高考数学 数学思想的应用情形归纳 第11讲 数形结合思想情形之1013

数形结合思想方法在高中数学教学中的运用一、数形结合思想方法的概念数形结合思想方法是指将数学中的抽象概念与具体图形相结合，使抽象概念更加形象化和具体化，从而帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

这种方法通过将数学问题转化为几何问题，突出了问题的形象性和直观性，使学生更容易理解和掌握数学内容。

二、数形结合思想方法的运用1. 代数表达与几何图形在代数学习中，常常涉及到各种方程、函数及其图像。

教师可以引导学生通过绘制函数图像的方法，帮助学生更好地理解代数表达式的意义。

对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，教师可以通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到a、b、c对函数图像的影响，从而加深对函数的理解和运用。

2. 数列与平面几何在数列的学习中，常常涉及到数列的通项公式和求和公式。

通过将数列的通项公式和求和公式与平面几何结合起来，可以帮助学生更好地理解数列的规律和性质。

教师可以通过绘制数列的图形，让学生直观地感受到数列的增减规律及其和的变化规律，从而加深对数列的理解和掌握。

3. 解析几何与代数方程在解析几何的学习中，常常涉及到直线、圆、抛物线等几何图形的方程式。

教师可以通过将几何图形的方程式与代数方程结合起来，帮助学生更直观地理解几何图形的性质和方程的意义。

教师可以通过分析直线方程和圆的方程的关系，让学生理解方程式与几何图形的联系，从而加深对解析几何的理解和运用。

2. 培养学生的几何直观能力学生在数学学习中往往更倾向于代数计算，而对几何图形的理解和运用能力相对较弱。

数形结合思想方法可以帮助学生培养几何直观能力，提高他们对几何图形的理解和运用水平。

3. 提高学生的数学思维能力数形结合思想方法可以激发学生的求知欲，培养他们的数学思维能力。

通过将数学问题转化为几何问题，学生能够更主动地思考和解决问题，提高他们的数学思维能力。

2. 拓展教学手段和方法数形结合思想方法为教师提供了新的教学手段和方法，丰富了教学内容和形式，提高了教学的多样性和趣味性，能够激发学生的学习兴趣。

解读高考中的数学思想——数形结合篇数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观来表明数之间的联系，即“以形助数”；二是借助于数的精确和严密来阐明形的某些属性，即“以数辅形”．这种思想方法在求解选择题和填空题的时候非常有用，对寻找解答题的求解思路也很有帮助．以下举例说明．一、用数形结合思想解决集合问题处理集合与集合的关系，借助图形进行直观思考，不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，而且也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合问题，形象直观的得解． 例1 设22{()|(1)1}{()|0}A x y x y B x y x y m =+-==++，，，≥，则使A B ⊆成立的实数m 的取值范围是_____．解析：由于集合A ，B 都是点的集合，故可结合图形进行分析．集合A 是圆22(1)1x y +-=上的点的集合，集合B 是不等式0x y m ++≥表示的平面区域内的点的集合，要使A B ⊆，则应使圆被平面区域所包含（如图1），知直线0x y m ++=应与圆相切或相离且在圆的下方，即0m >．1=，解得1m =，故m的取值范围是1m ． 评述：如果所给集合是点的集合，那么在研究它们之间的关系时，可以借助数形结合思想，将问题转化为函数图象或曲线之间的关系求解．二、用数形结合思想解决方程问题在研究某些方程的根的个数问题、根的大小问题以及根的取值范围等问题时，都可以将方程进行恰当的变形，通过引进函数，转化为两个或几个函数图象之间的关系来解决． 例2 已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（ ）．（A ）a b αβ<<< （B ）a b αβ<<<（C ）a b αβ<<< （D ）a b αβ<<<解析：若令()()()g x x a x b =--，显然函数()g x 的两个零点是a 、b ，函数()f x 的两个零点是αβ，，而函数()f x 的图象是由函数()g x 的图象沿y 轴向上平移两个单位得到的，结合图象可知a b αβ<<<，故应选（B ）．例3 若方程240x x m --=恰有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为_____． 解析：将方程化为24x x m -=，构造函数2()4()f x x x g x m =-=，，则方程240x x m --=恰有4个不同的实数根，亦即两个函数()f x 与()g x 的图象恰好有4个不同的交点，如图2，易知当-4＜m ＜0时方程有4个根．