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三角形内有关角的三角函数恒等式的证明张思明课型和教学模式：习题课，“导学探索，自主解决”模式教学目的：（1）掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法，使学生熟悉三角变换的一些常用方法和技巧（如定向变形，和积互换等）。
（2）通过自主的发现探索，培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力，体验数形结合、特殊一般转化的数学思想。
并利用此题材做学法指导。
（3）通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习，培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于创新，不断探索的科学精神。
教学对象：高一（5）班教学设计：一．引题：（A，B环节）1．1复习提问：在三角形条件下，你能说出哪些有关角的三角恒等式？拟答：，……，，……这些结果是诱导公式，的特殊情况。
1．2今天开始的学习任务是解决这类问题：在三角形条件下，有关角的三角恒等式的证明。
学习策略是先分若干个学习小组（四人一组），分头在课本P233---P238，P261-266的例题和习题中，找出有三角形条件的所有三角恒等式。
1．3备考：期待找出有关△ABC内角A、B、C的三角恒等式有：（1）P233：例题10：sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2(2)P238:习题十七第6题：sinA+sinB-sinC=4sinA/2sinB/2cosC/2.(3) cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2.(4) sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.(5)cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC.(6)P264:复参题三第22题：tgA+tgB+tgC = tgAtgBtgC.(7)也许有学生会找出:P264--（23）但无妨。
1．4请各组学生分工合作完成以上恒等式的证明：提示：建议先自学例题10，注意题目之间的联系，以减少证明的重复劳动。
二．第一层次的问题解决（C，D环节）2．1让一个组上黑板，请学生自主地挑出有“代表性”的3题（不超过3题）书写证明过程。
初中数学竞赛专题培训恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．说明本题证明过程中主要是进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．练习五1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．2．证明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．3．求证：5．证明：6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：x=y=z或x+y+z=0．7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．1.解:原式=((a-b)-(b-c))^2=02.证明：即证xyz[(x+y+z)3-(x3+y3+z3)]=(yz+zx+xy)3-（y3z3+z3x3+x3y3）展开得：xyz[(x3+y3+z3+3x2y+3xy2+3xz2+3y2z+3yz2+6xyz)-（x3+y3+z3）]=（y3z3+z3x3+x3y3+3y2z3x+3z3x2y+3y2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x2）-（y3z3+z3x3+x3y3），即（3x3y2z+3x2y3z+3x2z3y+3y3z2x+3y2z3x+6x2y2z2=3y2z3x+3z3x2y+3y 2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x23.证明：裂项即可。
恒等式证明 知识定位代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．知识梳理知识梳理1：由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．知识梳理2：比较法比较法利用的是：若0，则（作差法）；或若1，则（作商法）。
a a b a ba b b-==== 这也是证明恒等式的重要思路之一。
知识梳理3：分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．知识梳理4：其他解题方法及技巧除了上述方法，设k 、换元等方法也可以在恒等式证明中发挥效力．例题精讲【试题来源】【题目】已知x+y+z=xyz ，证明：x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．【答案】因为x+y+z=xyz ，所以左边=x(1-z 2-y 2-y 2z 2)+y(1-z 2-x 2+x 2z 2)+(1-y 2-x 2+x 2y 2)=(x+y+z)-xz 2-xy 2+xy 2z 2-yz 2+yx 2+yx 2z 2-zy 2-zx 2+zx 2y 2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．【解析】将左边展开，利用条件x+y+z=xyz ，将等式左边化简成右边．