线段AB 的三等分点， 因为1CB CD ==，所以31,22AB AC ==，如图所示， 则313()0cos 224AB CD AB AD AC AB AD AB AC u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v π⋅=⋅-=⋅-⋅=-⨯=-，（2）中，因为AP AB AD =+u u u r u u u r u u u r，所以AP AB AD BD =+====u u u v u u u v u u u v u u u v，如图所示，当点C 是线段BD 的中点时，此时BD 取得最大值，此时最大值为2BD BC CB =+=，所以AP u u u r的最大值为2．点睛：本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．14．(1) πT =;(2) π[0,]8和5π[,π]8． 【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式将原式子化简得到()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据周期的公式得到2ππ2T ==；（2）由题意得到πππ2π22π242k x k -+≤+≤+，从而得到单调增区间. 解析：（Ⅰ）()22sin cos 2cos 1f x x x x =+-sin2cos2x x =+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （Ⅱ）由πππ2π22π242k x k -+≤+≤+ ()k Z ∈，得3ππππ88k x k -+≤≤+ ()k Z ∈． 当[]0,πx ∈时，单调递增区间为π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π,π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．(1) 21n a n =-,2nn c =;(2) =38m .【解析】试题分析：（1）根据等差和等比数列通项的求法得到21n a n =-，2n n c =（2）2n n n b a -=，21n a n =-，可得到221n n b n =+-，进而求出参数值.解析：（Ⅰ）因为12n n a a +-=，且1=1a ，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列． 所以()11221n a n n =+-⋅=-，即21n a n =-． 因为13b =，27b =，且11a =，23a =， 所以111=2c b a =-，222=4c b a =-． 因为数列{}n c 是等比数列，所以数列{}n c 的公比212c q c ==， 所以111222n n n n c c q --=⋅=⨯=，即2nn c =． （Ⅱ）因为2nn n b a -=，21n a n =-，所以221nn b n =+-． 所以662261=75b =+⨯-．令21=75m -， 得=38m ． 16．(1)见解析;(2)见解析;(3) 12PE PD =. 【解析】试题分析：（1）证明线线平行：AD ⊥AB ，再由面面平行的性质得到AD ⊥平面PAB ；（2）先证得PB ⊥AB ，BC ⊥AB ，故得到AB ⊥平面PBC ，所以AB ⊥PC ；（3）根据题意做出辅助线并证明四边形BCEF 为平行四边形，由平行线分线段成比例得到12PE PD =. 解析：（Ⅰ）证明：因为90DAB ∠=︒，所以AD ⊥AB ． 因为平面PAB ⊥平面ABCD ， 且平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以AD ⊥平面PAB ． （Ⅱ）证明：由已知得AD ⊥AB因为AD BC P ， 所以BC ⊥AB ． 又因为90ABP ∠=︒，所以PB ⊥AB ．因为PB BC B ⋂= 所以AB ⊥平面PBC 所以AB ⊥PC ．（Ⅲ）解：过E 作EF AD P 交PA 于F ，连接BF ．因为AD BC P ，所以EF BC P ．所以E ，F ，B ，C 四点共面．又因为CE P 平面PAB ，且CE ⊂平面BCEF ，且平面BCEF I 平面PAB BF =，所以CE BF P ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以EF BC =．在△PAD 中，因为//EF AD ， 所以12PE EF BC PD AD AD ===， 即12PE PD =．17．(1) 300人;(2)45;(3) 373. 【解析】 试题分析：（1）根据条形分布直方图中的数据得到健步走的步数在[)5,7内的人数为60， 在[)7,9内的人数为100，在[)9,11内的人数为100，共得到300人；（2）根据分层抽样的概念得到在[)11,13内应抽取3人，每人的积分是90分，在[)13,15内应抽取2人，每人的积分是110分，在[)15,17内应抽取1人，每人的积分是130分，再根据古典概型的公式得到概率值；（3）由中位数的概念，根据直方图可求出结果.解析：（Ⅰ）这1000名会员中健步走的步数在[)3,5内的人数为0.022100040⨯⨯=；健步走的步数在[)5,7内的人数为0.032100060⨯⨯=；健步走的步数在[)7,9内的人数为0.0521000100⨯⨯=；健步走的步数在[)9,11内的人数为0.0521000100⨯⨯=； 4060100100300+++=．所以这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300人．（Ⅱ）按分层抽样的方法，在[)11,13内应抽取3人，记为1a ，2a ，3a ，每人的积分是90分；在[)13,15内应抽取2人，记为1b ，2b ，每人的积分是110分；在[)15,17内应抽取1人，记为c ，每人的积分是130分；从6人中随机抽取2人，有12a a ，13a a ，11a b ，12a b ，1a c ，23a a ，21a b ，22a b ，2a c ，31a b ，32a b ，3a c ，12b b ，1b c ，2b c 共15种方法．所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的有11a b ，12a b ，1a c ， 21a b ，22a b ，2a c ，31a b ，32a b ，3a c ，12b b ，1b c ，2b c 共12种方法．设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分为事件A ，则()124155P A ==． 所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的概率为45． （Ⅲ）中位数为373．18．(1) 2c e a ==;(2)见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据点在椭圆上和焦点坐标可得到方程；（2）先设(),D m n ，(),E m n --根据题意得到20,2n M m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，20,2n N m -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭，设以MN 为直径的圆与x 轴交于点()0,0G x 和()0,0H x -,所以0GM GN ⋅=u u u u v u u u v ，即2202404n x m -+=-，再由2214m n +=，即2244n m =-，故01x =. 解析：（Ⅰ）依题意，c =.点()2,0A -在椭圆C 上．所以2a =．所以2221b a c =-=．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．