第七章第六节空间向量及其运算

2009~2018年高考真题备选题库第七章立体几何第六节空间向量及其运算和空间位置关系考点利用空间向量证明直线和平面的位置关系1.<2018浙江，15分）如图，在四面体A­BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2错误!.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.b5E2RGbCAP(1>证明：PQ∥平面BCD；(2>若二面角C­BM­D的大小为60°，求∠BDC的大小．解：本题考查空间线面平行的证明，二面角的计算，以及三角形的有关知识，考查考生的推理论证能力、空间想象能力，以及利用空间向量解决相关问题的能力．p1EanqFDPw法一：(1>证明：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF ＝3FC，连接OP，OF，FQ.因为AQ＝3QC，所以QF∥AD，且QF＝错误!AD.因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以OP∥DM，且OP＝错误!DM.DXDiTa9E3d又点M为AD的中点，所以OP∥AD，且OP＝错误!AD.从而OP∥FQ，且OP＝FQ，所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF.又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD.(2>作CG⊥BD于点G，作GH⊥BM于点H，连接CH.因为AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，所以AD⊥CG，又CG⊥BD，AD∩BD＝D，故CG⊥平面ABD，又BM⊂平面ABD，所以CG⊥BM.又GH⊥BM，CG∩GH＝G，故BM⊥平面CGH，∴BM⊥CH，所以∠CHG为二面角C­BM­D的平面角，即∠CHG＝60°.设∠BDC＝θ.在Rt△BCD中，CD＝BDcosθ＝2错误!cosθ，CG＝CDsinθ＝2错误!cosθsinθ，BC＝BDsinθ＝2错误! sinθ，RTCrpUDGiTBG＝BCsinθ＝2错误!sin2θ.在Rt△BDM中，HG＝错误!＝错误!.5PCzVD7HxA在Rt△CHG中，tan∠CHG＝错误!＝错误!＝错误!.jLBHrnAILg 所以tanθ＝错误!.从而θ＝60°，即∠BDC＝60°.法二：(1>证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O­xyz.xHAQX74J0X由题意知A(0，错误!，2>，B(0，－错误!，0>，D(0，错误!，0>．设点C的坐标为(x0，y0,0>．因为＝3，所以Q 错误!.LDAYtRyKfE因为M为AD的中点，故M(0，错误!，1>．又P为BM的中点，故P错误!.所以＝错误!.Zzz6ZB2Ltk又平面BCD的一个法向量为u＝(0,0,1>，故·u＝0.又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.(2>设m＝(x，y，z>为平面BMC的法向量．由＝(－x0，错误!－y0,1>，＝(0,2错误!，1>知错误!dvzfvkwMI1取y＝－1，得m＝错误!.rqyn14ZNXI又平面BDM的一个法向量为n＝(1,0,0>，于是|cos〈m，n〉|＝错误!＝错误!＝错误!，EmxvxOtOco即错误!2＝3.①SixE2yXPq5又BC⊥CD，所以·＝0，故(－x0，－错误!－y0,0>·(－x0，错误!－y0,0>＝0，即x错误!＋y错误!＝2.②联立①②，解得错误!(舍去>或错误!6ewMyirQFL所以tan∠BDC＝错误!＝错误!.kavU42VRUs又∠BDC是锐角，所以∠BDC＝60°.2．(2018北京，14分>如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.y6v3ALoS89(1>求证：BD⊥平面PAC；(2>若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3>当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．.解：(1>证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.(2>设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝错误!.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz则P(0，－错误!，2>，A(0，－错误!，0>，B(1,0,0>，C(0，错误!，0>，所以＝(1，错误!，－2>，＝(0，M2ub6vSTnP2错误!，0>．设PB与AC所成的角为θ，则cosθ＝错误!＝错误!＝错误! 0YujCfmUCw(3>由(2>知＝(－1，错误!，0>设P(0，－错误!，t>(t＞0>，则＝(－1，－错误!，t>，设平面PBC的一个法向量m＝(x，y，z>，则·m＝0，·m＝0，所以错误!eUts8ZQVRd令y＝错误!，则x＝3，z＝错误!.所以m＝(3，错误!，错误!>．同理，平面PDC的一个法向量n＝(－3，错误!，错误!>．因为平面PBC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋错误!＝0.解得t＝错误!，所以PA＝错误!.3．<2018天津，13分）如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．sQsAEJkW5T(1>证明：B1C1⊥CE。

第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算[基础达标]一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则DE与D1F的位置关系是()A.平行B.相交且垂直C.异面且垂直D.既不平行也不垂直1.C【解析】建立空间直角坐标系后,求得=0,所以,即DE与D1F垂直且DE与D1F是异面直线.2.两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则是a∥b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.A【解析】a∥b且一个坐标为0是不能得到,所以必要性不满足,即是a∥b的充分不必要条件.3.已知空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N是BC的中点, =a,=b, =c,则=() A. a+b-c B.- a+b+cC. a-b+cD. a+b-c3.B【解析】∵点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点, +()++()+)=-,∵=a, =b, =c,∴=-a+b+c.4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是()A.B.C.D.4.D【解析】选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,可得AD1⊥B1C,此时有=0;选项B,当四边形ABCD为正方形时,可得AC⊥BD,可得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,此时有=0;选项C,由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1,可得AB⊥AD1,此时必有=0;选项D,由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1,可得BC⊥CD1,△BCD1为直角三角形,∠BCD1为直角,故BC与BD1不可能垂直,即≠0.5.