三、用数形结合思想解决函数问题我们学过的一些初等函数，如：正比例、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等都蕴含着丰富的数形结合的思想，因此，在处理函数问题时，要充分联系函数图象．例4 （2006年辽宁高考题）已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--，则()f x 的值域是（ ）．（A ）[11]-， （B）12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）12⎡-⎢⎣⎦， （D）12⎡--⎢⎣⎦， 解析：cos (sin cos )11()(sin cos )sin cos sin (sin cos )22x x x f x x x x x x x x ⎧=+--=⎨<⎩≥，，，即等价于min {sin cos }x x ，，因此在同一坐标系下分别画出函数sin cos y x y x ==，的图象，在两个图象的每两个交点之间取位于下方的图象，就是函数()f x 的图象，从而容易得到()f x 的值域是12⎡-⎢⎣⎦，，故答案为（C ）． 四、数形结合思想解决数列问题由于数列的通项公式和前n 项和公式都可以看成n 的函数，因此，许多数列问题可以借助函数的图象解决．例5 设{}()n a n *∈N 是公差为d 的等差数列，n S 是前n 项的和，且56678S S S S S <=>，，则下列结论错误的是（ ）． （A ）0d < （B ）70a =（C ）95S S > （D ）6S 和7S 均为n S 的最大值解析：可以把等差数列的前n 项和2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭看成是关于n的二次函数，结合图形可知，答案为（C ）．例6 已知在等差数列{}n a 中，312a =，前n 项和为n S ，且121300S S ><，．则当n S 取到最值时，n 等于（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）13解析：由于121300S S ><，，所以130a <，而3120a =>，所以数列的公差d ＜0，即数列是递减数列．则2(0)n S an bn a b a =+∈<R ，，，如图3，可以把n S看成关于n 的二次函数，其图象是一条抛物线，经过原点，开口向下，又121300S S ><，，所以若设抛物线和x 正半轴的交点为(0)M m ，，则12＜m ＜13，于是抛物线的对称轴为(66.5)2m x =∈，，因此当n =6时n S 取到最大值，选（A ）． 编者注：数列的有关问题用函数的观点来解决是一种较好的方法，但要注意，他们并非真正意义上的一次、二次函数！五、用数形结合思想解决不等式问题例7 如图4，请你观察图形以及图形中线段的位置关系及其数量关系，说明如何通过该图形来说明不等式2a b +成立．你还能构造另外的图形来说明这个不等式成立吗？解析：在圆O 中，AB 是一条直径，M 是圆上任意一点，过M 点作MC ⊥AB 交AB 于C ，令CA =a ，CB =b ，则容易得到2a b MC MO +==，由于在Rt △MCO 中，MO 是斜边，MC是直角边，所以有2a b +>C 点与O点重合时，有2a b +=2a b +．由于问题的本质上是在Rt △AMB 中处理问题，所以可构造类似的图形如图5所示（注：CN a BN b ==，．）． 评述：几何图形的直观解释和证明，真正体现了代数和几何的有机统一，可谓“无字的证明”．六、用数形结合思想解决最值或范围问题例8 已知a 、b 、c 是某一直角三角形的三边的长，其中c 为斜边，若点（m ，n ）在直线ax +by +2c=0上，则22m n +的最小值等于_____．解析：令d ==d 表示点（m ，n ）与坐标原点之间的距离．由于点（m ，n ）在直线ax +by +2c =0上，所以d 的最小值就是坐标原点到直线ax +by +2c =022c c==，即22m n +的最小值等于4． 例9 在区间[01]，上给定曲线2y x =，试在此区间内确定点t的值，使图6中的阴影部分的面积1S 与2S 之和最小．解：1S 面积等于边长为t 与2t 的矩形的面积去掉曲线2y x =与x 轴、直线x t =围成的面积，即22312023tS t t x dx t S =-=⎰；的面积等于曲线2y x =与x 轴、1x t x ==，围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为2(1)t t -，，即12232221(1)33t S x dx t t t t =--=-+⎰． 所以阴影部分面积S 为：321241(01)33S S S t t t =+=-+≤≤ 由21()42402S t t t t t ⎛⎫'=-=-= ⎪⎝⎭，得 t =0，或12t =． 经验证知，当12t =时，S 最小．。

