分形实例

分形图形（组图）*
对数学痛心疾首恨之入骨的同学一定不在少数呢。

说到数学都会想到昏昏欲睡的数学课、无法理解的公式、还有永远也算不出来的X 先生和α先生。

但是很少会有人知道。

其实数学也有非常柔美华丽的一面呢。

曼德尔布诺特给分形下的定义是：一个集合形状，可以细分为若
干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。

由于分形将数学的美变得更直观更平易近人，它也被很多艺术家青睐。

这里整理了艺术家Silvia Kordedda创作的分形图形。

是不是觉得如果早一些看到这些，也会想要努力学习数学呢?。

利用分形理论解释自然现象
分形是一种几何形状，具有自相似性的特点。

它可以在不同的尺度
上重复出现，并且形状复杂多样。

分形理论被广泛应用于自然科学领域，用来解释各种自然现象。

本文将利用分形理论来解释一些常见的
自然现象，从而更好地理解自然界的奥妙。

首先，我们来看看山的形状。

山脉的轮廓线常常呈现出分形结构，
即使在不同的尺度上观察，都可以看到类似的形状。

这是因为山脉的
形成过程中，受到了地质构造和气候等多种因素的影响，形成了复杂
的结构。

分形理论可以很好地解释这种现象，帮助我们更好地理解山
脉的形成过程。

其次，我们来看看云的形状。

云的形态也常常表现出分形特征，不
论从近距离还是从远处观察，都可以看到类似的形状。

这是因为云是
由水蒸气在大气中凝结形成的，受到风力和气温等因素的影响，形成
了各种各样的形态。

分形理论可以帮助我们理解云的形成规律，进而
更好地预测天气变化。

另外，我们再来看看河流的走势。

河流的轨迹同样表现出分形结构，河岸的曲线呈现出复杂多样的形状。

这是因为河流受到地形地貌的影响，形成了不规则的河道。

分形理论可以解释河流的形成机制，帮助
我们更好地研究河流的演变过程。

总的来说，分形理论可以帮助我们理解自然界中各种复杂多样的现象。

通过分形理论的解释，我们可以更好地认识自然界的规律，探索
宇宙的奥秘。

希望本文对读者有所启发，让大家更加热爱自然，关心
环境，共同保护我们美丽的地球家园。

愿人类与自然和谐共处，共同创造美好未来。

各种有趣的分形我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。

但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。

可是，山到底是什么"它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象"分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。

让我们先来熟悉几个典型的分形。

图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。

这美丽的图片是利用分形技术生成的。

在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。

这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体一样，仅仅在尺寸上小了一些。

而枝杈的枝杈也和整体一样，只是变得更加小了。

Sierpinski三角形具有严格的自相似特性Kohn雪花具有严格的自相似特性分维及分形的定义分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。

但用这种方法对分形的层层细节做出测定是不可能的。

曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。

分形的主要几何特征是关于它的构造的不规那么性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规那么性和复杂性程度的度量，这可用"维数〞来表征。

维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的涵。

整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。

这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为"拓扑维〞，记为d。

例如当把一地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维构造。

但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。

数学实验分形实例(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验二分形（一）练习题1一．实验目的1．了解分形几何的基本情况；2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法；3．了解matlab软件中简单的程序结构。

二. 问题描述对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。

编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。

三．实验过程仿照Koch曲线代码对三角形的每条边进行Koch曲线化，建立函数“snow”的输入参数有三角形的边长R和迭代次数k,输出Koch雪花图形以及雪花所围面积S.源代码如下：function snow(R,k)p=[0;R/2+1i*R*sin(pi/3);R;0];S=0;n=3;A=exp(1i*pi/3);for s=1:kj=0;for i=1:nq1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/3;j=j+1;r(j,:)=q1;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A; j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; endn=4*n;clear pp=[r;q2];endfigureq(:,1)=real(p(:,1));q(:,2)=imag(p(:,1)); plot(q(:,1),q(:,2))fill(q(:,1),q(:,2),'b')for i=0:kS=S+(3.^)**(R.^2); endSaxis equal按照以上程序，输入参数，有以下结果：>> snow(1,1) S = 图形如下:>>snow(1,2) S = 图形如下:>>snow(1,3) S = 图形如下:>>snow(1,4) S = 图形如下: >>snow(1,5) S = 图形如下:四．总结分析和心得体会根据观察迭代的面积规律，即可推得面积递推公式：,其中即：面积公式，也就等于分形维数，根据迭代的规律得到：相似形个数：m=4边长放大倍数c=3，维数d=ln m/ln c=ln 6/ln 3=（二）练习题2一．实验目的1．了解分形几何的基本情况；2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法；3．了解matlab软件中简单的程序结构。