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点,则||为() A.B.C.D.5.D【解析】如图,以D为原点建立空间直角坐标系,则F,C1(0,1,1),G.因为H是C1G的中点,所以H,所以=-,则||=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知向量a=(-4,2,4),b=(-6,3,-2),则a·b=;|a|=.6.226【解析】a·b=(-4)×(-6)+2×3+4×(-2)=22,|a|==6.7.已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10),D(8,4,a),如果四边形ABCD为梯形,则实数a的值为.7.9【解析】因为=(4,-8,2), =(8,5,7), =(2,-4,10-a), =(10,1,a-1),四边形ABCD为梯形,则,解得a=9,此时不平行.8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1B1上任意一点,则DP与BC1始终.8.垂直【解析】因为=()·=()·=0,所以,即DP与BC1始终垂直.三、解答题(共20分)9.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中点,H为平面EDB内一点,=(2m,-2m,-m)(m<0),证明:HC1⊥平面EDB.9.【解析】设正方体的棱长为a,则=(a,a,0),所以=(2m,-2m,-m)·=0,=(2m,-2m,-m)·(a,a,0)=0,所以,又DE∩DB=D,所以HC1⊥平面EDB.10.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AB,PC的中点,若ABCD是平行四边形.求证:MN∥平面PAD.10.【解析】取DP的中点E,连接AE,EN,则,所以,所以共面,且MN不在平面PAD上,所以MN∥平面PAD.[高考冲关]1.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),该四面体的体积为()A.B.C.1 D.21.A【解析】在空间直角坐标系中作出四面体的四个顶点,可知该四面体是棱长为的正四面体,所以体积为.2.(5分)设P(2,3,4)在三个坐标平面上的射影分别为P1,P2,P3,则向量:①(6,-3,-4);②(4,-3,-4);③(0,-3,4);④(2,-6,4).其中与平面P1P2P3平行的向量有().A.1个B.2个C.3个D.4个2.C【解析】由题意可知,P1,P2,P3的坐标分别为(2,3,0),(2,0,4),(0,3,4),可以求得平面P1P2P3的一个法向量为(6,4,3),①不与该法向量垂直,所以不与平面P1P2P3平行,②③④与该法向量垂直,所以与平面P1P2P3平行.3.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,则MN 与平面BB1C1C的位置关系是() A.在平面上B.相交C.平行D.以上都不正确3.C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则点M a,,N,所以=-,0,-与平面BB1C1C的法向量=(0,a,0)垂直,且MN不在平面BB1C1C上,所以MN与平面BB1C1C的位置关系是平行.4.(5分)已知空间四边形ABCD中, =a-2c, =5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则=.4.3a+3b-5c【解析】=3a+3b-5c.5.(5分)已知空间图形A-BCD,E,F,G,H,M,N分别是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中点,求证:EG,FH,MN交于一点且互相平分.5.【解析】设P1,P2,P3分别为EG,FH,MN的中点,又设=a, =b, =c,则)=)=(a+b+c).同理可证 (a+b+c),(a+b+c),∴P1,P2,P3三点重合.从而原命题得证.6.(10分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M是棱AA1的中点,点O是对角线BD1的中点.(1)求证:BD1⊥AC;(2)求证:OM是异面直线AA1与BD1的公垂线.6.【解析】(1)以D为原点,DC,DA,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),M,O.∴=(-1,-1,1), =(1,-1,0),∴=(-1)×1+(-1)×(-1)+1×0=0,∴,即BD1⊥AC.(2) =(0,0,1), =(-1,-1,1),∵=0, =0,∴OM⊥AA1,OM⊥BD1,即OM是异面直线AA1与BD1的公垂线.7.(10分)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.在直线CC1上是否存在一点N,使得MN⊥AB1?若存在,请你求出它的位置;若不存在,请说明理由.7.【解析】假设在直线CC1上存在一点N,使得MN⊥AB1.如图,建立空间直角坐标系,有A(0,0,0),B,M,0,N(0,1,z),B1,∴.∵,∴=-+2z=0,解得z=,N,即CN=时,AB1⊥MN.。

第6讲 空间向量及其运算[学生用书P144])1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定0≤〈a ，b 〉≤π．若〈a ，b 〉＝π2，则称向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b . (2)两向量的数量积两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (3)向量的数量积的性质①a ·e ＝|a |cos 〈a ，e 〉(其中e 为单位向量)； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③|a |2＝a ·a ＝a 2； ④|a ·b |≤|a ||b |.(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②a ·b ＝b ·a (交换律)；③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3， a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0，a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )，cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．