数列的单调性与最值教程文件

专题突破二 数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性． 解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1. 方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)＜0. ∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二 设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟 研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列． 证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)＝－3×2n －2＋4×3n －1＝2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *.∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数． 解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44< 2 019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N *时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋2 019－ 2 018x － 2 019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟 本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n，则{a n }的最大项是( ) A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6 答案 C解析 f (x )＝411－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数． 且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟 有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，34 解析 设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n 又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12. ∴－a ＜12即a ＞－12. 当n 为偶数时，a ＜1－12n . f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34. ∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34. 例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，且n ∈N *， ∴当n >3，n ∈N *时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N *时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793＋1<a 4＝4×⎝⎛⎭⎫794＋1，所以第4项为最大项． 反思感悟 如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N *，求{b n }的最大值． 解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n ＋1－2n －92n ＝－2n ＋112n ＋1，且n ∈N *， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5.当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364. ∴{b n }的最大值为b 6＝364. 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围．(2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ， 解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟 注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N *，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ，a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.∵{a n }是递减数列，∴对任意n ∈N *，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立， ∴k ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1max ＝2， ∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N *，则数列{a n }的最大项是( )A ．103B.8658C.8258D ．108答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216＋3，而n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －12－⎝⎛⎭⎫23n －1，令⎝⎛⎭⎫23n －1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝⎛⎭⎫23n －1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．10B ．11C ．10或11D ．12答案 C解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *,2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为 ． 答案 1 024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n >0，∴a n a n －1＝2＞1，∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024.5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是 ． 答案 (－11，－9)解析 根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m 的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m 2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是() A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项答案 D 解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上． ∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，a n ＝f (n )，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定 答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.6．已知p >0，n ∈N *，则数列{log 0.5p n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列 答案 C解析 令a n ＝log 0.5p n .当p >1时，p n ＋1>p n ，∴log 0.5p n ＋1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；当0<p ≤1时，p n ＋1≤p n ，∴log 0.5p n ＋1≥log 0.5p n ，即a n ＋1≥a n .故选C.7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n 2＋6(n ∈N *)，则该数列的最大项为( ) A ．第2项B ．第3项C ．第2项或第3项D ．不存在 答案 C解析 易知，a n ＝1n ＋6n.函数y ＝x ＋6x (x >0)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n(n ∈N *)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减． 又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋k n，若对任意的n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12)答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k 3对任意的n ∈N *恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n≥3－n ， 当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12.二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第 项． 答案 5解析 易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小． 又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项． 10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为 (填序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n . 答案 ①③解析 可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是 ．答案 (2,3)解析 由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上． 因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3， 故实数a 的取值范围是(2,3)．三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围． 解 因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ， 所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N *恒成立，分离变量得k <2n ＋1， 故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n. (1)判断{a n }的单调性；(2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N *， 当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0，当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0，即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减，n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生．由a 2＝152＞a 3＝203，∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第 项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，163上单调递减，且n ∈N *， 所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值． 解 列表图象如图所示．由数列的图象知， 当1≤n ≤5时数列递增；当n >5时数列递减，最大值为a 5＝36，无最小值．。