浅谈数形结合的思想在高中数学中的应用【内容摘要】：数形结合的思想是高考数学试题中的基本方法之一，数形结合的思想是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是可以使代数问题几何化，几何问题代数化，从而在解题过程中化难为易，化繁为简，提高解题效率。

【关键词】：数形结合直观形象解题一、数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。

数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观的说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。

实际上就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化。

在解析几何中，我们充分强调了用代数方法解决几何问题的解析法，它解决了许多紧靠图形无法精确讨论的问题，显示“数”的巨大威力。

同时我们也看到许多问题若从“形”的角度去思考，可以找到直观、简捷的解题方案，这充分展现了“形”的无穷魅力。

二、运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则1、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。

有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。

2、双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。

3、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合。

具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。

第11讲：数形结合思想情形之10-13【知识要点】一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法. 高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、数形结合，是中学数学最重要的思想方法之一.著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。

切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离. ”它精辟地阐述了数形结合的重要性，它不仅是一个重要的数学思想，而且是一种重要的解题方法. 因而数形结合的能力必然是历年高考的一个重点.所谓数形结合的思想方法，就是由数学问题所呈现的条件和结论，通过研究数式的几何意义，或者研究几何问题的代数意义，设法沟通数学问题在数量关系和空间形式的内在联系，使隐含条件明朗化，复杂问题简单化，抽象问题具体化，开拓题目新思路，以便最终找到解决问题的带有数形信息转换特征的数学方法.数形结合思想就是把“数”和它对应的“形”联系起来分析解答数学问题，以形助数，以数解形，数形互助，提高解题效率，优化解题.高中数学中数形结合的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、数形结合要注意三个原则：等价性原则、双向性原则、简单性原则. 四、本讲讲了数形结合思想情形之10-13, 情形10：表示点00P(,)x y 到直线0ax by c ++=的距离.情形11：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>，表示以点,)a b （为圆心，以r 为半径的圆；情形12：方程22221(0)x y a b a b+=>>等表示椭圆、双曲线、抛物线；情形13：参数方程00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数）等表示倾斜角为α且过点00P(,)x y 的直线、椭圆、双曲线、抛物线. 【方法讲评】）【解析】点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥--≤-≤⎧⎪⎨⎪⎩的可行域如图：【点评】（1的几何意义了.=观察到这一点，问题就迎刃而解了. （2）解答数学问题，要有敏锐的观察力，你能看到别人看不到的信息，你在这方面领先别人了,你离成功便近了一步.【反馈检测1】已知实数满足2102,|24|10x y x z x y x y -+≥⎧⎪≤=+-⎨⎪+-≥⎩，则的最大值与最小值之差为（ ） A. B. C. D. 3【例2】已知圆()22:25C x y ++=，直线:120l mx y m -++=， m R ∈． (1) 求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A 、B ； (2) 求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线； (3) 是否存在实数m ，使得圆C 上有四点到直线l m 的范围；若不存在，说明理由．【解析】（1）圆()22:25C x y ++=的圆心为()2,0C -，半径为，所以圆心C 到直线:120l mx y m -++=<．所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点.或：直线:120l mx y m -++=的方程可化为()()210m x y ++-=，无论m 怎么变化，直线l 过定点()2,1-，由于()2222115-++=<，所以点()2,1-是圆C 内一点，故直线l 与圆C 总有两个不同的交点．（2）设中点为(),M x y ，因为直线:120l mx y m -++=恒过定点()2,1-， 当直线l 的斜率存在时， 12AB y k x -=+，又2MC yk x =+， 1AB MC k k ⋅=-，圆心()2,0C -到直线l< 化简得24m >，解得2m >或2m <-．【点评】（1）证明直线l 与圆C 总有两个不同的交点可以利用判别式法（比较∆和零的大小关系）、几何法（比较圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系）和定点分析法（找到定点判断定点和圆的位置关系）.本题的第1问就是利用了几何法和定点分析法. (2)第2问求轨迹方程用的是直接法，直接把1AB MC k k ⋅=-化简即可. (3)第3问用数形结合分析解答比较简洁. 