旋转椭圆有5种方法

x2 y 2 + = 1 上． a 2 b2
５．利用两直线的交点生成椭圆： 利用两直线的交点生成椭圆：
y −0 y −0 b2 y −b y +b b2 ⋅ = − 2 ，或 ⋅ =− 2 x−a x+a a x −0 x −0 a 2 2 2 2 2 2 2 x y y x y a −x （１） 把 2 + 2 = 1 变形为 2 = 1 − 2 ， 2 = ， a b b a b a2
椭圆方程： 椭圆方程：
y2 b2 y −0 y −0 b2 = ⋅ = − 在 x ≠ ±a 的条件下，又可变为 2 ，即 ， a − x 2 a2 x−a x+a a2 b2 这表明椭圆上的点 ( x, y) 与长轴端点连线的斜率之比为定值 − 2 ． a b2 即当我们过定点 (a,0) 、 ( −a,0) 作两条直线，其斜率之积为 − 2 时， a 2 2 x y 交点 M 在椭圆 2 + 2 = 1 上． a b 2 2 x y x2 y2 x2 b 2 − y 2 （2）把 2 + 2 = 1 变形为 2 = 1 − 2 ， 2 = ，在 x ≠ 0 的条件下， a b a b a b2 b2 b 2 − y 2 y −b y +b b2 = ⋅ = − 又可变为 2 ，即 ， a x2 x −0 x −0 a2 b2 这表明椭圆上的点 ( x, y ) 与短轴端点连线的斜率之比为定值 − 2 ． a
生成椭圆的五种平面几何条件
我们以焦点在 x 轴上的椭圆为例探究其产生的主要的平面几何条件： １．由两定点生成椭圆（ ： 由两定点生成椭圆（椭圆的定义） 椭圆的定义）
பைடு நூலகம்
( x + c)2 + y 2 + ( x − c)2 + y 2 = 2a （ 2a > 2c > 0 ） ． 椭圆方程： 椭圆方程

尺规作图五点定椭圆的方法徐文平（东南大学南京210096）摘要：已知椭圆上五点，通过确定椭圆圆心、椭圆主轴方向和椭圆长轴短轴位置等三个步骤，尺规作图完成椭圆作图。

椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，在机械制图和土木工程领域中也有重要运用。

利用几何画板和cad软件，依据任意五个点的椭圆尺规作图，具有重要意义。

一、引言在几何画板和cad软件中，任意五个点作椭圆，具有意义。

五点定椭圆在卫星轨道，机械制图和土木工程中是有重要用途。

第一步，通过五点寻找椭圆圆心第二步，确定椭圆坐标P、P主轴方向第三步、确定椭圆的长轴a和短轴b1）大狗熊定理1：二次圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。

如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。

双曲线和抛物线也具有同样性质。

2）命题1：已知椭圆的斜向割线AB，作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK，JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。

证明：由于割线JK的切线交点极点在无穷远，利用定理1，可以快速证明这个命题。

定理2：圆锥曲线的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。

命题3（高斯定理）：已知椭圆外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。

图3二、通过五点寻找椭圆圆心原理：通过已知五点，作椭圆切线，获得割线的极点，将割线的极点和割线中点连接并延伸，必定通过椭圆的圆心。

图4问题1：只有五点，没有坐标轴和原点，椭圆斜的，割线PQ的切线极点如何办？切线方法：帕斯卡定理（五点+一个切点二次）做切线，或者如图5方法作切线。

曲线命令 Curve --------------------------指令: _Line直线起点 ( 法线(N) 指定角度(A) 与工作平面垂直(V) 四点(F) 等角线(B) 垂直(P) 正切(T) 延伸(E) 两侧(O) ):直线终点 ( 两侧(B) ):指令: _Polyline多重直线起点:多重直线的下一点 ( 复原(U) ):多重直线的下一点。