离心率c e a ==． （Ⅱ）因为D ，E 两点关于原点对称，所以可设(),D m n ，(),E m n --，()2m ≠± 所以2214m n +=． 直线AD ：()22n y x m =++． 当0x =时，22n y m =+，所以20,2n M m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 直线AE ：()22n y x m -=+-+． 当0x =时，22n y m -=-+，所以20,2n N m -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭． 设以MN 为直径的圆与x 轴交于点()0,0G x 和()0,0H x -,（00x >），所以，02,2n GM x m ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭u u u u v ，02,2n GN x m -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭u u u v ， 所以220244n GM GN x m -⋅=+-u u u u v u u u v ． 因为点G 在以MN 为直径的圆上，所以0GM GN ⋅=u u u u v u u u v ，即2202404n x m -+=-． 因为2214m n +=，即2244n m =-， 所以2222244144n m x m m -===--，所以01x =． 所以()1,0G ，()1,0H -．所以2GH =．所以以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值2．方法点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.19．(1) 1e y =;(2) 1{|0}e a a <<. 【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到()1110e e f -'=+=，()11ef =，进而得到在()()1,1f 处的切线方程为1ey =；（2）先求当函数单调时参数的范围，再求补集即可，函数()f x 在定义域内单调，等价于()0f x '≤恒成立，或()0f x '≥恒成立，即e 0x a x -≤恒成立，或e 0x a x -≥恒成立，等价于e x x a ≤恒成立或e xx a ≥恒成立，构造函数研究函数的单调性求函数最值即可.解析：函数()f x 的定义域为()0,+∞， 导函数()1e e ex x x a a x f x x x ='-=-+． （Ⅰ）当1e a =时，因为()1110e e f -'=+=，()11ef =， 所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为1e y =． （Ⅱ）()e (0)ex x a x f x x x '-=>，设函数()f x 在定义域内不单调时．．．．，a 的取值范围是集合A ； 函数()f x 在定义域内单调时．．．，a 的取值范围是集合B ，则R A B =ð． 所以函数()f x 在定义域内单调．．，等价于()0f x '≤恒成立，或()0f x '≥恒成立， 即e 0x a x -≤恒成立，或e 0x a x -≥恒成立， 等价于e x x a ≤恒成立或ex x a ≥恒成立． 令()()0e x x g x x =≥，则()1e x x g x ='-， 由()0g x '>得 01x <<，所以()g x 在()0,1上单调递增； 由()0g x '<得 1x >，所以()g x 在()1,+∞上单调递减． 因为()00g =，()11eg =，且0x >时，()0g x >， 所以()10e g x ，⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 所以1{|0,}e B a a a 或=≤≥， 所以1{|0}eA a a =<<．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）.。

丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则AB =（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ，（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个（D ）4个俯视图左视图（点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是（A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换：① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）.其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆 22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：社区 社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 303020 20B 120 40 35 20 25 C15050403030（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率；（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列； （Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()AD ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分）已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,.x（i）若数列B中存在相邻两项为1，求证：数列B中的每一项均为1；（ⅱ）求数列C所有项的和.丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1sin 22C C C =+-1sin cos 22C C =-πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此π33sin()()322C -∈-,. 于是33sin 3cos (,)22B C -∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -,,，=(020)BC -,,，=(220)BA -,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩,,令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而2cos 2m n m n⋅<>==⋅,m n .解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增. 因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意2222112.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y .令0=x ，得100--=x y y M .直线PB 的方程为：)1(10-+-=x x y y .令0=x ，得10+=x y y N . 因为OM ON OQ =2， 所以12022-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-. 所以220202(1)21x m x -==-.