第九节：压轴题分类之单调性及分段数列

数列及其通项例1设{}n a 是首项为1的正项数列,且()011221=+-+++n n n n a na na a n n =1,2,3,…,则它的通项公式是n a = ． 分析 本题由递推式求通项公式,考虑到填空题特点：即只要结果不要过程,故采用不完全归纳法由特殊到一般.也可化简递推式,从而求得通项公式. 解法一： 由条件,11=a ()011221=+-+++n n n n a na na a n ,可得212=a ,313=a ,414=a ,负值舍去由此可猜想nan1=.解法二： 由()011221=+-+++n n n n a na na a n ,可得()0)](1[11=+-+++n n n n a a na a n因为0>n a ,所以0)(1>++n n a a 故只有()011=-++n n na a n ,即11+=+n na a n n 所以=na1-n n a a ⋅⋅--21n n a a ⋅--32n n a a …112a a a ⋅=n 1链接 ①形如)(1n q a a nn +=+的递归式,其通项公式求法为：1111111()()n n n k k k k a a a a a q k --+===+-=+∑∑②形如nn an p a )(1=+的递归式,其通项公式求法为：3211121(1)(2)(1)nn n a a a a a a p p p n a a a -=⋅⋅⋅=⋅⋅-例2 . 已知a n =错误! n ∈N ,则在数列{a n }的前20项中,最大项和最小项分别是,a 8 . ,a 9 . ,a 9 . ,a 10 .分析 因为a n =1+错误! 所以a 1,a 2 ,…,a 9 组成递减数列,a 1最大,a 10最小; a 10,a 11 ,…,a 20组成递减数列,a 10,最大,a 20,最小,计算a 1＜ a 10, a 9＜ a 20. 所以在数列{ a n }前20项中,最大项为a 10,最小项为a 9,故选B.说明要确定数列{ a n }的最大项和最小项,一种思路是先判断数列的单调性,另一种思路是画图观察.等差数列与等比数列例1.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n . Ⅰ若首项=1a 错误!,公差1=d ,求满足2)(2k k S S =的正整数k ；Ⅱ求所有的无穷等差数列{a n },使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.答案解：I 当1,231==d a 时,n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1( 由22422211(), ()22k k S S k k k k =+=+得,即0)141(3=-k k ;又0, 4k k ≠=所以;II 设数列{a n }的公差为d,则在2)(2n n S S =中分别取k =1,2,得2211112211421(), ?43214(2) 2()22a a S S a d a d S S ⎧=⎧=⎪⎪⎨⎨⨯⨯+=+=⎪⎪⎩⎩（）即（）; 解得111100110602a a a a d d d d ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或; 若2210, 0, 0, 0, ()n n k k a d a S S S =====则从而成立；若21330, 6, 6(1), 18, ()324, 216n n a d a n S S S ===-===则由知,)(239S s ≠ 故所得数列不符合题意;若2211,0,1,,()n n k k a d a S n S S =====则从而成立；若2211,2,21, 13(21), ()n n n a d a n S n n S S ===-=+++-==则从而成立;综上,共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n =0,即0,0,0,…； ②{a n } : a n =1,即1,1,1,…； ③{a n } : a n =2n －1,即1,3,5,…;考点等差数列的通项公式,等差数列的性质;分析I 利用等差数列的求和公式表示出前n 项的和,代入到2)(2k k S S =求得k ;Ⅱ设数列{a n }的公差为d,在 Sn2=Sn2中分别取k =1,2求得1a ,代入到前n 项的和中分别求得d,进而对1a 和d 进行验证,最后综合求得答案; 例2 ΔOBC 的在个顶点坐标分别为0,0、1,0、 0,2,设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1坐标为x n,y n ,.2121++++=n n n n y y y aⅠ求321,,a a a 及n a ; Ⅱ证明;,414*+∈-=N n yy n nⅢ若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列．分析 本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力． 利用图形及递推关系即可解决此类问题． 解 Ⅰ因为43,21,153421=====y y y y y , 所以2321===a a a ,又由题意可知213+-+=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列．∴.,21*∈==N n a a n Ⅱ将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2,得,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y , ∴.414nn y y -=+Ⅲ∵)41()41(44444341n n n n n y y y y b ---=-=+++-=)(41444n n y y --+ =,41n b -又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列．说明 本题符号较多,有点列{P n },同时还有三个数列{a n },{y n },{ b n },再加之该题是压轴题,因而考生会惧怕,而如果没有良好的心理素质,或足够的信心,就很难破题深入．即使有的考生写了一些解题过程,但往往有两方面的问题：一个是漫无目的,乱写乱画；另一个是字符欠当,丢三落四．最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分． 例3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11,6,1321===a a a ,且,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ,其中为常数⑴求A 与B 的值；2分⑵证明：数列{}n a 为等差数列；6分⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立6分答案解：1由已知,得111==a S ,7212=+=a a S ,183213=++=a a a S ,由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1,知⎩⎨⎧+=-+=--B A S S B A S S 2122732312,即⎩⎨⎧-+-=+48228B A B A ,解得8,20-=-=B A ; 2由1得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ① ∴2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ② ②－①得,20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ ∴20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④④－③得 0)25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n ; ∵n n n S S a -=++11,∴0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n ; ∵ 0)25(≠+n ,∴ 02123=+-+++n n n a a a ;∴ 1223++++-=-n n n n a a a a ,1≥n ;又∵ 51223=-=-a a a a ,∴数列}{n a 为等差数列;3由2 可知,45)1(51-=-+=n n a n ,要证15>-n m mn a a a ,只要证n m n m mn a a a a a 215++>; 因为45-=mn a mn ,16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m , 故只要证>-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+, 即只要证n m a a n m 2372020>-+; 因为372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m ,由于以上过程是可逆的,所以命题得证;考点数列的应用; 分析1由题意知⎩⎨⎧+=-+=--BA S S BA S S 2122732312,从而解得A=－20,B=－8;2由Ⅰ得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ,所以在式中令1n n =+,可得2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ．由此入手能够推出数列{an}为等差数列;3由2可知,45)1(51-=-+=n n a n ,然后用分析法可以使命题得证;例 4.已知 {}n a 是等差数列,{}n b 是公比为q 的等比数列,11221,a b a b a ==≠,记n S 为数列{}n b 的前n 项和,1若(,k m b a m k =是大于2的正整数),求证：11(1)k S m a -=-；4分2若3(i b a i =是某一正整数),求证：q 是整数,且数列{}n b 中每一项都是数列{}n a 中的项；8分3是否存在这样的正数q ,使等比数列{}n b 中有三项成等差数列若存在,写出一个q 的值,并加以说明；若不存在,请说明理由；4分答案解：设{}n a 的公差为d ,由11221,a b a b a ==≠,知0,1d q ≠≠,()11d a q =-10a ≠1证：∵k m b a =,∴()()111111k a q a m a q -=+--,()()()111121k q m q m m q -=+--=-+-; ∴()()()()1111111111k k a q a m m q S m a qq------===--;2证：∵()()23111,11i b a q a a i a q ==+--,且3i b a =, ∴()()()()22111,120,q i q q i q i =+----+-= 解得,1q =或2q i =-,但1q ≠,∴2q i =-; ∵i 是正整数,∴2i -是整数,即q 是整数; 设数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈,设数列{}n a 中的某一项m a =()()1111a m a q +--()m N +∈,现在只要证明存在正整数m ,使得n m b a =,即在方程()()111111n a q a m a q -=+--中m 有正整数解即可;∵()()11221111,111n n n q qm q m q q q q ----=+---==+++-,∴222n m q q q -=+++;若1i =,则1q =-,那么2111222,n n b b a b b a -==== ; 当3i ≥时,∵1122,a b a b == ,只要考虑3n ≥的情况, ∵3i b a =,∴3i ≥,∴q 是正整数;∴m 是正整数;∴数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈与数列{}n a 的第222n q q q -+++项相等,从而结论成立;3设数列{}n b 中有三项(),,,,,m n p b b b m n p m n p N +<<∈成等差数列,则有 2111111n m p a q a q a q ---=+;设(),,,n m x p n y x y N +-=-=∈,则21yx q q=+;令1,2x y ==,则3210,q q -+=()()2110q q q -+-=;∵1q ≠,∴210q q +-=,解得12q =()舍去负值;即存在q ={}n b 中有三项()13,,m m m b b b m N +++∈成等差数列; 考点数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质分析1设{}n a 的公差为d ,由11a b =,把k m b a =代入11k m a q a -=,即可表示出1k S -,题设得证;2利用()()23111,11i b a q a a i a q ==+--,可得()()()()22111,120q i q q i q i =+----+-=即,整理即可求得2q i =-,从而可判定2i -是整数,即q 是整数;设数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈,设数列{}n a 中的某一项m a =()()1111a m a q +--()m N +∈,只要证明存在正整数m ,使得n m b a =,即在方程()()111111n a q a m a q -=+--中m 有正整数解即可;3设数列{}n b 中有三项(),,,,,m n p b b b m n p m n p N +<<∈成等差数列,利用等差中项的性质建立等式,设(),,,n m x p n y x y N +-=-=∈,从而可得以21y x q q=+,令1,2x y ==,求得q ;例5.1设12,,,n a a a 是各项均不为零的n 4n ≥项等差数列,且公差0d ≠,若将此数列删去某一项后得到的数列按原来的顺序是等比数列．i 当4n =时,求1a d的数值； ii 求n 的所有可能值．2求证：对于给定的正整数n 4n ≥,存在一个各项及公差均不为零的等差数列12b b ，，，n b ,其中任意三项按原来的顺序都不能组成等比数列． 答案解：1i 当n =4时, 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d =0;若删去2a ,则2314a a a =⋅,即2111(2)(3)a d a a d +=⋅+化简得140a d +=,得14a d=-; 若删去3a ,则2214a a a =⋅,即2111()(3)a d a a d +=⋅+化简得10a d -=,得11a d=; 综上,得14a d =-或11ad=; ii 当n =5时, 12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去1245,,,a a a a ,否则出现连续三项; 若删去3a ,则1524a a a a ⋅=⋅,即1111(4)()(3)a a d a d a d +=+⋅+化简得230d =,因为0≠d ,所以3a 不能删去；当n ≥6时,不存在这样的等差数列;事实上,在数列12321,,,,,,n n n a a a a a a --中,由于不能删去首项或末项,若删去2a ,则必有132n n a a a a -⋅=⋅,这与0≠d 矛盾；同样若删去1n a -也有132n n a a a a -⋅=⋅,这与0≠d 矛盾；若删去32,,n a a -中任意一个,则必有121n n a a a a -⋅=⋅,这与0≠d 矛盾;或者说：当n ≥6时,无论删去哪一项,剩余的项中必有连续的三项;综上所述,4n =;2假设对于某个正整数n ,存在一个公差为d 的n 项等差数列n b b b ,......,21, 其中111,,x y z b b b +++01x y z n ≤<<≤-为任意三项成等比数列,则2111y x z b b b +++=⋅,即2111()()()b yd b xd b zd +=+⋅+,化简得221()(2)y xz d x z y b d -=+-由10b d ≠知,2y xz -与2x z y +-同时为0或同时不为0; 当2y xz -与2x z y +-同时为0时,有x y z ==与题设矛盾；故2y xz -与2x z y +-同时不为0,所以由得212b y xzd x z y-=+-;∵01x y z n ≤<<≤-,且x 、y 、z 为整数,∴上式右边为有理数,从而1b d为有理数; ∴对于任意的正整数)4(≥n n ,只要1b d为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列;例如n 项数列1,11+……,1(n +-;考点等差数列的性质,等比关系的确定,等比数列的性质分析1根据题意,对n =4,n =5时数列中各项的情况逐一讨论,利用反证法结合等差数列的性质进行论证,从而推广到n ≥4的所有情况．2利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可;数列的求和本节主要内容有S n 与a n 的关系；两个常用方法：倒写与错项；各种求和：平方和、立方和、倒数和等；∑符号的运用. 掌握数列前n 项和常用求法,数列求和的方法主要有：倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等． 1.重要公式 ①1+2+…+n =21nn +1 ②12+22+…+n 2=61nn +12n +12.数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n3. 在等差数列中S m +n =S m +S n +mnd,在等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n ．4.