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第四讲 流体动力学基本方程 (1)理想流体

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流体力学第四章_理想流体运动基本方程

流体力学第四章_理想流体运动基本方程
8
欧拉法
欧拉法：在固定的座标系中，研究空间某个点的流动 参数（速度、压力、密度等），并给出这些参数与空 间点和时间的分布：
速度：u=u (x, y, z, t)， v=v (x, y, z, t)，
w=w (x, y, z, t) 压力：p=p (x, y, z, t) 密度：ρ =ρ (x, y, z, t)
28
‹#›
‹#›
例4-1：已知u=-(y+t2)，v=x+t, w=0
求t=2，经过点（0，0）的流线
解: t=2时，u=－(y+4)，v=x+2，w=0
流线方程 d z =0
dx dy ( y 4) x 2
z c， 1 (x 2)2 1 ( y 4)2 c
26
图示为t 时刻经过点0的流线,以及t 时刻经过点 0的迹线.
对定常流动，迹线和流线重合。
27
迹线和流线的区别：
• 迹线是流体质点在t0—t时间段的运动轨迹，是实在的； 流线是某一时刻流场中连续质点运动的方向和速度大小 的假象线。 • 迹线随质点而变，一个质点对应一条迹线；流线随时间 而变与质点无关。 • 迹线可以相交，而流线不能相交。对于定常流迹线与流 线重合。
9
‹#›
‹#›
当地加速度是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的 变化而产生的
迁移加速度是某一瞬时流体质点的速度随空间点的变化而产 生的。
当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。
两个加速度的物理意义：
如图4-1所示，不可压流体流过一个有收缩的变截面管道，截 面2比截面1小，则截面2的速度就要比截面1的速度大。当流 体质点从1点流到2点时，由于截面收缩引起速度增加，从而 产生迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入 量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速 度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。

流体动力学基本方程

流体动力学基本方程

流体动力学基本方程
“流体动力学基本方程”是将质量、动量和能量守恒定律用于流体运动所得到的联系流体速度、压力、密度和温度等物理量的关系式。

对于系统和控制体都可以建立流体动力学基本方程。

系统是确定不变的物质的组合；而控制体是相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称为控制面。

流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体建立的。

主要有连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。

1、连续方程：ρ1v1A1=ρ2v2A2，式中ρ1、v1、ρ
2、v2分别为A1和A2截面上的流体平均密度和速度。

2、动量方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制面和控制体上的外力之和，等于控制体内动量的增加。

3、动量矩方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制体和控制面上的外力对某一参考点的动量矩之和，等于控制体内对同一点的动量矩的增加。

4、能量方程：单位时间内，流入控制体的各种能量与外力所作的功之和，等于控制体内能量的增加。

流体动力学基础和方程讲解

流体动力学基础和方程讲解

① 理想 ② 不可压缩均质流体 ③ 在重力作用下 ④ 作恒定流动 ⑤ 并沿同一流线（或微元流束）流动。
第4章 流体动力学基础
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.2 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
1、物理意义
z
p
g
u2 2g
c0
位能—— z 压力能—— p
g
势能—— z p
动能—— u 2 2g
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.1 无黏性流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的恒定流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程
§4.2 元流的伯努利方程
(p1 pdx) 2 x
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
受力分析： 1、表面力：
p p dx p p dx
x 2
x 2
(p1 pdx) 2 x
x轴正方向 x轴负方向
PM
(p 1 2
p dx)dydz x
PN
(p
1 2
p x
dx)dydz
2、质量力： FBxXdxdydz
§4.2 元流的伯努利方程
元流能量方程的应用——毕托管测速原理。
pA
u
2 A
pB
+0
g 2g g
uA2 pB pA h
2g g g
机械能—— z p u 2 2g
Bernoulli方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相 转换，但总和不变。Bernoulli方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或 表现形式。

