高三数学 小综合专题练习 函数与导数 文

高三数学函数与导数试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知，其中均为实数，（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）设，求证：对恒成立；（Ⅲ）设，若对给定的，在区间上总存在使得成立，求m的取值范围．【答案】（Ⅰ）极大值，无极小值；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）【解析】第一问根据函数的极值的定义，结合导数求得函数的极值，注意虽然函数只有极大值，没有极小值，也得说明没有极小值，第二问注意对式子的变形，结合函数的单调性，将绝对值的符号去掉，构造一个新函数，从而判断出函数的单调性，可以有导数的符号来决定，从而求得结果，第三问根据题意，确定出函数的图像的走向以及函数值的取值，确定出两个函数的值域的关系，从而求得结果．试题解析：（Ⅰ）极大值，无极小值；（Ⅱ），,在上是增函数,在上是增函数设，则原不等式转化为即令即证，即在在恒成立即在，即所证不等式成立（3）由（1）得在所以，又，当时，在，不符合题意当时，要使得，那么由题意知的极值点必在区间内，即得，且函数在由题意得在上的值域包含于在和上的值域内，下面证时，，取，先证，即证令内恒成立再证【考点】函数的极值，函数的单调性，恒成立问题．2.（本小题满分14分）对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；第一组：；第二组：；（Ⅱ）设，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围；（Ⅲ）设，取，生成函数使恒成立，求的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．【解析】本题主要考查简单的合理推理等基础知识，考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了存在性问题及最值问题，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，第二组，设，从而得，从而判断；第二问，化简，从而为，再设，则，从而得，从而化为最值问题；第三问，将函数使恒成立，转化成，再分情况讨论函数的最小值，即可得到b的取值范围．试题解析：（Ⅰ）①设，即，取，所以是的生成函数．②设，即，则，该方程组无解．所以不是的生成函数．（Ⅱ）若不等式在上有解，，即设，则，，，故，．（Ⅲ）由题意，得若，则在上递减，在上递增，则，所以，得若，则在上递增，则，所以，得．若，则在上递减，则，故，无解综上可知，【考点】简单的合理推理．3.（本小题满分12分）已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．（1）求的值；（2）判断函数的单调性；（3）求证：当时，【答案】（1）；（2）在上是增函数；（3）见解析．【解析】（1）对函数求导，由可得；（2）求导得，为研究其符号，令，再求导，研究其符号可得在区间恒成立，从而得函数的单调性；（3）由函数的单调性可知，令，求导研究其单调性可知，从而可证结论成立．试题解析：（1），令,得，解得．（2分）（2）由（1）知，，．再令则当时,, 递增;当时，, 递减;∴在处取得唯一的极小值，即为最小值．即∴,∴在上是增函数．（6分）（3）要证，即证，由（1）知，当时，为增函数，故故．令，则，∵, ∴∴即在上是减函数，∴时，，（11分）所以，即．所以．【考点】1．导数的几何意义；2．导数与函数的单调性；3．函数与不等式．4.（本小题满分12分）若关于x的方程有两个相等的实数根．（1）求实数a的取值范围．（2）当a＝时，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】第一问根据方程有两相等实根，从而得到其判别式等于零，从而求得，结合题中所给的角的范围，从而求得，结合角的范围，求得的范围，第二问将的值代入，从而求得的值，从而求得结果．试题解析：（1）依题意得，，∵，∴≠0，则a＝，∵，∴ 0＜＜1，∴ 0＜a＜2（2）a＝时，，又，．【考点】一元二次方程根的个数，同角三角函数关系式，正余弦和差积的关系．5.（本小题满分12分）如图是函数f（x）＝x3－2x2＋3a2x的导函数y＝的简图，它与x 轴的交点是（1,0）和（3,0）（1）求函数f（x）的极小值点和单调递减区间；（2）求实数a的值．【答案】（1）是函数的极小值点，函数的单调减区间是;（2）．【解析】（1）导数大于0得增区间,导数小于0得减区间．在左侧,右侧．所以在处取的极小值．（2）先求导,由导数图像可知和是的两根,将和分别代入可求得的值．试题解析：解:（1）由图象可知：当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；当时，，在为增函数；∴是函数的极小值点，函数的单调减区间是．（2），由图知且∴∴【考点】1导数图像;2函数的单调性,极值．6.已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（注：为自然对数的底数）（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函数和的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．作出函数的图象如图：当y=ax对应的直线和直线平行时，满足两个函数图象有两个不同的交点，直线y=ax和函数f（x）相切时，当x＞1时，函数，设切点为（m，n），则切线斜率，则对应的切线方程为，即又∵直线切线方程为y=ax，∴，解得，即此时，此时直线y=ax与f（x）只有一个交点，不满足条件，若方程f（x）=ax恰有两个不同的实根时，则满足；故选B．【考点】1、分段函数的应用；2、根的存在性及根的个数判断．【方法点晴】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，再利用数形结合是解决本题；求函数某过点的切线方程的方法：先设出切点，利用导数表示出切线的斜率，进而写出切线的方程，最后由过的点的坐标求出切点坐标，从而求出切线方程．7.函数的一个零点落在下列哪个区间（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，，所以函数的一个零点落在区间内；故选B．【考点】零点存在判定定理．8.设曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于（）A．2B．C．－2D．－【答案】C【解析】，，由导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率为，又直线的斜率为，依题意可得，解得．故C正确．【考点】1导数的几何意义；2直线垂直．9.设函数，（1）若函数在处与直线相切；①求实数，的值；②求函数上的最大值；（2）当时，若不等式对所有的，都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）①，，②；（2）．【解析】（1）①根据题意，可知，，从而课建立关于，的方程组，即可求解，②通过①中求得的，的值可确定的解析式，从而课通过求导判断在上的单调性即可求其最大值；（2）参变量分离后可知，从而问题等价于求，通过变换主元后，可将视为关于的一次函数，即可求其最小值，从而求解．试题解析：（1）①，∵函数在处与直线相切，∴，解得；②，，当时，令，得；令，得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴；（2）当时，，∴问题等价于对所有的，都成立，令，∵，∴，故为关于的一次函数，∴，∴对所有的都成立，∴．【考点】1．导数的运用；2．恒成立问题．【方法点睛】函数与导数相结合的问题需要具备识图，推断，联想，构造的能力，常见的解决问题的策略有：①画草图，特点关注特特殊点：零点，极值点；②掌握单调性和导函数正负的关系，不能与原函数混淆；③常常需要根据条件特点，找到隐藏的原函数，，，；④含参的恒成立问题，通常考虑参变分离转化为求函数最值处理．10.某市政府欲在如图所示的矩形的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形（线段和为两条底边），已知，，，其中曲线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分．（1）以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求曲线所在抛物线的方程；（2）求该公园的最大面积．【答案】（1）；（2）.【解析】第一问根据图形以及题中所给的条件，判断出抛物线是开口向上的抛物线，设出相应的方程（），由已知可知在抛物线上，将其代入抛物线方程，求得，从而确定出抛物线的方程；第二问根据题意，确定好点和的坐标，从而确定出所在直线的方程为，设（），将公园的面积应用梯形的面积公式转化为关于的关系式，应用导数确定出其最值点，从而求得结果.试题解析：（1）设所在抛物线的方程为（），抛物线过，，得，所在抛物线的方程为，（2）又，，则所在直线的方程为，设（），则，，，公园的面积（），，令，得或（舍去负值），当变化时，和的变化情况如下表：极大值当时，取得最大值．故该公园的最大面积为．【考点】抛物线的方程，导数的应用.【方法点睛】该题考查的是函数的应用题，属于中档题目，在解题的过程中，重点工作是确定抛物线的方程，根据所建立的坐标系，结合曲线上点的坐标，代入求得抛物线的方程，第二问将图形的面积表示为关于的函数，利用导数求得函数的单调区间，从而确定出函数在哪个点取得最大值，从而代入解析式，求得结果.11.如图，点O为坐标原点，点A（1，1）．若函数且及且的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，且，恰好是线段的两个三等分点所以，把代入函数，即，解得把代入函数，即，即得所以故答案选【考点】指数函数和对数函数．12.函数为上增函数的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数为上增函数的一个充分不必要条件是在上恒成立，所以，因为，所以，故选B．【考点】1、导数与单调性；2、恒成立问题；3、充要条件．【方法点睛】恒成立问题与存在性问题的常见形式：①恒成立问题的转化：恒成立；；②能成立问题的转化：能成立；能成立；③恰成立问题的转化：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值；④设函数、，对任意的，存在，使得，则．13.下列函数中，在内有零点且单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项定义域为，不合题意；C选项在内既有增又有减，不合题意；D．，在内单调递减，故选B【考点】函数的单调性和零点14.（）A．B．C．D．【答案】B【解析】计算对数式时，要先把底数化成同底的，再进行运算．．故选B．【考点】对数的运算性质．15.已知函数．（1）当时，求在区间上的最大值；（2）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】利用导数判断函数在区间上的单调性，进而看得出函数的最大值；（2）构造函数通过导数讨论函数的单调性得出函数的极值进而得到的取值范围；（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论．试题解析：（1）当时当,有；当，有，在区间上是增函数，在上为减函数，又（2）令，则的定义域为在区间上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立．①①若，令，得极值点当，即时，在（，1）上有，在上有，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有不合题意；当，即时，同理可知，在区间上，有，也不合题意；②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是．综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方．【考点】函数与导数性质的应用．16.已知函数f（x）=，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）当时，曲线与直线只有一个交点,求x的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的斜率，然后根据直线过两点再次得到直线的斜率，列出方程得到的值．（2）根据曲线与直线只有一个交点,可以得到方程有唯一解,构造函数，然后利用函数的性质得到x的取值范围（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论．．试题解析：（I）由,知,而曲线在点处的切线过点,，（II）法一时，曲线与直线只有一个交点,时方程有唯一解,即有唯一解．当x=0时，显然无解．当时，变形为，令，由，知时，为增函数，时，为减函数，故时，．而，故方程①无解．若,，为减函数,且,即时，故时，方程①有唯一解，综上知，所求x的取值范围是．法二时，曲线与直线只有一个交点,时方程（）有唯一解,当x=0时，显然无解．当时，变形为，解得．令,知,当，时，在，单调递减，故，，有唯一解．综上知，所求x的取植范围是【考点】函数与导数性质的应用．17.已知函数.（Ⅰ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式≤在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，求实数的取值范围.【答案】（I）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；（II）或.【解析】（I）由函数可知函数，显然无法利用单调性的定义来求单调区间，所以用导函数法来求其单调区间，，对进行分类讨论，并令可求得的单调区间；（II）由题意可得在区间上有解，即的极小值（最小值）为负数或零，结合的单调性，列不等式，求的取值范围.试题解析：(1) ,定义域为（0，+∞），①当即时，令，令，得故在上单调递减，在上单调递增②当即时，恒成立，在（0，+∞）上单调递增。