《数列的单调性》教学设计一、教学内容解析本节课内容是由《普通高中课程标准实验教科书数学》人教B 版必修5第二章《数列》中的数列的单调性定义结合高考命题在高三一轮复习中增加的一个专题，本节教学内容为判断数列的单调性以及利用数列的单调性解决最值问题,是高考对数列考查的一个热点，难度属于中、高档难度．在研究数列单调性过程中，可以利用数列单调性的定义,结合函数图像，体现了对数列作为离散函数的性质的研究．加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．在对数列单调性的探究过程中，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力，让学生感知从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 二、教学目标设置 （一）学习目标1 掌握数列单调性的定义，利用数列单调性定义判定和证明数列的单调性2．理解数列单调性与相应连续函数单调性的联系，同时也能清楚数列)(n f a n =的单调性与[)+∞∈=,1),(x x f y 的单调性不完全一致．3 通过对数列单调性定义的探究，能利用数列的单调性解决最值，不等式恒成立问题．4 通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．（二）目标解析1．能够结合数列的单调性定义“ 数列{}n a 是递增数列⇔n n a a N n >∈∀+1*,恒成立”， 通过作差或作商法判定或证明一般数列的单调性．2．数列)(n f a n =的单调性与[)+∞∈=,1),(x x f y 的单调性不完全一致．一般情况下，不能把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题，即“离散函数有单调性≠>连续函数有单调性”在探究数列单调性定义时，领悟到数形结合思想、转化思想，并能运用这些数学思想解决有关数列单调性的问题．（三）教学重点和难点教学重点：数列单调性的判定教学难点：学生分析，转化能力的培养三、学生学情分析学生经历了高一、高二的学习,对函数的单调性和数列的知识已经有所掌握,但是经过两年有所遗忘,函数与数列又是高中学习的难点学生普遍知道数列是函数,但是容易忽略定义域是正整数这一要求,从而把数列的单调性和对应连续函数的单调性混淆导致错误另外常常利用数列单调性解决最值和不等式问题,这类问题又是学生的一个难点四、教学策略分析为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上我主要采取了以下的策略：（1）通过对考纲的明确,让学生了解高考什么、考到什么程度,通过本节课我应该掌握什么．（2）①先明确一般数列的单调性的定义,有一个判断的主要依据②通过等差、等比数列的单调性的题目,由学生自己总结出等差、等比数列单调性③通过对一般数列的最值问题,掌握什么时候用定义法,什么时候用对应函数的单调性来判断数列单调性,从而解决问题④通过对已知数列的单调性求参数取值范围问题的处理进一步强调数列的单调性问题的解决方法（3）注重思想方法的培养．感悟数形结合思想、特殊到一般思想．五、教学过程（一）明确考纲，确定方向考纲展示:1了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数2了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系（二）回扣教材数列单调性定义:从第二项起,每一项大于它的前一项的数列叫做递增数列; 从第二项起,每一项小于它的前一项的数列叫做递减数列（三）考点探究考点一 等差、等比数列的单调性师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充． 例1、（必修5教材55页）等比数列{}n a 中，如果公比1<q ，那么等比数列{}n a 是（ ）A 递增数列B 递减数列C 常数列D 无法确定数列的增减性解题思路：等比数列{}n a 中，1a 的符号无法判断教材变式：（2021北京理5）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1">q 是“{}n a 为递增数列”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件【设计意图】通过学生熟悉的等比数列引入课题．学生通过解决试题明确等比数列的单调性． 例2、1已知函数3311)(2+-=x x x f ,讨论函数)(x f 的单调性 解题思路：根据二次函数的开口方向和对称轴确定单调性 2已知数列{}n a 的通项33112+-=n n a n ，求n a 的最小值 解题思路一：根据（1）的结论可得解题思路二：利用数列单调性定义，比较1+n a 和n a 的大小变式：已知数列{}n a 的通项nn a n 3311+-=，求n a 的最小值 解题思路：结合对号函数xx x f 33)(+=的性质可得 【设计意图】通过函数，数列，以及变式为结合对号函数，使学生明确利用数列对应的连续函数的单调性解决数列单调性问题例3、（必修5教材28页） 数列{}n a 的通项公式是9897--=n n a n ，它的前n 项中最大的项是第几项？最小的第几项？解题思路一：9897981--+=n a n ，结合函数9897981)(--+=x x f 的图象确定最大、最小项解题思路二：结合斜率的两点式，将问题转化为函数x y =上的点),(n n 和()97,98两点连线的斜率，由图象可知【设计意图】选取教材课后习题，强调高考命题源于教材，提醒学生复习过程中重视教材 例4、（2021新课标Ⅱ）等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知010=S ，2515=S ，则n nS 的最小值为解题思路：先求出2331031n n nS n -=，设函数2331031)(x x x f -=，则)320(320)(2-=-='x x x x x f ，结合)(x f 单调性，48)6(-=f ，49)7(-=f【设计意图】结合三次函数，把数列的问题和导数结合起来，但是要注意定义域例5、已知无穷数列{}n a 的通项公式nn n n a 10)1(9+=，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由解题思路一：作差)8(10911n a a n nn n -=-++，当8<n 时，n n a a >+1即178a a a >>> ，当8=n 时，n n a a =+1即98a a =，当8>n 时，n n a a <+1即 >>109a a ，所以最大项为第八、九项，8998109==a a解题思路二：作商10108110101891+--=++=+n n n n a a n n 【设计意图】通过观察通项形式选择作差法还是作商法，注意作商时符号问题。