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和,即a n =fn +1－fn ,然后累加时抵消中间的许多项．5.错项相消法6.并项求和法例1. 已知数列{a n }是首项为a 且公比q 不等于1的等比数列,S n 是其前n 项的和,a 1,2a 7,3a 4 成等差数列．I 证明 12S 3,S 6,S 12－S 6成等比数列； II 求和T n =a 1+2a 4+3a 7+…+n a 3n －2．分析 1对于第l 问,可先依据等比数列的定义与等差数列的条件求出等比数列的公比,然后写出12S 3,S 6,S 12－S 6,并证明它们构成等比数列．对于第2问,由于 T n =a 1+2a 4+3a 7+…+n a 3n －2．所以利用等差数列与等比数列乘积的求和方法即“乘公比错位相减法”解决此类问题． 解 Ⅰ证明 由4713,2,a a a 成等差数列, 得41734a a a+=,即 .3436aq a aq += 变形得 ,0)1)(14(33=-+q q所以14133=-=q q 或舍去．由 .1611211)1(121)1(123316136=+=----=q qq a qq a S S得.12661236S S S S S -= 所以12S 3,S 6,S 12－S 6成等比数列． Ⅱ解：.3232)1(36323741--++++=++++=n n nnaq aq aq a na a a a T即 .)41()41(3)41(212a n a a a T n n --⋅++-⋅+-⋅+= ①①×)41(-得： a n a n a a a T n n n )41()41()41(3)41(24141132---⋅++-⋅+-⋅+=--所以 .)41()542516(2516a n a T n n -⋅+-=说明 本题是课本例题：“已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 3,S 9,S 6成等差数列,求证：a 2,a 8,a 5成等差数列”的类题,是课本习题：“已知数列{an}是等比数列,S n 是其前 n 项的和,a 1,a 7,a 4 成等差数列,求证2 S 3,S 6,S 12－S 6成等比数列”的改编． 例2 设),2,1(,3235,35,11221=-===++n a a a a an n n 1令1,(1,2......)n n n b a a n +=-=求数列{}n b 的通项公式； 2求数列{}n na 的前n 项和n S .分析 利用已知条件找n b 与1+n b 的关系,再利用等差数列与等比数列之积的错位相差法来解决此类问题. 解 1因121+++-=n n n a a bn n n n n n b a a a a a 32)(323235111=-=--=+++ 故{b n }是公比为32的等比数列,且故,32121=-=a a b),2,1()32( ==n b n n2由得n n n na ab )32(1=-=+注意到,11=a 可得),2,1(3231 =-=-n a n nn记数列}32{11--n n n 的前n 项和为T n ,则说明 本题主要考查递推数列、数列的求和,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.数列的递推本节主要内容两个基本递推：a n ＋1＝a n ＋d ,a n ＝qa n ；线性递推,二阶或高阶递推的特征方程与特征根；其他递推．1．基本概念：①递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ,2-n a ,…,k n a -n k <的关系式称为递归式．②递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列． 2．常用方法：累加法,迭代法,代换法,代入法等． 3．思想策略：构造新数列的思想． 4．常见类型： 类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11一阶递归其特例为：1)0(1≠+=+p q pa a n n 2)0()(1≠+=+p n q pa a n n 3)0()(1≠+=+p qa n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列．①形如)(1n q a a nn +=+的递归式,其通项公式求法为：1111111()()n n n k k k k a a a a a q k --+===+-=+∑∑②形如nn a n p a )(1=+的递归式,其通项公式求法为：3211121(1)(2)(1)nn n a a a a a a p p p n a a a -=⋅⋅⋅=⋅⋅-③形如)1()(1≠+=+p n q pa a nn 的递推式,两边同除以1+n p 得111)(++=+=n n n n n p n q p a p a ,令n nnb pa =则句可转化为①来处理.例 1 一给定函数)(x f y =的图象在下列图中,并且对任意)1,0(1∈a ,由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)N (*1∈>+n a a n n ,则该函数的图象是解 n a 例2已知数列1}{1=a a n 中,且a 2k =a 2k －1+－1K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……． I 求a 3, a 5；II 求{ a n }的通项公式．分析 由于给出两个递推关系与奇数项、偶数项有关,因此因从奇数项或偶数项之间的关系入手.解I a 2=a 1+－11=0, a 3=a 2+31=3．a 4=a 3+－12=4, a 5=a 4+32=13, 所以,a 3=3,a 5=13． II a 2k+1=a 2k +3k = a 2k －1+－1k +3k ,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +－1k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+－1k －1, …… a 3－a 1=3+－1．所以a 2k+1－a 2k －1+a 2k －1－a 2k －3+…+a 3－a 1 =3k +3k －1+…+3+－1k +－1k －1+…+－1, 由此得a 2k+1－a 1=233k －1+21－1k －1,于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k －1+－1k=2123+k －1k －1－1+－1k =2123+k－1k =1． {a n }的通项公式为： 当n 为奇数时,a n=;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n为偶数时,.121)1(2322-⨯-+=nn n a说明 这种给出递推关系,求通项公式问题,一般是转化为等差数列或等比数列,或者通过观察、归纳,或者通过顺次迭代,以求通项公式.例3设0a >,如图,已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴,交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴,交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n aⅠ试求1n n a a +与的关系,并求{}n a 的通项公式；Ⅱ当111,2a a =≤时,证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑Ⅲ当1a =时,证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑答案解：Ⅰ∵222241112111(,), (,), (,)n n n n n n n n n Q a a P a a Q a a a a a-++⋅⋅, ∴211n n a a a+=⋅ ;∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n n a aa a a a a a ==⋅=-++-+3222222122321)1()1()1(n n a aa a a =1111221211221221)()1()1(---+-==-+++n n n n n aa a a a a a ; ∴121()n n a a a a-=;Ⅱ证明：由a =1知,21nn a a =+ ∵,211≤a ∴2311 , 416aa ≤≤; ∵当 1k ≥时,23116k a a +≤≤,∴1211111111()()()161632n n k k k k k n k k a a a a a a a ++++==-≤-=-<∑∑; Ⅲ证明：由Ⅰ知,当a =1时,,121-=n a a n ∴∑∑∑=++-==++-≤-=-+-nk i i i i nk k k k a a a aa aa a a n k k k 1221111121212121121)()()(11∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(n i i a a a a a a a = 51211113a a a <++; 考点数列递推式,不等式的证明;分析Ⅰ根据n Q ,+1n P ,+1n Q 的坐标求得211n n a a a+=⋅,从而通过公式法求得n a 的通项公式;Ⅱ把a =1代入211n n a a a +=⋅,根据,211≤a 可推断2311 , 416a a ≤≤;由于当1k ≥时,23116k a a +≤≤．从 而可知1211()32nk k k k a a a ++=-<∑;Ⅲ由Ⅰ知,当a =1时,,121-=n aa n 代入121()nk k k k a a a ++=-∑中,从而根据∑∑∑=++-==++-≤-=-+-nk i i i i nk k k k a a a a a aa a a n k k k 1221111121212121121)()()(11证明原式;例4．设M 为部分正整数组成的集合,数列}{n a 的首项11=a ,前n 项和为n S ,已知对任意整数k 属于M,当n >k 时,)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立.1设M=｛1｝,22=a ,求5a 的值；2设M=｛3,4｝,求数列}{n a 的通项公式. 答案解：1由题设知,当2≥n 时,)(2111S S S S n n n +=+-+即1112)()(S S S S S n n n n =----+,∴2211==-+a a a n n ;又22=a ,∴当2≥n 时,22)2(22-=-+=n n a a n ,∴5a 的值为8;2 由题设知, 当{}4,3=∈M k ,且k n >时,)(2k n k n k n S S S S +=+-+且)(2111k n k n k n S S S S +=++-+++, 两式相减得1112+-+++=-n k n k n a a a ,即1111+-++++-=-n k n n k n a a a a ,∴当8≥n 时,6336,,,,++--n n n n n a a a a a 成等差数列,且6226,,,++--n n n n a a a a 也成等差数列;∴当8≥n 时,332-++=n n n a a a 66-++=n n a a )(*,且22-++n n a a 66-++=n n a a ;∴当8≥n 时,222-++=n n n a a a ,即22-+-=-n n n n a a a a ;∴当9≥n 时,3113,,,++--n n n n a a a a 成等差数列,从而33-++n n a a 11-++=n n a a ; ∴由)(*式知=n a 211-++n n a a ,即11-+-=-n n n n a a a a ;∴当9≥n 时,设1--=n n a a d ,当82≤≤m 时,86≥+m ,从而由)(*式知1262+++=m m m a a a∴13172++++=m m m a a a ,从而1213167()(2+++++-+-=-m m m m n n a a a a a a , ∴d d d a a m m =-=-+21;∴d a a n n =-+1,对任意都2≥n 成立; 又由k n k n k n S S S S 22=-+-+{})4,3∈k 可知k k n n n k n S S S S S 2)()(=----+, ∴329S d =且4216S d =;解得d a 274=; ∴d a 232=,d a 211=;∴数列{}n a 为等差数列,由11=a 知2=d ,所以数列{}n a 的通项公式为12-=n a n ;考点数列递推式,数列与函数的综合;分析1由集合M 的元素只有一个1,得到k =1,所以当n 大于1即n 大于等于2时)(2k n k n k n S S S S +=+-+,都成立,变形后,利用11=a 化简,得到当n 大于等于2时,此数列除去首项后为一个等差数列,根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式,因为5大于2,所以把n =5代入通项公式即可求出第5项的值；2由)(2k n k n k n S S S S +=+-+,利用数列递推式得到k k n n n k n S S S S S 2)()(=----+,从而求出2=d ,得到数列{}n a 的通项公式;例5．设整数4n ≥,(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点,其中,a b ∈{}1,2,3,,n …,a b >．1记n A 为满足3a b -=的点P 的个数,求n A ； 2记n B 为满足1()3a b -是整数的点P 的个数,求n B ． 答案解：1∵点P 的坐标满足条件331-≤-=≤n a b ,∴3-=n A n ;2设k 为正整数,记)(k f n 为满足条件以及k b a 3=-的点P 的个数;只要讨论1)(≥k f n 的情形;由k n k a b 331-≤-=≤,知k n k f n 3)(-=,且31-≤n k , 设r m n +=-31,其中{}2,1,0,∈∈*r N m ,则m k ≤, ∴∑∑==-==mk mk n n k n k f B 11)3()(2)332(2)1(3--=+-=m n m m m mn , 将31r n m --=代入上式,化简得6)1(6)2)(1(----=r r n n B n , ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=不是整数是整数3,6)2)(1(3,6)3(n n n nn n B n ;考点计数原理,数列递推式;分析1n A 为满足3a b -=的点P 的个数,显然(,)P a b 的坐标的差值,与n A 中元素个数有关,直接写出n A 的表达式即可;2设k 为正整数,记)(k f n 为满足题设条件以及k b a 3=-的点P 的个数,讨论)(k f n ≥1的情形,推出k n k f n 3)(-=,根据k 的范围 31-≤n k ,说明1n -是3的倍数和余数,然后求出n B ;例6．已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：221nn n n n b a b a a ++=+,*N n ∈,1设n n n a b b +=+11,*N n ∈,求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列； 2设nnn a b b •=+21,*N n ∈,且{}n a 是等比数列,求1a 和1b 的值． 答案解：1∵n n n a b b +=+11,∴112221n n n n n n n n a a b b a ++=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴2111n n n n b b a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;∴()222221111*n n n n n n n n b b b b n N a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; ∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以1 为公差的等差数列;2∵00n n a >b >，,∴()()22222n n n n n n a b a b <a b +≤++;∴12212n n n n n<a a b +=≤+﹡设等比数列{}n a 的公比为q ,由0n a >知0q >,下面用反证法证明=1q若1,q >则212=2a a <a q≤∴当12log q n >时,112n n a a q +=与﹡矛盾;若01,<q <则212=1a a >a >q ,∴当11log q n >a 时,111n n a a q <+=,与﹡矛盾;∴综上所述,=1q ;∴()1*n a a n N =∈,∴112<a ≤ 又∵1122n n n n b b b a +=•()*n N ∈,∴{}n b 是公比是12的等比数列;若1a ≠11>,于是123b <b <b ; 又由221nn n n n b a b a a ++=+即1a =,得11n b a -;∴123b b b ，，中至少有两项相同,与123b <b <b 矛盾;∴1a ; ∴1n b -∴ 12=a b ;考点等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法; 解析1根据题设221nn n n n b a b a a ++=+和n n n a b b +=+11,求出11n n ba ++=从而证明22111n n n n b b a a ++⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而得证; 2根据基本不等式得到11n <a +=≤用反证法证明等比数列{}n a 的公比=1q ;从而得到()1*n a a n N =∈的结论,再由11n n nn b b b a +=知{}n b 1数列;最后用反证法求出12=a b。