三角函数与函数导数单元测试一、选择题1、函数()()m nf x ax x =1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==2、已知函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 3、设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()x g f 和()()x g f •；对任意R x ∈,()()())(x g f x g f = ；()()())(x g x f x g f =•．则下列等式恒成立的是（ ）A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ••=•B ．()()()()()())(x h g h f x h g f •=•C ．()()()()()())(x h g h f x h g f =D ． ()()()()()())(x h g h f x h g f •••=••4、已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A ．[22,22]-+ B ．(22,22)-+ C ．[1,3] D ．(1,3)5、设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ）A ．1 B ．12 C ．52 D ．226、设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞]D ．[0，+∞]7、函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）8、函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)89、函数2sin 2xy x =-的图象大致是10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）911、设函数()()212log ,0log ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ）．Ａ．()()1001,,-Ｂ．()()11,,-∞-+∞Ｃ．()()101,,-+∞Ｄ．()()101,,-∞-12、设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ）． Ａ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦Ｂ．[)0,+∞， Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦13、若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，则cos()2βα+=A ．33B ．33-C ．39D ．69-y0.1xO0.14已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭（C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭15）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增 二、填空题16\如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______。

高三数学函数综合试题答案及解析1.给出四个函数，分别满足①；②；③；④，又给出四个函数的图象如下：则正确的配匹方案是（）A．①—M ②—N③—P ④—QB．①—N②—P③—M④—QC．①—P②—M③—N④—QD．①—Q②—M③—N④—P【答案】D【解析】图象M是指数型函数，具有性质②；图象N是对数型函数，具有性质③图象P是幂函数，具有性质④，图象Q是正比例函数，具有性质①，故选D【考点】基本初等函数的图象与性质．2.下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数上的点，如图1；将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图3.图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作.下列说法中正确命题的序号是 .（填出所有正确命题的序号）①方程的解是；②；③是奇函数；④在定义域上单调递增；⑤的图象关于点对称．【答案】①④⑤【解析】①则，正确；②当时，∠ACM=,此时故，不对；③的定义域为不关于原点对称，是非奇非偶函数；④显然随着的增大,也增大;所以在定义域上单调递增，正确；⑤又整个过程是对称的,所以正确.【考点】1、函数的性质；2、创新意识.3.下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数上的点，如图1；将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图3.图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作.下列说法中正确命题的序号是 .（填出所有正确命题的序号）①方程的解是；②；③是奇函数；④在定义域上单调递增；⑤的图象关于点对称．【答案】①④⑤【解析】①则，正确；②当时，∠ACM=,此时故，不对；③的定义域为不关于原点对称，是非奇非偶函数；④显然随着的增大,也增大;所以在定义域上单调递增，正确；⑤又整个过程是对称的,所以正确.【考点】1、函数的性质；2、创新意识.4.函数的部分图像可能是（）A B C D【答案】B【解析】∵，∴为奇函数，且存在多个零点导致存在多个零点，故的图像应为含有多个零点的奇函数图像.故选B.【考点】通过图像考查函数的奇偶性以及单调性.5.已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为．【答案】．【解析】f（x）=x3-3ax（a∈R），则f′（x）=3x2-3a若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则直线的斜率为-1，f（x）′=3x2-3a与直线x+y+m=0没有交点，又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，则当x=0时取最小值，-3a＞-1，则a的取值范围为，即答案为．【考点】线性规划.6.已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】∵函数的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，则x1+x2=-m，x1x2=＞0，，即n+3m+2＜0，∴-m＜n＜-3m-2，为平面区域D，如图：∴m＜-1，n＞1．∵的图象上存在区域D内的点，∴loga（-1+4）＞1，∴∵a＞1，∴lga＞0，∴1g3＞lga．解得1＜a＜3；故选Ｂ．【考点】１．利用导数研究函数的极值；２．不等式组表示平面区域．7.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式(为非零常数)给出，其中为声音能量.（1）当声音强度满足时，求对应的声音能量满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.【答案】(1)解应用题问题，关键正确理解题意，列出对应的等量关系：(2)本题实质是解一个不等式：由题意得，，，即，当声音能量时，人会暂时性失聪.【解析】(1) (2)（1）2分4分6分（2）由题意得 10分12分14分答：当声音能量时，人会暂时性失聪. 15分【考点】实际问题应用题8.已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2＋2)<f(3x)，则实数x的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】由f(x)＝ln x＋2x，x∈(0，＋∞)得f′(x)＝＋2x ln 2>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(x2＋2)<f(3x)，得0<x2＋2<3x，所以x∈(1,2)．9.函数的图象可能是（）【答案】【解析】函数的定义域为，可排除；又时，，即，故选.【考点】函数的图象，函数的定义域，正弦函数、对数函数的性质.10.已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．【答案】(－1,3)【解析】由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.11.（5分）（2011•广东）设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），则下列等式恒成立的是（）A．（（f°g）•h）（x）=（（f•h）°（g•h））（x）B．（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C．（（f°g）°h）（x）=（（f°h）°（g°h））（x）D．（（f•g）•h）（x）=（（f•h）•（g•h））（x）【答案】B【解析】根据定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g （x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），然后逐个验证即可找到答案．解：A、∵（f°g）（x）=f（g（x）），（f•g）（x）=f（x）g（x），∴（（f°g）•h）（x）=（f°g）（x）h（x）=f（g（x））h（x）；而（（f•h）°（g•h））（x）=（f•h）（（g•h）（x））=f（g（x）h（x））h（g（x）h（x））；∴（（f°g）•h）（x）≠（（f•h）°（g•h））（x）B、∵（（f•g）°h）（x）=（f•g）（h（x））=f（h（x））g（h（x））（（f°h）•（g°h））（x）=（f°h）•（x）（g°h）（x）=f（h（x））g（h（x））∴（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C、（（f°g）°h）（x）=（（f°g）（h（x））=f（h（g（x））），（（f°h）°（g°h））（x）=f（h（g（h（x））））∴（（f°g）°h）（x）≠（（f°h）°（g°h））（x）；D、（（f•g）•h）（x）=f（x）g（x）h（x），（（f•h）•（g•h））（x）=f（x）h（x）g（x）h（x），∴（（f•g）•h）（x）≠（（f•h）•（g•h））（x）．故选B．点评：此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，和知识方法的迁移能力．12.已知函数f(x)=lnx+a,其中a为大于零的常数.(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.(2)求证：对于任意的n∈N*,且n>1时,都有lnn>++…+恒成立.【答案】（1）(0,1] （2）见解析【解析】(1)f′(x)=(x>0),由已知,得f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x在[1,+∞)上恒成立,又因为当x∈[1,+∞)时,x≥1,所以a≤1,即a的取值范围为(0,1].(2)由(1)知函数f(x)=lnx+-1在[1,+∞)上为增函数,当n>1时,因为>1,所以f>f(1),即lnn-ln(n-1)>,对于n∈N*,且n>1恒成立,lnn=[lnn-ln(n-1)]+[ln(n-1)-ln(n-2)]+…+[ln3-ln2]+[ln2-ln 1]>++…++,所以对于n∈N*,且n>1时,lnn>++…+恒成立.13.已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在区间[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）f(x)＝x＋（2）(－∞，－4]【解析】(1)∵f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0,1)的对称点B′(x′，y′)，则∴∵B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′＝x′＋＋2.∴2－y＝－x－＋2，∴y＝x＋，即f(x)＝x＋.(2)∵g(x)＝x2＋ax＋1，且g(x)在[0,2]上为减函数，∴－≥2，即a≤－4.∴a的取值范围为(－∞，－4]．14.已知函数则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】函数，.即.所以函数的零点个数即等价于，方程的解得个数，即等价于函数的交点的个数.如图所示.所以共有两个交点.故选B.【考点】1.分段函数的性质.2.函数的零点问题.3.等价转换的数学能力.4.分类讨论的数学思想.15.已知符号函数则函数的零点个数为（）．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】，时，，解得；当时，；当时，，即无解。

