1997年1月水 利 学 报SHU IL I XU EBAO第1期论非均匀悬移质二维不平衡输沙方程及其边界条件Ξ韩其为 何明民(中国水利水电科学研究院泥沙研究所)提要本文深入研究了非均匀悬移质不平衡输沙的内在机理,较严格的推导了其方程,引进和定义了水量百分数、悬移质级配、平均沉速.根据泥沙交换强度理论,专门研究了方程的底部边界条件,在一定简化下给出了底部边界条件的具体表达式及有关结果,并与以往经验数据基本符合.关键词 非均匀悬移质,边界条件,止动概率,悬浮概率,恢复饱和系数.一、引 言当泥沙颗粒不是很粗时,悬移质二维(纵向与竖向)输移方程就成为二维(对流)扩散方程.至今二维不平衡输沙的研究几乎都是针对二维恒定均匀水流下的均匀泥沙,忽略了纵向扩散项,并且绝大多数都只考虑稳定不平衡输沙(5s 5t=0)〔1—8,10—12〕.显然,二维扩散方程求解结果要依赖底部边界条件.有关文献中对底部边界条件共提供了6类.第一类〔2,3,6,10,11〕是底部含沙量S b 为常数,并且恰为底部挟沙能力S 3b ,即Sy =0=S b =常数=S 3b .(1)此处S 为含沙量,y 座标至河底铅垂向上.第二类〔6〕是εy5S5yy =0+ωS 3b =0,(2)其中εy 为y 方向扩散系数,ω为泥沙沉降速度.它表示底部紊动扩散项,始终等于平衡条件下的扩散项(下沉项).第三类〔4,6,9,10〕是5S5yy =0=0,(3)它表示没有紊动作用使泥沙上浮.第四类〔1,7,8,10〕是[εy5s y+ωs ]y =0=B ωS b ,(4)此处B 为一常数.文献[1]取B =A ,A 为一个颗粒沉向床面并淤在该处的概率,文献[10]取B =P r ,P r 为颗粒成絮团持久附着床面的概率;文献[7]取B =1-α,α—1—Ξ本文于1995年5月24日收到,系国家自然科学基金资助项目.为重悬系数;文献[8]取B =α(1-ε0),α为沉降概率,(1-ε0)为止动概率.式(4)中B ωS b 为底部紊动扩散上扬项与重力作用下沉项之差,即净淤积项.显然此边界条件只能用于淤积.第五类〔12〕是εy5S 5y +ωS 强度 专门研y =0=P r ωS b -E ,(5)此处E 为单位床面的冲刷率.第六类〔13〕是εy5S 5y+ωS 扩 .至今y =0=α(S b -S 3b )ω,(6)或〔13〕εy 5S y+ωS 结果 底部边y =0=α1ωS b -α2ωS 3b ,(7)这类边界条件已被广泛引伸和采用〔14,15〕,它与第五类的差别是各项参数均能确定,有实际意义.综上所述,从理论上看上述各种边界条件在推导过程中,并未详细分析泥沙交换的机理,而是颇为直观地给出其公式,有的也引进了某个概率.此处需要强调的是,以前我们曾经证明,底部边界条件恰等于单宽输沙率沿程变率〔13〕,正是它决定了河床冲淤,需要认真研究.本文将针对非均匀悬移质,研究其扩散方程及利用泥沙交换的统计理论〔14〕推导出底部边界条件,并在一定简化下给出它及恢复饱和系数的具体表达式.二、非均匀沙扩散方程扩散方程〔16〕是针对均匀沙建立的,我们在扩散方程基本假定———悬移质的存在不影响水流,且颗粒之间不相互作用的前提下,推导非均匀沙的扩散方程.当含沙量不很大,粒径不很粗时,这个假定显然能近似满足.按照此假定,如果将非均匀沙(混合沙)按粒径分成m l 组,则第l 组泥沙(由于粒径范围窄,每组泥沙可近似视为均匀沙)也应满足扩散方程,现推导如下.设水流的瞬时速度向量为 V ,悬移质泥沙的顺时速度向量为 u ,y 轴沿垂线向上,则u =V x i +(V y -ωl ) j +V z k .(8)此处 i 、 j 、 k 为沿x 、y 、z 3个坐标的单位向量,ωl 为第l 组粒径泥沙的沉速.在水流中取一任意固定封闭曲面σ,在dt 内通过这个曲面σ的净流出第l 组粒径泥沙量(流出量与流进量之差)为d t κS l u ・ n d σ,此处 n 为曲面σ的外法线方向,S l 为第l 组粒径含沙量的瞬时值.这段时间中,曲面σ内泥沙质量减少了-d t µ5S l5td t ,于是由质量守恒得:d tκS l u ・ n d σ=-d tµ5S ltd t (9) 将上式左边曲面积分换成体积积分,遂有µτ5(S l V x )5x +5S l (V x -ωl ) yy +5(S l V z )5zgt and x d y d z =-µτ5S l5td x d y d z.