第四章理想流体的动力学基础

第四章理想流体的动力学基础

第八节 相对运动中的伯努利方程
流体在流体机械（如：水泵，风机，水轮机） 中流动时，不是绝对恒定运动，而是相对恒 定。如图： y
r2 u
v
r1 1 o A r
w 2
x
ω
叶轮以恒定ω 转动，若将坐标系xoy固定在 叶轮上，随叶轮转动，此时质点相对叶轮 做绝对运动，因为相对于地面是不恒定的。 与绝对恒定相比有如下不同： （1）人观察的是质点相对速度，而非绝对速 度； （2）作用在流体上的质量力；除重力外还有 离心力。 取流线1-2，流体沿1-2流动，流动恒定， 1-2为迹线。
vx v y vz d ( )0 dt x y z
对不可压缩ρ =const，四个方程封闭可解。 例：对可压流体，加上连续方程，状态方程 ρ=f（p，T），封闭。虽然理论上可解，但 是初始条件，边界条件难以用数学表达给出，
一般不可解。
第二节 运动微分方程的葛罗米柯 ——兰姆形式
再看表面力，按泰勒展开，略去二阶以上 微小量，于是：
在y轴方向表面力
p d y p d y p p d xd z p d xd z d xd y d z y 2 y 2 y
Fy FQy
p d xd y d z y
2
wz wx v y v (U P ) 2 vz vx y 2 t
2
wx wy v v z (U P ) 2 vx v y z 2 t
2
即为葛罗米柯——兰姆形式。 由此可见：运动有有旋、有势之分。
第三节
恒定有旋流动沿流线的 伯努利方程
先做如下假定： （１）理想流体恒定流动； （２）质量力有势； dp （３）正压流体， P f ( p) （４）沿流线积分。 v y v x v z 0, 0, 0 ； 由条件（1） t t t 葛罗米柯形式含有（2），（3）两个条件。

第4章流体动力学基础1

第4章流体动力学基础1

2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性 、连续性微分方程有哪几种形式？ 微分方程说明了什么问题？ 微分方程说明了什么问题？ 质量守恒
第二节 元流的伯努利方程
欧拉运动微分方程组各式分别乘以 ， ， （ 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距 各式分别乘以 ds的坐标分量）： 的坐标分量）： 的坐标分量
1 ( Xdx +Ydy + Zdz) − ρ ( ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz) = dux dx + ∂x ∂y ∂z dt duy dt
dy + duz dz dt
<I> 考虑条件 、 考虑条件 1、恒定流
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
∂p ∂p =0 ∂t
∂ux ∂uy ∂uz = = =0 ∂t ∂t ∂t
∂ux ∂y ∂uy ∂z ∂ux ∂z
= = =
∂uy ∂x ∂uz ∂y ∂uz ∂x
积分得：
z+γ +
p
u2 2g
=c
•
理想势流（无黏性） 理想势流（无黏性）伯努利方程
z+γ +
p
或
u2 2g
=c
p2 u22 2g
z1 + γ +
p1
u12 2g
= z2 + γ +
在同一恒定不可压缩流体重力势流 恒定不可压缩流体重力势流中 物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，各点的总比能值相等 即在整个势流场中，伯努利常数 均相等。（应用条件 均相等。（应用条件： 即在整个势流场中，伯努利常数C均相等。（应用条件：“——”所示） ”所示）

第四讲 流体动力学基本方程 (1)理想流体

第四讲 流体动力学基本方程 (1)理想流体

4-3 理想流体的运动微分方程
同理，可推得在 x、z 方向有：
1 p dvx fx x dt 1 p dvy fy y dt 1 p dvz fz z dt
理想流体的运动微分方程 （欧拉运动微分方程）
4-3 理想流体的运动微分方程
也可以从雷诺输运方程角度来得到欧拉方程：
一、控制体与物质体
控制体 (Control Volume):

由一个固定空间构成的体积
在不同时刻由不同的流体质点
占据
控制面 (Control Surface):

控制体的封闭表面 流体质点可自由通过
4-1 雷诺输运方程
一、控制体与物质体
物质体(Material Volume):

由系统的流体团构成的体积
的，对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数
在这种情况下，方程组中有四个未知数u、v、w和p，而方 程仅有三个 为此需加上不可压缩流体的连续性方程，这样方程组封闭， 从理论上提供了求解的可能性。
由dV=dxdydz
4-3 理想流体的运动微分方程
dvx 1 p fx dt x dvy 1 p fy dt y dvz 1 p fz dt z
欧 拉 运 动 微 分 方 程 欧 拉 平 衡 微 分 方 程
1 p fx 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
v 0 t
该式是流体的连续方程式，是质量守恒定律在流体运动 中的体现，是一切流体运动必须遵循的普遍原则。 直角坐标系下，连续方程式可写为：
vx v y vz 0 t x y z
4-2 连续性方程

