千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第94炼 极坐标与参数方程

Ⅰ复习提问1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。

如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立：ρθρθysin xcos ==3、 参数方程{cos sin x r y r θθ==表示什么曲线？4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？5、 极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ.ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。

ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。

显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？Ⅱ 题型与方法归纳1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2）{参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化(3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程2222t tt tx t y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t与2t-互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()()222222224t tt t x y ---=--+=-，即有224y x -=，又注意到202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B练习1、与普通方程210x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数）222sin cos ....cos 1sin x t x tgt x t x A B C D y t y tg t y t y t===⎧⎧⎧⎧=⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎩⎩⎩⎩ 解析：所谓与方程210x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.对于A 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，；对于B 化为普通方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为210[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，.而已知方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B.练习2、设P 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量(),x y 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0∆≥问题.解析：令2x y t +=，对于(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得()221182120y t y t -⋅+-=，由()22644112120t t ∆=-⨯⨯-≥，解得：t ≤≤所以2x y +，最小值为（2）、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直角坐标为(),x y ，它的极坐标为(),ρθ，则 222cos sin x y x yy tg x ρρθρθθ⎧=+=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩或；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.例2、极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由21cos 4sin422cos 522θθρρρρθ-⋅=⋅=-=，化为直角坐标系方程为25x =，化简得22554y x =+.显然该方程表示抛物线，故选D.练习1、已知直线的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则极点到该直线的距离是解析：极点的直角坐标为()0,0o，对于方程sin sin cos 4222πρθρθθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin cos 1ρθρθ∴+=，化为直角坐标方程为10x y +-=，因此点到直线的距离为2练习2、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或，因此选C.练习3、点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈解析：2(2,2),()3k k Z ππ+∈都是极坐标，因此选C.（3）、参数方程与直角坐标方程互化例题3：已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x 得10)2(22=++y x∴曲线1C 的普通方程为10)2(22=++y x ∵θθρsin 6cos 2+= ∴θρθρρsin 6cos 22+=∵θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x∴y x y x 6222+=+，即10)3()1(22=-+-y x∴曲线2C 的直角坐标方程为DAFEOBC10)3()1(22=-+-y x（2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1( ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=C∴两圆相交设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C∴222)10()223()2(=+d ∴22=d∴公共弦长为22 练习1、坐标系与参数方程.已知曲线C ：θ⎩⎨⎧θ+=θ+=(sin 21cos 23y x 为参数，0≤θ<2π)， （Ⅰ）将曲线化为普通方程；（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．解析：（Ⅰ）023222=--+y x y x（Ⅱ）()θ+θ=ρsin cos 32（4）利用参数方程求值域 例题4、在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上求一点，使它到直线2C：12(112x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。

高中数学极坐标与参数方程大题及答案一、题目1.将直角坐标方程x2+y2=4转化为极坐标方程，并求出对应的参数方程；2.已知曲线的极坐标方程为 $r=2\\cos\\theta$，求对应的直角坐标方程并作图；3.曲线的参数方程为 $x=\\sin\\theta$，$y=\\cos\\theta$，求对应的直角坐标方程并判断曲线形状。

二、解答1. 将直角坐标方程转化为极坐标方程给定直角坐标方程x2+y2=4，我们可以假设 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，将其带入方程得：$(r\\cos\\theta)^2+(r\\sin\\theta)^2=4$化简得：$r^2(\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta)=4$由于 $\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta=1$，所以方程可以简化为r2=4，即r=±2。

因此，直角坐标方程x2+y2=4对应的极坐标方程为r=2和r=−2。

对应的参数方程为：当r=2时，$x=2\\cos\\theta$，$y=2\\sin\\theta$；当r=−2时，$x=-2\\cos\\theta$，$y=-2\\sin\\theta$。

2. 求曲线的直角坐标方程并作图已知曲线的极坐标方程为 $r=2\\cos\\theta$，我们将其转化为直角坐标方程。

利用极坐标与直角坐标的关系 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，我们将$r=2\\cos\\theta$ 代入得：$x=2\\cos\\theta\\cos\\theta=2\\cos^2\\theta$$y=2\\cos\\theta\\sin\\theta=\\sin2\\theta$所以，曲线的直角坐标方程为 $x=2\\cos^2\\theta$，$y=\\sin2\\theta$。