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知1989x 2=1991y 2=1993z 2，x ＞0，y ＞0，z ＞0，且1111x y z++=198919911993198919911993x y z ++=++ 【答案】令1989x 2=1991y 2=1993z 2=k(k ＞0)，则又因为所以所以【解析】令1989x 2=1991y 2=1993z 2=k(k ＞0)，则本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k ，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】 【题目】求证：()()()()()()222a bcb ca abc a b a c b c b a c a c b ---+=++++++ 【答案】因为所以所以【解析】用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b 代a ，c 代b ，a 代c ，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知0a b c ++= ，求证()()24442222a b ca b c ++=++ 。
集合的运算规律与恒等式的证明在数学的广袤领域中，集合是一个基础且重要的概念。
而集合的运算规律以及相关恒等式的证明，不仅是对集合理论的深入理解，也是解决众多数学问题的有力工具。
集合的基本运算包括交集、并集和补集。
交集，用符号“∩”表示，是指两个集合中共同的元素所组成的集合。
例如，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4}，集合 B ＝｛3, 4, 5, 6}，那么A ∩ B ＝｛3, 4}。
并集，用符号“∪”表示，是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合，去除重复的元素。
上述例子中，A ∪ B ＝｛1, 2, 3, 4, 5, 6}。
补集，用符号“C”表示，是指在给定的全集 U 中，某个集合 A 的补集 CUA 是由全集 U 中不属于集合 A 的元素所组成的集合。
接下来，让我们来探讨一些常见的集合运算规律和恒等式。
首先是交换律。
交集的交换律为：A ∩ B ＝B ∩ A。
这很好理解，因为两个集合中共同的元素，不管从哪个集合的角度来看，都是相同的。
并集的交换律：A ∪ B ＝ B ∪ A。
道理类似，把两个集合的元素合并，顺序并不影响结果。
然后是结合律。
交集的结合律：（A ∩ B) ∩ C＝A ∩ （B ∩ C)。
想象一下，要找到三个集合共同的部分，先找出前两个集合的交集，再与第三个集合求交集，或者先找出后两个集合的交集，再与第一个集合求交集，结果是一样的。
并集的结合律：（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)，这也是因为合并集合的过程中，顺序不影响最终包含的元素。
分配律也是重要的规律之一。
交集对于并集的分配律：A ∩ （B ∪C) ＝（A ∩ B) ∪（A ∩ C)。
也就是说，一个集合与另外两个集合的并集的交集，等于这个集合分别与那两个集合的交集的并集。
并集对于交集的分配律：A ∪（B ∩ C) ＝（A ∪ B) ∩ （A ∪ C)，道理类似。
还有一些特殊的恒等式，比如德摩根定律。
对于两个集合 A 和 B，（A ∪ B)的补集等于 A 的补集与 B 的补集的交集，即 C(A ∪ B) ＝CUA ∩ CUB ；（A ∩ B)的补集等于 A 的补集与 B 的补集的并集，即C(A ∩ B) ＝ CUA ∪ CUB 。
2020-2021学年初中数学竞赛专题专讲及练习（20）代数恒等式的证明一、内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二、例题例1求证：3 n+2－2n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n）＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n∴左边＝右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)∵:a+b+c=0∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知 a=－b－c 代入左边,得（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 己知a+ac c b b 111+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1 证明：由己知a-b=bc c b b c −=−11 ∴bc=ba cb −− b-c=ca ac c a −=−11 ∴ca=c b a c −− 同理ab=ac b a −− ∴ab bc ca ＝a c b a −−b a c b −−c b a c −−＝1 即a 2b 2c 2=1 例4 己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0 证明：设:ax 2+bx+c ＝（mx+n ）2 ， m,n 是常数那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2根据恒等式的性质 得⎪⎩⎪⎨⎧===222n c mn b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0三、练习201． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1)2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 24.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+35.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：c b b a 1111−=− 9．己知：ac z c b y b a x −=−=− 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc练习20参考答案：1. ④左边＝5 n (5 2-1)+3 n －1(33-3)= 24(5 n +3 n-1) 注意右边有3 n-12. 左边－右边＝（a-b ）23. ②左边－右边＝（a 2+b 2-c 2）2-4a 2b 2=……4. ∵a 5=a 2a 2a,用a 2=a+1代入5. 用z=x+2y 代入右边6. 用已知的（左－右）×27.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式8.在已知的等式两边都除以abc9.设三个比的比值为k,10.(2x2-x-2)2 11. 用待定系数法。