第04章理想流体动力学

第04章理想流体动力学

y
2 t
（4-3）
(U p v2 ) 0
z
2 t
括弧内函数不随空间坐标(ｘ，ｙ，ｚ)变化,
只可能是时间的函数。
所以
p v2
U F (t)
2 t
（4 - 4）
若流体的质量力只有重力，取ｚ轴铅直向上，
有U＝－ｇｚ，故
gUz
p
v2 2
t
F (t)
（4
- 4'）
7
t
为书写简单，引入 F (t)dt 0
分常数Ｃ 只在同一条流线上不变，不同流线取 l
值不同，称为流线常数或者说拉氏积分在整个空 间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。
18
为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到 有限大的流束。
渐变流动:流线近似平行，而且流线的曲率很小 的流动，否则称为急变流动。
渐变流动特点：(z p) 项在整个过水（过流） 断面上为常数。
z p 称为静压
v2 称为动压
2
28
伯努利方程的应用
实例一：小孔口出流（如水桶壁上破一洞） 图示容器装有液体，在重力作 用下从小孔流出。求流量。
设小孔面积比容器中液面 面积小很多，液面高度ｈ近似 认为不变（近似为定常流），
不计流体粘性，此时流体的质量力只有重 力。满足伯氏方程来求解的前提。
29
取小孔轴线为基准，整个容器看成一个大流管 取容器液面为截面
将Φ对ｘ，ｙ，ｚ求偏导数，仍为速度的投影
x
x
Vx
y
y
Vy
z
z
Vz
引入Φ后，式（４-４）可改写成：
U p V 2
2
t
（４-5）
8
若流体的质量力只有重力，式（4 - 4'）可写成：

四章 理想流体无旋流动

四章 理想流体无旋流动

任意封闭流体线的速度环量对时间的变化率等于加速 度环量!
(2)理想、正压、有势流场中： f 在势力场中: 正压流体，定义压力函数: P ( p ) 理想流体:

dp

, P
1

p
ndA 0
A
1 DV f p P Dt
连续流场中，任意封闭周线上的速度环量等于通过张在该 周线上曲面的涡通量（斯托克斯公式），即有
2
4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质（涡量守恒） 4.2.1 kelvin 定理——沿流体线环量不变定理
定理：理想、正压流体在势力场中运动时，连续流场内沿封闭 流体线的速度环量不随时间变化。 证明：速度环量随时间变化
D D Dt Dt
dl (V V dl )t Vt dl
V ek Vi ei kil i el xk xk V Vi V V V V j e j kil el jlm kilV j i em lmj lkiV j i em xk xk xk Vi Vi Vi V V ( km ij kj mi )V j em Vi ek Vk ei xk xk xk V
V2 V2 V2 V2 ) (e ) (e ) (e ) 2 u 2 v 2 w 2 t x y z 1 ( pu ) ( pv ) ( pw ) uf x vf y wf z [ ] q x y z (e
第四讲 理想流体（无旋）流动的主要内容
理想流体运动的基本性质
1.理想流体运动的控制方程； 2.理想正压流体有势流动的的性质——Kelvin定理； 3.柯西-拉格朗日积分应用——一维非定常流动；

流体力学第四章

流体力学第四章

1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。

流体力学中的流体动力学方程

流体力学中的流体动力学方程

流体力学中的流体动力学方程流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，它在能源、环境、航空航天等领域有着广泛的应用。

流体动力学方程是流体力学的基础，它描述了流体在运动过程中的物理现象和力学特性。

本文将介绍流体动力学方程的基本原理和常见的流体动力学方程。

一、连续性方程连续性方程是描述流体质点质量守恒的基本方程。

它表明流体在运动过程中，质量的流入等于流出。

连续性方程可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·表示散度运算符。

二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体质点在运动过程中动量的变化。

根据牛顿第二定律，动量守恒方程可以表示为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p是流体的压力，τ是动态粘性应力张量，g是重力加速度。

三、能量守恒方程能量守恒方程是描述流体内能和外界能量转化的方程。

根据热力学第一定律，能量守恒方程可以表示为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + q其中，E是单位质量的总能量，v是流体的速度矢量，k是热传导率，T是温度，q是单位质量的内部热源。