2014届高三理科数学小综合专题练习-------函数与导数一、选择题1.下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是 ( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x2.已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e12-，则 ( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x 3.已知函数f (x )＝1ln （x ＋1）－x，则y ＝f (x )的图像大致为 ( )4.某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结 果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 ( )A ．5B ．7C ．9D ．115.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 二、填空题6.设132,2,()log (1),2,x e x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩则不等式2)(>x f 的解集为7.已知定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2012)＝ 8.已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝__________． 9.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为_____ ___． 10.有下列几个命题，其中正确的序号有___________________.①方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a <； ②函数y =是偶函数，但不是奇函数；③函数()f x 的值域是[2,2]-，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-； ④ 设函数)12(+=x f y 的定义域为[]1,0，则函数)(x f y =的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21； ⑤“a =21”是“a x f x +-=121)(是奇函数”的充要条件. 三、解答题 11.已知函数⎪⎭⎫⎝⎛-+=112lg )(x x f 的定义域为集合A ，函数()2221x ax a x g ---=的定义域为集合B ．（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）2a ≥是A B ⋂=Φ的什么条件（充分非必要条件 、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？ 并证明你的结论．12.已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值．13.已知函数11)(+-=x cx x f (c 为常数). （1）若1为函数)(x f 的零点, 求c 的值；（2）在(1)的条件下且0=+b a , 求)4()4(baf f +的值； （3）若函数)(x f 在[0,2]上的最大值为3, 求c 的值.14.已知函数22()2ln f x a x x =-(常数0)a >.(1)求证：无论a 为何正数，函数()f x 的图象恒过点(1,1)A -；(2) 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(3)讨论函数()f x 在区间2(1,)e 上零点的个数（e 为自然对数的底数）．15.两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由.2014届高三理科数学小综合专题练习-------函数与导数参考答案一、选择题 CDBCD 二、填空题6.(1,2)(10,)+∞7.3388.－19.－10 10.①⑤ 三、解答题 11.解：（1） A={x|210}1x ->+ 21100(1)(1)011x x x x x -->⇔<⇔+-<++， ∴ -1<x<1∴A=（-1，1），故f （x ）的定义域关于原点对称. 又f （x ）= lg 11xx -+， 则 f （-x ）=lg11x x +-+= lg 11()1x x --+=- lg 11xx -+，∴f （x ）是奇函数. （2）B={x|x 2+2ax-1+a 2≤0},得-1-a ≤x ≤1-a,即B=[-1-a ，1-a] 当a ≥2时，-1-a ≤-3，1-a ≤-1，由A=（-1，1）， B=[-1-a ，1-a]， 有A B =∅ 反之，若A B =∅ ，可取-a-1=2，则a=-3，a 小于2. 所以，a ≥2是A B =∅ 的充分非必要条件12.解：由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f ， 又⎩⎨⎧-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a13.解: (1) 1为)(x f 的一个零点.∴ 0)1(=f 即 1=c .(2)由(1)知: 11)(+-=x x x f , 所以0)14()14(24214141414)4()4(=+⋅+-⋅=+-++-=++ba b a b b a a baf f . （3）先证)(x f 的单调性.设2021≤<≤x x ,则)1()1()1()(1111)()(1212112212+⋅++⋅-=+--+-=-x x c x x x cx x cx x f x f . 因为2021≤<≤x x ,所以当1->c 时, )()(12x f x f >,即函数)(x f 在[0,2]上是单调递增, 所以3)2()(max ==f x f ,即31212=+-c ,解得5=c .当1-=c 时, )()(12x f x f =,即函数)(x f 在[0,2]上是常函数, 所以1)(-=x f ,不合题意.当1-<c 时, )()(12x f x f <,即函数)(x f 在[0,2]上是单调递减,所以3)0()(max ==f x f ,即31=-,显然不成立. 综上所述,5=c .14.解：(1)∵2(1)2ln11011f a =-=-=-∴无论a 为何正数，函数()f x 的图象恒过点(1,1)A -．(2) 当 1a =时，2()2ln f x x x =-，2()2f x x x'∴=-. (1)0f '∴=. 又(1)1f =- ，∴曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为10y +=．(3) 22()2ln f x a x x =-，所以222222()2a a x f x x x x -'=-= 2()()x a x a x--+= 因为0x >，0a >，于是当0x a <<时，()0f x '>，当x a >时，()0f x '<.所以()f x 在(]0,a 上是增函数，在[),a +∞上是减函数. 所以，2max ()()(2ln 1).f x f a a a ==-讨论函数()f x 的零点情况如下． ①当2(2ln 1)0a a -<，即0a <<时，函数()f x 无零点，在2(1,)e 上也无零点；②当2(2ln 1)0a a -=，即a=时，函数()f x 在(0,)+∞内有唯一零点a ，而 21a e <=<，∴()fx 在2(1,)e 内有一个零点；③当2(2ln 1)0a a ->，即a >由于(1)10f =-<，2()(2ln 1)0f a a a =->，22242422()2ln 4(2)(2)f e a e e a e a e a e =-=-=-+，当220a e -<22e a <<时，2212e a e <<<<，2()0f e <，由单调性可知，函数()f x 在(1,)a 内有唯一零点1x 、在2(,)a e 内有唯一零点2x 满足，()f x 在2(1,)e 内有两个零点；当220a e -≥时，即22e a ≥>2()0f e ≥，而且221202f a e a e =⋅-=->，(1)10f =-<由单调性可知，无论2a e ≥还是2a e<，()f x 在内有唯一的一个零点，在2)e 内没有零点，从而()fx 在2(1,)e 内只有一个零点；综上所述，有：当0a <<时，函数()f x 无零点；当a=22e a ≥时，函数()f x 22e a <<时，函数()f x 有两个零点.15.解法一:（1）如图,由题意知AC ⊥BC,22400BC x =-,224(020)400k y x x x =+<<- 其中当x =y=0.065,所以k=9所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x =+<<- （2）2249400y x x=+-, 42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x ⨯---=--=--,令'0y =得422188(400)x x =-,所以2160x =,即x =,当0x <<, 422188(400)x x <-,即'0y <所以函数为单调减函数,当20x <<时, 422188(400)x x >-,即'0y >所以函数为单调增函数.所以当x =时, 即当C 点到城A 的距离为时, 函数2249(020)400y x x x =+<<-有最小值. 解法二: （1）同上.（2）设22,400m x n x ==-,则400m n +=,49y m n=+,所以 494914911()[13()](1312)40040040016m n n m y m n m n m n +=+=+=++≥+=当且仅当49n m m n =即240160n m =⎧⎨=⎩时取”=”. 下面证明函数49400y m m=+-在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设0<m 1<m 2<160,则1211224949()400400y y m m m m -=+-+-- 12124499()()400400m m m m =-+---211212124()9()(400)(400)m m m m m m m m --=+-- 21121249()[](400)(400)m m m m m m =----12122112124(400)(400)9()(400)(400)m m m m m m m m m m ---=---,因为0<m 1<m 2<160,所以412(400)(400)m m -->4×240×240 9 m 1m 2<9×160×160所以121212124(400)(400)90(400)(400)m m m m m m m m --->--,所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)m m m m m m m m m m ---->--即12y y >函数49400y m m=+-在(0,160)上为减函数. 同理,函数49400y m m=+-在(160,400)上为增函数,设160<m 1<m 2<400, 则1211224949()400400y y m m m m -=+-+--12122112124(400)(400)9()(400)(400)m m m m m m m m m m ---=--- 因为1600<m 1<m 2<400,所以412(400)(400)m m --<4×240×240, 9 m 1m 2>9×160×160所以121212124(400)(400)90(400)(400)m m m m m m m m ---<--,所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)m m m m m m m m m m ----<--即12y y <49400y m m=+-在(160,400)上为增函数. 所以当m=160即x =时取”=”,函数y 有最小值,所以弧上存在一点，当x =时使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小.。

高三数学函数综合试题答案及解析1.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当x=0时，不等式mx3﹣x2+4x+3≥0对任意m∈R恒成立；当0＜x≤1时，mx3﹣x2+4x+3≥0可化为m≥，令f（x）=，则f ′（x）=（*），当0＜x≤1时，f ′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴m≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，mx3﹣x2+4x+3≥0可化为m≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f ′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴m≤﹣2；综上所述，实数m的取值范围是﹣6≤m≤﹣2，即实数m的取值范围是[﹣6，﹣2]．【考点】1、不等关系；2、导数的应用.2.已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】∵函数的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，则x1+x2=-m，x1x2=＞0，，即n+3m+2＜0，∴-m＜n＜-3m-2，为平面区域D，如图：∴m＜-1，n＞1．∵的图象上存在区域D内的点，∴loga（-1+4）＞1，∴∵a＞1，∴lga＞0，∴1g3＞lga．解得1＜a＜3；故选Ｂ．【考点】１．利用导数研究函数的极值；２．不等式组表示平面区域．3.设函数，，，记，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由，故，由，故，，故，故选B【考点】比较大小.4.对任意实数a，b，函数F(a，b)＝(a＋b－|a－b|)，如果函数f(x)＝－x2＋2x＋3，g(x)＝x＋1，那么函数G(x)＝F(f(x)，g(x))的最大值等于________．【答案】3【解析】由题可知F(a，b)＝(a＋b－|a－b|)＝，则在同一坐标系中画出f(x)＝－x2＋2x＝3.＋3，g(x)＝x＋1的图象，数形结合可知x＝2时，G(x)max5.（2011•浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4或﹣2B．﹣4或2C．﹣2或4D．﹣2或2【答案】B【解析】当a≤0时若f（a）=4，则﹣a=4，解得a=﹣4当a＞0时若f（a）=4，则a2=4，解得a=2或a=﹣2（舍去）故实数a=﹣4或a=2故选B6.函数在内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点【答案】B【解析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。

专题07 二次函数综合问题一．考情分析二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，千变万化，但又是基础的基础，万变不离宗。

所以二次函数也是高中学习的重要基础．与其他知识交汇的最值问题以及恒成立问题是目前高考中最基础的两个考试方向。

复合函数也越来越重要。

所以二次函数的学习，都显示的特别重要。

二．经验分享1.二次函数解析式的三种形式：①一般式方程：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).②顶点式方程：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). ③零点式方程：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.2.二次函数的图象和性质 解析式y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称最值当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；函数取最小值y ＝244ac b a-．当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a；函数取最大值y ＝244ac b a-．3.恒成立问题①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00a >⎧⎨∆<⎩（或00a <⎧⎨∆<⎩）； ②.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

三、题型分析（一）二次函数之恒成立与存在性问题例1 已知函数().222m mx x x f -+-=（1）若不等式()mx x f -≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围;（2）记(){},10,≤≤==x x f y y A 且[)，，∞+⊆0A 求实数m 的最大值。

专题03 二次求导函数处理（二阶导数）一、考情分析1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。

利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。

需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。

本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

3、解决这类题的常规解题步骤为： ①求函数的定义域；②求函数的导数)('x f ，无法判断导函数正负； ③构造求)(')(x f x g =，求'(x)g ； ④列出)(),(',x g x g x 的变化关系表； ⑤根据列表解答问题。