我们现在来作图，首先确定参数的范围。

极坐标与参数方程----高考题练习1.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14B.214C. 2D.2 22.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上3.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π44.在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________.5.已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A到直线l 的距离为________6.在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________.7.在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________.8.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________.9.(2014·湖北，16)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________.10.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.11.在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点.若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________.12.在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.13.在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________.14.在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________．15.在极坐标系中，直线4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________． 16.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .15.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数),l 与C 交于A 、B 两点,|AB |＝10,求l 的斜率.16.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.17.在直角坐标系xOy 中,直线C 1：x ＝－2,圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.18.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R ).①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； ②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.19.已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值.20.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a .23.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C2上，求△OAB 面积的最大值．24.在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求25.在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．。

第94炼 极坐标与参数方程极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能。

题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题 一、基础知识： （一）极坐标：1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系2、点坐标的刻画：用一组有序实数对(),ρθ确定平面上点的位置，其中ρ代表该点到极点的距离，而θ表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：[)0,0,2ρθπ>∈3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴重合，则同一个点可具备极坐标(),ρθ和直角坐标(),x y ，那么两种坐标间的转化公式为：222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=⇒+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ，然后进行整体代换即可）（二）参数方程：1、如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩，那么()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数 2、参数方程与一般方程的转化：消参法 （1）代入消参：()323323x t y x y t =+⎧⇒=+-⎨=+⎩（2）整体消参：2211x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由222112t t t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可得：22x y =+（3）平方消参：利用22sin cos 1θθ+=消去参数例如：22cos 3cos 312sin 94sin 2xx x y y y θθθθ⎧=⎪=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 3、常见图形的参数方程：（1）圆：()()222x a y b r -+-=的参数方程为：[)cos 0,2sin x a r y b r θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中θ为参数，其几何含义为该圆的圆心角（2）椭圆：()222210x y a b a b +=>>的参数方程为[)cos 0,2sin x a y b θθπθ=⎧∈⎨=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为椭圆的离心角（3）双曲线：()222210x y a b a b -=>>的参数方程为[)10,2cos tan x ay b θπθθ⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为双曲线的离心角（4）抛物线：()220y px p =>的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩，其中t 为参数（5）直线：过(),M a b ，倾斜角为θ的直线参数方程为cos sin x a t t R y b t θθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中t 代表该点与M 的距离注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解 二、典型例题：例1：已知直线参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩，圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩，则圆心到直线的距离为____________思路：将参数方程转化为一般方程：()22:6,:24l x y C x y +=+-=所以圆心为()0,2，到直线的距离为：d ==答案：例2：以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩，则曲线C 上的点到点A 距离的最大值为___________思路：()()()222,2,:221A C x y -++=，故曲线上距离A 最远的距离为A 到圆心的距离加上半径，故5d = 答案：5例3：已知在平面直角坐标系xOy 中圆C的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为cos 06πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则圆C 截直线所得弦长为__________ 思路：圆C的方程为：(()2219x y +-=，对于直线方程cos 06πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，无法直接替换为,x y ，需构造cos ,sin ρθρθ再进行转换：cos 06πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭11sin 0022x y ρθθ⎫⇒-=⇒-=⎪⎝⎭再求出弦长即可：l =答案：例4：已知两曲线参数方程分别为()0sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩和254x ty t⎧=⎪⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为_____________思路：曲线方程为222125:1,:54x C y C x y +==，联立方程可解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或5x =-（舍）由[)0,θπ∈可得：0y >所以1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，坐标为⎛ ⎝答案：⎛ ⎝ 例5：在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线=2cos 4sin ρθθ-相交于,A B 两点，且AB =a 的值为_____________思路：先将直线与曲线转化为直角坐标方程：()sin cos a y x a ρθθ-=⇒-=，曲线222=2cos 4sin =2cos 4sin 24x y x y ρθθρρθρθ-⇒-⇒+=-，所以问题转化为直线:0l x y a -+=与圆()()22125x y -++=相交于,A B ，且AB =利用圆与直线关系可求得圆心到直线距离d ==即32a +=，解得5a =-或1a =-答案：5a =-或1a =-例6：以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线12cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）相交于两点,A B ，则AB =_________思路：先将两个方程转化为直角坐标系下的普通方程。

