2017届一轮复习全国通用函数与导数的综合问题课件分析

1 (3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2fx· x－1，求f(x)．
解析
1 (3)由f(x)＝2fx· x－1得
1 1 1 2 1 f x ＝2f(x)· －1，消掉f x 可得f(x)＝ x＋ . x 3 3
典例5
解析
x2－1(x≥1) (1)已知f( x＋1)＝x＋2 x，则f(x)＝____________.
(1)解法一：设t＝ x ＋1，则 x ＝t－1，x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2
－1，故f(x)＝x2－1(x≥1)． 解法二：f( x＋1)＝x＋2 x＝( x＋1)2－1，故f(x)＝x2－1(x≥1)．
考点多维探究
考点2 1分式函数中分母不等于零. 2偶次根式函数的被开方式大于或等于0. 3一次函数、二次函数的定义域均为R. 4y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
5y＝axa>0且a≠1，y＝sinx，y＝cosx定义域均为R. 6y＝logaxa>0且a≠1的定义域为0，＋∞.
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个． ③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是相等函数． 1 ④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff2＝0. ②③ 其中正确判断的序号是________ ．
解析
(1)结合函数的概念易排除A、C、D三个选项．
【跟踪训练】 1．设f，g都是从A到A的映射(其中A＝{1,2,3})，其对应关系如下表： x 1 2 3 f 3 1 2 g 3 2 1 则f(g(3))等于( A．1 C．3 ) B ．2 D．不存在

a a
；
b (3) f(x)dx＝
c a
b f(x)dx＋ f(x)dx
c
(其中 a<c<b)．
3．微积分基本定理
b F(b)－F(a) 一般地，如果 f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝
a
．
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数．
1.了解定积分的实际背景， 了解定积分的基 本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义.
考点多维探究
考点 1 回扣教材 1.定积分的定义和相关概念
定积分的计算
(1)如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小 n n b－a ∑ f(ξ )Δx ＝ ∑ f(ξi) ； i 区间， 在每个小区间[xi－1， xi]上任取一点 ξi(i＝1,2， …， n)， 作和式 当 n→∞ n i＝1 i＝1 b f(x)dx ， 常数 某个常数 时，上述和式无限接近 ，这个 叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作 a n b － a b lim ∑ f(ξi) 即 f(x)d x＝ ． n n →∞ i ＝ 1
【跟踪训练】 3．[2015· 南宁测试二]设抛物线 C：y＝x2 与直线 l：y＝1 围成的封闭图形为 P，则图形 P 的面积 S 等于 ( ) A．1 C. 2 3 B. 1 3 4 3
1 0
1 π 2 1 1－x dx 的几何意义是求单位圆面积的 ，所以 1－x dx＝ . 4 4

第七页，编辑于星期六：一点 二十一分。
2．[教材改编]定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析 利用奇偶性的定义易得奇函数为y＝x3及y＝2sinx，故选C.
第八页，编辑于星期六：一点 二十一分。
3．[2015·福建高考]下列函数为奇函数的是( )
解析 当x<0时，－x>0，于是f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)，得f(x)＝x(1－x)．
第二十四页，编辑于星期六：一点 二十一分。
函数的奇偶性结合函数图象以及其他性质的考查是高考中的一个热点命题，常以选择题、填空题的形 式呈现，难度一般不大，且主要有以下几种命题角度.
第二十五页，编辑于星期六：一点 二十一分。
第十四页，编辑于星期六：一点 二十一分。
【跟踪训练】 1.判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9；
9－x2≥0， 解 (1)由x2－9≥0， 得x＝±3. ∴f(x)的定义域为{－3,3}，关于原点对称． 又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0. 即f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
x2－4x，x>0， ∴f(x)＝0，x＝0，
－x2－4x，x<0.
第二十七页，编辑于星期六：一点 二十一分。
①当x>0时，由f(x)>x得x2－4x>x，解得x>5； ②当x＝0时，f(x)>x无解； ③当x<0时，由f(x)>x得－x2－4x>x，解得－5<x<0. 综上，不等式f(x)>x的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．