(10)—2—由于曲面选取的任意性,此时必须上式两边被积函数相等,即5S l t+5(S l V x)x+5S l(V y-ω)〕y+5(S l V z)z=0.(11)引用时均值V x、V y、V z、S l和相应的脉动值V′x、V′y、V′z、S′l表示瞬时值,并仿照均匀沙扩散方程的假定S′l V′x=-εx 5S l 5x,S′l V′y=-εy 5S l 5y,S′l V′z=-εz 5S l 5z.交 按照此如果 水时速 l- 体积积遂有对于均匀沙ω是常数,而对于非均匀沙ω是变数,并且在已知各组粒径含沙量分布之前它是未知的.正是由于后者,所以对于混合沙不能直接使用方程(15),这正是非均匀沙研究存在的最大困难.对于二维情况,当x 轴与水流一致,且为稳定不平衡输沙,和忽略纵向扩散项由式(13)得:5(V x S l )x =55y εy5S l y V +5y (ωl S l ).(19)它与均匀沙相应方程在形式上也是一致的.三、非均匀沙扩散方程在平衡条件下的解在5S l5x=0的平衡条件下二维非均匀沙扩散方程式(19)简化为55y εy 5S l 5y+ωl S l ′=0, (0≤y ≤h )(20)积分上式并利用水面边界条件,当y =h 时,积分后有:0,εyd εl d y+ωl S l =0.(21)又利用条件y =0时,S l =S bl 再积分一次得到其解为:S l =S b ・l ・e -∫y 0ωlεyd y.(22)这是混合沙中第l 组泥沙的分组含沙量(在平衡状态下)沿垂线分布的公式.尽管与均匀沙含沙量沿垂线分布在形式上类似,但含义不一样.对于粒径为D l 的均匀沙的公式,则有:S (l )=S b (l )e -∫y 0ωlεy d y.(23)令K l =S b ・lS b (l ),(24)显然K l 与y 无关.此处S b (l )系粒径为D l 的均匀沙的底部含沙量,而S b ・l 为底部非均匀沙中粒径为D l 组的分组含沙量.将式(24)乘式(23)两边,并注意到式(22)得:K l S (l )=K l S b (l )e-∫y 0ωlεyd y=S b ・l e-∫y 0ωlεyd y=S l ,(25)从而有:S =∑Sl=∑mll =1K lS (l ).(26) 另一方面,按垂线平均含沙量的定义及式(23)、(26),对于S (l )的垂线平均含沙量有S m (l )=1hV m∫hS (l )V x d y =1K l1hV m∫hS l V x d y =S l ・mK l,(27)此处V x 为纵向流速,V m 为垂线平均流速,h 为水深.由于分组垂线平均含沙量之和应等于混合沙的垂线平均含沙量,则—4—S m =∑mll =1S l ・m=∑mll =1K lSm(l ).(28) 至此我们得到了在平衡条件下混合沙总含沙量,分组含沙量与均匀沙含沙量之间的重要关系:(1)从式(25)、(27)看出,混合沙中第l 组分组含沙量,不论是任意点y 处的S l ,还是垂线平均值S m ・l 均是粒径为D l 的相应的均匀沙含沙量S (l )、S m (l )与K l 的乘积.(2)混合沙任意点S 及垂线平均含沙量S m 按式(26)、(28),均是相应的均匀沙的含沙量S (l )、S m (l )的线性组合,其组合系数就是K l .(3)K l 与y 无关,并且从式(24)看出,它应与底部混合沙级配和床沙级配有联系.(4)通过K l 的引进,不仅得出了非均匀沙含沙量与均匀沙的重要联系,而且可以将均匀沙的一些规律、关系引伸到非均匀沙.引进混合沙垂线平均级配,式(27)可改写成K l S m (l )=S l ・m =S l ・mS m S m=P 4・l ・m S m ,(29)其中P 4・l ・m =S l ・mS m定义为悬移质垂线平均级配,式(29)给出了K l 与P 4・l ・m 的重要关系,它是非均匀沙含沙量,特别是非均匀沙挟沙能力〔17〕又一规律,能将非均匀沙垂线平均含沙量与均匀沙的联系起来.进一步证明∑K p =1,并且K l 的物理意义就是挟带混合沙中第l 组泥沙的水量百分数〔17,18〕.设水流中取一单位水体(底面积为一单位、高为水深的水体)挟有m l 组泥沙,其粒径分别为D 1,D 2,…D ml ,然后在每一组泥沙周围划出一块柱状水体,使其相应的含沙量恰为混合沙中这组泥沙在均匀沙条件下的含沙量S m (l ),再设该水体中各组粒径泥沙的水量为Q l ,沙量为G l ,显然有S m (l )=G l /Q l .