55个惊人美丽的分形艺术作品55个惊人美丽的分形艺术作品“分形”一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有”破碎”、”不规则”等含义。

Fractal by LynnDream Blooms by ColliemomThe Beginning by Magnusti78Fleur D’Apo by mynameishaloA Feeling by Magnusti78Autumn Dance by SilwenkaFantasy Lover by KLR620Cubik Olympic by digitalpaintersFurnace by Aexion… by LynnFairy Tree by NiroloSanctuary by Creativ82Alchemy by 404-Not-FoundFractal Art by Nathan SmithMelt the Ice by zueukTalisman V by hmnFractal Art by Nathan SmithIllusions by CygX1Evolution by trystianityNexus by NinthTabooGhostly Visage by tdierikxFractal Art by Nathan SmithI sleep only to dream of you by longan drink Aeries Reborn by theArchonAir by SilwenkaPerception Redefined by TyrantWaveForever Friend by Rhiannon104Night of the Phoenix by magnusti78Flying Carpet by wm-dDragon in the Evening Desert by Treehouse Charms The Awakening III – Rebirth by cyg1XRR2 – Wonderland Forever by magnusti78 Mycology by cyberxaosFractal Flowers CollectionLast of the Summer Flowers by Omron。

有趣的分形
让我们动手来画图。

(1)先画一个正三角形，每一边的长度是1；
(2)在每个边的三等份的中间一等份处再凸出造一个正三角形，小三角形在三个边上出现，使原三角形变成六角形；
(3)再在六角形的12条边上重复进行三等份的中间一等份处凸出造一个正三角形的过程，得到4×12=48边形；
……
每边三等分的中间一等分处凸出一个小正三角形，如此至于无穷。

其外缘曲线的构造越
来越精细，它好象是一片理想的雪花。

整体地
看，它仍具有对称性；部分地看，它们每一个
自身内部结构间具有相似性(叫自相似性)，我科克雪片的前三个阶段的构造们把这样的曲线叫做科克曲线(雪花曲线)，它是1904年瑞典科学家科克所描述的。

雪花曲线的产生过程充分展现了它具有自相似的特点。

数学家芒德勃罗创造了一个词“fractal”，中文译为“分形”，来描述这样的图形特点。

留意观察，我们会发现大自然中充满着这种“分形”现象，如，天空中云彩、天体的分布、闪电、雪花……地球的表面、绵延不断的山脉、河流的分布、蜿蜒曲折的海岸线、崎岖的道路、人体肺气管和血管的分布、正常人的脑电脑图……
人们认识分形，在于探索事物的自相似结构，自相似是跨越不同尺度的对称性。

通过认识分形，人们能更好地认识事物的结构，还可以指导我们创造出令人赏心悦目的艺术品……。

自然界分形
自然界中有很多分形，以下列举几个例子：
1. 雪花：雪花的形状是分形的，每个雪晶片都是由相同的形状重复组成的。

2. 树枝：树枝的分支形状也是分形的，每个分支都会分成更小的分支，形成无限的层次。

3. 海岸线：海岸线的形状也是分形的，它们的形状在不同的尺度上都是相似的，无论是从空中观察还是从地面上观察。

4. 云朵：云朵的形状也是分形的，它们的形状在不同的尺度上都是相似的。

5. 羽毛：鸟类的羽毛也是分形的，每根毛都是由相同的形状重复组成的。

这些分形形状的出现，是由于自然界中的物质和能量在不同的尺度上都是相似的。

这种相似性是自然界中普遍存在的，也是分形的本质特征。

分形几何有许多典型的范例，以下是其中一些：
1. 谢尔宾斯基三角形：这是一种自相似的分形图形，通过不断将三角形划分为更小的三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。

2. 谢尔宾斯基垫片：这是由谢尔宾斯基三角形进一步演化而来的一种分形图形，由三角形内部的三角形构成，整体呈现出一个自相似的模式。

3. 科赫曲线：又称为科赫雪花或科赫蛇，是一种分形曲线。

通过不断将一段线段分割成等长的两段，然后将每一段线段的中间部分弯曲成等边三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。

4. 曼德布罗集：这是由数学家本华·曼德布罗提出的分形图形，通过不断将单位正方形进行切割和填充，最终得到的图形是一个具有无限复杂性的集合。

5. 皮亚诺曲线：这是一种由意大利数学家皮亚诺提出的分形图形，它是一种在平面上的连续曲线，通过不断将线段进行延长和弯曲，最终得到的图形具有无限复杂性和自相似性。

这些只是分形几何中的一些典型范例，实际上还有许多其他的分形图形和结构，如朱利亚集、费根堡姆曲线等。

这些分形图形的特点是具有无限的复杂性和自相似性，并且在许多领域中得到了应用。