函数的单调性与极值点例题和知识点总结在数学的学习中，函数的单调性与极值点是非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际问题的解决中发挥着巨大作用。

下面，我们将通过一些具体的例题来深入理解函数的单调性与极值点，并对相关知识点进行总结。

一、函数单调性的定义函数的单调性指的是函数在其定义域内的增减性质。

如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值$x_1$、＄x_2$，当$x_1 ＜x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就称函数在这个区间上是增函数（或减函数）。

例如，函数$f(x) ＝ x^2$在区间$（＼infty, 0)＄上是减函数，在区间$（0, ＋＼infty)＄上是增函数。

二、判断函数单调性的方法1、定义法设$x_1$、＄x_2$是给定区间上的任意两个自变量的值，且$x_1 ＜x_2$，计算$f(x_2) f(x_1)＄，若$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$，则函数在该区间上是增函数；若$f(x_2) f(x_1) ＜ 0$，则函数在该区间上是减函数。

例 1：判断函数$f(x) ＝ 2x 1$在区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上的单调性。

解：设$x_1$，＄x_2$是区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上的任意两个实数，且$x_1 ＜ x_2$。

则$f(x_2) f(x_1) ＝（2x_2 1) （2x_1 1) ＝ 2(x_2 x_1)＄因为$x_1 ＜ x_2$，所以$x_2 x_1 ＞ 0$，＄2(x_2 x_1) ＞ 0$，即$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$。

所以函数$f(x) ＝ 2x 1$在区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上是增函数。

2、导数法对于可导函数，如果其导数$f'（x) ＞ 0$，则函数在相应区间上是增函数；如果$f'（x) ＜ 0$，则函数在相应区间上是减函数。

导数小专题----单调性的分类讨论函数的单调性是求函数极值，最值（值域），恒成立问题，零点与交点个数问题的基础，所以掌握好单调性是解决函数问题的第一步，它往往出现在压轴题的第一问，为人人必得分。

那么求单调性最难的一点就是含参函数的分类讨论，这是难点、重点、考点。

这类问题的难点在于学生不知道怎么讨论，或者讨论问题不全面，某种情况没有讨论到，这里总结了含参函数单调性的分类讨论的固定套路，学会之后，不存在不知道怎么讨论或者漏讨论的情况。

以下为讨论单调性固定套路（能解决绝大多数讨论单调性问题）:第一步：求定义域，函数离开定义域的讨论都是毫无意义的，求定义域要考虑4种情况（1）偶次根式，根号下整体大于0（2）分式，分母不等于0（3）对数函数，真数大于0（4）()tan ，（）整体不等于ππk +≠2第二步：求函数导数，令0)(,=x f ，解出它的根21,x x注意：先通分再因式分解，因式分解的好处在于方便于我们解根和判断导数正负第三步：如果两根，要考虑4种情况；如果一根只需要考虑第一种情况；如果解不出来根，也判断不出导数正负，那我们要求该函数的二阶导数，通过二阶导的正负得一阶导的单调性，从而得到最值。