操作完毕请按 Enter 键 ( 复原(U) ):多重直线的下一点。

操作完毕请按 Enter 键 ( 封闭(C) 复原(U) ):指令: _Rectangle矩形的第一角 ( 三点(P) 垂直(V) 中心点(C) 圆角(R) ):其他角或长度:指令: _Polygon内接多边形中心点 ( 边数(N)=5 外切(C) 边缘(E) 星形(S) 垂直(V) 环绕曲线(A) ):多边形的角 ( 边数(N)=5 ):指令: _Curve曲线起点 ( 阶数(D)=3 ):下一点 ( 阶数(D)=3 复原(U) ):下一点。

操作完毕请按 Enter 键 ( 阶数(D)=3 复原(U) ):下一点。

操作完毕请按 Enter 键 ( 阶数(D)=3 封闭(C) 尖锐封闭(S)=否复原(U) ):指令: _Circle圆心 ( 可塑形的(D) 垂直(V) 直径(I) 三点(P) 正切(T) 环绕曲线(A) ):半径 <10.296> ( 直径(D) ):指令: _Arc圆弧中心点 ( 可塑形的(D) 起点(S) 正切(T) 延伸(E) ):圆弧起点:终点或角度:指令: _Ellipse椭圆中心点 ( 垂直(V) 角(C) 直径(D) 从焦点(F) 环绕曲线(A) ):第一轴终点 ( 角(C) ):第二轴终点:指令: _Parabola抛物线焦点 ( 顶点(V) 标示焦点(M)=否一半(H)=否 ):抛物线 ( 标示焦点(M)=否一半(H)=否 ):抛物线终点 ( 标示焦点(M)=否一半(H)=否 ):焦点到顶点的距离 = 14.1394，长度 = 22.5428指令: _Conic圆锥线起点 ( 正切(T) 垂直(P) ):圆锥线终点 ( 顶点(A) 正切(T) 垂直(P) ):顶点:曲率点或 Rho:指令: _Helix轴的起点 ( 垂直(V) 环绕曲线(A) ):轴的终点:半径和起点 <1.000> ( 直径(D) 模式(M)=圈数圈数(T)=10 螺距(P)=1 反向扭转(R)=否 ):指令: _Spiral轴的起点 ( 平坦(F) 垂直(V) 环绕曲线(A) ):轴的终点:第一半径和起点 <1.000> ( 直径(D) 模式(M)=圈数圈数(T)=10 螺距(P)=1.4 反向扭转(R)=否 ): 第二半径 <0> ( 直径(D) 模式(M)=圈数圈数(T)=10 螺距(P)=1.4 反向扭转(R)=否 ):指令: _Extend选取边界物件或输入延伸长度。

椭圆方程的几种常见求法对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1，∴，圆Ｍ外切于圆C2 ，∴，∴，∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且，，故所求轨迹方程为：．评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：＝１（，进行求解，避免讨论。

解：设所求的椭圆方程为＝１（．∵椭圆经过两点，∴解得，故所求的椭圆标准方程为．评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３设动直线垂直于轴，且交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段AB外一点，且满足，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直于轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解．解：设Ｐ（，），Ａ（，），Ｂ（，），由题意：＝＝，＋＝０∴,，∵Ｐ在椭圆外，∴－与－同号，∴=（－）（－）＝∵，即为所求．评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC边所在直线为轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（，），由，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点，方程为．（２）设Ａ（，），Ｇ（，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是∵Ｇ为的重心∴代入得：其轨迹是中心为原点，焦点在轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。