的单调性，也就得到了对应的单调区间. 此外，还可以根据下面的方法求解： (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导数f′(x). (3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的取值范围．当f′(x)＞0时, f(x)在相 应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时, f(x)在相应的区间上是减函数.还可以 列表,写出函数的单调区间. 要特别注意的是，涉及含参数的函数的单调性或单调区间问题，一 定要弄清参数对导数f′(x)在某一区间内的符号是否有影响.若有影响，则 必须分类讨论.
考点20 导数与函数的单调性
考点20
考法4 已知单调性求解参数范围
根据导数与函数单调性的关系可知,在(a,b)内可导的函数f(x),若此函数 在指定区间上单调递增(减),则函数在这个区间上的导数f′(x)≥0（≤0）,且不 在(a,b)的任意子区间内恒等于0.求解后注意进行验证. 由函数的单调性求参数的取值范围的方法： （1）可导函数在区间(a,b)上单调递增（递减），实际上就是在该区间 上f′(x)≥0(f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最 值问题，求出参数的取值范围; (2)可导函数在区间(a,b)上存在单调递增（递减）区间，实际上就是 f′(x)>0（f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x) >0（或f′(x) <0)在该区间 max min 上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；
1．导数的几何意义——
2．几种常见函数的导数
3.导数运算法则
注意
利用运算法则求导时,要特 别注意除法公式中分子的 符号,防止与乘法公式混 淆．
4.复合函数的导数
考点19 导数的概念及其运算
考点19
导数的概念及其运算

)
y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立
cos x e x co得s x a exx 2+ax+2=0,显然a≠0,所以由 Δ = sain2x-8 ac eo=xs x02 .⇒a=8.
ex
答案:8
1 g 3 3 3 .
u
2 3 x 3 x 2
考向一 导数的计算
f′(x)=____
1
f′(x)= _x___
x 2
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=_______________. f′(x)±g′(x)
(2)[f(x)·g(x)]′=______________________. f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
(3)
cos x
=__(__l_n____x________1____)__________.
2
x 【加固训练】1.(2016·咸阳模拟)直线y= x+b与曲线
1.(2016·大同模拟)曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的
切线方程为 ( )
A.y=3x-1
B.y=-3x-1
C.y=3x+1
D.y=-2x-1
【解析】选A.由题意得y′=(x+1)ex+2,则曲线y=xex +2x-1在点(0,-1)处的切线的斜率为(0+1)e0+2=3,故曲 线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为y+1=3x,即 y=3x-1.
所以f′(1)=a=3.
答案:3
5.(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的

(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润。
解析：(2)y′＝－6x2＋66x －108 ＝－6(x2－11x ＋18)＝－6(x－2)(x－ 9)。 令 y′＝0，得 x＝2(舍去)或 x＝9， 显然，当 x∈(6,9)时，y′＞0； 当 x∈(9,11)时，y′＜0。 ∴函数 y＝－2x3＋33x2－108x－108 在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是 递减的。 ∴当 x＝9 时，y 取最大值，且 ymax＝135。 ∴售价为 9 元时，年利润最大，最大年利润为 135 万元。
1 (2)设 g(x)＝lnx＋ x2＋ax，若对任意 x1∈(0,2]，总存在 x2∈(0,2]，使得 g(x1) 2 ＜f(x2)，求实数 a 的取值范围。
解析：(2)对任意 x1∈(0,2]， 总存在 x2∈(0,2]， 使得 g(x1)＜f(x2)等价于 g(x1)＜f(x2)max。 由(1)知，f(x2)max＝f(1)＝0， 故问题转化为 g(x)＜0 在 x∈(0,2]恒成立。 1 lnx＋ x2 2 lnx 1 由 g(x)＜0，得－a＞ ＝ ＋ x。 x x 2

a 的取值
微考场
新提升
考题选萃 随堂自测
1．(2016· 石家庄调研)已知 f(x)＝－ex＋ex。(e 为自然对数的底数) (1)求函数 f(x)的最大值；
解析：(1)f′(x)＝－ex＋e。 当 x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0， f(x)单调递增； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0， f(x)单调递减，故 f(x)max＝f(1)＝0。
【微练 1】某种产品每件成本为 6 元，每件售价为 x 元(6＜x＜11)，年销售 为 u 万件，若已知 万件。 (1)求年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式；

