数论中埃米特恒等式证明
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数论中埃米特恒等式证明
证明下列命题：
（1）*,N n R x ∈∈+，且1至x 之间的整数中，有][n x 个是n 的倍数。
（2）若,!||n p α则 +++==][][][)!(32p
n p n p n n p α。 （3）x 为实数，n 为正整数，求证：（埃米特恒等式）][]1[]2[]1[][nx n n x n x n x x =-++++++
+ 。 证明：（1）因为1][][+<≤n x n x n x ，即n n
x x n n x ⋅+<≤⋅)1]([][ 故*,N n R x ∈∈+，且1至x 之间的整数中，有][n
x 个是n 的倍数。 （2）由于p 是质数，因此!n 含p 的方次数)!(n p 一定是1,2,3，n n ,1,- 各数中含p 的方次数的总和。由（1）知1,2,3，n n ,1,- 中有][p n
个p 倍数，有][2p
n 个2p 的倍数，┈，所以 +++=][][][)!(32p
n p n p n n p （3）不妨设0>x ，①当][]1[x n
n x =-+时，即1}{011}{<<⇒<-+x n n n x 所以]1[]2[]1[][n n x n x n x x -+++++++ ][x n =，而][}]{[][}]{][[][x n x n x n x n x n nx =+=+= 故等式此时成立。 ②当1][]1[+=-+
x n n x 时，设2,,2,1,0-=n k ，使得，1][]1[],[][+=++=+x n
k x x n k x ， 则1}]{[}{1}{121}{11}{--=⇒-<≤--⇔-<≤--⇒⎪⎩
⎪⎨⎧<++≤<+k n x n k n x n k n n k n x n k n n k x n k x 所以1][)1])([1(])[1(]1[]2[]1[][--+=+--++=-+++++++k n x n x k n x k n n x n x n x x 1][}]{[][}]{][[][--+=+=+=k n x n x n x n x n x n nx 故][]1[]2[]1[][nx n
n x n x n x x =-+++++++ 。 综合①②得，x 为正实数时，n 为正整数， ][]1[]2[]1[][nx n n x n x n x x =-++++++
+ 成立。 同理可证得0 综合上述得，x 为实数时，n 为正整数， ][]1[]2[]1[][nx n n x n x n x x =-+++++++ 成立。