二、经验分享方法 二次求导使用情景对函数()f x 一次求导得到()f x '之后，解不等式()0()0f x f x ''><和难度较大甚至根本解不出.解题步骤设()()g x f x '=，再求()g x '，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()f x '的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.三、题型分析(一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化） 已知关于x 的不等式()22ln 212x m x mx +-+≤在()0,∞上恒成立，则整数m 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B ．【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令1=x 时，m m ≤+⨯-+21)1(21ln 2化简：34≥m ； 令2=x 时，m m 422)1(22ln 2≤+⨯-+，化简42ln 22+≥m 你还可以在算出3,4，选择题排除法。

高三数学函数与导数压轴题训练——函数不等式问题在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数与导数交汇的重要题型，这类问题由于比较抽象，很多学生解题时，突破不了由抽象而造成的解题障碍．实际上，根据所解不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法．[典例]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)[思路点拨]观察xf′(x)－f(x)<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，尝试构造函数F(x)＝f(x)x求解．[方法演示]法一：构造抽象函数求解设F(x)＝f(x)x.因为f(x)是奇函数，故F(x)是偶函数，F′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，易知当x>0时，F′(x)<0，所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(－1)＝0，则f(1)＝0，于是F(－1)＝F(1)＝0，f(x)＝xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x与F(x)的符号相同的区间，易知当x∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f(x)>0，故选A.法二：构造具体函数求解设f(x)是多项式函数，因为f(x)是奇函数，所以它只含x的奇次项．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)能被x2－1整除．因此可取f(x)＝x－x3，检验知f(x)满足题设条件．解不等式f(x)>0，得x∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.答案：A[解题师说]抽象函数的导数问题在高考中常考常新，可谓变化多端，解决此类问题的关键是构造函数，常见的构造函数方法有如下几种：(1)利用和、差函数求导法则构造函数①对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；②对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx.(2)利用积、商函数求导法则构造函数①对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； ②对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )(g (x )≠0)． (3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数①对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； ②对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x(x ≠0)； ③对于不等式xf ′(x )＋nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝x n f (x )； ④对于不等式xf ′(x )－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x n (x ≠0)； ⑤对于不等式f ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e x f (x )； ⑥对于不等式f ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e x； ⑦对于不等式f (x )＋f ′(x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝sin xf (x )； ⑧对于不等式f (x )－f ′(x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )sin x (sin x ≠0)；⑨对于不等式f ′(x )－f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝cos xf (x )； ⑩对于不等式f ′(x )＋f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )cos x (cos x ≠0)．⑪(理)对于不等式f ′(x )＋kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e kx f (x )； ⑫(理)对于不等式f ′(x )－kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e kx ；[应用体验]1．定义在R 上的函数f (x )，满足f (1)＝1，且对任意x ∈R 都有f ′(x )<12，则不等式f (lg x )>lg x ＋12的解集为__________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x ＋12， 则g ′(x )＝f ′(x )－12<0，∴g (x )在定义域上是减函数． 又g (1)＝f (1)－1＝0，∴原不等式可化为g (lg x )>g (1)， ∴lg x <1，解得0<x <10.∴原不等式的解集为{x |0<x <10}． 答案：(0,10)2．已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2内的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，都有f ′(x )sin x <f (x )cos x ，则不等式f (x )<2f ⎝⎛⎭⎫π6sin x 的解集为__________．解析：构造函数g (x )＝f (x )sin x ，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x <0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内为减函数． 由f (x )<2f ⎝⎛⎭⎫π6sin x ， 得f (x )sin x <2f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π6sin π6， 即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫π6，∴π6<x <π2， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x π6<x <π2.答案：⎝⎛⎭⎫π6，π2一、选择题1.已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为其导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A ．(－3，－2)∪(2,3)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选A 由y ＝f ′(x )的图象知，f (x )在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f (－2)＝1，f (3)＝1，∴f (x 2－6)>1可化为－2<x 2－6<3，解得－3<x <－2或2<x <3.2．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集为( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：选D 因为f (x )＋xf ′(x )<0，所以[xf (x )]′<0，故xf (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，又(x ＋1)f (x ＋1)>(x 2－1)f (x 2－1)，所以x ＋1<x 2－1，解得x >2.3．已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )<g (1)的解集为( )A ．(－∞，1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 因为g (x )＝x 2f (x )，所以g ′(x )＝x 2f ′(x )＋2xf (x )＝x [xf ′(x )＋2f (x )]．由题意知，当x >0时，xf ′(x )＋2f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，则g (x )也是偶函数，所以g (x )＝g (|x |)，由g (x )<g (1)，得g (|x |)<g (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0，所以x ∈(－1,0)∪(0,1)． 4．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集为( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析：选D 设F (x )＝f (x )g (x )，当x <0时， ∵F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， ∴F (x )在(－∞，0)上为增函数．又∵F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )， 故F (x )为R 上的奇函数．∴F (x )在(0，＋∞)上也为增函数． 由g (－3)＝0，得F (－3)＝F (3)＝0.画出函数F (x )的大致图象如图所示， ∴F (x )<0的解集为{x |x <－3或0<x <3}．5．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对于任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (a )≤f (b )B ．bf (b )≤f (a )C ．af (b )≤bf (a )D ．bf (a )≤af (b )解析：选C ∵xf ′(x )＋f (x )≤0，且x >0，f (x )≥0. ∴f ′(x )≤－f (x )x ，即f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又0<a <b ，∴af (b )<bf (a )，当f (x )＝0时，符合题意，则af (b )＝bf (a )，故af (b )≤bf (a )．6．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：选A 法一：令g (x )＝x 2f (x )－14x 4，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－x 3＝x [2f (x )＋xf ′(x )－x 2]， 当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )>g (0)， 即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x <0时，g ′(x )<0，∴g (x )>g (0)， 即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x ＝0时，由题意可得2f (0)>0，∴f (0)>0. 综上可知，f (x )>0.法二：∵2f (x )＋xf ′(x )>x 2， 令x ＝0，则f (0)>0，故可排除B 、D.如果f (x )＝x 2＋0.1，已知条件2f (x )＋xf ′(x )>x 2成立，但f (x )>x 不恒成立，故排除C ，选A.7．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则不等式f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：选B令m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴函数m(x)在R上为单调递增函数．又∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．8．设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)上可导，且f′(x)<g′(x)，则当x∈(a，b)时必有()A．f(x)>g(x)B．f(x)<g(x)C．f(x)＋g(a)<g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)<g(x)＋f(b)解析：选C令函数h(x)＝f(x)－g(x)．因为f′(x)<g′(x)，故h′(x)＝[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)<0，即函数h(x)在区间[a，b]上单调递减．所以x∈(a，b)时必有h(b)<h(x)<h(a)，即f(b)－g(b)<f(x)－g(x)<f(a)－g(a)，移项整理得，f(x)＋g(a)<g(x)＋f(a)，f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)，故选项C正确．9．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(－2)＝0，且x>0时，f(x)＋xf′(x)>0，则不等式xf(x)≥0的解集是()A．[－2,0]B．[0,2]C．[－2,2]D．[－2,0]∪[2，＋∞)解析：选D因为x>0时，f(x)＋xf′(x)>0，故构造函数y＝xf(x)，则该函数在(0，＋∞)上单调递增．又因为f(x)为偶函数，故y＝xf(x)为奇函数．结合f(－2)＝0，画出函数y＝xf(x)的大致图象如图所示．所以不等式xf(x)≥0的解集为[－2,0]∪[2，＋∞)．10．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (3)＝0，且x <0时，xf ′(x )<f (x )，则不等式f (x )≥0的解集为( )A ．(－∞，0)B ．[－3,0]∪[3，＋∞)C ．[－3,3]D ．[0,3]解析：选B 令F (x )＝f (x )x ，因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以F (x )为偶函数，当x <0时，F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故f (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数． 结合f (3)＝0，画出函数F (x )＝f (x )x 的大致图象如图所示．所以不等式f (x )≥0的解集为[－3,0]∪[3，＋∞)．11．函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且f (x )>f ′(x )对任意x ∈R 都成立，则下列不等式中成立的是( )A ．f (2 018)>e 2 018f (0)，f (2 018)>e f (2 017)B ．f (2 018)>e 2 018f (0)，f (2 018)<e f (2 017)C ．f (2 018)<e 2 018f (0)，f (2 018)>e f (2 017)D ．f (2 018)<e 2 018f (0)，f (2 018)<e f (2 017) 解析：选D 令函数g (x )＝f (x )e x .由f (x )>f ′(x )，得f ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x <0，即函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减．所以f (2 018)e 2 018<f (2 017)e 2 017<f (0)e0，即有f (2 018)<e f (2 017)，f (2 018)<e 2 018f (0)．12．设定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1 C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>1k －1解析：选C 令g (x )＝f (x )－kx ＋1， 则g (0)＝f (0)＋1＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k ·1k －1＋1 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1. ∵g ′(x )＝f ′(x )－k >0， ∴g (x )在[0，＋∞)上为增函数． 又∵k >1，∴1k －1>0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1>0， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1.二、填空题13．设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f (x )＋xf ′(x )>0，则不等式f (x ＋1)>x －1f (x 2－1)的解集为________．解析：令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，∴g (x )是R 上的增函数．又f (x ＋1)>x －1f (x 2－1)可等价转化为x ＋1f (x ＋1)>x 2－1f (x 2－1)，即g (x ＋1)>g (x 2－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>x 2－1，x －1≥0，解得1≤x <2，∴原不等式的解集为{x |1≤x <2}．答案：[1,2)14．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 018)2·f (x ＋2 018)－4f (－2)>0的解集为________．解析：令g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )． 结合条件2f (x )＋xf ′(x )>x 2，将条件两边同时乘以x ， 得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(－∞，0)上是减函数， 又g (－2)＝4f (－2)，∴由(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－4f (－2)>0， 即g (x ＋2 018)>g (－2)，得x ＋2 018<－2，解得x <－2 020， ∴原不等式的解集为(－∞，－2 020)． 答案：(－∞，－2 020)15．已知定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且y ＝f (x ＋1)为偶函数．f (2)＝1，则不等式f (x )<e x 的解集为________．解析：令h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x <0，∴h (x )在R 上是减函数，又y ＝f (x ＋1)是偶函数， ∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝1.由f (x )<e x ，得f (x )e x <1，又h (0)＝f (0)e 0＝1，∴h (x )<h (0)，∴x >0，故原不等式的解集为{x |x >0}． 答案：(0，＋∞)16．设f (x )是R 上的奇函数，且f (－1)＝0，当x >0时，(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )<0，则不等式f (x )>0的解集为______．解析：令g (x )＝f (x )x 2＋1，则g ′(x )＝(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )(x 2＋1)2.因为当x >0时，(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )<0，所以g ′(x )<0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递减． 又f (x )＝g (x )(x 2＋1)，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减．又f(x)是R上的奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝0.当x>0时，f(x)>0＝f(1)⇒0<x<1；当x<0时，f(x)>0＝f(－1)⇒x<－1.综上，可得不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．答案：(－∞，－1)∪(0,1)。