一、知识梳理1、单调数列的定义从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列，即或者，每一项都小于它的后一项的数列叫做递增数列，即2、证明数列单调性的方法（1）定义法（作差法）：判断的符号()12n n a a n ->≥()11n n a a n +<≥()11n n a a n +-≥数列的单调性与最值（2）做商法：对于正的数列，用和1比较，若，则数列为递增数列； （3）通项公式所对应的函数的单调性3、数列的最大项（1）如果数列是单调递减数列，则首项为最大项（2）如果数列从某一项开始，为单调递减数列，则最大项在前项中取得，特别地，前项呈递增数列，则第项为最大项（3）如果通项公式为，而函数的图像可以画出，那就转化为函数的最值问题，需要注意最值处是不是整数.特别地，如果函数为上凸函数，在处取得最大值①如果为整数，则第项为最大项②如果不是整数，则比较一下第项与第项，较大的项为最大项4、数列的前项和的最大项（1）若110,0,n na n n a n n >≤⎧⎨<>⎩，则在0n n =取得的最大项； （2）若1110,0,0,n n na n n a n n a n n ><⎧⎪==⎨⎪<>⎩，则在001,n n n =-取得相同的值，且为最大项最小项的情形可类似写出，你也可以的！二、常见的模型第一类，由数列的通项公式，判断数列的单调性，求数列的最值项模型1：例1、试一试 ()11n na n a +≥()111n n a n a +>≥0n 0n 0n 0n ()n a f n =()()0f x x >0x ()()0f x x >0x 0x 0x 0x []0x []01x +n n S n S n S 111122n a n n n=+++++112n ⎫⎛-⎪ ⨯⎭⎝模型7：22n n n a n =-+ 例9、 设22n n n a n =-+，是否存在*m ∈N ，使得对任意*n ∈N ，222618log log 77n a m m <-恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．第二类：由n a ，讨论n S 的最值例10、试一试：已知()2002n n a n N *=∈，设()12n n A d d d n N *=∈，求当n A 达到最大值时，n 的值.1、已知数列的通项公式为，若对任意n N *∈，有恒成立，则实数的取值范围是________2、已知数列的通项，当_________时，最小.3、已知数列的通项，若对任意的n N *∈，都有，求的取值范围4、已知数列的通项，试问该数列有没有最大项? 若有，求出最大项和最大项{}n a 22n a n kn =+++1n n a a >k{}n a 13n a n n=+n =n a {}n a 52n n a n =-n a M ≤M {}n a 10(1)11nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭235n b ++>。

高中数学教案函数的单调性与最值（二）高中数学教案：函数的单调性与最值（二）一、引言在上一节课中，我们学习了函数的单调性和最值的概念，并通过图像来了解了这些概念。

本节课我们将进一步深入探讨函数的单调性和最值的相关性质，并通过例题巩固所学知识。

二、单调性的判定1. 单调性的定义函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。

具体地说，如果对于定义域上的任意两个不同的实数x₁和x₂，都有f(x₁)≤f(x₂)（或者f(x₁)≥f(x₂)），那么函数f(x)就是递增（递减）函数。

2. 利用导数判断函数的单调性a) 函数f(x)在开区间(a, b)上连续且可导，当f'(x) > 0（或者f'(x) < 0）时，函数f(x)在(a, b)上是递增（递减）的。

b) 函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导，当f'(x) ≥ 0（或者f'(x) ≤ 0）时，函数f(x)在[a, b]上是递增（递减）的。

三、最值的求解1. 极值点与最值a) 极大值点与极小值点函数f(x)在定义域内某点x₀处的函数值f(x₀)称为f(x)的极大值（或极小值）。

b) 最大值与最小值函数f(x)在定义域内具有的最大函数值f(x)的值称为f(x)的最大值，简称最大值。

同理，函数f(x)在定义域内具有的最小函数值f(x)的值称为f(x)的最小值，简称最小值。

2. 求解最值的方法a) 图像法通过绘制函数图像，并观察图像的高点和低点，可以初步判断函数的最值所在位置。

b) 导数法考察函数f(x)在定义域的内部和端点处的导数值，可以判断函数的最值所在位置。

c) 区间划分法将定义域分成几个子区间，在每个子区间内分别求函数的函数值，比较得出最值。

四、练习题1. 设函数f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1，求f(x)的单调递增区间和单调递减区间。