四、状态方程流体力学中的状态方程描述了流体在热力学过程中的状态特性。

流体的状态方程通常表示为：p = ρRT其中，p是流体的压力，ρ是流体的密度，R是特定流体的气体常数，T是温度。

综上所述，流体动力学方程包括连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和状态方程。

这些方程是建立在质点假设和牛顿力学基础上的，可以描述流体在运动过程中的物理现象和运动规律。

通过求解这些方程，可以得到流体的运动速度、压力分布等信息，为解决实际问题提供了重要的理论基础。

在实际应用中，为了解决流体动力学方程的复杂性，常常采用数值模拟等方法进行求解。

数值模拟可以通过离散化方程、引入数值格式和数值算法，得到流体在离散网格上的解。

第4章流体动力学微分形式的基本方程

第4章流体动力学微分形式的基本方程

x方向质量的变化 流入的质量 流出的质量
dmx




x

dx 2


u
x

ux x

dx 2

dtdydz




x

dx 2


u
x

ux x

dx 2

dtdydz



ux


ux x

dx 2

ux
x
（2）方程的推导 依据牛顿第二定律。 六面体流体元中心点M的坐标为 x，y，z， 应力状态为σ，可求出各面中心点的应力。
以x方向为例 ：
Fx max
外力的 x 向分量 Fx ：
质量力的x向分量：Xxyz
表面力的 x 向分量：
(
xx
x) y z
x
(
yx
y、z 向质量净通率分别为： (uy ) yzx
y
和 (uz)zxy
z
体积内的质量减少率 ：
则有：
xyz
t
( x u x) ( y u y) ( z u z) x y z t x y z
yx


u (
y

u x )

x
y
yz
zy

(u z y

u y ) z


zx
xz


u (
x

u z )
z

第四章 流体动力学微分形式的基本方程

第四章 流体动力学微分形式的基本方程

第四章流体动力学微分形式的基本方程§4-1运动流体中的应力张量流体中的应力一、运动流体中的应力张量作微元四面体，如图()cos ,x n nA A n x A Δ=Δ=Δx n ()cos ,y n nA A n y A Δ=Δ=Δy n ()cos ,z n nA A n z A Δ=Δ=Δz n00当()00,0,0dv dx dy dz →→→→n x y zA A A A Δ=Δ+Δ+Δn x y z p p p p n x n y n z nA n A n A n A Δ=Δ+Δ+Δn x y z p p p pn n n =++x y zxx xy xzp p p =++n x y z x p p p p p i j k yx yy yzzx zy zzp p p p p p =++=++y z p i j k p i j k y 分量公式：nx ny nzp p p =++n p i j k nx x xx y yx z zxp n p n p n p =++ny x xy y yy z zynz x xz y yz z zz p n p n p n p p n p n p n p =++=++⎛xx xy xz p p p ⎞⎜⎟=为对称张量yxyyyz zxzy zz P p p p p p p ⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 为对称张量P =++x y z ip jp kp x y z n n n P=++=i 依赖于通过某点的面元方位P是的函数n x y z p p p p n (),t 依赖于通过某点的面元方位，P是的函数.n p r二、理想流体中的应力00p αβαβ≠⎧=⎨1111222233330= nn nn nn p n n p p n n p p n n p βαβ≠⎩===112233nn p p p p ∴===理想流体任一方向应力分量都相等p P p δ=−=−n p n+∇i V =0()t ρ∂t∂:适用惯性坐标系,非惯性坐标系,理想流体和非理想流体.⎛()()200v e ,t ,A A t 2φφφττ⎞==×=+==⎜⎟⎝⎠V, r V ，d d 00D D Dt Dt ττρτρτ=∫∫∫∫∫∫V VD ∫∫∫∫∫∫∫∫ A Dt ττD ⎛⎞V ∴0d Dt τρρτ−−∇=⎜⎟⎝⎠∫∫∫f P i1yz xz zz z P P w w w w P u v w f t x y z x y z ρ∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂+++++⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠=+各项物理意义y x dx dy ∂⎛⎞∂⎛⎞⎟⎟P P z dxdydz+dydz+dxdz x y D +dz dxdy dxdydz ρρ⎜⎜∂∂⎝⎠⎝⎠∂⎛⎞ =f P V （牛顿第二定律）z Dt ⎜⎟∂⎝⎠2Dt ⎝⎠()()()221122R V V e e +q T t λρρ⎛⎞⎛⎞∂++∇+=∇+∇∇⎜⎟⎜⎟∂i i i i i V f V +P V 或⎝⎠⎝⎠§4-5 方程组的封闭性三大方程连续方程动量方程（个）能量方程：连续方程、动量方程（3个）、能量方程。