高三理科数学复习题 函数与导数1.已知函数()axexx x f --11+=.()1设0>a ，讨论()x f y =的单调性；()2若对任意()1,0∈x 恒有()1>x f ，求a 的取值范围.2.已知函数()x a x x f ln +=，其中a 为常数，且1-≤a .()1当1-=a 时，求()x f 在[]2,e e ()71828.2≈e 上的值域；()2若()1-e x f ≤对任意[]2,e e x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.3.已知函数()xe x a xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1，其中0>a . ()1求函数()x f 的零点；()2讨论()x f y =在区间()0,-∞上的单调性； ()3在区间⎥⎦⎤⎝⎛∞2,--a 上，()x f 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.4.已知函数()R a xx a x f ∈=,1-ln .()1若曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线与直线02=+y x 垂直，求a 的值； ()2求函数()x f 的单调区间；()3当1=a，且2≥x 时，证明：()5-21-x x f ≤.5.已知函数()xa x x f +=ln .()1当0<a 时，求函数()x f 的单调区间；()2若函数()x f 在[]e ,1上的最小值是23，求a 的值.6.已知函数()x xp px x f ln 2--=.()1若2=p ，求曲线()x f 在点()()1,1f 处的切线方程；()2若函数()x f 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； ()3设函数()xe x g 2=，若在[]e ,1上至少存在一点0x ，使得()()00x g x f >成立，求实数p的取值范围.7.已知函数()x x x f -3=.()1求函数()x f y =的单调区间；()2设0>a ，如果过点()b a ,可作曲线()x f y =的三条切线，证明：()a f b a <<-.8.已知函数()x ax x f -2= ()0,≠∈a R a ，()x x g ln =.()1当1=a 时，判断函数()()x g x f -在定义域上的单调性；()2若函数()x f y =与()x g y =的图像有两个不同的交点N M 、，求a 的取值范围； ()3设点()11,y x A 和()22,y x B ()21x x <是函数()x g y =图像上的两点，平行于AB 的切线以()00,y x P 为切点，求证：201x x x <<.9.已知函数()()0ln -->=a x a x x f .()1若1=a ，求()x f 的单调区间及()x f 的最小值；()2若0>a ，求()x f 的单调区间；()3试比较222222ln 33ln 22ln nn +++与()()()12121-++n n n 的大小()2*≥∈n N n 且，并证明你的结论.10.已知函数()()xx x f 1ln 1++=和()()1ln -1-+=x x x g .()1函数()x f y =在区间()+∞,0上是增函数还是减函数？说明理由； ()2求证：函数()x g y =在区间()3,2上有唯一零点；()3当0>a 时，不等式()()x g k x xf '>恒成立（其中()x g '是()x g 的导函数，*N k ∈），求k 的最大值.11.设函数()x axx x f ln -1+=在[)+∞,1上是增函数.()1求正实数a 的取值范围；()2设1,0>>a b ，求证：bb a bb a ba +<+<+ln1.12.已知函数()()02-21-ln 2<=a x ax x x f .()1若函数()x f 在定义域内单调递增，求a 的取值范围；()2若21-=a 且关于x 的方程()b x x f +=21-在[]4,1上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；()3设各项为正的数列{}n a 满足*112ln ,1N n a a a a n n n ∈++==+，.求证：1-2nn a ≤.13.已知函数()xxx x f 1ln +=.()1若函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛+31,m m （其中0>m ）上存在极值，求实数m 的取值范围； ()2如果当1≥x 时，不等式()1+≥x k x f 恒成立，求实数k 的取值范围；()3求证：()[]()2-21! 1n en n ∙+>+ ()*N n ∈.14.设函数()ax x x f -ln =()R a ∈.()1判断函数()x f 的单调性；()2当ax x <ln 在()+∞,0上恒成立时，求a 的取值范围；()3证明：e n n<⎪⎭⎫ ⎝⎛+11()*N n ∈.15.已知函数()ax x x x f -ln 2+=.()1若函数()x f 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； ()2设()*11N n na n∈+=，求证：()()n n a a a a a an n 21ln ----32222121++<+++ .。

高三数学函数专题训练题（附详解）第1卷（选择题）一、单选题1. 已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f '(x) < f(x)，且f(-x) = f(2+x)，f(2)=1，则不等式f(x)< e x 的解集为（ ） A.（-∞，2） B.（2，+∞） C.（1，+∞） D.（0，+∞）2. 函数y=sinx+2|sinx|，x ∈[0，2x]的图像与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围为（ ）A. k ∈ [0，3]B. k ∈ [1，3]C. k ∈（1，3）D. k ∈（0，3） 3. 已知sina 1+cosa= 2，则 tana =（ ）A. - 43B. - 34C. 43D. 24. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+4) = f(x)，当x ∈(0，2)时，f(x)=3x -1，则f(2022)+f(2023)=（ ）A. -2023B. -1C. 1D. 32022 5. 设a=log 20.3，b=0.2，c=（12）0.2，则a,b,c 三者的大小关系为（ ） A. a<b<c B. c<a<b C. b<c<a D. a<c<b6. 设函数f(x)(x ∈R)的导函数为f '(x)，满足f '(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)与e a f(0)的大小关系为（ ）A. f(a)>e a f(0)B. f(a)<e a f(0)C. f(a)=e a f(0)D. 不能确定7. 已知f(x)=2x2x +1+ax+cos2x ，若f (π3)=2，则f(-π3)等于（ ）A. -2B. -1C. 0D. 18. 已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2)，A （13，0）为f(x)图像的对称中心，B 、C 是该图像上相邻的最高点和最低点，且|BC|=4，则下列结论正确的是（ ） A. 函数f(x)的对称轴方程为x=43+4k(k ∈Z)B. 若函数f(x )在区间(0，m)内有5个零点，则在此区间内f(x )有且只有2个极小值点C. 函数f(x )在区间(0，2)上单调递增D. f(x -π3)的图象关于y 轴对称9. 已知函数f(x)={|x|x+4√x 36−x，−4<x<2，2≤x<6,若方程f(x)+αx 2=0有5个不等实根，则实数α的取值范围是（ ）A. (-∞，- √24) ∪ {- 13}B. [- 13，- 14] C. [13，√24] D. ( √24，+∞)∪ { 13} 10. 已知F 1，F 2分别为双曲线x 2-y 23=1的左、右焦点，直线l 过点F 2，且与双曲线右支交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AF 1F 2、△BF 1F 2的内切圆的圆心分别为O 1，O 2，则△OO 1O 2面积的取值范围是（ ） A. (1，2√33) B. [1，2√33)C. [1，2√33] D. (1，2√33] 11. 设定义在R 上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f '(x)和g'(x)，若g(x)-f(3-x)=2，f '(x)=g'(x-1)，且g(x+2)为奇函数，g(1)=1。

韩哥智慧之窗-精品文档精品文档韩哥智慧之窗-精品文档精品文档 1专题03 二次求导函数处理（二阶导数）一、考情分析1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。

利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。

此时解题受阻。

此时解题受阻。

需要利用需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。

本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

3、解决这类题的常规解题步骤为：、解决这类题的常规解题步骤为： ①求函数的定义域；①求函数的定义域；②求函数的导数)('x f ，无法判断导函数正负；，无法判断导函数正负； ③构造求)(')(x f x g =，求'(x)g ； ④列出)(),(',x g x g x 的变化关系表；的变化关系表； ⑤根据列表解答问题。

⑤根据列表解答问题。

二、经验分享方法方法 二次求导二次求导使用情景使用情景对函数()f x 一次求导得到()f x '之后，解不等式()0()0f x f x ''><和难度较大甚至根本解不出.解题步骤解题步骤设()()g x f x '=，再求()g x '，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()f x '的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.三、题型分析(一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化） 已知关于x 的不等式()22ln 212x m x mx +-+≤在()0,∞上恒成立，则整数m 的最小值为（的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B ．【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令1=x 时，m m ≤+⨯-+21)1(21ln 2化简：34≥m ；令2=x 时，m m 422)1(22ln 2≤+⨯-+，化简42ln 22+≥m你还可以在算出3,4，选择题排除法。

文科导数、切线方程练习一、选择题1．函数()22)(x x f π=的导数是（ ） A.x x f π4)(=' B.x x f 24)(π=' C. x x f 28)(π=' D. x x f π16)(=' 2.曲线2313-=x y 在点)37,1(--处的切线的倾斜角为（ ） A . 30o B . 45o C . 135o D . -45o3. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）A.1B.2C.－1D. 0 4．曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）A. (1,0)B. (2,8)C. (1,0)和(1,4)--D. (2,8)和(1,4)--5．曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为（ ）A ．31y x =-B ．35y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =6.曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）A .1B .2C .eD .1e 7.曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（ ）A .1y x =-B .1y x =-+C .22y x =-D .22y x =-+8．若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则A .1,1a b ==B . 1,1a b =-=C .1,1a b ==-D . 1,1a b =-=-9．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=10．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e 二、填空题 11.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.12.曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________13.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于_______________14.若23ln 4x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=，则切点坐标为 三、解答题：13．已知a ∈R,函数f(x)=2x 3-3(a +1)x 2+6a x 若a =1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;14．已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x-=-+-∈）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；15．已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a >0. 若a =1，求曲线y=f （x ）在 点（2，f （2））处的切线方程；16． 已知函数f （x ）=3213x x ax b -++的图像在点P （0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2. 求实数a , b 的值；17. 已知函数32()23 3.f x x x =-+求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；18．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

