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抽象代数试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ).A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（ )个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( ）。
A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、(N,≤）B、(Z，≥）C、（｛2,3,4，6,12},|(整除关系））D、 (P（A）,⊆）5、设S3＝{（1)，（12），(13),（23），（123），(132）},那么,在S3中可以与(123）交换的所有元素有（ )A、（1)，(123)，（132)B、12），(13)，（23)C、（1），(123）D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是-———--——的，每个元素的逆元素是-----———的.2、如果f是A与A间的一一映射,a是A的一个元，则()[]=-aff1----—---—-。
3、区间［1，2]上的运算},{min baba=的单位元是--—-———.4、可换群G中｜a｜=6，｜x|=8,则|ax|=—-————————。
5、环Z8的零因子有 --—-——-----—--——-——-———。
6、一个子群H的右、左陪集的个数——--———-——。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的—--—-----.8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的—-——-—-----。
9、设群G中元素a的阶为m，如果ea n=，那么m与n存在整除关系为-———-—-—.三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。
抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。
A、2阶B、3阶C、4阶D6阶2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。
A 4个B 、5个C 、6个D 、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。
A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N, ) B 、(乙)C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),)5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()A (1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- ,3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。
5、环Z8的零因子有 -------------- 。
&一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。
9、设群G中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存在整除关系为---- <三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S, S是A的子环，贝U Sin s也是子环。
自选题目：1、设G 是一个群，证明：（1）在G 中，阶大于2的元素的个数一定是偶数；（2）在G 中，阶等于2的元素的个数与G 的阶有相反的奇偶性。
2、证明：6阶交换群是循环群3、设N G ≤，且[]:2,G N =证明N G 。
4、设M ，N 是群G 的正规子群，证明：（1）MN NM =；（2）MN 是G 的正规子群；（3）若{}MN ,.M N e M N N ⋂=∀∈∈那么与同构，且mn=nm,m M,n5、设p 是一个素数，G 是p 的方幂阶的群，试证G 的非正规子群的个数一定的p 的倍数。
6、证明148阶群G 不是单群。
7、设p 是素数，则2p 阶群G 是Abel 群。
8、设G 是2p q 阶群，p ，q 为不同素数。
证明：G 不是单群。
9、设1G ，2G 分别为1n ，2n 阶循环群，证明：1221G G n n ⇔ .10、若群中元素a 的阶为m ，元素b 的阶为n ，则当ab ba =且(),1m n =时，有 ab mn =，即ab a b =.11、设群中元素a 的阶为n ，证明()(),,s t a a s n t n =⇔=.12、设H ，G 是群的两个正规子群，且二者的交为{}e ，证明：H 与G 中的元素相乘时可换.13、设H 是包含在群G 的中心内的一个子群，证明：当G H 是循环群时，G 是交换群.14、证明：3n ≥时2n -个3轮换()()()123,12412n 是n A 的一组生成元。
15、证明：同构意义下，6阶群只有6 与3S .16、设p 为素数，证明：2p 阶群G 为Abel 群.17、若G 是由a , b 生成的群，且b ba 32a =e ，4,3==b a ，证明：G 为Abel 群。
18、设f ：G →H 是群同态，若g 是G 的一个有限阶元。
试证: f(g)的阶整除g 的阶。
19、证明：任意一个群G ，都不能被它的两个真子群覆盖。
20、设M ◁G , N ◁G 。
《抽象代数》试题及答案 本科一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题3分)1. 设Q 是有理数集，规定f(x)=x +2；g(x)=2x +1,则（fg ）(x)等于（ B ）A. 221x x ++B. 23x +C. 245x x ++D. 23x x ++2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。
A. 1个B. 2个C. 4个D. 无限个5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8a 的阶为( B )A ． 2 B. 3 C. 6 D. 97．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111)(---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶C. G 的单位元不唯一D. G 中消去律不成立8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ⨯A 的子集为等价关系的是( C )A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。
抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分,共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是( ).A、2阶B、3 阶Ｃ、4 阶Ｄ、 6 阶2、设G是群，Ｇ有( ）个元素，则不能肯定Ｇ是交换群。
A、４个B、5个C、6个D、7个３、有限布尔代数的元素的个数一定等于( ).Ａ、偶数Ｂ、奇数 C、4的倍数 D、２的正整数次幂４、下列哪个偏序集构成有界格( )Ａ、（N,≤) B、（Ｚ,≥）C、（{２,3,４，6，12｝，|（整除关系)）Ｄ、 (P(Ａ），⊆）5、设S3=｛(１)，（12)，(1３）,(2３),(１23）,(1３2)},那么，在S3中可以与（1２3)交换的所有元素有( )A、(１）,(1２3）,(1３２）B、12),（1３）,(2３）C、（1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共１0小题，每空３分,共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是--—---——的，每个元素的逆元素是—-—-—--—的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则()[]=-aff1－———-———-—．3、区间［１，2]上的运算},{min baba=的单位元是-—--——－。
4、可换群Ｇ中|ａ|＝6,|ｘ｜=8,则|ａx｜=—－—-——-———。
5、环Z８的零因子有—--———-———-—--————－--—-。