生成椭圆的五种平面几何条件我们以焦点在x 轴上的椭圆为例探究其产生的主要的平面几何条件：１．由两定点生成椭圆（椭圆的定义）：椭圆方程2a （220a c >>）．若动点(,)M x y 到定点1(,0)F c -、2(,0)F c 距离之和为定值2a ，其中220a c >>， 则动点M 的轨迹是椭圆．根据这个定义，椭圆方程为：2a （220a c >>）． 可以进一步导出椭圆的标准方程为22221x y a b+=，其中222b a c =-． ２．由一定点与定直线生成椭圆（推导标准方程过程中的副产品）：c a x c=- （0a c >>）． 根据椭圆的定义可知椭圆上的点(,)M x y 满足方程：2a ，将左边的一个根式移到右边并两边平方可得2a cx -=c a x c=-(,)x y 与2(,0)F c 的距离， 2a x c -表示(,)x y 与直线2a x c=的距离， 因此当点(,)M x y 满足椭圆到定点2(,0)F c 与到定直线2a x c =距离之比为定值c a时， 得到点(,)M x y 的轨迹方程为22221x y a b+=． ３．用一个圆生成椭圆：椭圆方程：22()()1xy a b+=(a b ≠) 把22221x y a b +=变形为22()()1x y a b+=，设椭圆上任意一点00(,)M x y ， 则2200()()1x y a b +=，令0x x a =，0y y b=，则221x y +=， 注意到0x ax =，0y by =，即把圆221x y +=上的点的横坐标变为原来的a 倍， 同时纵坐标变为原来的b 倍，其中a b ≠，则得椭圆22221x y a b+=． ４．利用两个圆生成椭圆：椭圆方程： cos ,sin .x a y b θθ=⎧⎨=⎩把22221x y a b +=变形为22()()1x y a b+=， 联想22cos sin 1θθ+=，于是利用三角换元cos x a θ=，sin y bθ=， 即cos x a θ=,sin y b θ=，其中cos x a θ=可以看作圆222x y a +=上点的横坐标，sin y b θ=可以看作圆222x y b +=上点的横坐标，于是以两个同心圆为基础可以作出椭圆，作法如下：如图1，作射线OA 交圆222x y a +=于A ，交圆222x y b +=于B ，过A 作AN x ⊥轴于N ，过B 作BM AN ⊥轴于M ，则M 的坐标为(cos ,sin )a b θθ，显然M 在椭圆22221x y a b+=上． ５．利用两直线的交点生成椭圆：椭圆方程： 2200y y b x a x a a --⋅=--+，或2200y b y b b x x a-+⋅=--- （１） 把22221x y a b +=变形为22221y x b a =-，22222y a x b a -=，在x a ≠±的条件下，又可变为22222y b a x a =-，即2200y y b x a x a a --⋅=--+， 这表明椭圆上的点(,)x y 与长轴端点连线的斜率之比为定值22b a-． 即当我们过定点(,0)a 、(,0)a -作两条直线，其斜率之积为22b a-时， 交点M 在椭圆22221x y a b+=上． （2）把22221x y a b +=变形为22221x y a b =-，22222x b y a b -=，在0x ≠的条件下， 又可变为22222b b y a x-=，即2200y b y b b x x a -+⋅=---， 这表明椭圆上的点(,)x y 与短轴端点连线的斜率之比为定值22b a -． 即当我们过定点(0,)b 、(0,)b -作两条直线， 其斜率之积为22b a -时，交点M 在椭圆22221x y a b+=上．。

椭圆的画法和性质一．椭圆的定义： 1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．椭圆的标准方程：设M (x , y )是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的和等于2a (a >c >0)，则 |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,∴a y c x y c x 2)()(2222=+-+++, 图9－1整理化简，并且设b 2＝a 2－c 2得椭圆的标准方程12222=+b y a x . 3．椭圆的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝ca2的距离的比是常数ac(a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。

点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。

常数e ＝ac(0<e <1)是椭圆的离心率。

图9－24．椭圆的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径作两个圆，点A 是大圆上的一个点，点B 是OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，当点A 在大圆上运动时，M 点的轨迹是椭圆。

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|ON |＝|OA |cos φ＝a cos φ,y ＝|NM |＝|OB |sin φ＝b sin φ,∴ 椭圆的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=sin cos b y a x (φ是参数).二．椭圆的画法：画法1：1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段CD ，使|CD |＝2a ，(|CD |>|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|CD |；4．在CD 上分别取C '、D '，使|CC '|＝|A 1F 1|＝|DD '|；作线段C 'D '，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'D '上作点M ；5．分别以F 1、F 2为圆心，用|CM |、|MD |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|DM |、|CD |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点M 、点P 1 (或点M 、点P 2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。