（1）某一根不存在（主要考虑根不在定义域里），得到参数取值范围（2）21x x =，得到参数取值范围 （3）21x x >，得到参数取值范围（4）21x x <得到参数取值范围第四步：判断21,x x 把定义域分得每个区域导数的正负，导数大于0，单调增，导数小于0，单调减。

判断导数正负有以下三种方法：（1）数轴穿根法：主要用于导数中只有单一的高次函数或单一的对数指数函数，用得最多（2）函数图像法：主要适用于导数中有高次函数和对数指数函数的混合相乘的式子（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负第五步：综述：把讨论情况单调性相同的合并在一起。

综述是很多人容易忽略的一步，没有这一步，是要扣分的【例题详解】例1.（2011，浙江高考改编）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，求)(x f 单调区间解：该函数定义域为），（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域） 令0)2)((2)(2'=+--=+-=x a x a x a x x a x f ，解得2,21a x a x -== （第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ）（1）当0>a 时，)(,0)(),,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,('x f x f a x <+∞∈单调减（第三步，1x 存在，2x 不存在得到0>a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当0<a 时，1x 不存在)(,0)(),2-,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,2-('x f x f a x <+∞∈单调减 （第三步，2x 存在，1x 不存在得到0<a 第四步数轴穿根或图像判断正负）（3）当0=a 时，)(,02)(),,0('x f x x f x <-=+∞∈单调减（第三步，21x x =得到0=a 第四步很显然-2x<0恒成立）综上可知：当0>a 时)(),,0(x f a x ∈单调增，)(),,(x f a x +∞∈ 单调减;当0<a )(),2-,0(x f a x ∈时,单调增，)(),,2-(x f a x +∞∈单调减；当0=a 时，)(),,0(x f x +∞∈单调减（第五步综述一定要有）小结：这是一道比较简单的分类讨论单调性，按照我们的步奏，就不会存在漏解的情况。

数列的单调性与有界性例题和知识点总结在数学的学习中，数列是一个重要的概念，而数列的单调性和有界性更是其中的关键知识点。

理解和掌握这两个性质，对于解决数列相关的问题具有重要的意义。

接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨数列的单调性与有界性，并对相关知识点进行总结。

一、数列单调性的定义数列的单调性指的是数列中的项随着项数的增加而呈现出递增或递减的趋势。

如果对于数列\（＼｛a_n\｝＼）中的任意两项\（a_n\）和\（a_{n+1}＼），都有\（a_{n+1} ＼geq a_n\）（＼（n\in N^＼）），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）单调递增；如果都有\（a_{n+1} ＼leq a_n\）（＼（n\in N^＼）），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）单调递减。

二、数列有界性的定义数列的有界性指的是数列中的项存在上界和下界。

如果存在一个正数\（M\），使得对于数列\（＼｛a_n\｝＼）中的任意一项\（a_n\），都有\（｜a_n| ＼leq M\），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）有界。

三、例题分析例 1：判断数列\（＼｛a_n\｝＝ n^2 2n ＋ 3\）的单调性。

解：我们设\（f(n) ＝ n^2 2n ＋ 3\），对其求导得\（f^＼prime(n)＝ 2n 2\）。

当\（n ＼geq 1\）时，令\（f^＼prime(n) ＞ 0\），即\（2n 2 ＞ 0\），解得\（n ＞ 1\）。

令\（f^＼prime(n) ＜ 0\），即\（2n 2 ＜ 0\），解得\（n ＜ 1\）。

所以数列\（＼｛a_n\｝＼）在\（n ＼geq 2\）时单调递增，在\（n＝ 1\）时为最小值。

例 2：判断数列\（＼｛b_n\｝＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＼）的单调性。

解：＼（b_{n ＋ 1} b_n ＝＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 2} ＼frac{n}｛n ＋1} ＝＼frac{（n ＋ 1)＾2 n(n ＋ 2)｝｛（n ＋ 2)（n ＋ 1)｝＝＼frac{1}｛（n ＋ 2)（n ＋ 1)｝＞ 0\）所以数列\（＼｛b_n\｝＼）单调递增。

函数单调性的七类经典题型单调性 类型一：三角函数单调区间1.函数tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为__________． 【答案】5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【解析】试题分析: 因为232πππππ+<-<-k x k ,所以Z k k x k ∈+<<-,656ππππ,故应填答案5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞) 解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． 3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)类型二：对数函数单调区间1.函数f(x)＝ln(4＋3x －x2)的单调递减区间是( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，4解析：函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋254的减区间为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，4，∵e ＞1，∴函数f(x)的单调减区间为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，4.2.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．类型三：分段函数单调性 1.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤--1,log 1,1)2(x x x x a a ,若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(2,3] D ．(2，＋∞)解析：要保证函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增．若f(x)＝(a －2)x －1在区间(－∞，1]上单调递增，则a －2＞0，即a ＞2.若f(x)＝logax 在区间(1，＋∞)上单调递增，则a ＞1.另外，要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a －2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a 的取值范围为2＜a≤3. 答案：C类型四：利用单调性求参数范围1.已知函数()f x 为定义[]2,3a -在上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是_______________． 【答案】1122m ≤<【解析】试题分析: 由偶函数的定义可得032=+-a ,则5=a ,因为01)1(22,01222>+-=+->+m m m m,且)22()22(),1()1(2222+-=-+-+=--m m f m m f m f m f ,所以322122≤+-<+m m m ,解之得1122m ≤<.故应填答案1122m ≤<.2.已知y ＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若f(m －1)＜f(1－2m)，则m 的取值范围是__________．解析：依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2－2＜1－2m ＜2m －1＜1－2m⇒⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－1＜m ＜3－12＜m ＜32m ＜23⇒－12＜m ＜23.答案：⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12，233.已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.答案：(－∞，1]4.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1.又∵函数g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上也是减函数，∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]．5.若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23.答案：⎝⎛⎦⎥⎥⎤12，23 类型五：范围问题1.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足不等式f (1)<f (lg x 10)的x 的取值范围是________.押题依据 利用函数的单调性、奇偶性求解不等式是高考中的热点，较好地考查学生思维的灵活性.答案 (0,1)∪(100，＋∞)解析 由题意得，f (1)<f (|lg x 10|)⇒1<|lg x10|⇒lgx 10>1或lg x10<－1⇒x >100或0<x <1.2.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32 解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)>f (2)，∴2|a －1|<2＝212，∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32.3.设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a的取值范围是__________. 答案 (－∞，3]解析 由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又因为f (x )＝x |x －a |，所以当a ≤0时，结论显然成立，当a >0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以0<a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3].类型六：综合题1.（作图）已知f(x)是定义在实数集R上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于()A．{x|x≤0或1≤x≤4} B．{x|0≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|0≤x≤1或x≥4}解析：画出函数f(x)和g(x)的草图如图，由图可知当f(x)g(x)≥0时，x的取值范围是x≤0或1≤x≤4，即{x|f(x)g(x)≥0}＝{x|x≤0或1≤x≤4}，故选A.2.函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12<0的解集．（数形结合）解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0.又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12>0，x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12<1，即0<x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12<0＝f (－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12<0，x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12<－1.∴x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －12<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <1＋174或1－174<x <0.3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．答案：B4.如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．答案：D6.若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，所以当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎨⎧a >1，3＋log a 2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．答案：(1,2]7.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－a (a ∈R).若∀x ∈R ，f (x ＋2 016)>f (x )，则实数a 的取值范围是_________. 数形结合当a ＝0时，f (x )＝x ，x ∈R ，满足条件；当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >0，0，x ＝0，x ＋2a ，x <0为R 上的单调递增函数，也满足条件；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >a ，－x ，－a ≤x ≤a ，x ＋2a ，x <－a ，要满足条件，需4a <2 016 ，即0<a <504， 综上实数a 的取值范围是a <504.。

专题七 分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。

即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。

否则是断开的。

例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。

再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。

例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩ 5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

分段函数的单调性在数学中，分段函数是指由不同的函数段组成的函数。

每个函数段的定义域是不一样的，一般是非连续的。

分段函数在实际应用中比较常见，如渐进函数、分段函数曲线、阶梯函数等，因此理解和掌握分段函数的性质对于我们解决实际问题非常重要。

其中，分段函数的单调性是分析分段函数的一种重要方法，本文将介绍分段函数的单调性及其相关知识。

一、分段函数分段函数可以看做是由多个函数组成的函数。

设函数f(x)在区间[a,b]上的定义域为D，如果D可以被分成n个互不重叠的区间I1,I2,...,In，并且在每个区间Ii上，函数f(x)可以表示为与一些和f(x)有相同定义域的函数ui(x)的和，即f(x)=u1(x)，x∈I1u2(x)，x∈I2...un(x)，x∈In则称f(x)是在区间[a,b]上的分段函数，每个ui(x)被称为f(x)的一个函数段。

二、单调性的定义单调性是指一个函数在其定义域上的单调关系，即函数值的增减关系。

我们说函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，就是指对于任意的x1,x2∈[a,b]，若x1<x2，则有f(x1)≤f(x2)。