即m =所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立.…………14分21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1.…………4分 （Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,.所以1k b =(12)k n =,,,.若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==. 依次类推可得121b b ==. 所以1k b =(12)k n =,,,. 综上可知，数列B 中的每一项均为1. …………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,使得110k k k b b b -+===. 若存在{}21k n ∈-,,使得110k k k b b b -+===， 则111k k k c c c -+===. 又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾. 所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,. 由此及(ⅱ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下： (1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,. 于是0k c =(12)k n =,,,. 所以所有项的和0S =. (2)123101b b b ===,,时，20c =， 此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,. 故4531,0,0n c c b b ==== 于是1156010n b b c b -≠===,,， 于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n n S n =-= . 同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时，当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23n S =（n 是3的倍数）. …………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京丰台区2019年高三上学期年末考试试题（数学文）word 版高三数学〔文科〕第一部分〔选择题 共40分〕 【一】选择题共8小题，每题5分，共40分、在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项、1、设集合A={x ∣x<4}，B={x ∣x2<4}，那么(A) A ⊆B(B) B ⊆A(C) A ⊆R Bð(D) B ⊆R Að2、在复平面内，复数1+ii -对应的点位于(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(A)命题p q ∨是假命题 (B)命题p q ∧是真命题 (C)命题()p q ∨⌝是假命题(D)命题()p q ∧⌝是真命题4、预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)n n P P k k =+>-，其中Pn 为预测人口数，P0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数、如果在某一时期有-1<k<0，那么这期间人口数(A)呈上升趋势 (B)呈下降趋势 (C)摆动变化 (D)不变5、假设某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是 (A)13(B)23(C)1(D)2俯视图侧视图正视图6、执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为(A)650 (B)1250 (C)1352 (D)50007、假设函数21()log ()f x x ax =+-在区间(1,2)内有零点，那么实数a 的取值范围是(A)25(log ,1)2--(B)(1,)+∞(C)25(0,log )2 (D)25(1,log )28、如图，P是正方体ABCD—A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，假设△PBD 的面积为f(x)，那么f(x)的图象大致是(A)(B)(C)(D)第二部分〔非选择题共110分〕【二】填空题共6小题，每题5分，共30分、9、过点(-1,3)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为、10、函数2log,(0),()2,(0).xx xf xx>⎧=⎨≤⎩假设1()2f a=，那么a=、11、某个容量为100的样本的频率分布直方图如下图，那么数据在区间[8,10)上的频数是、12、假设向量a，b 满足2a=2b=，()a b a-⊥，那么向量a与b的夹角等于___、13、设Sn是等比数列{an}的前n项和，假设S1，2S2，3S3成等差数列，那么公比q等于、1A14、函数()f x 的导函数为'()f x ，假设对于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有121212()()'()2f x f x x x f x x -+=-恒成立，那么称()f x 为恒均变函数、给出以下函数：①()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=f x x ；④()=xf x e ；⑤()=ln f x x 、其中为恒均变函数的序号是、〔写出所有满足条件的函数序号〕【三】解答题共6小题，共80分、解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程、 15.〔本小题共13分〕函数2()2cos 2xf x x =-、〔Ⅰ〕求函数()f x 的最小正周期和值域；〔Ⅱ〕假设α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21tan αα-的值、 16.〔本小题共14分〕如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC ，AC=BC ，M ，N 分别是CC1，AB 的中点、 〔Ⅰ〕求证：CN ⊥AB1；〔Ⅱ〕求证：CN//平面AB1M 、 17.〔本小题共13分〕 为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查.甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班.〔Ⅰ〕求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；〔Ⅱ〕假设从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率.18.〔本小题共13分〕在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O为圆心的圆与直线40x -=相切、〔Ⅰ〕求圆O 的方程；〔Ⅱ〕直线l ：3y kx =+与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形，假设存在，求出此时直线l 的斜率；假设不存在，说明理由、 19.〔本小题共14分〕函数x x bax x f ln 2)(++=、NMC 1B 1A 1CB A〔Ⅰ〕假设函数)(x f 在1=x ，21=x 处取得极值，求a ，b 的值；〔Ⅱ〕假设(1)2f '=，函数)(x f 在),0(+∞上是单调函数，求a 的取值范围、20.〔本小题共13分〕函数()f x 的定义域为R ，数列{}n a 满足1=()n n a f a -〔*n N ∈且2n ≥〕、〔Ⅰ〕假设数列{}n a 是等差数列，12a a ≠，且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-(k 为非零常数，*n N ∈且2n ≥)，求k 的值；〔Ⅱ〕假设()(1)f x kx k =>，12a =，*ln ()n n b a n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，对于给定的正整数m ，如果(1)m nmn S S +的值与n 无关，求k 的值、〔考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效〕 丰台区2017—2018学年度第一学期期末练习2018、01 高三数学〔文科〕答案及评分参考【一】选择题共8小题，每题5分，共40分。

丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习 2019.01高三数学（文科） 第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|22}B x x =-<<，那么A B =（ ）（A ）{0,1} （B ）{1,0,1}- （C ）{1,0,1,2}-（D ）{|22}x x -<<2．复数(1i)(2+i)z =+在复平面内对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ） （A ）34 （B ）45 （C ）56 （D ）674．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥ 则2x y -的最大值是（（A ）2- （B ）12-（C ）1（D ）45．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为（ ） （A ）2（B （C ）（D ）俯视图侧（左）视图正（主）视图6．设,a b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知抛物线28y x =的焦点与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为（ ） （A ）2 （B ）23（C（D ）128．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形126A A A的中心，若11)44A ，则点3A 的纵坐标为（ ）（A（B（C（D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．已知函数3()log ()f x x a =+的图象过点(2,1)，那么a =____．10．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若a b >2sin b A =，则B =____． 11．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>ba，则>b a ”是假命题的一组整数．．,a b 的值依次为____．12．已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点是(2,0)F ，那么双曲线C 的渐近线方程为____．13．已知两点(1,0)A -，(1,0)B ，动点Q 满足0AQ BQ =.若P 为直线20x y -+=上一动点，则||PQ 的最小值为____．14．已知函数||2,,(),.x x x x a f x x x a -+⎧=⎨<⎩≥ ① 若0=a ，则函数()f x 的零点有____个；② 若()(1)f x f ≤对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分。

丰台区2019年高三年级第二学期综合练习（一）数学（文科）2019.03（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4.请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x2>1}，那么(（A）{x|-1<x≤1}（B）{x|-1<x<1}（D）{x|x≤-1}（C）{x|x<-1}UA)B等于2．复数z=11+i的共轭复数是11（A）+i22（C）1+i11（B）-i22（D）1-i3．设命题p：∀x∈R,sin x≤1，则⌝p为（A）∀x∈R,sin x≥1（C）∀x∉R,sin x>1（B）∃x∈R,sin x≤100（D）∃x∈R,sin x>1004．执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，那么输出的S=（A）15（C）-10（B）6（D）-21⎪( 2 ) - 1, x < 0,⎩ x 2 , x ≥ 0.开始输入ak =1, S =0k < 5否是S =S+ak 2a = -a输出S结束k =k +15．已知两条直线 l, m 与两个平面 α , β ，下列命题正确的是（A ）若 l ∥α , l ⊥ m ， 则 m ⊥ α（B ）若 l ⊥ α , l ∥β ， 则 α ⊥ β（C ）若 l ∥α, m ∥α ， 则 l ∥m（D ）若α∥β , m ∥α ，则 m ∥β6．已知正 △ ABC 的边长为 4，点 D 为边 BC 的中点，点 E 满足 AE = ED ，那么 EB EC 的值为（A ） -83 （B ） -1（C ）1 （D ） 3⎧ 1 x 7．设函数 f ( x ) = ⎨则使得 f ( x ) ≥ 1 的自变量 x 的取值范围为 ⎪ 1（A ） [-1,1]（B ） [-1,0) [1,+∞ )（C ） (-∞, -1] (0,1]（D ） (-∞ , -1] [1,+∞ )8．某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：记录时间 累计里程 平均耗电量 剩余续航里程 （单位：公里） （单位：kW· h/公里） （单位：公里）2019 年 1 月 1 日2019 年 1 月 2 日40004100 0.1250.126 280146（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量， 平均耗电量=累计耗电量累计里程 剩余电量， 剩余续航里程 = ）平均耗电量下面对该车在两次记录时间段内行驶 100 公里的耗电量估计正确的是9．双曲线 - = 1 的渐近线方程为____．13．已知函数 f ( x ) = cos(2 x + ϕ)(- < ϕ < 0) ．②若函数 f ( x ) 在区间 [ , ] 上有且只有三个零点，则ϕ 的值是____．- 7成等比数列．（Ⅱ）设 b = a + 2a n ，求数列 {b }的前 n 项和 S ． 在锐角 △ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a , b , c ．已知 cos 2C = - ．（A ）等于 12.5（C ）等于 12.6（B ）12.5 到 12.6 之间（D ）大于 12.6第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

北京丰台区2019年高三年级第二学期统一练习（一）数 学 试 题（文）注意事项：1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2．本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

作图题用2B 铅笔作图，要求线条、图形清晰。