【反馈检测2】在圆上任取一点，点在轴的正射影为点，当点在圆上运动时，动点满足．（Ⅰ）求动点的轨迹；（Ⅱ）如果动点的轨迹为曲线C,.点在曲线上，过点的直线交曲线于两点，设直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值．【例3】已知()()2222212:11,:1(0)C x y C x y r r ++=-+=>， 1C 内切2C 于点,A P 是两圆公切线l 上异于A 的一点，直线PQ 切1C 于点Q ， PR 切2C 于点R ，且,Q R 均不与A 重合，直线12,C Q C R 相交于点M .（1）求M 的轨迹C ；（2）若直线1MC 与x 轴不垂直，它与C 的另一个交点为N ， M '是点M 关于x 轴的对称点，求证：直线NM '过定点.【解析】（1）因为1C 内切于2C 于A ，所以12r -=，解得3r =， 所以2C 的方程为： ()2219x y -+=，因为直线,PQ PR 分别切12,C C 于,Q R ，所以12,C Q PQ C R PR ⊥⊥，的两个端点）.（2）依题意，设直线MN 的方程为()10x ty t =-≠， ()()1122,,,M x y N x y ，则()11M x y '-且1212,0x x y y ≠+≠，联立方程组221{143x ty x y =-+=， 消去x ，并整理得()2234690t y ty +--=，()()()222649341441440t t t ∆=--⨯-+=+>，12122269,3434t y y y y t t +==-++， 直线M N '的方程()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，得()()()2121122112121212121212121811234114634ty x x y ty y ty y x x y ty y t x x t y y y y y y y y t ---+-++=+===-=-=-+++++， 故直线M N '过定点()4,0-.【点评】（1）第1问求动点M 的轨迹用的是定义法（待定系数法），但是要注意除去长轴的两个端点.（2）求直线过定点，一般先求出直线的方程，再找到直线经过的定点.【反馈检测3】已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点12,F F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为91-． （1）求动点P 的轨迹；（2）若已知(0,3)D ，,M N 在动点P 的轨迹上且DM λ=，求实数λ的取值范围．【例4】在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线22:sin 4cos C ρθθ=.以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C t 为参数）.（1）求12,C C 的直角坐标方程；（2）C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,P Q R S ，求PQ RS -的值.（2）不妨设四个交点自下而上依次为,,,P Q R S ，它们对应的参数分别为1234,,,t t t t .24y x =，则210∆=>， 231t t +=-，所以()()()21432314811133PQ RS t t t t t t t t -=---=+-+=+=. 【点评】（1）本题的难点在第2问，解答它的关键是理解直线参数方程中t 的几何意义.如果不用这种方法，解题就比较复杂. （2）当解析几何中涉及到线段时，都要联想到直线参数方程中t 的几何意义,看是否能利用参数t 的几何意义解答.【反馈检测4】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2{x t y =-+=（t 为参数），若以该直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ+=. （Ⅰ）求直线l 与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，设()2,0M -，求11MA MB-的值.数学思想在高中数学教学中的应用情形归纳第03讲：数形结合思想情形之10-13参考答案【反馈检测1答案】C 【反馈检测1详细解析】不等式组对应的区域如图所示，|24|5z x y =+-=，表示区域内的点到直线240x y +-=的距离，观察得点B （2，-1）到直线240x y +-=的距离最大0，所以把，代入方程①，得，所以动点M 的轨迹方程为，它是焦点在x 轴上，长轴为4的椭圆.（Ⅱ）方法一：由题意知直线斜率不为0，设直线方程为，由消去，得， 易知，得．所以为定值方法二：（ⅰ）当直线斜率不存在时，．所以为定值【反馈检测3答案】（1）14922=+y x ,它表示焦点在x 轴上，长轴为6的椭圆；（2）]5,51[. 【反馈检测3详细解析】(1)由题意25c =．设12||||2PF PF a +=（5>a ），由余弦定理, 得1||||102||||2||||||cos 21221221222121-⋅-=⋅-+=∠PF PF a PF PF F F PF PF PF F 又||1PF ·22212)2||||(||a PF PF PF =+≤，当且仅当12||||PF PF =时，12||||PF PF ⋅取最大值，此时12cos F PF ∠取最小值110222--a a ，令91110222-=--a a ， 解得29a =，5=c ，∴24b =，故所求P 的轨迹方程为14922=+y x . 它表示焦点在x 轴上，长轴为6的椭圆.（2）设(,)N s t ，(,)M x y ，则由DN DM λ=，可得(,3)x y - =(,3)s t λ-， 故x s λ=，3(3)y t λ=+-.∵,M N 在动点P 的轨迹上，∴14922=+t s 且14)33(9)(22=-++λλλt s ， 消去s 可得222214)33(λλλλ-=--+t t ，解得λλ6513-=t ， 又||2t ≤，∴2|6513|≤-λλ，解得551≤≤λ，故实数λ的取值范围是]5,51[． 【反馈检测4答案】0y --=； 24y x =-,（Ⅱ）14. 【反馈检测4详细解析】（Ⅰ）由2{x ty =-+=得)2y x =-，∴直线l0y --=；由2sin 4cos 0ρθθ+=得22sin 4cos 0ρθρθ+=，又∵cos ,sin x y ρθρθ==， ∴曲线C 的普通方程为24y x =-.。