1+cos2Θ
∙ 2 = 2 ∙tanΘ
（2π），即

Θ∈（0，
2
），令P由点A向点B运动，则△F 1 PF 2 的边
F 1 F 2 不变，但边F 1 F 2 上的高在逐渐增大，故 S逐渐增大，

从而tanΘ逐渐变大，由Θ∈（0，
提示：确定动点满足条件→建立等式→判断是否符合椭圆定义
→求方程→验证
如图所示，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线
为y轴，建立平面直角坐标系，设A（x,y),由题意得，知B(-
3,0),C(3,0),
|AB|+|BC|+|AC|=16,又|BC|=6,所以|AB|+|AC|=10,
因为|AB|+|AC|>|BC|,
3.1椭圆
题型总结
题型一：求椭圆的标准方程
● 定义法：例1：如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（-2 5, 0）为C的左焦点，P为C上一点，若
）
|OP|=|OF|，且|PF|=4,则椭圆C的方程为（
2
A.
25
2
C.
30
+
2
5
+
2
10
2
36
=1
.
=1
2
D.
45
+
+
2
16
2
25
=1
=1
=（|PF1|+|PF2|）2-2∙|PF1|∙|PF2|-2∙|PF1|∙|PF2|∙cos2Θ=4a22∙|PF1|∙|PF2|∙(1+cos2Θ)=4c2
22
所以|PF1|∙|PF2|=
,
1+cos2Θ

2 2 就有： Ex Ey A2 ，正是圆方程。
结论：
（1）圆偏振光可以分解为两个互相垂直 的振幅相等、相位差为 / 2 的线偏振光。 （2）可以由这两束线偏振光来代替 这束圆偏振光。
4）圆偏振光的总光强：
I A A 2A
2 x 2 y
2
5）左旋圆偏振光与右旋圆偏振光
（1）定义： 迎着光线传播方向观看， 若振动矢量 E 顺时针旋转就称为 右旋圆偏振光，此时： / 2 若振动矢量 E 逆时针旋转就称为 左旋圆偏振光，此时： / 2
I0
自然光
P
I
1 旋转偏振片P一周，出射光强均为： I I0 2
若入射的自然光强为：I 0
3）试证明自然光通过偏振片后 出射光强为入射光强的一半。
自然光由无数条非相干的线偏振光组成 数密度： 单位夹角内包 含的 线偏振光的条数 ( ) 0 角内包含的线偏振 光的条数：
A
注意：
（1）只适用于线偏振光 （2）马吕斯定律公式上的 三角函数项是平方项。
5）起偏器和检偏器
起偏器：任何偏振态的光通过后透射 光都变为线偏振光的器件。 检偏器：检查入射光偏振态的器件 线偏振射光通过此器件后光 强变为零。 偏振片既是起偏器，又是检偏器。
6）一束线偏振光可以分解为两束 互相垂直的线偏振光
若振动矢量 E 顺时针旋转就称为 右旋椭圆偏振光， 若振动矢量 E 逆时针旋转就称为
左旋椭圆偏振光。
6）各种相位差对应的椭圆偏振态图
（1）当坐标系为如图所示时 （2）参量方程为：
Ex Ax cos(t )
Ey Ay cos( t )
y
x
（3）就有如下的各种相位差对应的椭圆偏振态图