1. 描点法作图 方法步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即奇 偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；④描点连线，画出函数的图象。
2. 图象变换 (1)平移变换
fx＋h
fx＋k fx－k
fx－h
(2)对称变换
①y＝f(x)关于―x―轴→对称y＝□5 ___－__f_x____； ②y＝f(x)关于―y―轴→对称y＝□6 ___f_－__x____； ③y＝f(x)关于―原―点→对称y＝□7 _－__f_－__x____； ④y＝ax (a>0 且 a≠1)关于―y―＝→x对称y＝□8 _l_o_g_ax__a_＞__0__且__a_≠__1__。
(3)y＝xx＋＋23；
解析：(3)∵y＝xx＋＋32＝1－x＋1 3，则原函数图象可由 y＝－1x图象向左平移 3 个单 位，再向上平移 1 个单位得到，如图(3)。
(4)y＝|log2x－1|。
解析：(4)先作出 y＝log2x 的图象，再将其图象向下平移 1 个单位，保留 x 轴上 方的部分，将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，即得 y＝|log2x－1|的图象，如图(4)。
答案：C
4．要得到函数 y＝8·2－x 的图象，只需将函数 y＝12x 的图象(
)
A．向右平移 3 个单位
B．向左平移 3 个单位
C．向右平移 8 个单位
D．向左平移 8 个单位
解析：y＝8·2－x＝2－x＋3，y＝12x＝2－x，故选 A。 答案：A
5．设函数 f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线 x＝1 对称，则 a 的值为( )
A．3
B．2
C．1
D．－1
解析：∵函数 f(x)图象关于直线 x＝1 对称， ∴f(1＋x)＝f(1－x)， ∴f(2)＝f(0)，f(3)＝f(－1)。 即 3＋|2－a|＝1＋|a|,4＋|3－a|＝|－1－a|， 用代入法知选 A。 答案：A

⑤分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为
简单的分式函数，再求导.
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x2cos x； 1 2 1 (2)y＝x－x x －x2； ln x (3)y＝ x .
(1)y′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x. 1 3 －1 －3 3 2 (2)∵y＝x －x－x ＋x ，∴y′＝3x －1＋ 2－ 4. x x 1 （ln x）′x－x′ln x x ·x－ln x 1－ln x (3)y′＝ ＝ ＝ x2 . x2 x2 解
解 易知点 O(0，0)在曲线 y＝x3－3x2＋2x 上. (1)当 O(0，0)是切点时，由 y′＝3x2－6x＋2，得 y′|x＝0＝2， 即直线 l 的斜率为 2，故直线 l 的方程为 y＝2x.
y＝2x， 2 由 得 x －2x＋a＝0， 2 y＝x ＋a，
依题意 Δ＝4－4a＝0，得 a＝1.
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.
2.导数的计算 (1)基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝C(C 为常数) f(x)＝x (α∈Q ) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax
α
导函数 f′(x)＝0
1 ax f′(x)＝
[点评]
(2)中函数若直接求导，计算繁琐，且容易出错，应
先化简再求导.
利用导数求切线方的解题方略
若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P(x0，y0)的切线，则 需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解. (1)点P(x0，y0)是切点时： 第一步：求导数f′(x)；

第十一节 导数在研究函数中的应用
第一课时 利用导数研究函数的单调性
【知识梳理】
函数的单调性与导数的关系
函数y=f(x)在某个区间内可导:
(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内_________;
单调递增 (2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内_________; 单调递减 (3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是 _________.
5.(2016·合肥模拟)若函数f(x)=mx2+lnx-2x在定义域 内是增函数,则实数m的取值范围是 .
1 函数f(x)在其定义域(0， 2mx 2， x +≦)内为增函数的充要条件是 1 ≥0在(0，+≦) 2mx 2 x 内恒成立，即2m≥ 在(0，+≦)内恒成立，由于函 2 1 2 x x 数φ(x)= 故只要2m≥1即可，即 2 1 1 2 1 ( 1) 1， m . 答案： x x 2 x 2 1 [ , ) 2
当x∈(5，+≦)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，+≦)内为
增函数．
所以f(x)的单调递增区间为(5,+≦),单调递减区间为
(0，5).
【易错警示】解答典例2(2)会出现以下错误:令
f′(x)=0,解得x=-1或x=5时,忽视函数的定义域而未舍
去x=-1.
【规律方法】求函数的单调区间的“两种”方法
当-4<x<-1时，g′(x)>0,故g(x)为增函数；
当-1<x<0时，g′(x)<0,故g(x)为减函数；
当x>0时，g′(x)>0,故g(x)为增函数；
综上知，g(x)在(-≦,-4)和(-1,0)内为减函数，