第4章流体动力学基本方程

第4章流体动力学基本方程

h ——单位重量粘性流体沿流线从1点到2点的 机械能损失，称为元流的水头损失，m。
' w
1 2
1 2
注意： 1. 无粘性流体流动的总水头线为水平线； 2. 粘性流体流动的总水头线恒为下降曲线； 3. 测压管水头线可升、可降、可水平。 4. 总水头线和测压管水头线之间的距离为速度水头。
五、粘性总流的伯努利方程
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gdQ ( z 2 hw )gdQ g 2 g g 2 g
2 2
Байду номын сангаас
表示单位时间通过元流过流断面的能量守恒。
由连续性方程 dQ v 1dA1 v 2 dA2 ，上式可写作
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gv 1 dA1 ( z 2 hw )gv 2 dA2 g 2 g g 2 g
p Hp z g
—测压管水头
p u2 H z —总水头 g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理 想流体作定常流动时，位置水头，压强水头，速 度水头之和即总水头为一常数。 对于有旋流动，同 一流线上各点的总水 头相同，见左图。
p z g
——单位重量流体的势能 ——单位重量流体具有的机械能
p v2 z g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想 流体作定常流动时，单位重量流体的位能、压能、 动能在流动过程中可以相互转化，但它们的总和 不变，即单位重量流体的机械能守恒。 因此，伯努利方程又称为能量方程。
2019/3/6

工程流体力学-第四章

工程流体力学-第四章

p
p x
dx
dydz
X
dxdydz
dxdydz
dux dt
X 1 p dux
x dt
X 1 p dux
x dt Y 1 p duy
y dt Z 1 p duz
z dt
——Euler运动方程Βιβλιοθήκη f 1 p u (u )u
t
（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表 面力之代数和等于其加速度。 （2）适用条件：理想流体。
z p C
g
急变流：流动参量沿流程急剧变化的总流。
例如：
缓变流断面：
1－1、4－4
急变流断面：
2－2、3－3
这样，即可得到：
1
gQ
A (z
p )gudA g
1
gQ
(z
p
g
)
A
gudA
z
p
g
动能修正系数
引入目的： 解决积分
1，
u 2 gudA
gQ A 2g
代之以 V 表达的关系式。
因为总流有效断面上的速度分布是不均匀的，设各点
2gQ
A
u3A 2gQ
1
3
u
A
2
dA
u2A
u2 2g
1 3
u
A
2
dA
u2A
动能修正
系数
则
1
u 2 gudA u 2
gQ A 2g
2g
令
hw12
1
gQ
A2 A1
hw 12 gudA
则（2）式变成：
z1
p1
g
1
u12 2g

理想流体动力学基本方程

理想流体动力学基本方程
一、动量方程——流体的运动方程 二、能量方程——伯努利方程
三、恒定总流能量方程应用 四、恒定总流动量方程与能量方程
的综合应用
3
，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ 动压强：p 速度： ux、uy、uz
方向沿坐标轴的正向
11
x 轴方向受到的表面压力：
p p dx dydz p p dx dydz p dxdydz
x 2
x 2
x
单位质量力为：
f fx i fy j fz k
流体微团受到 x 轴 方向的质量力：
动量的增量对总流过流断面进行积分，得：
dK
A2
dA2u2
dtu2
A1 dA1u1dtu1
dt[
A2 dA2u2u2
A1 dA1u1u1]
用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点速 u 分布，
主要内容
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
能量方程：机械能守恒定理
4
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
5
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
质量力：用 f 表示，具有加速度的量纲
f d
( v)d