轴距离相等于是51上页下页结束母线是过z轴的坐标平面yz平面xz平面上的一条曲线5129反之形如的方程柱坐标系中形如的方程的图像一定是以上页下页结束51轴的坐标平面上的一条曲线的旋转面的方程为即在该曲线在坐标平面上的方程中保留与旋转轴同名的变量不动而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根
a
y
x
上页
下页
结束
5.1 旋转面
下面求其方程
y z yz 平面上的双曲线 2 2 1 绕虚轴 z 轴旋转 a b 2 2 2 x y z 得到旋转单叶双曲面方程 2 2 2 1 a a b 2 2 y z yz 平面上的双曲线 2 2 1 绕实轴 z 轴旋转 a b 2 2 2 x y z 得到旋转双叶双曲面方程 2 2 2 1 a a b
上页 下页 结束
x
5.1 旋转面
圆 x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 （ y
o
r
R
x
上页
下页
结束
5.1 旋转面
y
o
x
z上页 下页 结束5.1 旋转面y
o
x
环面方程
或 ( x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 ) 2 4R 2 ( x 2 z 2 )
上页 下页 结束
2
2
5.1 旋转面
抛物线绕它的轴旋转得到的旋转面称为旋转抛 物面. 它具有很好的光学性质: 其焦点处射出的 光线被它反射为平行光束. 用于探照灯、车灯.
z
yz 平面上的抛物线 y2 = 2pz (p > 0)
y
绕对称轴 z 轴旋转得到旋转 抛物面方程为 x2 + y2 = 2pz .

椭圆机的使用方法有哪些椭圆机是一种科学、健康的有氧运动机械，不仅可以帮助我们进行心肺功能训练，还能有效的减少身体脂肪。

那么，你知道椭圆机怎么用吗?今天就跟大家介绍椭圆机的使用方法，希望对大家有所帮助!椭圆机的正确使用方法1、椭圆机能把手臂与腿部的运动有机结合，经常使用可协调四肢、健美身体。

较长时间的练习有助于提高身体耐力，锻炼心肺功能，还能平和心态和提高运动能力。

2、在锻炼场所我们常看到，一些锻炼者误将椭圆机当作跑步机，运动时只有腿用力，胳膊仅仅在腿的带动下起稳定作用，或干脆不扶扶手。

利用椭圆机健身时，如果手脚配合不协调，越用力身体越紧张，上下肢之间的对抗也会更强烈，还可能由于动作不协调，产生疲劳感，拉伤肌肉甚至摔伤。

3、椭圆机适用人群很广。

对于健康人群，椭圆机能增强体质、提高身体素质;对于膝踝关节不好的人走路或跑步时，双脚着地时产生的撞击力常使他们关节疼痛，而使用椭圆机锻炼则是更为安全、舒适的选择。