七年级数学竞赛系列讲座(7)有关恒等式的证明一、一、知识要点恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。
在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、“1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。
二、二、例题精讲例1 求证：a 1+(1-a 1)a 2+(1-a 1)(1-a 2)a 3+…+(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n=1-(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )分析：要证等式成立，只要证明1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )证明：1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n=(1-a 1)[ 1- a 2- (1-a 2)a 3- (1-a 2)(1-a 3)a 4 -…- (1-a 2)(1-a 3)…(1-a n-1)a n ]=(1-a 1) (1-a 2)[ 1- a 3- (1-a 3)a 4- (1-a 3)(1-a 4)a 5 -…- (1-a 3)(1-a 4)…(1-a n-1)a n ] =(1-a 1) (1-a 2) (1-a 3)[ 1- a 4- (1-a 4)a 5- (1-a 4)(1-a 5)a 6 -…- (1-a 4)(1-a 5)…(1-a n-1)a n ]=……=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n ) ∴ 原等式成立例2 证明恒等式()()()()()()11322321121132322121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++++++=++++++(第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)证明评注：裂项是恒等变形中常用的一种方法例3 若abc=1，求证1111=++++++++c ca cb bc b a ab a()()()()()()11322321121322211113232121132322121111111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n nn n n ++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++++++分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难。
第四讲 利用恒等式解题代数式的恒等变形可以认为是解决数学问题必不可少的一种变形（运算）的方式。
将已知、求证的式子进行适当、巧妙的变形，使问题得到解决，也是衡量一个同学数学能力的标准之一。
因此，国内外各级数学竞赛试题中，都有大量涉及恒等变形的试题。
一、 基础知识 1． 恒等变形的意义如果一个等式中的字母取允许范围内的任意一个值，等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式；把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形。
2． 恒等变形的分类恒等变形主要分为无条件限制等式和有条件限制等式变形两大类； 恒等变形主要形式可概括为整式变形、分式变形和根式变形。
3． 三种数学方法在恒等变形中的体现初中同学接触到的数学方法在恒等变形中的体现主要有：换元法、配方法、待定系数法。
二、 例题部分－分式部分例1．（★，1999年北京市）不等于0的三个正数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反数。
例2．（★）不等于0的三个正数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：对任意整数n ， 2121212121211111n n n n n n abcabc------++=++；例3．（★）设a 、b 、c 都不为0，2a b c ++=，11112a b c ++=；求证：a ，b ，c 中至少有一个等于2；例4．（★★）若x 、y 、z 不全相等，且111x y z p y z x+=+=+=，求所有可能得p ，并且证明：0xyz p +=例5．（★）若x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =例6．（★）已知22222222b bx x b bx x a ay y a ay y++-+=++-+，求证：x b a y =或x y b a =例7．（★）已知22x y za b c a c a b c==++--+；且abcxy z ≠0，求证： 22a b cx y z x z x y z==++--+例8．（★）已知1x y z a b c++=，0a b c x y z ++=；求证：2222221x y z a b c ++=例9．（★★，据1998年全国初中数学联赛改编）已知a 是方程210x x --=的一个根，试求186323a a -+的值。
三角恒等式的证明与应用三角函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
其中，三角恒等式是研究和解决三角函数相关问题的重要工具。
本文将探讨三角恒等式的证明以及其在实际问题中的应用。