数形结合思想是指在学习和处理数学问题时，需要结合数的性质和形式，同时关注问题的实际意义，来更好地理解和解决问题。

在中学数学中，数形结合思想的应用很广泛，下面列举几个典型的例子：
1.分类讨论：在解决某些问题时，可能需要根据数的形式或性质来将它们
分类讨论，比如奇数偶数、正数负数、有理数无理数等。

2.用规律：在数学中，许多规律是通过对数的形式或性质进行推理得出的，
例如数列的求和公式、平方数的规律等。

3.图形转换：在解决几何问题时，常常需要通过对图形的转换来求解，例
如将平行四边形拆分成若干个三角形、将圆拆分成若干个扇形等。

4.表格法：在解决一些复杂的问题时，可以使用表格法来形象地表示数据，
从而方便解决问题。

5.建模：在解决实际问题时，常常需要使用数学模型来描述问题，并通过
对模型的分析和推导。

专题十一 数形结合思想一、考点回顾1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。

它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。

2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。

3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。

4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。

5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。

用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。

二、经典例题剖析1．选择题（1）设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ） A ．(][)11--+∞，，∞B ．(][)10--+∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞解析：因为()g x 是二次函数，值域不会是A 、B ，画出函数()y f x =的图像（图1）易知，当()g x 值域是[)0+，∞时，(())f g x 的仁政域是[)0+，∞，答案：C 。

数学思想之数形结合思想概述1.数形结合思想的涵义“数”早期是古代的计数，现在表示数量的概念；“形”早期是古代的形状，现在表示空间的概念。

家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨著，这是体现数形转化的文字资料。

柏拉图说过，只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性，任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上，才可以解释现象表面背后的结构和关系。

教育家波利亚也曾说：“画一个图，并用符号表示”。

数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。

它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。

数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。

2.数形结合思想的发展数轴的建立使人们对数与形的统一有了跳跃式的认识，把实数集与数轴上的点集一一对应起来，数可以视为点，点也可以视为数，点在直线上的位置可以数量化，而数的运算，也可以几何化。

在此基础上，笛卡尔又把数轴拓展到了直角坐标系。

在高中数学中几乎所有图形都是建立在直角坐标系中，奠基人笛卡儿的主要数学成果都集中在他的“几何学”中。

当时的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。

因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。

其核心内容是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。

依照这种数学思想他创立了我们现在的“解析几何学”。

把相互对立着的“数”与“形”统一起来，使几何曲线与代数方程相结合。

从而把线段与数量联系起来，通过线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这将构成一个方程”，然后根据方程的解所表示的线段间的关系进行作图。