同理，我们说函数f(x)在区间[a,b]上单调递减，就是指对于任意的x1,x2∈[a,b]，若x1<x2，则有f(x1)≥f(x2)。

在实际应用中，我们需要掌握如何分析分段函数的单调性，以解决一些与实际问题相关的计算问题。

三、单调性的判断方法我们通常采用以下方法来判断分段函数的单调性。

1.求一阶导数对于分段函数f(x)，如果它在每个函数段上都可导，则其导函数f'(x)也是分段函数，且f(x)单调递增/递减，当且仅当f'(x)在对应区间上满足：在x∈(a,b)内，若f'(x)>0，则f(x)在(x1,x2)上单调递增；在x∈(a,b)内，若f'(x)<0，则f(x)在(x1,x2)上单调递减。

2.分类讨论对于分段函数f(x)，我们也可以通过分类讨论的方法来判断其单调性。

专题3 三角函数1．（2021·江苏三校联考）已知32cos 263a m ππα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32cos 263m ππββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则cos()αβ+=____________．【答案】12【分析】构造3()sin f x x x =+，判断()f x 的奇偶性与单调性，把2cos 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭化为sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，2cos 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭化为sin 6πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用()f x 的奇偶性与单调性求出αβ+的值，再计算cos()αβ+的值．【解析】设3()sin f x x x =+，则2()3cos f x x x '=+，易知()f x '是偶函数．当01x ≤<时，230x ≥，cos 0x >，∴()0f x '>； 当1≥x 时，233x ≥，cos 1x ≥-，()0f x '>． ∴()0f x '>恒成立，即()f x 在定义域内单调递增．∵3()sin ()f x x x f x -=--=-，∴()f x 为奇函数，∴()f x 的图象关于点()0,0对称，∵2cos cos sin 3266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴332cos sin 26366m ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同理可得33cos sin 262666m πππππββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则066f f ππαβ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴066ππαβ-+-=，即3παβ+=，故1cos()cos 32παβ+==． 2．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）已知函数()2sin()f x x h ωϕ=++的最小正周期为π，若()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为M ，则M 的最小值为________．【分析】求出ω的值，取2ω=，然后对函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是否单调进行分类讨论，利用绝对值三角不等式结合辅助角公式可求得M 的最小值．【解析】由于函数()()2sin f x x h ωϕ=++的最小正周期为π，则22πωπ==，2ω∴=±．不妨取2ω=，则()()2sin 2f x x h ϕ=++． 若函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调，则(){}max 0,max 2sin ,2cos 4M f f h h πϕϕ⎧⎫⎛⎫==++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭()()()max max max2sin 2cos sin cos 24h h ϕϕπϕϕϕ⎛⎫+-+⎫⎛⎫≥=-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭， 若函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上先增后减，则(){}max 0,,2max 2sin ,2cos ,2,24M f f h h h h h πϕϕ⎧⎫⎛⎫=+=++----⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭()()()()2sin 2cos 2242sin cos 44h h h ϕϕϕϕ+++-+-+≥==22-≥； 若函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上先减后增，同理可知M ．222-<，综上可知，M 的最小值为22-． 【名师点睛】本题考查正弦型函数在区间上最值的求解，涉及绝对值三角不等式的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．3．（2021·全国超级全能生联考）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当(],0x ∈-∞时，()123xf x =+，设()sin h x x π=，若函数()()()g x f x h x =-，则()g x 在区间[]2020,2019-上的零点个数为___________． 【答案】4038【分析】求出函数()h x 的最小正周期，作出函数()h x 与()f x 的图象，分析两个函数在[]2020,0-和[]0,2019上的图象的交点个数，由此可得出结论．【解析】函数()sin h x x π=的最小正周期为22T ππ==．当0x ≤时，()123xf x =+；当0x ≥时，()()1112323xx f x f x -⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭． 要求函数()g x 的零点个数，即求函数()h x 与()f x 的图象的交点个数，1211111122332f g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴函数()h x 与()f x 在[]0,2上的图象无交点．作出函数()h x 与()f x 的图象如下图所示：当0x ≤时，由图象可知，对任意的[]0,1009k ∈且k ∈N ，函数()h x 与()f x 在[]22,2k k ---上的图象有两个交点，∴函数()h x 与()f x 在[]2020,0-上的图象有2020个交点； 当0x >时，由图象可知，函数()h x 与()f x 在[]0,2上的图象无交点，对任意的[]0,1008k ∈且k ∈N ，函数()h x 与()f x 在[]21,23k k ++上有且只有两个交点， ∴函数()h x 与()f x 在[]0,2019上共有2018个交点． 综上所述，()g x 在区间[]2020,2019-上的零点个数为4038． 【名师点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果．4．（2021·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin sin sin 0A B C -=，则sin sin 2sin B CA-的取值范围为_________【答案】11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】由已知结合正弦定理可得，2a bc =然后结合余弦定理，2222cos a b c bc A =+-()()221cos b c bc A =-+-，令sin sin 2sin 2B C b cp A a--==，代换后结合余弦的性质即可求解．【解析】∵2sin sin sin 0A B C -=，∴2a bc =，由余弦定理可得：()()22222cos 21cos a b c bc A b c bc A =+-=-+-， 令sin sin 2sin 2B C b c p A a --==，则2b c pa -=，因此()()222221cos a pa a A =+-，∴22cos 14A p -=，∵A 为锐角，0cos 1A <<，∴22cos 1144A p -=<，∴1122p -<<，故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【名师点睛】关键点点睛：首先利用正弦定理化角为边可得2a bc =，再利用余弦定理并配方可得()()2221cos a b c bc A =-+-关键是令sin sin 2sin 2B C b cp A a--==，2b c pa -=，将b c -、bc 代换掉，结合余弦的性质即可求得范围．5．（2021·河南信阳期末（理））在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________ 【答案】34【分析】计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案．【解析】()22211sin ,1cos,2ABC S AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()22212AB AC AB AC=⋅-⋅=2113sin cos sin 22624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立．此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意．故答案为：34． 【名师点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力． 6．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边为,,a b c ．若60BAC ︒∠=，D 为边BC 上一点，且1,:2:3AD BD DC c b ==，则23b c +的最小值为_________．【分析】设BAD θ∠=，则3CAD πθ∠=-，则由:2:3BD DC c b =可以推得:2:3ABD ACD S S c b ∆∆=，再利用面积公式可以解出sin θ，从而根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，可以推出23b c+=不等式即可得出结论． 【解析】设BAD θ∠=，(π0θ3)则3CAD πθ∠=-，1,:2:3AD BD DC c b ==，23ABD ACD S BD c S CD b∆∆∴==，即11sin 22131sin()23c cb b θπθ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-，化简得4sin θθ=，即tan θ=，故sin θ==，3sin()sin 32πθθ-=， 又ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，∴111sin sin sin()23223bc c b ππθθ=+-，即23c b +=，即23b c+= 23(23)b c b c ∴+=+⋅23()b c +669)b cc b =+++12)≥+=，(当且仅当b c=时取等号)． 7．（2021·河南三门峡期末（理））已知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有以下结论： ①()f x 的图象关于直线y 轴对称②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭④()f x 的最大值为12则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）． 【答案】②④【解析】3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,,222()sin cos 13sin 2,,222x x f x x x x x ππππ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩根据图像知：①()f x 的图象关于直线y 轴对称，错误；②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，正确； ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭，错误；④()f x 的最大值为12，正确；故答案为②④．【名师点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用．8．（2021·广东深圳一模）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC 内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若30ACB ∠=︒，则A B C '''的面积最大值为_______．【答案】36+ 【分析】设,BC a AC b ==，求出90B CA ''∠=︒，从而可得2221()3A B a b ''=+，在ABC 中，设BAC α∠=，由正弦定理用α表示出,a b ，这样22a b +就表示为α的函数，然后由降幂公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值，从而得面积最大值． 【解析】设,BC a AC b ==，由题意以,,AC BC CA 边向外作等边三角形,,ACE BCD ABF △△△，其外接圆圆心分别为,,A B C '''，连接,CB CA ''并延长分别交,EA BD 于,P Q ，则2233CB CP '===，同理CA '=， ,ACE BCD 都是等边三角形，则30PCA QCB ∠=∠=︒，又30ACB ∠=︒，则90A CB ''∠=︒，∴222221()3A B CB CA a b ''''=+=+，A B C '''是正三角形，∴其面积为2221)2S A B A B A B a b ''''''===+， ABC 内接于单位圆，即其外接圆半径为1r =，则2sin 2sin a r BAC BAC =∠=∠，同理2sin b ABC =∠，设BAC α∠=，则18030150ABC αα∠=︒-︒-=︒-，2222224(sin sin )4[sin sin (150)]a b BAC ABC αα+=∠+∠=+︒-2214[sin (cos )]2ααα=+22714sin cos cos 44αααα⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭227sin cos cos αααα=++1cos 2162423cos 22αααα-=+⨯+=+-14sin 22)2αα=+-460)α=+-︒，0150α︒<<︒，60260240α-︒<-︒<︒，∴当75α=︒时，22a b +取得最大值4+，∴A B C '''的面积最大值为3(4126+⨯+=．【名师点睛】关键点点睛：本题考查三角函数在几何中的应用，解题关键是设设,BC a AC b ==，用,a b 表示出A B ''（说明90B CA ''∠=︒即可得），等边A B C '''面积就可能用,a b 表示，然后用正弦定理把,a b 用角表示，利用三角函数的恒等变换及正弦函数性质求得最大值．9．（2021·北京石景山区·高三一模）海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过1A 技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y （单位：米）随时间x （单位：小时）的变化规律为0.8sin 2()y x R ωω=+∈，其中0xπω；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0．5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0．4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0．4米的安全间隙．在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________．①若6π=ω，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时； ②若6π=ω，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；③若1ω=，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则2x π=时，船底离海底的距离最大；④若1ω=，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则23x π=时，船底离海底的距离最大． 【答案】①④【分析】根据船离海底距离为0.8sin .204x y y ω≥==-，解三角不等式可判断①；由船离海底距离()20.8sin0.46f x x x π=+，利用导数判断单调性即可判断②；船离海底距离()()30.8sin 0.41f x x x =+-，利用导数求出最值即可判断③、④【解析】①不卸货，则吃水恒为2米，∴船离海底为()10.8sin 2x y y f x ω=-==， 当()10.4f x ≥时，1sin62x π≥，则5666x πππ≤≤， 解得15x ≤≤，∴最多停留时间为514-=小时，故①正确；②立即卸货，∴吃水深度220.4h x =-，且20.40.5x -≥，解得1504x ≤≤， 此时船离海底()220.8sin 0.46f x y h x x π=-=+，()2215cos 0.40,01564f x x x ππ'=+>≤≤， ∴()2f x 在150,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且当1x =时，()210.80.4f =>， 由1564x <≤，0.8sin 20.50.8sin 1.5 1.50.80.70.466y x x ππ=+-=+≥-=>，此段时间都可以停靠， 又()210.80.4f =>，6154∴-=>，故②错误；③与④，0.8sin 2()y x R ωω=+∈，()()320.41,1h x x π=--≤≤，()()30.8sin 0.41f x x x ∴=+-，()30.8cos 0.40f x x '=+=，解得23x π=，当21,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()30f x '>；当2,3x ππ⎛⎤⎥⎝⎦时，()30f x '<，∴当23x π=时，船底离海底的距离最大． 