6、一个子群H的右、左陪集的个数—－-—－——--—。
7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的———－——-—-。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为Ｒ的—－—--————-—。
9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n=,那么m 与n 存在整除关系为——--－—--.三、解答题（本大题共3小题，每小题１0分，共３0分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?２、S 1,S 2是A 的子环，则S １∩S 2也是子环。
抽象代数复习题一、 判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题2分，共20分）1.一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
（ ）2、有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶。
（ ）3、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无穷大，则G 与整数加群同构。
（ ） 4、循环群的子群也是循环群。
（ ）5、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为1,;g G h H g hg H -∀∈∀∈∈。
（ ） 6.若环R 有单位元，则其子环也一定有单位元。
（ ）7、除环中的每一个元都有乘法逆元。
（ ）8、)(x F 中满足条件()0f α=的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（ ） 9、主理想整环一定是唯一分解整环。
（ ）10.域是交换的除环。
（ ）二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)1.设8Z 模8的剩余类环，则8Z 中的零因子是______。
2.模p (素数)的剩余类环Z p 的特征为________。
3.高斯整数环[]Z i 的单位是_______。
4.模6的剩余类加群6Z 有________个生成元。
5.剩余类环Z 6的子环S={［0］,［3］},则S 的单位元是____________。
三．计算与证明题（共60分）1(10分).在5次对称群5S 中，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3451254321f ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2541354321g ，计算1fgf 。
2（10分）.求出9Z 中所有可逆元并求其逆元3（20分）.设f是群G到'G的同态，H是G的子群，证明()f H是'G的子群。
4（20分）. 设f是环R到'R的满同态，I是R的理想，证明(I)f是'R的理想。
抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。
A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。
A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,≤）B、（Z,≥）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则()[]=-aff1----------。
3、区间[1，2]上的运算},{min baba=的单位元是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。
9、设群G中元素a的阶为m，如果ea n=，那么m与n存在整除关系为--------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。
抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、6阶有限群的任何子群一定不是（ )。
A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有( ）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）.A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N，≤）B、(Z，≥）C、（｛2，3，4，6，12｝,｜（整除关系)）D、（P(A）,⊆）5、设S3＝{（1），(12)，（13)，(23),（123），（132）}，那么,在S3中可以与（123)交换的所有元素有( ）A、(1），（123），（132）B、12),（13),(23)C、（1),(123）D、S3中的所有元素二、填空题（本大题共10小题,每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。
1、群的单位元是-——-————的,每个元素的逆元素是--—-—-——的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元,则()[]=-aff1————--—-—-.3、区间[1，2]上的运算},{min baba=的单位元是————--—。
4、可换群G中｜a｜=6，｜x｜=8,则|ax|=--———-—-—-。
5、环Z8的零因子有—--——————————---—--——--.6、一个子群H的右、左陪集的个数——-—-———-—。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---—-—--—。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的——-—-——-———.9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n=，那么m 与n 存在整除关系为-———————。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分,共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环.S 1+S 2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。
1. 〈{1，2，3，4}，·5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？2. 代数结构〈I ，+〉与〈N ，·〉是否同构？3. 设X 为集合，证明〈P （X ），∩〉与〈P （X ），∪〉是同构的。
4. 求出〈N 6，+6〉的所有自同态。
1. 给定代数结构〈I ，+，·〉，定义I 上的二元关系R 为：i R j 当且仅当 | i | = | j | ,关于加法运算 +，R 是否具有代换性质？对于乘法运算·呢？2. 设R 是N 3上的等价关系。
若R 关于 +3具有代换性质，则R 关于·3也一定具有代换性质。
求出N 3上的一个等价关系S ，使其关于·3具有代换性质，但关于 +3不具有代换性质。
3. 试确定I 上的下述关系R 是否为〈I ，＋〉上的同余关系： a) x R y 当且仅当 (x ＜0∧y ＜0＝∨(x ≥0∧y ≥0)； b) x R y 当且仅当 | x ·y |＜10；c) x R y 当且仅当 (x = 0∧y = 0)∨(x ≠0∧y ≠0)； d) x R y 当且仅当 x ≥ y 。
第二章2. 在以下给出的N 上的关系R 中，哪些是么半群〈N ，+〉上的同余关系？对于同余关系求出相应的商么半群。
a ) aRb 当且仅当 a －b 是偶数。
b ) aR b 当且仅当 a ＞b 。
c ) aR b 当且仅当 存在r ∈I 使a = 2 r ·b 。
d ) aR b 当且仅当 10整除a －b 。
3. 设〈S ，*〉是半群，a ∈S ，在S 上定义二元运算·如下：x ·y = x * a * y ， x ，y ∈S证明〈S ，·〉也是半群。
4. 设〈M ，*〉是么半群且＃M ≥2。
证明M 中不存在有左逆元的左零元。
5. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=R a a T R b a b a S |000,,|00，·为矩阵的乘法运算。