一、三角恒等式的证明1.1 正弦恒等式首先，我们来证明正弦恒等式：sin(A ± B) = sinA*cosB ± cosA*sinB。
证明过程如下：根据三角函数的定义，sin(A ± B) = y/r，其中，A ± B是角度，y是三角形中与A ± B对应的直角边的长度，r是斜边的长度。
考虑一个单位圆，以原点为圆心，将直角坐标系下的点(x, y)映射到单位圆上。
则点(x, y)对应的角度为θ，而(x, y)的极坐标表示为(r, θ)。
因此，我们有sinθ = y/r，cosθ = x/r。
利用极坐标的性质，我们可以得出如下结论：sin(A ± B) = sin(A + B) = sinθ，其中θ = A + B。
展开后得到：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)。
同理可证：sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)。
因此，sin(A ± B) = sinA*cosB ± cosA*sinB，正弦恒等式得证。
1.2 余弦恒等式接下来，我们来证明余弦恒等式：cos(A ± B) = cosA*cosB ∓sinA*sinB。
证明过程如下：根据三角函数的定义，cos(A ± B) = x/r，其中，A ± B是角度，x是三角形中与A ± B对应的直角边的长度，r是斜边的长度。
同样地，通过单位圆和极坐标的性质，我们有cosθ = x/r，sinθ = y/r。
利用极坐标的性质，我们可以得出如下结论：cos(A + B) =cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)。
例说组合恒等式的六种证明方法组合恒等式是组合数学中的重要概念之一，其表达了同一个集合中的元素分组的不同方法的数量相等。
组合恒等式可以通过多种方法进行证明，本文将介绍六种常用的证明方法。
首先我们来看第一种证明方法，数学归纳法。
数学归纳法是一种常见的证明方法，它分为两个步骤，即证明基础情况和归纳假设。
对于组合恒等式来说，我们可以使用数学归纳法证明其成立。
首先，我们验证当n=1时恒等式成立。
然后，假设当n=k时恒等式成立，我们可以证明当n=k+1时恒等式也成立。
通过数学归纳法的证明，我们可以得出组合恒等式成立的结论。
接下来我们来看第二种证明方法，图形法。
通过使用图形来表示两边的数量，我们可以更直观地看到它们是相等的。
例如，我们可以使用方格来表示一边的数量，并用另一种方式填充这些方格以表示另一边的数量。
通过对两边数量进行图形化表示，我们可以清楚地看到它们是相等的，从而证明组合恒等式成立。
第三种证明方法是代数法。
代数法通过对两边的符号或式子进行代数变换，从而证明它们是相等的。
例如，我们可以通过展开组合式、使用恒等式和化简等代数运算，将一个式子转化为另一个式子，从而得到它们是相等的。
通过代数法的证明，我们可以明确地看到两边的值是相等的，从而证明组合恒等式成立。
第四种证明方法是计数法。
计数法是一种直接计算两边数量的方法。
例如，我们可以将组合式分成几种情况，然后分别计算每种情况下的数量，并将它们加起来。
通过计数法的证明，我们可以得到两边的数量是相等的，从而证明组合恒等式成立。
第五种证明方法是逻辑法。
逻辑法通过使用逻辑推理证明恒等式成立。
例如，我们可以使用逻辑推理来说明两边的元素是一一对应的，从而证明组合恒等式成立。
通过逻辑法的证明，我们可以推导出两边的元素是一一对应的，从而证明组合恒等式成立。
第六种证明方法是双射法。
双射法通过构造一个一一映射（双射）来证明组合恒等式成立。
例如，我们可以构造一个映射，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素，并证明这是一个一一映射。
第四讲 利用恒等式解题代数式的恒等变形可以认为是解决数学问题必不可少的一种变形（运算）的方式。
将已知、求证的式子进行适当、巧妙的变形，使问题得到解决，也是衡量一个同学数学能力的标准之一。
因此，国内外各级数学竞赛试题中，都有大量涉及恒等变形的试题。
一、 基础知识 1． 恒等变形的意义如果一个等式中的字母取允许范围内的任意一个值，等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式；把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形。
2． 恒等变形的分类恒等变形主要分为无条件限制等式和有条件限制等式变形两大类； 恒等变形主要形式可概括为整式变形、分式变形和根式变形。
3． 三种数学方法在恒等变形中的体现初中同学接触到的数学方法在恒等变形中的体现主要有：换元法、配方法、待定系数法。
二、 例题部分－分式部分例1．（★，1999年北京市）不等于0的三个正数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反数。
《初中数学竞赛同步辅导》，华中师范大学出版社，P113，例5例2．（★）不等于0的三个正数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：对任意整数n ， 2121212121211111n n n n n n abc a b c ------++=++；《初中数学竞赛同步辅导》，华中师范大学出版社，P116，4 《奥数教程》初二年级，华东师范大学出版社，P90，例3例3．（★）设a 、b 、c 都不为0，2a b c ++=，11112a b c ++=；求证：a ，b ，c 中至少有一个等于2； 【证明】：由11112a b c ++=，得2abc ab bc ca=++，故()()0a b c ab bc ca abc ++++-= 从而()()()0a b b c c a +++=，若a ＋b ＝0，则c ＝2，其余类似；例4．（★★）若x 、y 、z 不全相等，且111x y z p y z x+=+=+=，求所有可能得p ，并且证明：0xyz p += 【证明】：由x 、y 、z 不全相等，则x 、y 、z 必互不相等；∵1p z x=+，及1x p y =-，得1y p z yp =+-，又由1y p z =-得21(1)()p p z z ---＝0，若1p z z=+，则x ＝z ，这不可能；∴1p =±；由1x p y +=；得(1)xyz z yp =-；而1p y z =+，故21p p py z ==+，1ppy z=-，代入上式，即得0xyz p += 例5．