2. 设函数f(x) = x⁴ - 2x²，求f(x)的极值点和最值。

专题5 等差数列的单调性和前n 项和的最值问题微点1 等差数列的单调性专题5 等差数列的单调性和前n 项和的最值问题微点1 等差数列的单调性【微点综述】当0d >时，数列{}n a 是递增数列；当0d <时，数列{}n a 是递减数列；当0d =时，{}n a 是常数列．【典例刨析】例1．1．已知点()1,5，()2,3是等差数列{}n a 图象上的两点，则数列{}n a 为（ ）A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．无法确定例2．（2023浙江绍兴一模）2．已知等差数列{}n a 单调递增且满足186a a +=，则6a 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞B ．()3,6C ．()3+∞，D ．()6,+∞例3．3．在数列{}n a 中，2n a n kn =+，对任意的正整数n ，都有1n n a a +>恒成立，求实数k 的取值范围.【点睛】本题考查数列的增减性，考查数列的函数特性，考查数学转换思想例4．（2022年高考北京卷第6题）4．设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例5．（2023·北京海淀·校考三模）5．已知等差数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 满足()*1n n a b n ⋅=∈N ，则“0d >”是“{}n b 为递减数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例6．（2022春·北京房山·高二统考期末）6．已知无穷等差数列{}n a 为递增数列，n S 为数列前n 项和，则以下结论正确的是（ ）A ．1n nS S +>B ．数列{}n S 有最大项C ．数列{}n na 为递增数列D ．存在正整数0N ，当0N n >时，0n a >例7．（2023秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）7．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，公差()2023202220230,0d a a a <+<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4043B ．4044C ．4045D ．4046例8．（2022·上海华师大二附中月考）8．以下有四个命题：①一个等差数列{}n a 中，若存在()*10k k a a k N +>>∈，则对于任意自然数n k >，都有0n a >；②一个等比数列{}n a 中，若存在0k a <，()10k a k N *+<∈，则对于任意n N *∈，都有0n a <；③一个等差数列{}n a 中，若存在0k a <，()10k a k N *+<∈，则对于任意n N *∈，都有0n a <；④一个等比数列{}n a 中，若存在自然数k ，使10k k a a +⋅<则对于任意n N *∈，都有10n n a a +⋅<．其中正确命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【反思】本题考查等差和等比数列的单调性和各项的符号特征；解题关键是能够根据相邻两项之间的关系确定等差或等比数列的公差或公比的正负，进而得到等差数列的单调性和等比数列各项的符号特征．例9．（2022·福建福安市第一中学高二月考）9．已知等差数列{}n a 中，390a a +=，公差0d <，则使其前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7例10．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）10．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若100，><a d ，则不正确的（ ）A ．数列{}n a 单调递减B ．数列{}n a 没有最小值参考答案：14．(1){}n a 、{}n c (2)证明见解析(3)1n a n =-或()11n a n d=+-【分析】（1）根据“H 数列”的定义可得出结论；（2）验证0d =成立，利用①②推导出Z d ∈，假设0d <，可得出等差数列{}n a 是递减数列，结合①得出101a ≤≤，结合1a ∈Z 可得出10a =或1，1d ≤-，再结合不等式的基本性质以及数列{}n a 的单调性推出矛盾，从而说明0d <不成立，即可证得结论成立；（3）由（2）知，1d ≥，可得知数列{}n a 是递增数列，推导出10a <不成立，可得出1a ∈N ，分10a =、10a ≠两种情况讨论，验证1n a n =-、()11n a a n d +-=满足①②，即可得出结果.【详解】（1）解：由“H 数列”的定义可知，数列{}n a 、{}n c 为“H 数列”.