流体力学：第4章流体动力学基本定理_1,2,3

流体力学：第4章流体动力学基本定理_1,2,3

流体系统内物理量对时间随体导数公式——输运公式
输运公式物理意义
Q dv t V
表示单位时间内，控制体 CV 中所含 物理量 Qdv 的增量，它是 V 由于流场 的不定常性造成的
表示在单位时间内，通过控制 面 CS 流出的相应物理量，它是 由于流场的不均匀性造成的
(V n)Qds
（单位体积流体）
Notes on Bernoulli’s Equation：
Condition: ideal, steady, incompressible, gravity field, along a streamline. Physical Interpretation:
V p z H （along a streamline） 2g
mgz
The pressure term p
2
V 2 2g
p
1
V 2 2g
p
H
z1
2
z2
The elevation term z : elevation head (potential energy per unit weight)

z
: pressure head (pressure energy per unit weight)
2ω v 0 v 0 非流动定常： t
运动无旋：
v
质量力有势：f =－U
流体正压： = (p),
Π
dp


dp ( p)
Π
Π 1 p p p
V 2 Π U f (t ) t 2
重力场中不可压理想流体:
(全流场)
The velocity term V 2 2 g : velocity head (kinetic energy per unit weight)
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随流体运动而运动或变形
物质表面(Material Surface):

物质体积的封闭表面

流体质点不能通过
4-1 雷诺输运方程
二、雷诺输运方程
d GdV GdV Gv dS dt MV t CV CS

G：物理量的集度 MV： Material Volume，即物质体 CV： Control Volume，即控制体 CS： Control Surface，即控制面
流体动力学仿真
电子科技大学
机械电子工程学院
第四讲 流体动力学基本方程
Lecture 4
Basic Equations in Fluid Dynamics
流体动力学基本方程 (1)
4-1 雷诺输运方程
4-2 连续性方程 4-3 理想流体的运动微分方程 4-5 理想流体的伯努力方程
4-1 雷诺输运方程
4-2 连续性方程
【例3-1】 有一输水管道，如图所示。水自截面1-1流向截 面2-2。测得截面1-1的水流平均流速v1 2 m/s，已知d1=0.5m， d2=1m，试求截面2-2处的平均流速 v2 为多少？ 【解】 由公式 v1 A1 v2 A2 得
v1

4
d12 v2
2

4
2 d2
一、控制体与物质体
控制体 (Control Volume):

由一个固定空间构成的体积
在不同时刻由不同的流体质点
占据
控制面 (Control Surface):

控制体的封闭表面 流体质点可自由通过
4-1 雷诺输运方程
一、控制体与物质体
物质体(Material Volume):

由系统的流体团构成的体积
二、雷诺输运方程
d GdV GdV Gv dS dt MV t CV CS
(1) (2) (3) 雷诺输运方程的物理意义： 某瞬间控制体对应的物质体，它所具有的物理量的变化 率，等于控制体中所含有同一物理量的变化率与该物理 量通过控制面的净流出率之和
二、连续性方程的一般形式
也可以从质量守恒的角度来得到连续方程。对如图 所示任意选取的空间域，质量守恒定律的描述为： V内流体质量增加(减少)
n
v
= 单位时间内流进(流出)A的质量流量 ( dV ) v d A t V A
积分形式连续方程
dA
V
v 0 t
4-2 连续性方程
在雷诺输运方程中，如果物理量为质量，即G = ρ， 则雷诺输运方程则表现为流体的连续性方程：
d dV dV v dS dt MV t CV CS
(1) (2) (3) (1)：物质体中质量的随体导数
(2)：控制体中质量的增加率
(3)：通过控制表面的净质量通量
由牛顿第二定律： Fy = may 即：
p dy dxdydz f y p dxdz y 2 p dy p dxdz ma y y 2
得：
1 p dvy fy y dt
—— 单位质量流体在 y 方向上运动规律的数学 表达式
4-3 理想流体的运动微分方程
在流场中取出一个正平行六面体 流体微团。dV = dxdydz. 在某瞬时 t： 形心A( x, y, z ) 处的压强为 pA( x, y, z, t )， 形心A( x, y, z ) 处的速度为 vx, vy, vz
4-3 理想流体的运动微分方程
作用在微元平行六面体上的力有质量力和表面力。 以 y 方向为例分析受力。
该式是欧拉运动微分方程，是动量守恒定律在理想流体 运动中的表现：外力的冲量=动量的改变量。
由于研究的对象是理想流体，流体微团所受的表面力只 有正压力而无内摩擦力（切应力），外力的表现形式与平 衡流体具有同样形式。
4-3 理想流体的运动微分方程
方程组的封闭性问题
在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、 fy 和 fz 是已知
4-3 理想流体的运动微分方程
同理，可推得在 x、z 方向有：
1 p dvx fx x dt 1 p dvy fy y dt 1 p dvz fz z dt
理想流体的运动微分方程 （欧拉运动微分方程）
4-3 理想流体的运动微分方程
也可以从雷诺输运方程角度来得到欧拉方程：
CS
4-2 连续性方程
一、一元流动的连续性方程
代入得一元流体的连续性方程式： m 2 q2 1q1 0 t m 即： 1q1 2 q2 t m v A v A 或： 1 1 1 2 2 2 t 单位时间内流入、流出控制体的
流体质量之差等于该控制体内流
微分形式连续方程
A
4-2 连续性方程
二、连续性方程的一般形式
特例1：定常流动
定常流动中，流体任何空间点处的密度不随时间变化， 0 t 定常流动的连续方程式为： v 0 直角坐标系下：
( vx ) ( vy ) ( vz ) 0 x y z
由dV=dxdydz
4-3 理想流体的运动微分方程
dvx 1 p fx dt x dvy 1 p fy dt y dvz 1 p fz dt z
欧 拉 运 动 微 分 方 程 欧 拉 平 衡 微1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
在雷诺输运方程中，如果物理量为动量mv，则G = ρv， 则雷诺输运方程则可写为：
d ( v)dV ( v)dV ( v) v dS dt MV t CV CS
(1) (2) (3)
(1)：物质体中动量的随体导数
(2)：控制体中动量的增加率 (3)：通过控制表面的净动量通量
4-1 雷诺输运方程
二、雷诺输运方程
d GdV GdV Gv dS dt MV t CV CS
(1) (2) (3) (1)：物质体中某物理量的随体导数 (2)：控制体中该物理量的变化率（增加率） (3)：物理量通过控制表面的净通量（流出率）
4-1 雷诺输运方程
v v v dV t dV F CV CV
4-3 理想流体的运动微分方程
v v v dV F t CV
d v dt 选取控制体为如图所示流体微团，则：
代入雷诺输运方程，得 v d A ( dV ) 0 t V A
高斯定理
积分形式连续方程
V为空间固定范围
v dV
V