数形结合思想总结数形结合思想，即数学与几何的相互结合，是一种抽象思维方式，可以帮助我们理解和解决问题。

在现实生活中，我们经常会遇到需要进行量化和图像表示的情况，数形结合思想就可以发挥非常重要的作用。

首先，数形结合思想可以帮助我们更好地理解数学概念。

数学是一门抽象的学科，有时很难理解其中的概念。

但是，通过将数学问题与几何图形相结合，我们可以用图形的形式来直观地表示和理解抽象的数学概念。

例如，在学习几何题目时，我们经常使用图形来表示给定条件，然后通过数学方法来求解未知量。

这样，就可以更加直观地理解和应用数学概念。

其次，数形结合思想可以在解决实际问题时发挥重要作用。

在现实生活中，我们常常需要通过数学方法来解决各种实际问题。

然而，有些问题很难用纯数学方法解决，因为涉及到很多具体的情况和变量。

这时，数形结合思想就可以帮助我们将问题转化为几何图形，从而更加直观地分析和解决问题。

通过将问题用图形表示，我们可以更好地观察问题的特点和规律，从而找到解决问题的方法。

另外，数形结合思想在培养创造力和创新思维方面也是非常有益的。

数学和几何本质上都是一门创造性的学科，通过将数学和几何相结合，我们可以激发学生的创造力和创新思维。

通过探索不同的数学问题和几何图形，学生可以学会思考和解决问题的方法，培养他们的创新思维能力。

数形结合思想可以帮助学生发现问题的多种解决途径，从而提高他们的思维灵活性和创造性。

此外，数形结合思想对于培养学生的空间想象能力也非常重要。

在学习几何和立体几何时，学生需要通过观察和分析图形，并将其转化为数学表达式。

这就要求学生具备一定的空间想象能力。

数形结合思想可以帮助学生在思维中形成几何的空间感，从而提高他们的空间想象能力。

通过不断练习和探索，学生可以逐渐提高他们的空间想象能力，从而更好地理解和应用几何以及其他相关的数学概念。

综上所述，数形结合思想是一种非常有用的思维方式，它可以帮助我们更好地理解和应用数学概念，解决实际问题，并培养学生的创造力和空间想象能力。

高考数学数形结合思想分析与讲解所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

以“形”变“数” 虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。

解题的基本思路：明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。

“形”“数”互变“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。

解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。

一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。

实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。

数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。

要想提 高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。

基础自测：1.已知10<<a ，则方程x aa xlog =的实数根的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个 2.设数集⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤=43m x m x M ，数集⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=n x n x N 31，且N M ,都是集合{}10≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合{}b x a x ≤≤的“长度”，那么集合N M 的长度的最小值为 A.31 B.32C.121D.1253.若奇函数)(x f 在()+∞,0上的增函数，有0)3(=-f ，则{}=<⋅0)(x f x x （ ） A.{}033<<->x x x 或 B.{}330-<<<x x x 或 C.{}33-<>x x x 或 D.{}0330<<-<<x x x 或 4.当y x ,满足条件1≤+y x 时，变量3-=y xu 的取值范围是（） A.[]3,3- B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,31参考解析：1.解析 在同一坐标系下，画出函数y=a|x|， y=|logax|的图象，则图象有两个交点.2.解析 由题意知.集合M 的“长度”为43，集合N 的“长度”为31，而集合{x|0≤x ≤1}的“长度” 为1；设线段AB=1，41,43==b a ，a ，b 可在线段AB 上自由滑动，a ，b 重叠部分的长度即为M ∩N.如图，显然当a ，b 各自靠近AB 两端时，重叠部分最短,其值为12113143=-+ . 答案 C3.解析 由f(x)为奇函数且f(-3)=0，得f(3)=0.又f(x)在（0,+∞)上是增函数，据上条件做出满足题意的y=f(x)草图，如图，如右图中找出f(x)与x 异号 的部分，可以看出x ·f(x)＜0的解 集为{x|0＜x ＜3或-3＜x ＜0}. 答案 D4.解析 由题意在坐标系下画出|x|+|y|≤1的图象如右图阴影部分， ①若x=0时，|y|≤1,此时u=0;②若x ≠0时，变量 可看成点A (0，3)与可行域内的点B 连线斜率k 的 倒数,而k ∈(-∞,-3]∪[3,+∞),典型例题讲解题型一 代数问题“几何化”——以形助数【例1】求函数m m A -++=642的值域。

数形结合数形结合是通过“以形助数“（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形"（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。

它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调肖作用。

具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造岀与之相应的几何图形, 并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数星关系的讨论。

选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。

但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形“上的直观是不够严密的。

1.高考试题对数形结合的考査主要涉及的几个方面：（1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用：（2）数轴及直角坐标系的广泛应用：（3）函数图象的应用：（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用：（5）解析几何、立体几何中的数形结合。

2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则。

要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负而效应：（2）双方性原则。

既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错：（3）简单性原则。

不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利：二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化：三要挖掘隐含条件, 准确界泄参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动宜线与泄二次曲线为佳。

3.进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解：（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。