（2）证明：若0d =，则由①可知211a a =，所以10a =∈Z 或11a =∈Z ，且公差0d =∈N ，以下设0d ≠.由①，k ∃、l N *∈，12k a a a =，13l a a a =，两式作差得()()1321l k l k d a a a a a a d -=-=-=，因为0d ≠，所以1a l k =-∈Z .由①，m ∃、N n *∈，23m a a a =，24n a a a =，两式作差得()()2432n m n m d a a a a a a d -=-=-=，因为0d ≠，所以2a n m =-∈Z ，因此，21d a a =-∈Z .若0d <，则等差数列{}n a 是递减数列，由①21a 为{}n a 中的项，因此，211a a ≤，解得101a ≤≤，由1a ∈Z 且公差d ∈Z ，所以10a =或1，1d ≤-，()4131312a a d =+≤+⨯-=-，由①，24a 为{}n a 中的项，且()224124a a ≥-=>，这与等差数列{}n a 递减矛盾，因此，0d <不成立.综上，1a ∈Z 且公差d ∈N .（3）解：因为公差*d ∈N ，所以1d ≥，即{}n a 是递增数列.若10a <，因为1a ∈Z ，所以*113,2a a --∈N ，则()()131111222a a a a d a a -=+-≥+-=，且113112aa a a a -<≤，由①113a a a -为{}n a 中的项，这与等差数列{}n a 是递增数列矛盾.因此，10a ≥，又由（2）1a ∈Z ，故1a ∈N .由1a ∈N ，*d ∈N 知，*,0n n a ∀∈N ≥且{}n a 中存在一项为正整数，取最小的正整数项k a .则由②，*,i j ∃∈N ，使得i j k a a a =且1i k a a ≥≥，1j k a a ≥≥.因此2k i j k a a a a =≥，解得1k a ≤，又*k a ∈N ，故1k a =.因为{}n a 是递增数列，（i ）若10a =，则2121k d a a a a =-===，此时1n a n =-.因为*,i j ∀∈N ，()()111i j a a i j ij i j =--=--+，令2k ij i j =--+，有*k ∈N ，且i j k a a a =，所以{}n a 满足条件①.因为*k ∀∈N ，令2i =，j k =有21i j k k k a a a a a a ==⨯=，所以{}n a 满足条件②.（ii ）若10a ≠，则11k a a ==，()11n a n d =+-.因为*,i j ∀∈N ，()()1111i j a a a i d a j d =+-⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2211211a i j da i j d =++-+--()()()1211a i j i j d d=++-+--⎡⎤⎣⎦.令()()()2111k i j i j d =+-+--+，则*k ∈N ，且i j k a a a =，所以{}n a 满足条件①.因为*k ∀∈N ，令1i =，j k =，有11i j k k k a a a a a a ==⨯=，所以{}n a 满足条件②.综上，1n a n =-或()11n a n d =+-.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义“H 数列”，在第二问的证明中，可采取反证法证明0d <不成立，结合数列的单调性可证出结论；在第三问的求解，要注意对1a 是否为零30．（1）答案见解析，答案不唯一；（2）证明见解析．【分析】（1）根据题设给定的数列性质写出一个满足题设的M数列{an}即可.（2）分别从必要性、充分性两个方面证明：由已知条件结合M数列{an}为递增数列证a2017=2018；由已知条件结合a2017=2018证M数列{an}为递增数列，即可证结论.【详解】（1）满足a2=1，a7=0，且S(A7)>0的一个M数列{an}为0，1，2，1，2，1，0．（2）证必要性：∵M数列{an}为递增数列，a1=2，n=2017，又|ak+1-ak|=1(k=1,2,3,…,n-1)，∴ak+1-ak=1(k=1，2，3，…，2016)，则数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，∴a2017=2+(2017-1)=2018．证充分性：∵M数列{an}满足|ak+1-ak|=1(k=1，2，3，…，n-1)，∴a2017-a2016≤1，a2016-a2015≤1，a2015-a2014≤1，……，a2-a1≤1，以上各式累加可得：a2017-a1≤2016，即a2017≤2016+a1=2018，又a2017=2018，∴a2017=2016+a1=2018．∴以上各式应该都取等号，即ak+1-ak=1>0(k=1，2，3，…，2016)，即M数列{an}为递增数列．故M数列{an}为递增数列的充要条件为a2017=2018．答案第15页，共15页。