（★）若x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z = 《初中数学竞赛同步辅导》，第二分册，华中师范大学出版社，P129，例3例6．（★）已知22222222b bx x b bx x a ay y a ay y ++-+=++-+，求证：x b a y =或x yb a=【证明】：由等比性质2222222222222222()()()()()()()()b bx x b bx x b bx x b bx x a ay y a ay y a ay y a ay y +++-+++--+=+++-+++--+ 即2222b x bx a y ay+=+，∴2222ab y ax y a bx bxy +=+ ∴()()0xy ab ax by --=；∴x b a y =或x yb a= 例7．（★）已知22x y za b c a c a b c==++--+；且abcxy z ≠0，求证： 22a b cx y z x z x y z==++--+《奥数教程》初二年级，华东师范大学出版社，P91，例4例8．（★）已知1x y za b c++=，0a b c x y z ++=；求证：2222221x y z a b c ++=《奥数教程》初二年级，华东师范大学出版社，P92，例5例9．（★★，据1998年全国初中数学联赛改编）已知a 是方程210x x --=的一个根，试求186323a a-+的值。
三、例题部分－根式部分例10．（★，基辅数学奥林匹克）正数1u 、2u 、…、n u 组成等差数列，求证：1223111111...n n nn u u u u u u u u --+++=++++ 【证明】：设d 为公差，则12231111...n nu u u u u u -++++++ ＝3212121321...n n n n u u u u u u u u u u u u -----+++---＝32121...n n u u u u u u d d d ----+++＝1n u u d -＝11()n n u u d u u -+ ＝1(1)()n n d d u u -+＝11nn u u -+例11．（★★，第15届希望杯初二）对于任意的自然数n ，有3332221()21121f n n n n n n =+++-+-+，求(1)(3)(5)...(999)f f f f ++++【解】：()33223333311()(11)((1)(1)1(1))n n f n n n n n n n +--=+--+++-+-＝33112n n +--∴(1)(3)(5)...(999)f f f f ++++＝3333331111212199919991...222+--+--+--+++＝3310001152--=例12．（★）证明：222211(1)1a aa ab ab b ab ++=+-++ 《初中数学竞赛同步辅导》，第二分册，华中师范大学出版社，P123，例3例13．（★★）证明：222111111()()()a b b c c a a b b c c a++=++------ 《初中数学竞赛同步辅导》，第二分册，华中师范大学出版社，P127，8例14．（★★）设333199519961997x y z ==，0xyz >，且2223333199519961997199519961997x y z ++=++，求证：1111x y z++=《初中数学竞赛同步辅导》，第二分册，华中师范大学出版社，P130，例5例15．（★★）设k 是自然数，231a k =+，求证：33338181333381813333a a a a a a a a a a a a +-+-+--+-+-++-的值是自然数；《金牌之路竞赛辅导》初中数学，陕西师范大学出版社，P72，例10四、 练习题1．（★，2000年希望杯初二）已知2213x x +=，则331x x+的值是__________； 《初中数学竞赛同步辅导》，第二分册，华中师范大学出版社，P136，2（1） 2．（★，2000年五羊杯）已知23234a b b c c a +--==，则56789a b ca b+-+＝__________； 《初中数学竞赛同步辅导》，第二分册，华中师范大学出版社，P136，2（5）3．（★，14届希望杯二试）对于正整数n ，有111(1)11n n n n n n =-++++，若某个正整数k 满足1112...321123223(1)1k k k k +++=+++++，则k ＝________；【解】：84．（★，11届希望杯二试）已知9p q r ++=，且222p q rx yz y zx z xy==---，则 px qy rzx y z++++＝___________；【解】：9；显然题目中等比的分母加到一起不为0，否则每个分母为0；设等比为k 由等比性质可知222()p q r k x y z xy yz zx ++=++---则333()()()px qy rz k x xyz k y xyz k z xyz x y z x y z ++-+-+-=++++＝333(3)k x y z xyz x y z++-++＝222()9k x y z xy yz zx p q r ++---=++=5．（★★）设222198919911993x y z ==，0,0,0x y z >>>，且1111x y z++=，求证： 198919911993198919911993x y z ++=++《金牌之路竞赛辅导》初中数学，陕西师范大学出版社，P68，例26．（★★）已知abcx a b c ab bc ca==++++，求证：÷()()()0x a x b x c ---=《初中数学竞赛同步辅导》，第二分册，华中师范大学出版社，P134，107．（★★）如果x 、y 、z 均不为0，且x ＋y ＋z ＝0，证明：222111111x y z x y z++=++ 《初中数学竞赛同步辅导》，第二分册，华中师范大学出版社，P130，例4。