极坐标与参数方程（近年高考题和各种类型总结）一、最近8年极坐标与参数方程题型归纳（2018）【点差法】在直角坐标系xOy中.曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数).直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数) (1)求C 和l 的直角坐标方程(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2).求l 的斜率（2017）【极坐标求轨迹问题】在直角坐标系xOy 中.以坐标原点为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ.（1）M 为曲线1C 上的动点.点P 在线段OM 上.且满足16=⋅OP OM .求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为)3,2(π.点B 在曲线2C 上.求OAB ∆面积的最大值.（2016）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中.圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数）.l 与C 交于A .B 两点.10AB =,求l 的斜率.(2015）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.（2014）【根据极角范围求轨迹】在直角坐标系xoy 中.以坐标原点为极点.x 轴为极轴建立极坐标系.半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上.C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直.根据（Ⅰ）中你得到的参数方程.确定D 的坐标.（2013）【轨迹问题】已知动点P.Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上.对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π).M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数.并判断M 的轨迹是否过坐标原点．（2012）【参数坐标求最值、范围】已知曲线1C 的参数方程是)(3s i n y 2c o s x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==.以坐标原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.曲线2C 的坐标系方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上.且,,,A B C D 依逆时针次序排列.点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点.求2222PA PB PC PD +++的取值范围。

极坐标与参数方程高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题） ----- 利用圆心到直线的距离与半径比较用圆心（x ,y ）到直线 Ax+By+C=0 的距离d =，算出 d ，在与半径比较。

0 0题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x ,y ）到直线 Ax+By+C=0 的距离d = 0 0第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式： d max = d + r ， d min = d - r相切、相交： d max = d + rd min = 0题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式l = 2 ，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）弦长公式l = t 1 - t 2 ,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： ---用“参数法”1. 曲线上的点到直线距离的最值问题2. 点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2 Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2r 2 - d 2⎩ ⎨ 0②套公式：利用点到线的距离公式③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P(x ，y )，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎧x =x0 +t cos为参数）若A，B 为直线l 上00⎨y =y +t sin(t两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：t1＋t2(2)|PM|=|t0|= ；(3)|AB|=|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|2（5）PA +PB =t1+t2=⎧⎪t1-t2= ,当t1t2< 0 ⎪⎩t1+t2 ,当t1t2> 0（注：记住常见的形式，P 是定点，A、B 是直线与曲线的交点，P、A、B 三点在直线上）【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为 1 时，t才有几何意义且其几何意义为：|t| 是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|.2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于 t 的一元二次方程：at 2+bt +c = 0第三步：韦达定理：t +t =-b, t t =c1 2 a 1 2 a第四步：选择公式代入计算。

极坐标与参数方程测试题一、选择题1.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A 、⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B 、⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C 、 ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数）D 、⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数）2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x .022cos 83=+-y y .则=+y x 2（ ）A ．0B ．1C ．-2D ．83.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM .下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B 、⎪⎭⎫⎝⎛34,5π C 、⎪⎭⎫⎝⎛-32,5π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 4.极坐标系中.下列各点与点P （ρ.θ）（θ≠k π.k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是（ ）A ．（-ρ.θ）B ．（-ρ.-θ）C ．（ρ.2π-θ）D ．（ρ.2π+θ）5.点()3,1-P .则它的极坐标是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛3,2πB 、⎪⎭⎫⎝⎛34,2π C 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,2π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 6.直角坐标系xoy 中.以原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建极坐标系.设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上.则AB 的最小值为( ). A.1 B.2 C.3 D.47.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线8.()124123x tt x ky k y t=-⎧+==⎨=+⎩若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）A.-6B.16-C.6D.169.极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )A ．22(2)4x y -+= B.224x y += C.22(2)4x y +-= D.22(1)(1)4x y -+-=10.柱坐标（2.32π.1）对应的点的直角坐标是（ ）. A.(1,3,1-) B.(1,3,1-) C.(1,,1,3-) D.(1,1,3-)11.已知二面角l αβ--的平面角为θ.P 为空间一点.作PA α⊥.PB β⊥.A .B 为垂足.且4PA =.5PB =.设点A 、B 到二面角l αβ--的棱l 的距离为别为,x y ．则当θ变化时.点(,)x y 的轨迹是下列图形中的12.4sin()4x π=+与曲线122122x ty ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是（ ）。