题型三：导数与三角函数综合【例1】 设函数223()cos 4sin 3()2x f x x t t t x =++-∈R ，其中||1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 在下面哪个区间上单调递增（ ）A ．1(,)(1,)3-∞-+∞ B ．1[1,]3-- C ．1(,)3+∞ D ．1[,1]3【例2】 将函数2y []()06x ∈，的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ()0θα≤≤，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为 ．【例3】 已知函数2cos ()3sin a x f x x -=在π02⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数，求a 的取值范围．【例4】 求证：方程1sin 02x x -=只有一个根0x =．【例5】 设函数()sin(2)(π0)f x x ϕϕ=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是直线π8x =． ⑴求ϕ；⑵求函数()y f x =的单调增区间；⑶证明直线520x y c -+=与函数()y f x =的图象不相切．【例6】 已知向量πππ2cos tan tan 2242424x x x x a b ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭ ，，，，令()f x a b =⋅ ，是否存在实数[0π]x ∈，，使()()0f x f x '+=（其中()f x '是()f x 的导函数）．若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之．【例7】 设()()21=++x f x e ax x ，且曲线()=y f x 在1=x 处的切线与x 轴平行．⑴ 求a 的值，并讨论()f x 的单调性；⑵ 证明：当π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()()cos sin 2θθ-<f f ． 【例8】 已知：在函数3()f x mx x =-的图象上，以(1,)N n 为切点的切线的倾斜角为π4． ⑴求m ，n 的值；⑵是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由． ⑶求证：1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）．【例9】 已知函数2()e (22)x f x ax x =⋅--，a ∈R 且0a ≠．⑴若曲线()y f x =在点(1(1))P f ，处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； ⑵当02a <≤时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值． ⑶当2a >时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值．【例10】 设函数()sin ()f x x x x =∈R ．⑴证明(2π)()2πsin f x k f x k x +-=，其中为k 为整数；⑵设0x 为()f x 的一个极值点，证明420020[()]1x f x x =+；⑶设()f x 在(0)+∞，内的全部极值点按从小到大的顺序排列12n a a a ，，，，， 证明：1ππ (12)2n n a a n +<-<= ，，【例11】 已知函数()32343cos cos 16f x x x θθ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且02πθ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间()21a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．【例12】 已知函数321()43cos 32f x x x θ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且π02θ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(21)a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．题型四：导数与数列综合【例13】 已知函数()sin f x x x =-，数列{}n a 满足：101a <<，1()n n a f a +=，123n = ，，，． 证明：⑴101n n a a +<<<； ⑵3116n n a a +<．【例14】 已知数列{}n a 的通项238n a n n =-，n +∈N ，求数列{}n a 的最大项．【例15】 共有50项的数列{}n a 的通项n a =【例16】 设数列{}n a 的通项公式为2()n a n n n λ+=+∈N ，且{}n a 满足121n n a a a a +<<<<< ，求实数λ的取值范围．【例17】 已知数列{}n a 满足：3123n n n a a a +=-+，n +∈N ，且1(01)a ∈，，求证：01n a <<．【例18】 各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，函数21()()ln 2f x px p q x q x =-++， （其中p 、q 均为常数，且0p q >>），当1x a =时，函数()f x 取得极小值，点(2)()n n a S n *∈N ，均在函数22()qy px f x q x'=-++的图象上，（其中()f x '是函数()f x 的导函数）⑴求1a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶记43n nn S b q n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【例19】 已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且*125()n n S S n n +=++∈N⑴证明数列{}1n a +是等比数列；⑵令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '，并比较2(1)f '与22313n n -的大小．【例20】 已知a 是给定的实常数，设函数2()()()x f x x a x b e =-+，b ∈R ，x a =是()f x 的一个极大值点．⑴求b 的取值范围；⑵设1x ，2x ，3x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x ∈R ，使得1x ，2x ，3x ，4x 的某种排列1i x ，2i x ，3i x ，4i x （其中1234{}{1234}i i i i =，，，，，，）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．。

函数与导数(3)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3 的定义域为( )A ．(－∞，－3)∪(－3，0]B ．(－∞，－3)∪(－3，1]C ．(－3，0]D ．(－3，1]2．下列函数中，在其定义域上是减函数的是( )A ．y ＝－1x B ．y ＝x 2＋2xC ．y ＝－⎝⎛⎭⎫12 x D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ≤0－x －2，x >03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >03x ，x ≤0，则f (f (2))的值为( )A ．13 B ．3C ．－13 D ．－34．若a ＝log 20.5，b ＝20.5，c ＝0.52，则a ，b ，c 三个数的大小关系是() A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜aC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b5．函数f (x )＝7x 3e x ＋e －x 在[－6，6]上的大致图象为( )6．已知f (x )是R 上的奇函数，且对x ∈R ，有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x －1，则f (log 241)＝( )A ．40B ．2516C ．2341D ．41237．已知函数f (x )＝|lg x |，若f (a )＝f (b )且a <b ，则不等式log a x ＋log b (2x －1)>0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫12，18． “m >1”是“函数f (x )＝2ln x －mx ＋1x单调递减”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，y ＝f (x ＋3)为偶函数，若f (x )在(0，3)上单调递减，则下面结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫192 <f (e 12 )<f (ln 2)B ．f (e 12 )<f (ln 2)<f ⎝⎛⎭⎫192C ．f (ln 2)<f ⎝⎛⎭⎫192 <f (e 12 )D ．f (ln 2)<f ⎝⎛⎭⎫e 12 <f ⎝⎛⎭⎫19210．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，e x －1，x ≤0， g (x )＝f (x )＋x －a ，若g (x )恰有一个零点，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．[1，＋∞)D ．(0，1]11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x <0，ln x ，x >0，则方程f (f (x ))＋3＝0的解的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．612．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0e x （x ＋1），x ≤0 ，若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 不可能取的值是( )A ．0B ．13C ．12D ．1 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <3f （x －4），x ≥3 ，则f (9)＝________． 14．若f (x )为偶函数，满足f (x )·f (x ＋3)＝2 020，f (－1)＝1，则f (2 020)的值为________．15．已知函数f (x )定义域为R ，满足 f (x )＝f (2－x )，且对任意1≤x 1<x 2，均有x 1－x 2f （x 1）－f （x 2）>0，则不等式f (2x －1)－f (3－x )≥0的解集为________________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x e x ＋1（x ≥0），x 2＋2x ＋1（x <0），则方程f (x )＝2 0212 020 的实根的个数为____；若函数y ＝f (f (x )－a )－1有3个零点，则a 的取值范围是________．1．C 2．D3．A 4．C5．B 6．C7．A 8．A 9．A10．A11．C12．A13． 114．：2 02015．（－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞16． 3 ⎝⎛⎭⎫1，1＋1e ∪（2，3]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫3＋1e。

高三数学专题练习题汇总在高三数学的备考阶段，进行专题练习是非常重要的，它能够帮助学生系统地复习和巩固各个知识点，提高解题的能力。

本文将为大家汇总一些高三数学专题练习题，供同学们参考和练习。

一、函数与方程专题练习题1. 已知函数 f(x) = x^2 + 2x - 3，求 f(x) 的零点和顶点坐标。

2. 解方程组：{ 2x + y = 5{ 3x - y = 13. 已知函数 y = a^x 的图象经过点 (1, 4)，求 a 的值。

二、三角函数专题练习题1. 求解方程 sin(x) + cos(x) = 1 在区间[0, 2π] 内的所有解。

2. 已知 sin(x) = 3/5，求 cos(x) 和 tan(x) 的值。

3. 某直角三角形的斜边长为 10，一锐角的对边长为 6，求另一锐角的余弦值。

三、导数与微分专题练习题1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1 的导函数。

2. 已知函数 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，在 x = 1 处的切线与坐标轴围成的区域的面积为 4，求 a, b, c 的值。