故答案为：①④．【名师点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的应用、导数的应用，解题的关键是表示出船离海底距离的关系式，此题综合性比较强，考查了知识的应用能力以及计算能力．10．（2021·山西临汾一模（理））对于一个函数()()y f x x D =∈，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得()12kx m f x kx m +≤≤+在x D ∈时恒成立，称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道．则下列函数在[)1,+∞内有一个宽度为1的通道的有______．（填序号即可）①()()1sin cos 2f x x =+；②()ln x f x x =；③()f x =()2cos 3f x x x =+． 【答案】②③④【分析】对于①②④，分析发现()f x 在定义域内存在最大和最小值，则()f x 在两条水平直线之间，计算过最值的两条水平直线间的距离可判断；对于③，可发现函数()f x 的渐近线为y x =，则可判定过端点与渐进性平行的直线为1y x =-，且距离1d <，则存在两条直线，距离可得到．【解析】对于①，()()1sin cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()22f x -≤≤，则()f x 在两条直线y =和y =之间，两直线的距离122d ⎛=--=> ⎝⎭，∴不存在宽度为1的通道，故①错误；对于②，函数()ln x f x x =，研究函数()f x 在[)1,+∞上的最大值()21ln xf x x-'=， 函数在x e =时取得极大值点即最大值点，()11f e e =<，x →+∞时，函数()0f x →，()10f x e<≤，故存在两直线1y =和0y =，1d =，故②正确；对于③，函数()f x =函数()f x 随x 的增大而增大，渐近线为y x =，取两条直线1y x =，1y x =-，故1d ==，故③正确；对于④，函数()2cos 3f x x x =+，∴222cos 333x x x x +≥+≥-，由此得到两直线的距离13d ===<，故存在两条直线23y x =-，23y x =-，两条直线的距离1d =．故④正确．故答案为：②③④．【名师点睛】本题考查学生的思维能力和转化能力，属于中档题；知识点点睛：（1）观察三角函数的图像需要用到三角函数的辅助角公式，然后可知三角函数的最值；（2）函数图像的判断经常需要借助于导数，用导数求得函数的最值或范围； 11．（2021·江苏常州一模）若2cos 1x x +=，则5sin cos 2=63x x ππ⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________．【答案】732【分析】由题意可得4sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令6x t π+=，则1sin 4t =，6x t π=-，化简即得解． 【解析】由题意可得4sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令6x t π+=，则1sin 4t =，6x t π=-， ∴原式()27sin cos 2sin (12sin )32t t t t π=-=-=，故答案为：732． 【名师点睛】方法点睛：三角恒等变换求值常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）．要根据已知条件灵活选择方法求解．12．（2021·广西玉林模拟）函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线6x π=-，则ω的最小值为___________．【答案】12【分析】由图象平移可得()g x ，利用整体对应的方式可得332k πππωπ--=+，解得ω后，结合0>ω可得结果． 【解析】()sin 663g x f x x πππω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又6x π=-是()g x 的对称轴，()663332k k Z ππππππωωπ⎛⎫∴---=--=+∈ ⎪⎝⎭，解得：()532k k Z ω=--∈，0ω>，∴当1k =-时，min 12ω=． 【名师点睛】方法点睛：本题考查根据三角函数的性质求解解析式的问题，解决此类问题的常用方法是结合五点作图法，利用整体对应的方式来构造方程．13．（2021·内蒙古呼和浩特一模（理））四边形ABCD 内接于圆O ，10AB CD ==，6AD =，60BCD ∠=︒，下面四个结论：①四边形ABCD 为梯形 ②圆O 的直径为14③ABD △的三边长度可以构成一个等差数列④四边形ABCD 的面积为其中正确结论的序号有___________． 【答案】①③④【分析】由OAB ODC ≅及等腰三角形，可得BAD CDA ∠=∠，ABC DCB ∠=∠，从而得180CBA DAB ∠+∠=︒，∴//AD BC ，证明①正确，由余弦定理求得对角线长，然后由正弦定理求得圆直径，判断②，同理可判断③，求出梯形的高和底BC 后可得梯形面积，判断④． 【解析】连接,,,OA OB OC OD ，∵OA OB OC OD ===，又AB CD =，∴OAB ODC ≅，OAB ODC ∠=∠，又OAD ODA ∠=∠， ∴BAD CDA ∠=∠，同理ABC DCB ∠=∠，∴180CBA DAB ∠+∠=︒，∴//AD BC ，而60BCD ∠=︒，∴四边形ABCD 为梯形，①正确；60BCD ∠=︒，则120ADC =∠︒，222222cos 6102610cos120196AC AD CD AD CD CDA =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=，14AC =，设圆O 半径为R ，则142sin sin1202AC R ADC ===∠︒，②错； 同理14BD =，,,AB AD BD 构成等差数列，③正确；作DE BC ⊥于E ，则梯形的高为10sin 60DE =︒=6210cos6016BC =+⨯︒=，面积为1(616)2S =⨯+⨯=，④正确．故答案为：①③④．【名师点睛】思路点睛：本题考查正弦定理与余弦定理在平面几何中的应用，解题方法是应用平面几何的知识证明圆四边形是梯形，然后由余弦定理和正弦定理可求得对角线长及圆直径，由直角三角形中三角函数定义求得梯形面积．从而判断各命题的真假．14．（2021·甘肃高三一模（文））函数()cos 22f x x x =-，x ∈R ，有下列命题： ①()y f x =的表达式可改写为2cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴； ③函数()f x 的图象可以由函数2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到；④满足()f x ≤x 的取值范围是3,124x k x k k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．其中正确的命题序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上） 【答案】①④【分析】根据辅助角公式化简函数可判断①；根据余弦函数的性质可判断②；由图象的平移变换判断③；根据余弦函数的图象解三角不等式判断④．【解析】()cos 222cos(2)3f x x x x π==+，故①正确； 当12x π=时，()2cos 0122y f ππ===，故②错误；∵函数2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到))62sin 2(2sin(32y x x ππ==--， 而2sin(2)2cos(2)33x x ππ-≠+，故③错误；由()f x ≤2cos(2)3x π+≤cos(2)3x π+≤，∴11222,636k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得3,124k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，故④正确．故答案为：①④．【名师点睛】关键点点睛：根据三角函数的图象与性质可研究函数的对称轴，解三角不等式，利用三角恒等变换可化简函数解析式，属于中档题．15．（2021·内蒙古呼和浩特一模（文））古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线．某同学用过母线PB 的中点且与底面圆的直径AB 垂直的平面截圆锥，得到了如图所示的一支双曲线．已知圆锥的高2PO =，底面圆的半径为4，则此双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值为___________．【答案】45【分析】根据题意，建立如图的直角坐标系，不妨设双曲线的方程为：()222210,0x y a b a b-=>>，进而根据几何关系得()1,0M ，((,2,C D -，待定系数得1a =，2b =．进一步设两条渐近线的夹角为2θ，根据三角函数关系求解即可得答案．【解析】根据题意，设双曲线与圆锥底面圆的交点为,C D ，连接CD 交AB 于E ，连接ME ，并延长，使得'O E OP =，进而在平面MCD 中，以'O 为坐标原点，'O E 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图， 不妨设双曲线的方程为：()222210,0x y a b a b-=>>，由于OP ⊥底面ABC ，∴//ME PO ，2PO =，∴'1MO ME ==，∵底面圆的半径为4，M 为PB 的中点，∴2OE =，∴EC ED ==∴在双曲线中，()1,0M ，((,2,C D -，∴1a =，241211b-=，解得2b =， ∴双曲线的渐近线方程为2y x =±，设双曲线的两条渐近线的夹角为2θ，则tan 2θ=，∴22tan 4tan 21tan 3θθθ==--，∴29cos 225θ=，4sin 25θ==．【名师点睛】本题考查双曲线的方程，渐近线，三角函数变换，考查综合分析应用能力，是中档题．本题解题的关键在于根据题意建立如图的直角坐标系，进而将空间问题转化为平面问题，根据待定系数法求得方程．16．（2021·中学生标准学术能力诊断性3月测试）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c，D 为边BC 上的一点，若6c =，b =sin BAD ∠=，cos BAC ∠=，则AD =__________． 【答案】4【分析】根据余弦定理可以求出a 的值，可以判断出ABC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质，结合余弦定理、正弦定理、同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式进行求解即可．【解析】由余弦定理知：6a c ====， ∴ABC 是等腰三角形，即BAC C ∠=∠， 设CD x =，则6BD x =-，AD y =，在ADC 中，由余弦定理可知：2222cos AD AC CD AC DC C =+-⋅⋅∠，即222182318(1)y x x x x =+-⨯=-+，∵cos 4BAC ∠=，∴sin 4BAC ∠===，∴有sin sin(2)sin 22sin cos 2B BAC BAC BAC BAC π=-∠=∠=∠⋅∠==因此有sin sin B BAD =∠=，在ADB △中，由正弦弦定理可知： 66(2)BD AD y x x y =⇒=-⇒=-，把(2)代入(1)得，22(6)3(6)18y y y =---+，解得4y =，即4=AD ，故答案为：4．【名师点睛】解题关键：通过余弦定理判断出三角形的形状、通过正弦定理和余弦定理得到等式是解题的关键．17．（2021·甘肃兰州模拟（文））在ABC ∆中，D 为BC 中点，2,AB AD ==，且sin cos 2sin sin cos A AB C C=-+，则AC =________． 【答案】4【分析】由sin cos 2sin sin cos A A B C C =-+化简得1cos 2A =-，根据向量关系()12AD AB AC =+化简求得结果． 【解析】由sin cos 2sin sin cos A AB C C=-+得sin cos 2cos sin cos sin A C A B A C =--，∴()sin 2cos sin A C A B +=-，则sin 2cos sin B A B =-，∵sin 0B ≠得1cos 2A =- ，∵()12AD AB AC =+，则()()()()222242AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+，∵2,AB AD ==，设AC x =，则21244cos x x A =++⋅ ，∴2280x x --=，解得4x =或2x =-（舍去），∴4AC =．18．（2021·甘肃兰州模拟）在ABC 中，(2)0AB AC BC ⋅+=，1sin 3C =，则22sin sin A B -的值为______．【答案】127【分析】利用向量的数量积化简已知条件，再利用余弦定理和正弦定理化简即可求解． 【解析】在ABC 中，(2)0AB AC BC ⋅+=，可得()(22cos cos 0)AB AC BC AB AC A AB BC B ⋅+-==+2cos cos bc A ac B =即2cos cos b A a B =，由余弦定理可知222222222b c a a c b b a bc ac +-+-⋅=⋅，可得22233a b c -=，由正弦定理可知2223sin 3sin sin A B C -=，∵1sin 3C =，∴221sin sin 27A B -=． 【名师点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将已知条件转化为三角形的边和角，再利用正弦和余弦定理计算．19．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三二模）如图，某湖有一半径为100m 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m 的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且满足AB AC =，90BAC ∠=︒．定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设AOB θ∠=．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为___________．【答案】()225000m【分析】先用θ表示AB =θ表示出25100sin 2cos 2OACB S θθ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，最后运用两角和差的正余弦公式求最值即可．【解析】在OAB 中，AOB θ∠=，100OB =，200OA =， 2222cos AB OB OA OB OA AOB ∴=+-⋅⋅∠，即10054cos AB θ=-⋅，211sin 22OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∴=+=⋅⋅⋅+⋅△△，25100sin 2cos 2OACB S θθ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭令tan 2ϕ=，则()251002OACB S θϕ⎤=-+⎥⎦，∴直接监测覆盖区域”面积的最大值为()225000m ．20．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为______． 【答案】(5.5,8)【分析】先利用正弦定理和2A B =，将82c b b a +转化为2412cos cos 2B B +-，然后令cos t B =，则2411()2,(,1)22f t t t t =+-∈，再利用导数判断函数的单调性，从而可求出()f t 的取值范围，进而可得答案【解析】∵2A B =，∴8sin 8sin 22sin sin c b C B b a B A +=+sin(3)8sin 2sin sin 2B B B B π-=+sin 38sin 2sin sin 2B BB B=+sin cos 2cos sin 28sin 2sin 2sin cos B B B B B B B B +=+2cos 24cos 2cos B B B =++2412cos cos 2B B =+-，∵2,A B A B C π=++=，∴3C A B B ππ=--=-，∴03B π<<，∴03B π<<，∴1cos (,1)2B ∈，令cos t B =，则2411()2,(,1)22f t t t t =+-∈，∴2'2244(1)1()4,(,1)2t f t t t t t -=-=∈， ∴'()0f t <在1(,1)2t ∈上恒成立，∴()f t 在1(,1)2上单调递减，∴1(1)()()2f f t f <<，即5.5()8f t <<，∴82c bb a+的取值范围为(5.5,8)． 【名师点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查导数的应用，解题的关键是利用正弦定理将82c b b a +转化为2412cos cos 2B B +-，再构造函数，利用导数求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题21．（2021·辽宁高三一模（理））关于函数()2sin sin 2f x x x =+有如下四个命题： ①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 在[0,2]π内有3个极值点； ③()f x 在[0,2]π内有3个零点； ④()f x 的图象关于直线3x π=对称．