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§2．5 用三种方式表示二次函数课时安排6课时从容说课本节课学习用三种方式表示二次函数，即表格、表达式、图象表示法．其实这三种方式我们都不陌生，在前面的几节课中已经学过．在本节课中不仅要求会用表格、表达式、图象等多种方法表示二次函数，还要使学生体会函数的各种表示方法之间的联系和特点．同时发展有条理地思考和语言表达能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系．在教学中，教师要真正起到引导的作用．在教师的引导下，让学生独立完成，然后经过互相交流，总结得出结果，使学生在轻松的环境中完成本节内容的学习．第六课时课题§2．5 用三种方式表示二次函数教学目标(一)教学知识点1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究．3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．(二)能力训练要求1．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力．2．通过对二次函数的三种表示方式的特点进行研究，训练大家的求同求异思维．(三)情感与价值观要求1．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣．2．初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．教学重点能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．教学难点能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．教学方法讨论式学习法．教具准备投影片四张第一张：(记作§2．5 A)第二张：(记作§2．5 B)第三张：(记作§2．5 C)第四张：(记作§2．5 D)教学过程Ⅰ. 创设问题情境，引入新课[师]函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广数．用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好? Ⅱ．新课讲解 一、试一试投影片；(§2．5 A)长方形的周长为20 cm ，设它的一边长为xcm ，面积为ycm 2．y 随x 变化而变化的规律是什么?你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗? (1)用函数表达式表示：y= .[师]请大家互相交流．[生](1)一边长为x cm ，则另一边长为(10-x)cm ，所以面积为：y＝x(10-x)=-x 2+10x (2)表中第二行从左至 右依次填9、8、7、6、5、 4、3、2、1；第三行从左至 右依次填9、16、21、24、25、 24、21、16、9.(3)图象如右图．[师]大家可能注意到了函数的图象在第一象限．可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢?[生]因为自变量的取值只取到了1至9，而这些点正好都在第一象限，所以图象只能画在第一象限．[师]大家同意这种说法吗?[生]不同意．不是因为列表中自变量的取值的原因，而是由于实际情况．函数值y 是面积，而面积是不能为负值的．如果脱离了实际问题，单纯地画函数y=-x 2+10x 的图象，就不是在第一象限作图象了． [师]非常棒． 二、议一议投影片：(§2．5 B)(1)在上述问题中，自变量x 的取值范围是什么? (2)当x 取何值时，长方形的面积最大?它的最大面积是多少?你是怎样得到的?请你描述一下y 随x 的变化而变化的情况．[师]自变量x 的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围．请大家互相交流． [生](1)因为x 是边长，所以x 应取正数，即x>0，又另一边长(10-x)也应大于0，即10-x>0，所以x<10，这两个条件应该同时满足，所以x 的取值范围是0<x<10．(2)当x 取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y ＝-x 2+10x 化成顶点式．当x ＝-ab2时，函数y 有最大值a b ac 442-.∴y=-x 2+10x=-x 2+10x=-(x 2-10x)=-(x 2-10x+25-25)=-(x-5)2+25．∴当x=5时，长方形的面积最大，最大面积是25 cm 2． 可以通过观察图象得知．也可以代入顶点坐标公式中求得． 当x=-)1(210-⨯=5时，y 最大=)1(4100)1(42-⨯-⨯-⨯=25cm 2.当x 由1至5逐渐增大时，y 的值逐渐增大，当x 由5至10逐渐增大时，y 的值逐渐减小。
数学九年级下北师大版2,5用三种方式表示二次函数教案学习目标:经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．学习重点:能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题．学习难点:用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错误．学习方法:讨论式学习法。
学习过程:一、做一做：ycm2，已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式,你能得出什么结论?与同伴交流.二、试一试：两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? ？用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?三、积累：【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．【例2】一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？【例3】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．【例4】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）【例5】美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？为解决该问题，我们可把该班人数n与握手次数s间的关系用下面的模型来表示．（1）若把n作为点的横坐标，s作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来．（2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式．（3）根据（2）中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手？。
２.1ﻩ二次函数(５)教学目标：1 .使学生理解函数y＝ａ(ｘ—ｈ)2+k的图象与函数y＝ax２的图象之间的关系。
2 ．会确定函数y＝a(x—h）２+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
.让学生经历函数y=ａ(ｘ—h）2+ ｋ性质的探索过程，理解函数y=a （ｘ—h）2+ｋ的性质重点难点:重点：确定函数y=a(x—h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数ﻩy=ａ(x—h)2+ｋ的图象与函数y=ａｘ2的图象之间的关系,理解函数y＝a（x—h)2+k的性质是教学的重点。
难点：正确理解函数ﻩy=a(ｘ—h)2+k的图象与函数y=aｘ２的图象之间的关系以及函数ﻩy=ａ（x－h）２+ｋ的性质是教学的难点。