4、用椭圆机练习能做向前及向后的双向运动。

练习时一般可以向前练习3分钟，再做向后练习3分钟，一组练习5～6分钟，最好每次活动能够练习3～4组。

动作频率应逐渐加快，但不宜太快，一定要把握在自己能够控制的范围之内。

5、正确的家用椭圆机使用方法是：双手轻握器械上方的扶手;手随着脚依次向前进行蹬踏运动;等手脚的运动达到比较协调的程度后，再逐渐增加手的推力和拉力。

椭圆机健身的好处1、提高心肺功能，还有助于减肥、增强腿部肌肉力度和全面提高身体素质。

2、椭圆车屏幕可以显示出各种数据，如训练者的心率、呼吸频率、时间、速度、耗能等使训练者清楚的了解自己的锻炼状况。

3、椭圆磁控车机可以很好地训练上下肢的协调能力，提高中枢神经系统对肌肉的支配效果，同时省掉了跑步机对膝关节的剧大冲击力，更安全。

4、椭圆机就保护关节的一种最佳运动器材。

使用椭圆健身机训练时，训练者的膝关节承受的冲击力会比使用跑步机要小，且椭圆机更容易于初学者练习。

5种旋转变直线的机械结构导言机械结构在现代工程中起着非常重要的作用，其应用范围广泛。

在许多机械设备中，往往需要将旋转运动转变为直线运动，以实现特定的功能。

为满足这一需求，人们设计了各种形式的旋转变直线的机械结构。

本文将详细介绍5种常见的旋转变直线的机械结构，并对其原理和应用进行探讨。

一、摆线机构1.1 原理摆线机构使用了一个椭圆或摆线曲线齿轮和一个与之啮合的圆齿轮，通过齿轮的运动来实现旋转运动到直线运动的转换。

当圆齿轮绕一个固定点旋转时，椭圆齿轮上特定点的运动轨迹将会成为一条直线，从而实现了旋转运动到直线运动的转换。

1.2 应用摆线机构常用于制造工业中的机床、自动化装置和纺织机械等。

它可以将旋转运动转换为直线运动，用于推动物体、实现定位和移动等功能。

二、滚柱涡轮机构2.1 原理滚柱涡轮机构是一种通过涡轮齿轮的相互啮合来实现旋转运动到直线运动的转换的机械结构。

它由内部啮合的滚柱齿轮和外部啮合的涡轮齿轮组成。

当滚柱齿轮绕一个固定轴线旋转时，涡轮齿轮将在垂直方向上产生直线运动，实现了旋转运动到直线运动的转换。

2.2 应用滚柱涡轮机构常用于汽车工业中的传动系统和液压机械中。

它可以将发动机的旋转运动转化为直线运动，从而驱动汽车的传动轴或液压系统的工作柱塞等。

三、曲柄滑块机构3.1 原理曲柄滑块机构是一种常见的机械结构，用于将旋转运动转化为直线运动。

它由一个固定轴线上的曲柄和一个与之配合的滑块组成。

当曲柄绕固定轴线旋转时，滑块将在垂直方向上产生直线运动，实现了旋转运动到直线运动的转换。

3.2 应用曲柄滑块机构被广泛应用于发动机、压力机和往复泵等设备中。

它可以将发动机的旋转运动转化为活塞的往复直线运动，从而将化学能或机械能转化为机械工作。

四、球螺旋机构4.1 原理球螺旋机构是一种通过螺旋线和滚动轴承的相互作用来实现旋转运动到直线运动的转换的机械结构。

它由一个带有螺旋线的轴和一个与之啮合的滚动轴承组成。

当轴绕一个固定轴线旋转时，滚动轴承将在垂直方向上产生直线运动，实现了旋转运动到直线运动的转换。

光的横波性与五种偏振态
光的干涉和衍射现象只表明光是一种波动，光的 偏振现象则清楚地显示光是横波（振动方向与传 播方向垂直）而不是纵波。 1．光的偏振现象与光的横波性
1）机械波的横波性的检验
如图，将橡皮绳的一端固定，手拿着另一 端上下抖动，于是横波沿绳传播，在波的 传播路径中放置两个栏杆G1、G2， 若二者缝隙方向一致（a），则通过G1的 振动可无阻碍地通过G2，若二者缝隙方向 垂直（b），则通过G1的振动传到G2 处就被挡住，在G2后不再有波动。这只可 能是横波。
I M 与 I m 的振动方向互相垂直
I M 与 I m 是所有线偏振光在这两个互相 注意：
垂直方向上的投影分量的非相干叠加。
IM Im 4）偏振度： P IM Im I M＝I m 时，P 0 ，为自然光
3）部分偏振光的总光强 I I M I m
I m 0 时，P 1 ，是线偏振光
I0
自然光
P
I
1 旋转偏振片P一周，出射光强均为： I I0 2
若入射的自然光强为：I 0
3）试证明自然光通过偏振片后 出射光强为入射光强的一半。
自然光由无数条非相干的线偏振光组成 数密度： 单位夹角内包 含的 线偏振光的条数 ( ) 0 角内包含的线偏振 光的条数：
0
5．部分偏振光
1）部分偏振光的定义：
在垂直光传播方向的平面上， 所有方向均有横振动，但不同 方向的振动幅度不相等，形成 如图的振幅分布。
2）部分偏振光通过 偏振片后的光强度
部分偏振光
P
I0
若入射的部分偏振光强为 I 0
I
旋转偏振片P一周，出射光强的变化为：
I I M I m I M ，没有消光现象出现

2
2
相应的准线方程分别为 = − 和 = .