其中所有真命题的序号为___________． 【答案】①③【分析】根据函数周期的求法，可判定①正确；利用导数和极值的定义，可判定②不正确；根据函数零点的定义和求法，可判定③正确；根据函数的对称性的判定方法，可判定④不正确． 【解析】由函数sin y x =的最小正周期为2π，函数sin 2y x =的最小正周期为π， ∴函数()2sin sin 2f x x x =+的最小正周期为两个函数周期的最小公倍数， ∴函数()f x 的最小正周期为2π，∴①正确；由()22cos 2cos22cos 4cos 22(2cos 1)(cos 1),[0,2]f x x x x x x x x π'=+=+-=-+∈，∵cos [1,1]x ∈-，可得cos 10x +≥，当[0,)3x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当5(,)33x ππ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当5(,2]3x ππ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； ∴当3x π=时，函数()f x 取得极大值，当53x π=时，函数()f x 取得极小值，即()f x 在[0,2]π内有2个极值点，∴②不正确；令()0f x =，即2sin sin 22sin (1cos )0x x x x +=+=，解得sin 0x =或cos 1x =-， ∵[0,2]x π，∴0,,2x ππ=，即()f x 在[0,2]π内有3个零点，∴③正确； 由2()2sin()sin[2()]4sin()cos ()()3333623x f x x x x f x ππππππ-=-+-=--≠+， ∴④不正确．故答案为：①③【名师点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解．22．（2021·广东揭阳一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，2222a b c =+，则ABC 的面积的最大值为_______________．【答案】23【分析】利用余弦定理可得222222cos 42a b c bc A b c =+-==+，然后可得cos ,sin A A ，最后计算三角形面积并使用不等式进行计算可得结果．【解析】由余弦定理可得222222cos 42a b c bc A b c =+-==+，化简得cos 2bA c=-，则sin 2A c =，则ABC的面积22213942sin 2412243b c b S bc A +-===≤=．23．（2021·江西上饶一模（理））已知ABC 的外心为O ，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2223320AO CB BO AC b a ⋅+⋅+-=，则cos B 的最小值为_______．【答案】34【分析】首先分别取BC 的中点为D ，AC 的中点为E ，再转化向量数量积，利用外心的几何性质化简，得2224a cb +=，再根据余弦定理，通过基本不等式求cos B 的最小值．【解析】记BC 的中点为D ，AC 的中点为E ， 则()()()12AO CB AD DO CB AD CB AB AC AB AC ⋅=+⋅=⋅=+⋅-()()22221122AB AC c b =-=-， 同理：()2212BO AC a c -⋅=， ∵2223320AO CB BO AC b a ⋅+⋅+-=，∴22222233202a c c b b a --+⋅+-=，∴2224a cb +=， ∴()22222363cos 2884a c a cb ac B ac ac ac ++-==≥=（当且仅当a c ==时等号成立），答案为34． 【名师点睛】关键点点睛：本题的关键是利用外心的性质，转化()AO CB AD DO CB ⋅=+⋅，利用DO CB ⊥，得0DO CB ⋅=，化简向量的数量积．24．（2021·内蒙古包头期末（理））已知60A =︒，ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，sin sin B C +=bc 的值为______． 【答案】40【分析】首先根据正弦定理求2R ，并表示sin sin 22b c B C R R+=+，最后根据余弦定理求bc 的值．【解析】22sin a R R A =⇒==，根据正弦定理可知1322b c b c R R +=⇒+=，根据余弦定理可知()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，得249133bc =-，解得：40bc =．【名师点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 25．（2021·吉林延边朝鲜族自治州·高三月考（文））已知函数()217cos 22sin 32f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为________．【答案】(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】利用诱导公式、降幂公式、两角和正弦和余弦公式化简为正弦型函数，再利用整体思想，即可求出()f x 的单调递减区间．【解析】()217cos 22sin 32f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 22cos 3πx x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭cos 2cossin 2sin (1cos 2)33ππx x x =--+1cos 221cos 222x x x =---1cos 2212x x =---sin(2)16πx =-+-，由222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴()f x 的单调递减区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．【名师点睛】方法点睛：求三角函数单调区间的方法：求函数()sin()f x A x ωϕ=+的单调区间，可利用换元法转化为两个简单函数(t x ωϕ=+与sin y A t =)进行求解，应注意ω的符号对复合函数单调性的影响，牢记基本法则——同增异减．26．（2021·张家口市宣化第一中学高三月考）函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-的最小正周期T =___________．【答案】2π 【分析】由题可得()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可判断()f x 是以2π为周期的函数，再讨论()f x 在0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的单调性可得出结论．【解析】()sin cos sin cos 22222f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos sin cos sin x x x x =-++sin cos sin cos ()x x x x f x =++-=， ()f x ∴是以2π为周期的函数， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos cos sin 2cos f x x x x x x =++-=，函数单调递减， 当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()sin cos sin cos 2sin f x x x x x x =++-=，函数单调递增， ∴在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内不存在小于2π的周期，2π∴是()f x 的最小正周期．【名师点睛】本题考查三角函数周期的求解，解题的关键是先判断出2π是函数的周期，再根据其性质探讨其为最小正周期．27．（2021·安徽皖江名校联盟2月联考）设点O 是ABC 外接圆的圆心，3AB =，且4AO BC =-⋅．则sin sin B C的值是___________． 【答案】13【分析】取BC 中点D ，AO AD DO =+，而0DO BC ⋅=，这样4AO BC =-⋅就可以用,AC AB 表示，求得AC ，然后由正弦定理得结论． 【解析】设点D 是边BC 的中点，则()()()()221122AO BC AD DO A BC AD BC AC AB A AC AB B C =⋅=⋅=+⋅-=+-⋅ 即()21942AC -=-，21AC =，1AC =，故sin 1sin 3B AC C AB ==．【名师点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，考查正弦定理．解题关键是取BC 中点D ，利用数量积的运算法则得C AD BC AO B =⋅⋅，从而可求得边长AC ． 28．（2021·安徽高三月考（文））关于函数cos 23()2x f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的性质，下列表述正确的是 ①是周期函数，且最小正周期是π； ②是轴对称图形，且对称轴是直线,26k x k Z ππ=-∈； ③定义域是R ，值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④是中心对称图形，且对称中心是,1212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭； ⑤单调减区问是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 【答案】①②③⑤【分析】由周期公式可判断①；验证226k f x ππ⎧⎫⎛⎫--⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭是否大于()f x 可判断②；由23x π+的范围得cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围可判断③；如果对称中心是,1212k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令0k =，通过验证(0)16f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭是否成立可判断④；求余弦函数的单调递减区间可判断⑤． 【解析】①22T ππ==，∴()f x 是周期函数，且最小正周期是π，故正确； ②cos 22cos 22633322226k x k x k f x ππππππππ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎡⎤⎛⎫--+--+⎨⎬⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭⎣⎦⎧⎫⎛⎫--==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭cos 22cos 23322()x k x f x πππ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭===，故正确；③定义域是R ，∴23x R π+∈，∴[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴cos 2312,22x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故正确；④如果对称中心是,1212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，令0k =，则,112π⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，应有(0)16f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而cos3(0)2f π==21cos 32226f ππ-⎛⎫=== ⎪⎝⎭1≠，故错误； ⑤由复合函数的单调性可得()f x 的单调减区间是222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即单调递减区问是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，正确，故答案为：①②③⑤．【名师点睛】本题考查了复合函数的性质，解题关键点是熟练掌握余弦函数的性质和指数函数的性质，考查了学生分析问题、解决问题的能力．29．（2021·陕西咸阳一模（理））已知函数()sin(cos )cos(cos )f x x x =+，现有以下命题： ①()f x 是偶函数； ②()f x 是以2π为周期的周期函数；③()f x 的图像关于2x π=对称； ④()f x ．其中真命题有________． 【答案】①②④【分析】根据三角函数图象性质逐一进行判断：①根据()f x 写出()f x -，并判断与()f x 关系即可；②写出(2)f x π+，判断与()f x 是否相等；③判断()f x π-与()f x 的关系；④设cos ,[1,1]t x t =∈-，∴sin cos )4y t t t π=+=+，根据t 的取值范围确定最值并判断．【解析】①函数()sin(cos )cos(cos )f x x x =+定义域为R ，关于原点对称，()sin[cos()]cos[cos()]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()f x 是偶函数；∴①正确；②(2)sin[cos(2)]cos[cos(2)]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x πππ+=+++=+=， ∴()f x 是以2π为周期的周期函数；∴②正确；③()sin[cos()]cos[cos()]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x πππ-=-+-=-+≠， ∴()f x 的图像不关于2x π=对称；∴③错误；④令cos ,[1,1]t x t =∈-，∴sin cos )4y t t t π=+=+，∵[1,1]444t πππ+∈-++，∴42t ππ+=，即4t π=时，max y =()f x ；∴ ④正确； ∴真命题为①②④．【名师点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．30．（2021·江西景德镇期末（理））已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，5a c ==，且227cos 25a b bc A ac -+=-，G 为ABC 的重心，则GA =________【分析】根据已知等式，利用余弦定理角化边，结合已知条件可以求得b 的值，进而求得cos A 的值，然后根据()13AG AB AC =+，利用向量的数量积运算可求得AG 的长度． 【解析】由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，∴222a cos 2b c bc A +-=，∵227cos 25a b bc A ac -+=-，∴222227225b c a a b ac +--+=-，将5a c ==代入得：8b =， ∴222644cos 22855b c a A bc +-===⨯⨯，设以,AB AC 为邻边的平行四边形的另一个顶点为D ，则()1133AG AD AB AC ==+，AG ===【名师点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，要熟练使用上弦定理角化边，并结合向量的数量积运算可更快的求解．31．（2021·安徽蚌埠二模（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 0a C C b c +--=，且2a =，则ABC 内切圆半径的最大值为___________．【分析】由已知可得cos sin 0a C C b c --=根据正弦定理化简求得3A π=，由余弦定理可得b c +的取值范围，根据11()sin 22ABC S a b c R bc A =++=△，化简计算可求得结果．【解析】cos 0a C C b c +--=，且2a =，∴cos sin 0a C C b c +--=，∴sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，∴()sin cos sin sin sin sin sin A C A C B C A C C =+=++，sin cos sin sin A C A C C =+，sin 0C ≠，cos 1A A -=，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又()50,,,,666663A A A A πππππππ⎛⎫∈∴-∈-∴-== ⎪⎝⎭，，由余弦定理：2221cos 22b c a A bc +-==， ()243b c bc ∴+-=，又22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()()2234044b c b c b c +∴+-≤∴<+≤，，又2b c a +>=，24b c ∴<+≤， 设ABC 内切圆半径为R ，则11()sin 22ABC S a b c R bc A =++=△，(2)2b c R bc ++=，即()()2=2142232663R b c b c c b =⋅+-⎡⎤+≤-⎣=+⎦+，max R ∴=． 【名师点睛】思路点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现"边化角"，二是利用余弦定理实现"角化边"；利用三角形面积公式11()sin 22ABC S a b c R bc A =++=△，即可将问题得解． 32．（2021·安徽池州期末（理））已知在锐角ABC，且212tan tan sin A B A +=，其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则边c 的最小值为_____________．【答案】2。