3. 求函数 y = e^x 在 x = 0 处的导数和二阶导数。

四、概率与统计专题练习题1. 一批产品有 20% 的次品率，现从中取出 10 件产品，求恰好有 2 件次品品的概率。

2. 甲、乙两个人射击靶，甲的命中率为 60%，乙的命中率为 70%，每人射 5 箭，求乙的命中数多于甲的概率。

3. 某次数学测试中，学生的得分分布如下：60-69 分：20 人70-79 分：30 人80-89 分：40 人90-100 分：10 人求平均分。

五、空间几何与立体几何专题练习题1. 平行六面体 ABCDEF 与平面 ACF 相交，求平面 ACF 与平面BCD 的夹角。

2. 已知四棱锥底面为等边三角形，侧棱长为 5，底面边长为 3，求四棱锥的体积。

3. 已知圆柱体的高为 h，底面圆的半径为 r，求圆柱体的体积与侧面积之比。

专题3.3 函数与导数的综合应用（精测）1．(2020·四川成都模拟)已知函数f (x )＝e 2x －2a e x －2ax ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若函数f (x )有唯一零点，求a 的值．【解析】(1)当a ＝1时，f (x )＝e 2x －2e x －2x ，∴f ′(x )＝2e 2x －2e x －2，∴f ′(0)＝2e 0－2e 0－2＝－2. 又f (0)＝e 0－2e 0－0＝－1，∴曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －(－1)＝－2x ，即2x ＋y ＋1＝0. (2)由题意得f ′(x )＝2e 2x －2a e x －2a ＝2(e 2x －a e x －a )． 令t ＝e x ∈(0，＋∞)，则g (t )＝2(t 2－at －a )．设t 2－at －a ＝0的解为t 1，t 2则t 1＋t 2＝a ，t 1t 2＝－a ，又∵a >0，∴函数y ＝g (t )在(0，＋∞)上仅有一个零点． ∴存在t 0∈(0，＋∞)，使得g (t 0)＝0， 即存在x 0满足t 0＝e x 0时，f ′(x 0)＝0.∴当t ∈(0，t 0)，即x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，x 0)上单调递减；当t ∈(t 0，＋∞)，即x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(x 0，＋∞)上单调递增．又当x →－∞时，e 2x －2a e x →0，－2ax →＋∞，∴f (x )→＋∞；当x >0时，e x >x ，∴f (x )＝e 2x －2a e x －2ax >e 2x －2a e x －2a e x ＝e x (e x －4a )， ∵当x →＋∞时，e x (e x －4a )→＋∞，∴f (x )→＋∞.∴函数f (x )有唯一零点时，必有f (x 0)＝e2x 0－2a e x 0－2ax 0＝0.① 又e2x 0－a e x 0－a ＝0，②由①②消去a ，得e x 0＋2x 0－1＝0.令h (x )＝e x ＋2x －1，∵h ′(x )＝e x ＋2>0，∴h (x )单调递增． 又h (0)＝0，∴方程e x 0＋2x 0－1＝0有唯一解x ＝0.将x ＝0代入e2x 0－a e x 0－a ＝0，解得a ＝12，∴当函数f (x )有唯一零点时，a 为12.2.(2020·广西桂林市联考)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ln x ＋1x －x (a >0)． (1)若a ＝12，求f (x )的极值点；(2)若曲线y ＝f (x )上总存在不同的两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))，使得曲线y ＝f (x )在P ，Q 两点处的切线平行，求证：x 1＋x 2>2.【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ·1x －1x2－1(a >0)． (1)当a ＝12时，f ′(x )＝－⎝⎛⎭⎫1x －2⎝⎛⎭⎫1x －12＝－（x －2）（2x －1）2x 2， 令f ′(x )<0，得0<x <12或x >2；令f ′(x )>0，得12<x <2，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12，(2，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，2上单调递增， ∴x ＝12是f (x )的极小值点，x ＝2是f (x )的极大值点．(2)证明：由题意知，f ′(x 1)＝f ′(x 2)，即⎝⎛⎭⎫a ＋1a ·1x 1－1x 21－1＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ·1x 2－1x 22－1(x 1≠x 2)， ∴a ＋1a ＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2.∵x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，∴x 1＋x 2>2x 1x 2，则有x 1x 2<（x 1＋x 2）24，∴a ＋1a ＝x 1＋x 2x 1x 2>4x 1＋x 2，∴x 1＋x 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1a max.∵a >0，∴4a ＋1a≤2(当且仅当a ＝1时取等号)，∴x 1＋x 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1a max＝2.3．(2020·云南昆明市高三诊断)已知函数f (x )＝2ln x －x ＋1x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若a >0，b >0，且a ≠b ，证明：ab <a －b ln a －ln b <a ＋b2.【解析】(1)由题意得，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －1－1x 2＝－x 2＋2x －1x 2＝－（x －1）2x 2≤0.所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，无单调递增区间． (2)设a >b >0，则ab <a －b ln a －ln b ⇔ln a －ln b <a －b ab⇔ln a b <a b －1ab ⇔2ln ab－a b ＋1ab<0. 由(1)知，f (x )是(0，＋∞)上的减函数，又ab >1，所以f ⎝⎛⎭⎫a b <f (1)＝0， 即f ⎝⎛⎭⎫a b ＝2ln a b－a b ＋1ab<0，所以ab <a －bln a －ln b .又a －b ln a －ln b <a ＋b 2⇔ln a －ln b >2（a －b ）a ＋b⇔ln a b >2⎝⎛⎭⎫a b －1ab＋1. 令g (x )＝ln x －2（x －1）x ＋1，则g ′(x )＝（x －1）2x （x ＋1）2，当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )≥0，即g (x )是(0，＋∞)上的增函数．因为a b >1，所以g ⎝⎛⎭⎫a b >g (1)＝0，所以ln a b >2⎝⎛⎭⎫a b －1a b ＋1，从而a －b ln a －ln b <a ＋b 2.综上所述，当a >0，b >0，且a ≠b 时，ab <a －b ln a －ln b <a ＋b2.4．(2020·山东烟台模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e (e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…)使不等式2f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)由题意知f ′(x )＝ln x ＋1， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增． 当0<t <t ＋2<1e时，t 无解；当0<t ≤1e <t ＋2，即0<t ≤1e 时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ； 当1e <t <t ＋2，即t >1e 时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增， 故f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t ≤1e ，t ln t ，t >1e .(2)由题意，知2x ln x ≥－x 2＋ax －3，即a ≤2ln x ＋x ＋3x ，令h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x >0)，则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2，当x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1时，h ′(x )<0，此时h (x )单调递减； 当x ∈(1，e]时，h ′(x )>0，此时h (x )单调递增．所以h (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝⎛⎭⎫1e ，h （e ）. 因为存在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，使2f (x )≥g (x )成立， 所以a ≤h (x )max ，又h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2＋1e ＋3e ，h (e)＝2＋e ＋3e ， 故h ⎝⎛⎭⎫1e >h (e)，所以a ≤1e＋3e －2. 5．(2020·陕西省质检)设函数f (x )＝ln x ＋k x，k ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，求f (x )的单调性和极小值(其中e 为自然对数的底数)；(2)若对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2恒成立，求k 的取值范围． 【解析】(1)由题意，得f ′(x )＝1x －kx2(x >0)，∵曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直， ∴f ′(e)＝0，即1e －ke 2＝0，解得k ＝e ，∴f ′(x )＝1x －e x 2＝x －ex2(x >0)，由f ′(x )<0，得0<x <e ；由f ′(x )>0，得x >e ，∴f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增． 当x ＝e 时，f (x )取得极小值，且f (e)＝ln e ＋ee ＝2.∴f (x )的极小值为2.(2)由题意知，对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－x 1<f (x 2)－x 2恒成立， 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋kx －x (x >0)，则h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h ′(x )＝1x －kx 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，即当x >0时，k ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14恒成立， ∴k ≥14.故k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞. 6.(2020·山西大同调研)已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x －2x ＋2，则k ＝f ′(1)＝2.∵f (1)＝1，∴切点坐标为(1，1)．所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.(2)由题意得，g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x －2x ＝－2（x ＋1）（x －1）x .∵x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，∴令g ′(x )＝0，得x ＝1.当1e ≤x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当1<x ≤e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 故g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有最大值g (1)＝m －1.又g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g (e)<g ⎝⎛⎭⎫1e ， ∴g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最小值是g (e)．g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个不同的零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m －1>0，g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e 2， ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，2＋1e 2. 7．(2020·河南安阳二模)已知函数f (x )＝ln x －x 2＋ax ，a ∈R. (1)证明：ln x ≤x －1；(2)若a ≥1，讨论函数f (x )的零点个数．【解析】(1)证明：令g (x )＝ln x －x ＋1(x >0)，则g (1)＝0， g ′(x )＝1x －1＝1－x x，∴当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减． ∴当x ＝1时，函数g (x )取得极大值也是最大值， ∴g (x )≤g (1)＝0，即ln x ≤x －1.(2)f ′(x )＝1x －2x ＋a ＝－2x 2＋ax ＋1x ，x >0.令－2x 2＋ax ＋1＝0，解得x 0＝a ＋a 2＋84(负值舍去)，在(0，x 0)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，在(x 0，＋∞)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． ∴f (x )max ＝f (x 0)．当a ＝1时，x 0＝1，f (x )max ＝f (1)＝0，此时函数f (x )只有一个零点x ＝1.当a >1时，f (1)＝a －1>0，f ⎝⎛⎭⎫12a ＝ln 12a －14a 2＋12<12a －1－14a 2＋12＝－⎝⎛⎭⎫12a －122－14<0， f (2a )＝ln 2a －2a 2<2a －1－2a 2＝－2⎝⎛⎭⎫a －122－12<0. ∴函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12a ，1和区间(1，2a )上各有一个零点． 综上可得，当a ＝1时，函数f (x )只有一个零点x ＝1； 当a >1时，函数f (x )有两个零点．8．(2020·河北石家庄质检)已知函数f (x )＝(2－x )e k (x －1)－x (k ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若f (x )在R 上单调递减，求k 的最大值； (2)当x ∈(1，2)时，证明：lnx （2x －1）2－x>2⎝⎛⎭⎫x －1x .【解析】(1)∵f (x )在R 上单调递减，∴f ′(x )＝e k (x －1)[k (2－x )－1]－1≤0恒成立，即－kx ＋2k －1≤1ek （x －1）对任意x ∈R 恒成立． 设g (x )＝1ek （x －1）＋kx －2k ＋1，则g (x )≥0对任意x ∈R 恒成立，显然应满足g (1)＝2－k ≥0，∴k ≤2.当k ＝2时，g ′(x )＝2⎣⎡⎦⎤1－1e 2（x －1），且g ′(1)＝0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝0，即g (x )≥0恒成立， 故k 的最大值为2.(2)证明：由(1)知，当k ＝2时，f (x )＝(2－x )e 2(x －1)－x 在R 上单调递减，且f (1)＝0，所以当x ∈(1，2)时，f (x )<f (1)，即(2－x )e 2(x－1)<x ，两边同取以e 为底的对数得ln(2－x )＋2(x －1)<ln x ， 即2(x －1)<ln x2－x，①下面证明－2x ＋2<ln(2x －1)，x ∈(1，2)．②令H (x )＝ln(2x －1)－⎝⎛⎭⎫－2x ＋2(1<x <2)， 则H ′(x )＝2（x －1）2x 2（2x －1）>0，∴H (x )在(1，2)上单调递增，则H (x )>H (1)＝ln(2×1－1)－⎝⎛⎭⎫－21＋2＝0，故②成立， ① ＋②得，ln x （2x －1）2－x>2⎝⎛⎭⎫x －1x 成立．9.(2020·河南郑州市第一次质检)已知函数f (x )＝(e x －2a )e x ，g (x )＝4a 2x . (1)设h (x )＝f (x )－g (x )，试讨论h (x )在定义域内的单调性；(2)若函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝g (x )的图象的上方，求a 的取值范围． 【解析】(1)∵h (x )＝(e x －2a )e x －4a 2x ， ∴h ′(x )＝2e 2x －2a e x －4a 2＝2(e x ＋a )(e x －2a )． ①当a ＝0时，h ′(x )>0恒成立， ∴h (x )在R 上单调递增；②当a >0时，e x ＋a >0，令h ′(x )＝0，解得x ＝ln 2a ， 当x <ln 2a 时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减， 当x >ln 2a 时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；③当a <0时，e x －2a >0，令h ′(x )＝0，解得x ＝ln(－a )， 当x <ln(－a )时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减， 当x >ln(－a )时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增． 综上所述，当a ＝0时，h (x )在R 上单调递增；当a >0时，h (x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增； 当a <0时，h (x )在(－∞，ln (－a ))上单调递减，在(ln(－a )，＋∞)上单调递增．(2)若函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝g (x )的图象的上方，则h (x )>0恒成立，即h (x )min >0. ①当a ＝0时，h (x )＝e 2x >0恒成立；②当a >0时，由(1)得，h (x )min ＝h (ln 2a )＝－4a 2ln 2a >0，∴ln 2a <0，∴0<a <12；③当a <0时，由(1)可得h (x )min ＝h (ln(－a ))＝3a 2－4a 2ln(－a )>0， ∴ln(－a )<34，∴－e 34<a <0.综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－e 34，12.10．(2020·河北衡水中学调研)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1.(1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线． 【解析】(1)函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1.定义域为(0，1)∪(1，＋∞)； f ′(x )＝1x ＋2（x －1）2>0，(x >0且x ≠1)，∴f (x )在(0，1)和(1，＋∞)上单调递增．①在(0，1)上取1e 2，1e 代入函数，由函数零点的定义得，∵f ⎝⎛⎭⎫1e 2<0，f ⎝⎛⎭⎫1e >0，f ⎝⎛⎭⎫1e 2·f ⎝⎛⎭⎫1e <0， ∴f (x )在(0，1)有且仅有一个零点．②在(1，＋∞)上取e ，e 2代入函数，由函数零点的定义得， 又∵f (e)<0，f (e 2)>0，f (e)·f (e 2)<0， ∴f (x )在(1，＋∞)上有且仅有一个零点， 故f (x )在定义域内有且仅有两个零点．(2)证明：若x 0是f (x )的一个零点，则有ln x 0＝x 0＋1x 0－1，由y ＝ln x ，得y ′＝1x；∴曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x －1＋ln x 0，即y ＝1x 0x ＋2x 0－1，当曲线y ＝e x 切线斜率为1x 0时，切点为⎝⎛⎭⎫ln 1x 0，1x 0， ∴曲线y ＝e x 的切线在点⎝⎛⎭⎫ln 1x 0，1x 0处的切线方程为y －1x 0＝1x 0⎝⎛⎭⎫x －ln 1x 0， 即y ＝1x 0x ＋2x 0－1，故曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线．故得证．11．（2020·四川宜宾市第一中学模拟）设函数()ln e xf x x x a =-，()p x kx =，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数．（1）若()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()1()x lnx f x ϕ=+-′，(1)e ϕ=，函数()x ϕ与函数()p x 的图象交于()11,A x y ，()22,B x y ，且AB 线段的中点为()00,P x y ，证明：()()001x p y ϕ<<．【答案】（1）10ea <<；（2）见解析. 【解析】（1）()ln e xf x x x a =-的定义域为()0,∞+，()ln 1e xf x x a =+-′，则()f x 在()0,+∞上存在两个极值点等价于()0f x '=在()0,+∞上有两个不等实根， 由()ln 1e 0xf x x a =+-=′，解得ln 1e xx a +=， 令ln 1()ex x g x +=，则1(ln 1)()e xx x g x -+'=，令1()ln 1h x x x =--，则211()h x x x'=--， 当0x >时，()0h x '<，故函数()h x 在()0,∞+上单调递减，且()10h =， 所以，当()0,1x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以，1x =是()g x 的极大值也是最大值， 所以max 1()(1)e g x g ==，所以1ea <， 又当0x →时，()g x ↔-∞，当+x →∞时，()g x 大于0且趋向于0， 要使()0f x '=在()0,∞+有两个根，则10ea <<； （2）证明：()()ln 1()ln ln 1e e 1xxx x f x x x a a ϕ=+-+--==+′，由(1)e ϕ=，得1a =，则()e x x ϕ=， 要证()()001x p y ϕ<<成立， 只需证122112221e e e e e2x x x x x x k x x +-+<=<-，即212121221e e e 1e 2x x x x x x x x +--+<<-，即2121212211e 12e ex x x x x x x x ----+<<-， 设210t x x =->，即证2e 1e 1e 2tt t t -+<<， 要证2e 1e t t t-<，只需证22e e t t t ->，令22()e e tt F t t =--，则221()e e 102t tF t ⎛⎫'=+-> ⎪⎝⎭，所以()F t 在()0,∞+上为增函数，所以()()00F t F >=，即2e 1e tt t -<成立；要证e 1e 12t t t -+<，只需证e 1e 12t t t -<+，令e 1()e 12tt t G t -=-+，则()()()222e 12e 1()02e 12e 1t tt t G t --'=-=<++， 所以()G t 在()0,+∞上为减函数，所以()()00G t G <=，即e 1e 12t t t -+<成立； 所以2e 1e 1e 2tt t t -+<<成立，即()()001x p y ϕ<<成立. 12．（2020·山东师范大学附属中学模拟）已知函数21()e ln (,ax f x x b x ax a b +=⋅--∈R ).(1 )若b =0，曲线f (x )在点(1,f (1)) 处的切线与直线y = 2x 平行,求a 的值; (2)若b =2，且函数f (x )的值域为[2,),+∞求a 的最小值. 【解析】（1）当0b =时，21()ax f x x eax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)e (2)2a f a a +'=+-=，得1e (2)(2)0a a a ++-+=，即1(e1)(2)0a a +-+=，解得1a =-或2a =-.当1a =-时，0(1)e 12f =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，所以2a =-. （2）当2b =时，21()e 2ln ax f x x x ax +=--，设21e ax t x +=，则ln 2ln 1t x ax =++，故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+.由11()1t g t t t-'=-=,可得()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞， 所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，此时，函数的()f x 的值域为[2,)+∞，问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解， 即ln12ln 10x ax =++=，得12ln x a x +=-，设12ln ()x h x x +=-，则22ln 1()x h x x -'=， 故()h x的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞，所以()h x的最小值为h =，故a的最小值为13．（2020·河南省开封市第五中学模拟）已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1e． （1）求实数b 的值；（2）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；（3）当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[],(1m n ⊆，)+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】(1) 由题意得()'ln 1g x x =--，令()'0g x =，解得1ex =， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'<0g x ，函数()g x 单调递减. 所以当1e x =时，()g x 取得极大值，也是最大值，所以11e e eg b ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得0b =. （2）()f x 的定义域为()0,+∞.()()()21111x x a a x ax a f x x a x x x-+---+-=-+==', ① 11a -=即2a =,则()()21x f x x ='-，故()f x 在()0,+∞单调增;②若11a -<,而1a >,故12a <<,则当()1,1x a ∈-时，()0f x '<;当()0,1x a ∈-及()1,x ∈+∞时，()0f x '>故()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增．③若11a ->,即2a >,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增（3）由（1）知()2ln 2F x x x x =-+， 所以()'2ln +1F x x x =-，令()()'2ln +1x F x x x ω==-，则()1'20x xω=->对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以()'F x 在区间()1,+∞内单调递增，所以()()''110F x F >=>恒成立，所以函数()F x 在区间()1,+∞内单调递增.假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，则()()()()2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+， 问题转化为关于x 的方程()2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根， 即方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根， 令()2ln 22x x x h x x -+=+，()1,x ∈+∞，则()()22342ln '2x x x h x x +--=+， 设()2342ln p x x x x =+--，()1,x ∈+∞，则()()()2122'230x x p x x x x-+=+-=>对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以函数()p x 在区间()1,+∞内单调递增，故()()10p x p >=恒成立，所以()'0h x >，所以函数()h x 在区间()1,+∞内单调递增，所以方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内不存在两个不相等的实根. 综上所述，不存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦. 的。