3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效。

4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|9},{|1}A x x B x x =≤=<，则A B = （ ） A ．{|3}x x ≤B ．{|31}x x -<<C ．{|31}x x -≤<D ．{|33}x x -≤≤2．设 4.20.60.60.6,7,log 7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是 （ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c << 3．若变量x ，y 满足条件0,21,43,y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则35z x y =+的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．[8,3]- C ．(],9-∞ D ．[8,9]-4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．202π-B ．2203π-C ．2403π-D ．4403π- 5．已知向量(1,2),(1,0)a b ==-，若()a mb a +⊥，则实数m 等于（ ） A ．-5 B ．52 C ．0 D ．56．若函数1(),0,()2,0,x x f x x a x ⎧≤⎪=⎨⎪-+>⎩则"1"a =是“函数()y f x =在R 上的单调递减的”（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且2342,,2a S a +成等差数列，则数列2{}n a 的前5项和为（ ） A ．341 B ．10003 C ．1023 D ．10248．已知定义在R 上的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，当11x -<≤时，3()f x x =，若函数()()log ||a g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，5）B ．[)1(0,)5,5+∞C ．[)10,5,5⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,11,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此πsin()(322C -∈-,.于是sin ()22B C ∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-.所以22022(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分21．（本小题共14分） 解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1. …………4分（Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==. 于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===. 依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L . 所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==. 于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==. 依次类推可得121b b ==. 所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1. …………8分（ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===. 若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===， 则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K . 由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下： (1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K .于是0k c =(12)k n =,,,K . 所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =， 此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,. 故4531,0,0n c c b b ==== 于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n n S n =-=.同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时，当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）. …………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

丰台区2019年高三年级第二学期综合练习（一）数 学（文科）2019. 03第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集U =R ，{|1}A x x =>，2{|1}B x x =>，那么()U A B ð等于（A ）{|11}x x -<≤ （B ）{|11}x x -<< （C ）{|1}x x <-（D ）{|1}x x -≤2．复数11iz =+的共轭复数是 （A ）11i22+ （B ）11i22- （C ）1i +（D ）1i -3．设命题p ：,sin 1x x ∀∈R ≤，则p ⌝为 （A ）,sin 1x x ∀∈R ≥ （B ）00,sin 1x x ∃∈R ≤ （C ）,sin 1x x ∀∉>R（D ）00,sin 1x x ∃∈>R4．执行如图所示的程序框图，如果输入的1a =，那么输出的S = （A ）15 （B ）6（C ）10-（D ）21-5．已知两条直线,l m 与两个平面,αβ，下列命题正确的是（A ）若,l l m α⊥∥， 则m α⊥ （B ）若,l l αβ⊥∥， 则αβ⊥ （C ）若,l m αα∥∥， 则l m ∥ （D ）若,m αβα∥∥，则m β∥6．已知正ABC △的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED =，那么EB EC 的值为 （A ）83-（B ）1-（C ）1（D ）37．设函数121()1,0,2(),0.xx f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪⎩≥则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（A ）[1,1]-（B ）[1,0)[1,)-+∞ （C ）(,1](0,1]-∞-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，=累计耗电量平均耗电量累计里程，=剩余续航里程剩余电量平均耗电量）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是 （A ）等于12.5 （B ）12.5到12.6之间 （C ）等于12.6（D ）大于12.6第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。