V
dV 0 t
4-2 连续性方程
二、连续性方程的一般形式
由于V是任意选取的，可以去掉积分符号：
d vx p dV Fx f x dV dxdydz dt x d vy p dV Fy f y dV dydxdz dt y d vz p dV Fz f z dV dzdxdy dt z
4-3 理想流体的运动微分方程
dA
通过A的单位时间的净质量流量为： v dA
A
V
控制体单位时间的质量变化率为： ( dV ) t V
A
4-2 连续性方程
二、连续性方程的一般形式
由质量守恒原理，物质体中的流体质点总质量始终保 持不变，则 d d dV (mass in MV)=0 dt MV dt
4-2 连续性方程
一、一元流动的连续性方程
(1)：物质体中质量的随体导数
由物质体的的定义，它总是包含相同质量的流体，因此
d dV 0 dt MV
(2)：控制体中质量的增加率 m m dV t CV t t (3)：通过控制表面的净质量通量 v dS 2 q2 1q1
一、y 方向的质量力
dFmy = dx dy dz fy 二、y方向的表面力
p 左表面： p y p 右表面： p y
dy dxdz 2 dy dxdz 2
p y
—— 压强沿 y 方 向的变化率
4-3 理想流体的运动微分方程
三、y方向的运动方程（力平衡关系式）
v 0 t
该式是流体的连续方程式，是质量守恒定律在流体运动 中的体现，是一切流体运动必须遵循的普遍原则。 直角坐标系下，连续方程式可写为：
vx v y vz 0 t x y z
4-2 连续性方程
体质量（密度）的变化率。
4-2 连续性方程
一、一元流动的连续性方程
1、定常流动
m 0 则： t
1v1 A1 2v2 A2 C
2、对于不可压缩流体流动
= Const
则： v1 A1 v2 A2 vA C
即：流过流束各断面的流量都相等，但流速与过流断 面/有效截面面积成反比，有效截面面积大的地方平均流 速小，有效截面面积小的地方平均流速大。
的，对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数
在这种情况下，方程组中有四个未知数u、v、w和p，而方 程仅有三个 为此需加上不可压缩流体的连续性方程，这样方程组封闭， 从理论上提供了求解的可能性。
4-2 连续性方程
二、连续性方程的一般形式
特例2：不可压缩流体流动
不可压缩流体的密度既不随时间变化，也不随空间变化
0 v v t 不可压缩流动的连续方程式为： v 0 v 0
vx v y vz 直角坐标系下： 0 x y z