教学过程：1 一、提出问题.函数y＝2x2+１的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系？2 (函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数ﻩy=2x2的图象向上平移一个单位得到的).函数ｙ=２(ｘ—1)2的图象与函数ｙ＝2x2的.图象有什么关系?3 (函数y＝2（x－1)２的图象可以看成是将函数ﻩy=2ｘ２的图象向右平移1个单位得到的,见P10图26.２.３).函数y=2(x—1)２＋1图象与函数y=2（x—1)2图象有什么关系?函数y=２(ｘ—1)２+１有哪些性质?二、试■试你能填写下表吗？-2y=2x 的图象向右平移1个单位y=２（xﻩ—1)2向上平移1个单位y=2(ｘ—1)2+1的图象开口方向向上对称轴y轴顶点(0，０)问题2:从上表中,你能分别找到函数ﻩy=2(x—1)2+１与函数ｙ=2(x—1）2、y=２x２图象的关系吗?问题3:你能发现函数ﻩy＝2（x—1)2＋1有哪些性质？对于问题2和问题3,教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识;函数y=2(x－１)2+1的图象可以看成是将函数y=2（x-1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y＝２x2的图象向右平移１个单位再向上平移１个单位得到的。
《25 用三种方法表示二次函数》教学设计一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在已经学习过二次函数可以由解析式、列表、画图象三种方法表示。
能通过本节课达到理解这三种方法各有各的特点，各有各的用途，它们是从不同的侧面反映了一个二次函数的性质，从而能在实际问题中灵活运用这三种方法解决实际问题。
学生活动经验基础：学生在本节课前已具备了运用解析式、列表、画图象这三种方法解决一些实际问题的能力。
二、教学任务分析本节课的教学目标是：知识与技能1．通过运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数，比较这三种方法表示二次函数的优缺点，从而为解决函数类实际问题打下坚实的基础。
2．通过学生实际解题过程，达到灵活掌握用解析式、列表、画图这三种方法表示二次函数。
3．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
过程与方法1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
2．让学生在学习活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和归纳总结的能力。
情感态度与价值观在学习过程中体会学以致用，提高运用所学知识解决实际问题的能力。
教学重点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础教学难点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础三、教学过程分析本节课设计了三个教学环节：解决问题、课堂小结、布置作业。
第一环节解决问题活动内容：1．问题一：已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2. y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？2．当学生完成上述的三个任务之后，进一步帮助学生明晰以下问题：（1）在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？（2）当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少?（3）请你描述一下y随x的变化而变化的情况.活动目的：1．对于1，通过学生的学习活动，让学生亲自体会到函数表达式，表格和图象这三种方法表示二次函数各自的优缺点。
九年级数学用三种方式表示二次函数、二次函数与一元二次方程北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 用三种方式表示二次函数2. 何时获得最大利润3. 最大面积是多少4. 二次函数与一元二次方程二. 教学目标：1. 能利用二次函数解决实际问题2. 理解二次函数与一元二次方程的关系三. 教学重点、难点：1. 能利用二次函数解决实际问题2. 理解二次函数与一元二次方程的关系四. 课堂教学： ［知识要点］1. 表示二次函数的三种方式：列表法、图象法、解析式法。
2. 二次函数c bx ax y 2++=的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。
3. 当二次函数c bx ax y 2++=的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程0c bx ax 2=++的根。
【典型例题】例1. 若二次函数7x 7kx y 2--=的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 47k -> B. 0k 47k ≠-≥且C. 47k -≥D. 0k 47k ≠->且答案：B例2. 已知二次函数图象的顶点为（－1，－4），且与y 轴交点为（0，－3），则该二次函数的解析式为_______________。
答案：3x 2x y 2-+=例3. 二次函数c bx ax y 2++=的值永远为负值的条件是（ ）A. 0ac 4b ,0a 2<->B. 0ac 4b ,0a 2<->C. 0ac 4b ,0a 2>-<D. 0ac 4b ,0a 2<-<答案：D例4. 如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P 到x 轴的距离是4，抛物线与x 轴相交于O 、M 两点，OM=4；矩形ABCD 的边BC 在线段OM 上，点A 、D 在抛物线上。
（1）请写出P 、M 两点坐标，并求这条抛物线的解析式； （2）设矩形ABCD 的周长为l ，求l 的最大值； （3）连结OP 、PM ，则ΔPMO 为等腰三角形，请判断在抛物线上是否还存在点Q （除点M 外），使得ΔOPQ 也是等腰三角形，简要说明你的理由。
北师大版数学九年级下册：二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、二次函数概念：二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax^2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小，a的符号决定开口方向，顶点坐标在对称轴上方（a>0）或下方（a<0）。
性质：当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x等于顶点时，y有最小值（a>0）。
当x增大时，y随之减小，当x减小时，y随之增大，当x等于顶点时，y有最大值（a<0）。
2.y=ax^2+c的性质：上加下减，a的符号决定开口方向，顶点坐标在对称轴上方（a>0）或下方（a<0）。
性质：当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x等于顶点时，y有最小值c（a>0）。
当x增大时，y随之减小，当x减小时，y随之增大，当x等于顶点时，y有最大值c（a<0）。
3.y=a(x-h)^2的性质：左加右减，a的符号决定开口方向，顶点坐标为(h,k)。
性质：当x大于h时，y随之增大，当x小于h时，y随之减小，当x等于h时，y有最小值k。
当x大于h时，y随之减小，当x小于h时，y随之增大，当x等于h时，y有最大值k。
4.y=a(x-h)^2+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为(h,k)。
性质：当x大于h时，y随之增大，当x小于h时，y随之减小，当x等于h时，y有最小值k。
当x大于h时，y随之减小，当x小于h时，y随之增大，当x等于h时，y有最大值k。
三、二次函数图象的平移平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)^2+k，确定其顶点坐标(h,k)处，具体平移方法如下：保持抛物线y=ax^2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)，向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。