1 -1)- x(x2-3a)→+∞, 3
(3)由(2)知,当 a=1 时,g(x)>f(x)对 x>0 恒成立, 即 ex>1+ln(x+1). 令
1 1 x= , 则e10 10 x
> 1 + ln 1.1 ≈ 1.0953 >
1095 . 1000
由(2)知,当 a=-1 时,g(x)>f(x)对 x<0 恒成立,
D 正确.
考点 2 利用导数研究函数的零点与方程的根的问 题
试题一般是以含参数的三次式,分式,指数式、对数式及三角式结 构的函数零点或方程根的形式出现,是每年高考命题高频热点, 常有以下两种考查形式 :(1)确定函数的零点、图象的交点及方程 根的个数问题 ;(2)应用函数的零点、图象的交点及方程根的存在 问题来求参数值或范围.
π 3π , 2 2 1 2 ������ 2
1
1
+ 1 cos ������, 又因为������′(−������) =
3π ,2π 2
1 (-������ )2 2
+ 1 cos(−������) = 时, ������′(������) > 0, 当������ ∈
������′(������), 所以导函数为偶函数, 排除选项 A, B; 当������ ∈ 时, ������′(������) < 0, 当������ ∈ 确. 【参考答案】 C
������+������ 对称,则函数 2
y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是
(
)
A.①④
B.②④
C.②③
D.③④
D 【解析】 因为函数 y=f(x)的导函数在区间(a,b)的图象关于直线 x= 那么导函数要么图象无增减性, 要么是在直线������ = 由图得在������处切线斜率最小, 在������处切线斜率最大, 故导函数在(������, ������)

第五页，编辑于星期六：二点 四十二分。
2．若 f(x)＝xex，则 f′(1)＝( )
A．0
B．e
C．2e
D．e2
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e，故选 C。 答案：C
第六页，编辑于星期六：二点 四十二分。
3．曲线 y＝xlnx 在点(e，e)处的切线与直线 x＋ay＝1 垂直，则实
第十四页，编辑于星期六：二点 四十二分。
悟·技法 导数计算的原则和方法
(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数 的和、差、积、商，再求导。
(2)方法： ①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单 的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差和的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导。
第十一页，编辑于星期六：二点 四十二分。
4．基本初等函数的导数公式 (1)C′＝⑦___0___(C 为常数)。 (2)(xn)′＝⑧___n_xn_－_1____(n∈Q*)。 (3)(sinx)′＝⑨_c_o_s_x__，(cosx)′＝⑩_－__si_n_x_。 (4)(ex)′＝⑪___e_x__，(ax)′＝⑫__a_xl_n_a_。 (55．)(l导nx数)′运＝算⑬法_则___1x__，(logax)′＝⑭___x_l1n__a。 (1)[f(x)±g(x)]′＝⑮_f′__(_x_)_±_g_′__(x。) (2)[f(x)·g(x)]′＝⑯__f_′__(x_)_g_(x_)_＋__f_(x_)_g_′__(x_)_。 (3)gfxx′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)。

不恒为0. 答案 [－3，＋∞)
►有关极值的两个易混点：极值点；取极值条件. (3)[极值点是f(x)取得极值时的x值]函数f(x)＝x3－3x2的极小值 点是________.
解析
f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当
0＜x＜2时f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2是f(x)极小 值点. 答案 2
(2)是否存在a，使f(x)在(－2，3)上为减函数，若存在，求出 a的取值范围，若不存在，请说明理由.
[解题指导] (1) 求导数f′（x） → 解不等式f′（x）＞0 → 确定f（x）递增区间 不等式f′（x）≤0 (2) f（x）在（－2，3）上为减函数 → → 在（－2，3）上恒成立 分离参数，求函数最值 → 确定a范围
答案 (0，1)
(2)[利用单调性求参数的取值范围]函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞) 上是增函数，则实数a的取值范围为________. 解析 f′(x) ＝ 3x2 ＋ a ，则 3x2 ＋ a≥0 在 [1 ，＋ ∞) 上恒成立，即
a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，所以a≥－3，且a＝－3时，f′(x)
f ′(x)>0( 或f′(x)<0) 在该区间上存在解集，这样就把函数的单调 性问题转化成了不等式问题； (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先 求出 f(x) 的单调区间，令 I 是其单调区间的子集，从而可求出
参数的取值范围.
【例1】 已知函数f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调增区间；
(1) 可 导 函 数 在 某 一 区 间 上 单 调 ， 实 际 上 就 是 在 该 区 间 上 f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)