|1 |
|2 |
=
​
，
​
= .
由椭圆第二定义得 2
2
+ 0
− 0
a2
l : x
c
a2
l:x
c
y
P
•
•
F1
O
|1 | = + 0 ，|2 | = − 0 .
说明：|1|, |2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式.
(2)当 Δ＝0，即 m＝±3 2 时，直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点．
方法总结
方法总结：判断直线与椭圆的位置关系的方法
[注意]：方程组解的个数与直线与椭圆的公共点的个数之间是等价关系．
练习巩固
变式7-2: 求下列直线与椭圆的交点坐标:
2 2
2 2
​
+
= 1​.​
(1)​​3 + 10 − 25 = 0​，
复习导入
第三章
圆锥曲线的方程
3.1.2椭圆的简单几何性质
（第2课时）
练习巩固
例5：如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的
曲面)的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1 上，
片门位于另一个焦点2 上.由椭圆一个焦点1 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中
|F1 B|2 + |F1 F2 |2 = 2.82 + 4.52 .
由椭圆的性质知，|F1 B| + |F2 B| = 2a.
所以a =
1
(|F1 B|
2

尺规作图五点定椭圆的方法徐文平（东南大学南京210096）摘要：已知椭圆上五点，通过确定椭圆圆心、椭圆主轴方向和椭圆长轴短轴位置等三个步骤，尺规作图完成椭圆作图。

椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，在机械制图和土木工程领域中也有重要运用。

利用几何画板和cad软件，依据任意五个点的椭圆尺规作图，具有重要意义。

一、引言在几何画板和cad软件中，任意五个点作椭圆，具有意义。

五点定椭圆在卫星轨道，机械制图和土木工程中是有重要用途。

第一步，通过五点寻找椭圆圆心第二步，确定椭圆坐标x、y主轴方向第三步、确定椭圆的长轴a和短轴b1）大狗熊定理1：二次圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。

如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。

双曲线和抛物线也具有同样性质。

2）命题1：已知椭圆的斜向割线AB，作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK，JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。

证明：由于割线JK的切线交点极点在无穷远，利用定理1，可以快速证明这个命题。

定理2：圆锥曲线的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。

命题3（高斯定理）：已知椭圆外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。

图 3二、通过五点寻找椭圆圆心原理：通过已知五点，作椭圆切线，获得割线的极点，将割线的极点和割线中点连接并延伸，必定通过椭圆的圆心。

图 4问题1：只有五点，没有坐标轴和原点，椭圆斜的，割线PQ的切线极点如何办？切线方法：帕斯卡定理（五点+ 一个切点二次）做切线，或者如图5方法作切线。

F 1 F 2 ) ，则动点 P 的轨迹为线段 F 1 F 2 ； F 1 F 2 ) ，则动点 P 的轨迹无图形.
二、椭圆的标准方程 1．当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程：
x a y a
2 2

y b x b
2 2
1 ( a b 0 ) ，其中 c
2
a
2
b
2
2 2
2 2
① 若把曲线方程中的 x 换成 x ，方程不变，则曲线关于 y 轴对称； ② 若把曲线方程中的 y 换成 y ，方程不变，则曲线关于 x 轴对称； ③ 若把曲线方程中的 x 、 y 同时换成 x 、 y ，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？
c a
( 0 e 1) ， a
2
b
2
c ；
2
3
规律方法： 1、如何确定椭圆的标准方程？
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标 轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
两 个 定 形 条 件 , 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件： 一 个 定 位 条 件 焦 点 坐 标 ， 由 焦 点 坐 标 的 形 式 确 定 标 准 方 程 的 类 型 。
x a
2 2
2
2
2

y b
2 2
1 ( a b 0 ) 的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程
x a
2 2