而分组含沙量:S l ・m =G l∑mll =1Ql=G lQ lQ l∑mll =1Ql=S m (l )K l ,(30)K l =Q l∑mll =1Ql,(31)∑ml1Kl=1.(32)可见K l 为挟带第l 组泥沙的水量占总水量的比例.所以能将各组泥沙据所需水量分别按其含沙量分开,仍是采用了前述的扩散方程的基本假定,需要指出的是,由于组合系数K l 对垂线上各点均是相同的,因此当它作为水量百分数时也如此.这说明了水量百分数的特点,即同一垂线上同一组泥沙,具有相同的水量百分数.附带指出K 1・l 还有另一明确的物理意义,即在平衡条件下它恰为床沙级配,因此式(29)又有新的解释〔17〕.上面的分析是对平衡情况而言.由于此时S m =S 3m ,故它实际上是针对挟沙能力的.—5—四、非均匀沙二维扩散方程的边界条件对于非均匀沙二维扩散方程(19)的初始条件与水面边界条件,与均匀沙方程的相应条件类似.即对x =0的起始边界分组含沙量沿水深的分布:S l (0,y )=f l (y ).(33)而水面边界条件为:εy5S l5y+ωS l 论是 y y =h=0.(34) 对于底部边界条件,本文仅介绍一种简化结果.这种简化结果既有利于认识底部边界泥沙交换的实质,又有相当的理论深度,能概括前述已有的研究成果.在文献[18]中,已给出底部边界条件和交换强度之间的关系.其底部交换强度为:λ4・1・l =(1-ε0・l )(1-ε4・l )n 4・lt 1・l,(35)λ1・4・l =βln 1・l t 4・0・l,(36)式中ε0・l 为不止动概率,(1-ε0・l )为止动概率,ε4・l 为悬浮概率,(1-ε4・l )为止浮概率,t 1・l 为悬移质下沉经过床面层的时间,βl 为起悬概率,t 4・0・l 为床面层静止颗粒起动后,脱离床面上升一个颗粒高的起动时间.设悬移质在床面下落的平均速度为U 4・y ・D ・l ,则它通过床面层的时间为:t 1・l =D l U 4・y ・D ・l,(37) 平均下落速度为:〔18〕U 4・y ・D ・l=ωL1+12π(1-ε4・l )μ3ωl e -12ωlμ3这组 均匀沙2 (,(38)此处利用了σy =・・u 3.而ε4・l =12π∫∞ωlu 3e-t22d t =P ξv ・y ・b >ωl ,(39)P =ξV ・y ・b ≤ωll =1-P ξV ・y ・b >ωl=1-ε4・l ,(40)此外,不止动概率:ε0・l =12π∫∞V 0・K 0・l σxe -t22d t =12π∫∞V 0・K 0・l 2u 3-217e-t22d t ,(41)而1-ε0・l 为止动概率.V b 为纵向平均底速,上式采用了σx =2u 3及σx =0137V b ,止动流速〔18〕为:V b ・K 0・l =φ(Δ′)43C xγs -γγgD l =・・0191643C xγs -γγgD l ,(42)其中C x =014为正面推力系数,γ、γs 为水和沙的比重,g 为重力加速度.应注意到,单位面积床面层悬沙的颗数为:—6—n4・l=S bπ6D3lγs=6S bπγsD3l.(43)将式(41)、(42)、(47)等代入式(35)遂有:λ4・1・l=(1-ε0・l)(1-ε4・l)1+12π(1-ε4・l)u3ωl给出 界条件e-12ωlu321ε・6ωl S bπγ3D3l.(44)另一方面,单位床面静止泥沙的颗数为:n1・l=m0π4D2lP1・l Q1・l,(45)此处P1・l为床沙级配,m0为静密实系数,其值取为014,至于床面静止颗粒的概率:〔注1〕Q1・l=(1-ε0・l)(1-ε4・l)1-(1-ε1・l)(1-βl)+(1-ε0・l)(1-ε4・l),(46)此处起动概率:ε1・l=P ξVb>V b・K1・lL=12π∫∞V b・K1・l2u3-217e-t22d t.(47)而瞬时起动流速为:V b・K・l=φ(Δ′)5139D l+3×10-7D l(1+0185h)=・・01916ω1・l.(48)此式的基本单位为m・s,而01916为φ(0′)对颗粒在床面位置Δ′的平均值。
![[讲义]《河流动力学》大学教材课件-悬移质运动和水流挟沙力](https://img.taocdn.com/s1/m/700de486581b6bd97e19ea73.png)