高中数学极坐标与参数方程典型例题及答案1. 极坐标与参数方程的基本概念在高中数学中，我们学习到了直角坐标系下的函数图像、方程和曲线的性质。

然而，在极少数情况下，采用直角坐标系来描述函数图像可能并不是最方便的方式。

因此，我们引入了极坐标系和参数方程的概念。

极坐标系是一种将平面上的点用它们到某一点距离和与某一方向线段之间的夹角来表示的坐标系。

在极坐标系中，每一个点都表示为一个有序对(r，θ)，其中r代表距离，θ代表夹角。

参数方程是一种使用一个参数来表示函数图像上的点坐标的方式。

我们用参数t来表示一个点的坐标，并通过参数方程给出x和y的关系式。

通过引入极坐标系和参数方程，我们可以更加直观地描述某些特殊的函数图像，同时也方便求解与这些函数有关的问题。

2. 极坐标题型与答案例题1求曲线r = 4sinθ + 2cosθ的极坐标方程并画出图像。

解答：首先，我们将给出的极坐标方程转化为直角坐标系的方程。

根据极坐标到直角坐标的转化公式，我们有：x = r * cosθ y = r * sinθ代入r = 4sinθ + 2cosθ，可得：x = (4sinθ + 2cosθ) * cosθ y = (4sinθ + 2cosθ) * sinθ化简后得到直角坐标系下的方程：x = 4sinθ * cosθ + 2cos^2θ y = 4sin^2θ +2sinθ * cosθ将θ的取值范围设为0°至360°，作出图像如下：x = 4sinθ * cosθ + 2cos^2θy = 4sin^2θ + 2sinθ * cosθ例题2已知曲线y = sin(t)，x = cos(t)，请写出x和y的普通方程，并求曲线上的一点P的坐标，使得t = π/6。

解答：已知x = cos(t)和y = sin(t)，我们可以得到普通方程： x^2 + y^2 = cos^2(t) +sin^2(t) = 1此外，当t = π/6时，我们有：x = cos(π/6) = √3/2 y = sin(π/6) = 1/2因此，当t = π/6时，曲线上的点P的坐标为(√3/2, 1/2)。

1. 极坐标及参数方程知识点1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中旳任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ旳作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中旳坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系旳概念：在平面内取一种定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一种长度单位、一种角度单位(一般取弧度)及其正方向(一般取逆时针方向)，这样就建立了一种极坐标系。

3．点M 旳极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 旳距离||OM 叫做点M 旳极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边旳xOM ∠叫做点M 旳极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 旳极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表达同一种点。

极点O 旳坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ有关极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表达同一点。

假如规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内旳点可用唯一旳极坐标),(θρ表达；同步，极坐标),(θρ表达旳点也是唯一确定旳。

5．极坐标与直角坐标旳互化：6。

圆旳极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径旳圆旳极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径旳圆旳极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径旳圆旳极坐标方程是θρsin 2a =；7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表达以极点为起点旳一条射线；)R (∈=ραθ表达过极点旳一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴旳直线l 旳极坐标方程是a =θρcos .8．参数方程旳概念：在平面直角坐标系中，假如曲线上任意一点旳坐标y x ,都是某个变数t 旳函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 旳每一种容许值，由这个方程所确定旳点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线旳参数方程，联络变数y x ,旳变数t 叫做参变数，简称参数。