第四十二页，编辑于星期六：一点 二十五分。
【变式训练】已知 f ( 2 1) =lg x，则f(x)=______.
x
【解析】令 2 1得 t
x
x 2 ， t 1
代入得f(t)= lg 2 ， t 1
又因为x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)=
答案：
lg
2
(x 1)
x 1
lg 2 x 1.
【规律方法】函数定义域的求解策略
(1)已知函数解析式:构造使解析式有意义的不等式(组)求 解.
(2)实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组) 求解.
第二十四页，编辑于星期六：一点 二十五分。
(3)抽象函数:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f(g(x))的定 义域由不等式a≤g(x)≤b求出;
【一题多解】因为 x 2 x ( x )2 2 x 11 ( x 1)2 1， 所以 f ( x 1) ( x 1)2 1( x 1 1)， 即f(x)=x2-1(x≥1). 答案：x2-1(x≥1)
第三十五页，编辑于星期六：一点 二十五分。
(2)因为2f(x)+ f=(21x) ，① x
第五页，编辑于星期六：一点 二十五分。
函数
那么就称f:A→B为从 名称 集合A到集合B的一个
函数
记法
y=f(x),x∈A
映射 那么就称对应f:A→B为 从集合A到集合B的一个 映射 对应f:A→B是一个映射
第六页，编辑于星期六：一点 二十五分。
2.函数的三要素 函数由__定__义_域__、__对__应__法__则_和___值__域三个要素构成,对
.
【解析】由f(-1)=-a+2=4⇒a=-2.

1 3
1 6
1 2
1 3
2 :6 3 答案
考向一
指数幂的化简与求值
【典例1】(1)化简: 4 16x8 y4 (x<0,y<0)=________. (2)计算:
27 ( ) 8
2 3
2x y -10( +0.002 1
2
2
-2)-1+π 0.
5
【解题导引】(1)将根式化为分数指数幂,然后利用幂
第四节
指数函数
【知识梳理】
1.根式 (1)根式的概念 ①若____,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子 xn=a 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
n
a
②a的n次方根的表示:
xn=a⇒x=
a *时). ____( 当 n 为偶数且n∈N n a
n
(当n为奇数且n∈N*时),
的运算性质进行计算. (2)将负分数指数幂化为正分数指数幂,然后利用幂的 运算性质进行计算.
8 4 16x y (16x y ) 【规范解答】(1) 2 2x y 2x 2 y 4
1 8 4 4
［2 ( x) ( y) ］ 2( x) ( y) 1. 2 2 2x y 2x y 答案:-1
【变式训练】
化简下列各式(其中各字母均为正数): (1)
1 2 7 0.0027 ( ) (2 ) ( 2 1)0 . (2) 7 9 1 2 1 1 5 3 2 3 3 2 2 1 ( a b ) (3a b ) (4a b ) ab. 6
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.

5 2
1 8
,
,
82
2，0＜x 4,
v
18 x
5,4＜x 2

20.
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得
当 故0ff(<xxx)m≤a4x=2时x18f,,(0xf＜ 42()xx=)52为4x4,×,增4＜ 2函=x8数;2,0，
(1)当0<x≤20时,求函数v关于x的函数解析式. (2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/ 立方米)可以达到最大?并求出最大值.
Hale Waihona Puke 【解析】(1)由题意得当0<x≤4时,v=2;
当4<x≤20时,设v=ax+b,
显然v=ax+b在(4,20]内是减函数,
由 所 故已 以 函知 数v 得 1x24a0a5b，b2,0,解得ab
答案:2500m2
感悟考题 试一试
3.(2016·武汉模拟)某工厂采用高科技技术,在2年内
产值的月增长率都是a,则这2年内第2年某月的产值比
第1年相应月产值的增长率为 ( )
A.a12-1
B.(1+a)12-1
C.a
D.a-1
【解析】选B.不妨设第1年8月份的产值为b,则9月份的
产值为b(1+a),10月份的产值为b(1+a)2,以此类推,到
3.解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初 步选择数学模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化 为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.
(3)解模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下:

ax,x 0,
【解析】(1)因为y=
(
1 a
)x
,
0
x＜0

a

1，
所以只需作出0<a<1时函数y=ax(x≥0)和y= (x<0) ( 1 )x
的图象,合起来即得函数y=a|x|(0<a<1)的图象a .如图所
示.
(2)因为y= 2x12故1函， 数图象可由y= 的图1象
【解析】选D.先在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象, 再将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到 y=f(x-1)的图象,因此A正确; 作函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图形, 即可得到y=f(-x)的图象,因此B正确;
y=f(x)的值域是[0,2],因此y=|f(x)|的图象与y=f(x) 的图象重合,C正确; y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当 0≤x≤1时,y=f(|x|)= ,相应这部分图象不是一条 线段,因此选项D不正确. x
(本题源自A版必修1P112A组T2)
【解题导引】分三种情况表示出f(x),然后分析图象特 点,利用三角函数的图象与性质解题.
【规范解答】选B.由已知得,当点P在BC边上运动时,
即0≤x≤ 时 ,PA+PB= tan2x4tanx，
当点P在CD4 边上运动时,即
x≠ 时,
3
x ,
【解析】(1)将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图 所示.
(2)因为函数的定义域为{x|x>0} 且y=elnx=x(x>0), 所以其图象如图所示.
(3)作y=log2|x|的图象,再将图象向右平移一个单位,如 图,即得到y=log2|x-1|的图象.

第二十页，编辑于星期六：二点 四十二分。
方法二 (1)确定函数 y＝f(x)的定义域； (2)求导数 y′＝f′(x)，令 f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间 内的一切实根； (3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实 数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区 间分成若干个小区间； (4)确定 f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相 应区间内的单调性。
第二页，编辑于星期六：二点 四十二分。
考情分析 1.利用导数求函数的单调区间及极值(最值)、结合单调性与不等式 的成立情况求参数范围是高考命题的热点。 2．常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等式、方程等 交汇命题，主要考查转化与化归思想、分类讨论思想的应用。 3．题型主要以解答题为主，属中高档题。
从而当－1＜x≤0 时，
f′1(x)＝3x2－(a＋5)＜3－a－5≤0，
所以函数 f1(x)在区间(－1,0]内单调递减。
第十五页，编辑于星期六：二点 四十二分。
②f′2(x)＝3x2－(a＋3)x＋a＝(3x－a)(x－1)。 由于 a∈[－2,0]， 所以当 0＜x＜1 时，f′2(x)＜0； 当 x＞1 时，f′2(x)＞0， 即函数 f2(x)在区间[0,1)内单调递减， 在区间(1，＋∞)内单调递增。 综合①②及 f1(0)＝f2(0)， 可知函数 f(x)在区间(－1,1)内单调递减， 在区间(1，＋∞)内单调递增。
第一页，编辑于星期六：二点 四十二分。
考纲要求 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调 性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)。 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求 函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上 函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)。

设 A,B 为两个非空数集
设 A,B 为两个非空集合
如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 y=f(x),x∈A 个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 和它对应 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 对应 f:A→B 是一个映射
> 0,
即
-4 ≤ ������ ≤ 4,
即函数的定义域为(2,3)∪(3,4],故选项 C 正确. ������ > 2 且������ ≠ 3,
【参考答案】 C
1.基本初等函数的定义域 (1)整式函数的定义域为 R. (2)分式函数中分母不等于 0. (3)偶次根式函数被开方式大于或等于 0. (4)一次函数、二次函数的定义域均为 R. (5)函数 f(x)=x0 的定义域为{x|x≠0}. (6)指数函数的定义域为 R,对数函数的定义域为(0,+∞). 2.复合函数的定义域 若已知函数 y=f(x)的定义域为[a,b],则 y=f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b 解出;若已知函数 y=f(g(x))的定义域为 [a,b],则函数 y=f(x)的定义域即为函数 g(x)的值域.
4.常用的数学方法与思想
换元法、配凑法、数形结合思想、分类讨论思想.
1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).
(1)A=R,B=R,f:x→y=������,表示从集合 A 到集合 B 的映射(也是函数). (1)× (2)f(x)= ������-2+log2(1-x)是一个函数. (2)× (3)y=x2-3x-4(x∈N)的图象是一条开口向上的抛物线. (3)×