高三冲刺讲义----分段数列与分段函数类似，当一个数列的n a 或n s 可以用关于n 的分段的关系式表示时，我们 这个数列为分段数列。

在近几年的高考中对分段函数的考查成为热点，同样，在对数列内容的考查时，分段数列也成为命题的热点，这里一方面，因为数列的考查只能局限于等差、等比数列的通项与求和，过分挖掘由递推公式求通项公式，有超纲之嫌；另一方面，分段数列恰好为考查综合运用等差、等比数列相关知识的能力提供了适当的平台，同时还兼顾了对分类讨论思想的考查。

下面我们来介绍几种高考考纲范畴类的几种分段数列 类型一：基于通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-==-21,11n S S n S a n nn 的分段数列；例1：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*+∈==N n S a a n n ,31,111。

（1）求432,,a a a 得值，及数列{}n a 的通项公式； （2）求n a a a a 2642++++ 得值。

分析：本题求数列的通项公式需要求出2a ，易出现的典型错误： 在运用：1--=n n n S S a 时，忽略了该式成立的条件：2≥n 。

解：（1）因为313131112===a S a ，又当2≥n 时，()n n n n n a S S a a 313111=-=--+，所以数列{}n a 的通项为⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛==-2,34311,12n n a n n ，进而求得2716,9443==a a ；（2）由（1）知n a a a 242,,, 是以31为首项，234⎪⎭⎫⎝⎛为公比、项数为n 的等比数列。

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=++++13473341341312222642nn a a a a例2：已知有穷数列{}n a 共有2k 项（整数2≥k ），首项21=a ，设该数列的前n 项和为n S ，且)12,,2,1(2)1(1-=+-=+k n S a a n n ，其中常数1>a 。