【必刷题】2024高三数学上册导数与微分专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 设函数f(x)在x=a处可导，下列关于f'(a)的说法正确的是（）A. f'(a)表示函数f(x)在x=a处的瞬时变化率B. f'(a)表示函数f(x)在x=a处的切线斜率C. f'(a)表示函数f(x)在x=a处的函数值D. f'(a)表示函数f(x)在x=a处的极值2. 若函数f(x)在区间（0，+∞）上单调递增，且f'(x) > 0，则下列结论正确的是（）A. f(x)在区间（0，+∞）上连续B. f(x)在区间（0，+∞）上可导C. f(x)在区间（0，+∞）上可微D. f(x)在区间（0，+∞）上存在极值3. 设函数f(x) = x^3 3x，则f'(0)的值为（）A. 3B. 0C. 3D. 64. 若函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则当x趋近于1时，下列极限正确的是（）A. lim(x→1) [f(x) f(1)] = 2B. lim(x→1) [f(x) f(1)] / (x 1) = 0C. lim(x→1) [f(x) f(1)] / (x 1) = 2D. lim(x→1) [f(x) f(1)] / (x 1) = f'(1)5. 设函数f(x) = e^x，则f''(x)的值为（）A. e^xB. e^xC. e^xD. e^x6. 若函数f(x)在x=0处的导数为1，二阶导数为2，则函数f(x)在x=0处的切线方程为（）A. y = xB. y = 2xC. y = x 2D. y = 2x + 17. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f'(x)的不连续点为（）A. x = 1B. x = 0C. x = 1D. f'(x)在实数域上连续8. 若函数f(x)在区间（a，b）内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在区间（a，b）内（）A. 单调递增B. 单调递减C. 存在极值D. 不确定9. 设函数f(x) = ln(x + 1)，则f'(x)的表达式为（）A. 1 / (x + 1)B. 1 / xC. 1 / (x + 1)^2D. (x + 1) / x10. 若函数f(x) = |x|，则f'(0)的值为（）A. 0B. 1C. 1D. 不存在二、判断题：1. 若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处一定连续。