y b
2 2
1 ( a b 0 ) 说明：把 x 换成 x 、或把 y 换成 y 、或把 x 、

2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程1．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8 D．10D[由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.]2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A.x2100＋y236＝1 B.y2400＋x2336＝1C.y2100＋x236＝1 D.y220＋x212＝1C[由题意知c＝8，2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为y2100＋x236＝1.]3．已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.x24＋y23＝1 B.x24＋y2＝1C.y24＋x23＝1 D.y24＋x2＝1A[由题意知c＝1，椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，又点P(2，0)在椭圆上，∴4a2＋b2＝1，∴a2＝4，b2＝a2－c2＝3，故椭圆方程为x24＋y23＝1.]4．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，7)，则k的值为________．－1或－17[原方程可化为x21k2＋y2－8k＝1.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－8k ＞0，－8k ＞1k 2，－8k －1k 2＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k ＜－18，k ＝－1或k ＝－17.所以k 的值为－1或－17.](1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． [解] (1)由于椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∴a ＝5，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∴a ＝2，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧（3）2a 2＋（－2）2b 2＝1，（－23）2a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. ②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2a 2＋（3）2b 2＝1，1a 2＋（－23）2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝5，b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎨⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1[答案] B【例2】 (1)椭圆x 9＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________．思路探究：(1)求|PF 2|→求cos ∠F 1PF 2→求∠F 1PF 2的大小 (2)椭圆定义和余弦定理→建立关于|PF 1|，|PF 2|的方程→联立求解|PF 1|→求三角形的面积(1)120° (2)335 [(1)由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2， ∴c ＝7.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.(2)由x 24＋y 23＝1，可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|. ①由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4. ② 由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.]1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .2．椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．2．(1)已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是__________________．8－43 [由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2. 又由椭圆的定义，知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3.] (2)设P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，若∠PF 1F 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．32 [由椭圆方程x 24＋y 23＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且|F 1F 2|＝2，在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°.∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2.从而(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4，则|PF 1|＝32，因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝32.故所求△PF 1F 2的面积为32.]1.如图所示，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 的坐标为(2，0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．[提示] 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c .所求点Q 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.2.如图所示，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是什么？为什么？[提示] 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用代入法(相关点法)求解．用代入法(相关点法)求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M (x ，y )，已知曲线上动点坐标为P (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点M 的坐标表示出点P 的坐标，即得关系式⎩⎨⎧x 1＝g （x ，y ），y 1＝h （x ，y ）. (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．所求点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.【例3】 (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点；O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为______________．(2)一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．思路探究：(1)点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．(2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．(1)x2＋y22＝1[设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又x204＋y208＝1.所以（2x）24＋（2y）28＝1，即x2＋y22＝1.](2)解：由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝1；Q2(3，0)，R2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图．由题设有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，所以|MQ1|＋|MQ2|＝10>|Q1Q2|＝6.由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法．例(2)所用方法为定义法．2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．3．(1)已知x 轴上一定点A (1，0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．[解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)． 利用中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 02，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上， ∴x 204＋y 20＝1.将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式， 得（2x －1）24＋(2y )2＝1.故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋4y 2＝1. (2)在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，|AB |＝2，|AC |＝32，曲线E 过C 点，动点P 在曲线E 上运动，且|P A |＋|PB |是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E 的方程．[解] 以AB 的中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知，曲线E 是以A ，B 为焦点，且过点C 的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．则2a ＝|AC |＋|BC |＝32＋52＝4，2c ＝|AB |＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x 2a 2＋y 2b 2＝1与y 2a 2＋x 2b 2＝1这两个标准方程中，都有a ＞b ＞0的要求，如方程x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )就不能确定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式x a ＋y b ＝1类比，如x 2a 2＋y 2b 2＝1中，由于a >b ，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看x 2，y 2分母的大小)．3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解.1．已知A (－5，0)，B (5，0)．动点C 满足|AC |＋|BC |＝10，则点C 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．点 C [由|AC |＋|BC |＝10＝|AB |知点C 的轨迹是线段AB .]2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B[椭圆方程可化为x 2＋y24k ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4k >1，4k －1＝1，解得k ＝2.]3．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________．48 [由题意知⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝100， ② ①2－②得2|PF 1||PF 2|＝96.所以|PF 1||PF 2|＝48.]4．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c ＞0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.。

椭圆方程的几种常见求法河南 陈长松对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式． 解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1，∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32，∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ， 故所求轨迹方程为：1486422=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。

解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12422=+y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=•PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=•PB PA 即可求解．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号， ∴PB PA •=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y∵)41(2)41(2222x x y y y A A B A --=--=-= 1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ． （２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y y x ∵ Ｇ为ABC ∆的重心 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300y y x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x 其轨迹是中心为原点，焦点在x 轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。