②确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.5．空间位置关系的向量表示1．辨明四个易误点(1)注意向量夹角与两直线夹角的区别．(2)共线向量定理中a ∥b ⇔存在唯一的实数λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0. (3)共面向量定理中，注意有序实数对(x ，y )是唯一存在的．(4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立． 2．建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直． (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．1．已知a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对C [解析] 因为c ＝(－4，－6，2)＝2a ，所以a ∥c .又a ·b ＝0，故a ⊥b .2．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|P A |＝|PB |，则P 点坐标为( )A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)C [解析] 设P (0，0，z )，则有 （1－0）2＋（－2－0）2＋（1－z ）2＝（2－0）2＋（2－0）2＋（2－z ）2，解得z ＝3.3.教材习题改编 在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋cA [解析] 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4.教材习题改编 已知a ＝(2，4，x )，b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为________．[解析] 因为a ＝(2，4，x )，|a |＝6，则x ＝±4， 又b ＝(2，y ，2)，a ⊥b ， 当x ＝4时，y ＝－3，x ＋y ＝1. 当x ＝－4时，y ＝1，x ＋y ＝－3. [答案] 1或－35．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y ，2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________．[解析] 因为α∥β，所以u 1∥u 2，所以－36＝y －2＝2z ，所以y ＝1，z ＝－4，所以y ＋z ＝－3. [答案] －3空间向量的线性运算[学生用书P145][典例引领]如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________．(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________．【解析】 (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)．所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 【答案】 (1)A 1A →(2)12AB →＋12AD →＋AA 1→若本例条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD→＋zAA 1→，试求x ，y ，z 的值．[解] EO →＝ED →＋DO → ＝－23DD 1→＋12(DA →＋DC →)＝12AB →－12AD →－23AA 1→，由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.用基向量表示指定向量的方法(1)应结合已知和所求向量观察图形．(2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．如图所示，在空间几何体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)MP →＋NC 1→.[解] (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 因为N 是BC 的中点， 所以NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→ ＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， 所以MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .共线、共面向量定理的应用[学生用书P146][典例引领]已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .【证明】 (1)连接BG (图略)， 则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知，E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD ． 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(1)证明空间三点P 、A 、B 共线的方法 ①P A →＝λPB →(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P 、M 、A 、B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →)．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM→＝13(OA →＋OB →＋OC →)． (1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． [解] (1)由题知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，所以OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， 所以MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，MA →，MB →，MC →共面且基线过同一点M ， 所以M ，A ，B ，C 四点共面， 从而点M 在平面ABC 内．空间向量的数量积与坐标运算[学生用书P146][典例引领](1)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i (i ＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则AB →·AP i →(i ＝1，2，…，8)的不同值的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B ．33 C.23D ．63(3)已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ＝________． 【解析】 (1)由题图知，AB 与上底面垂直，因此AB ⊥BP i (i ＝1，2，…，8)，AB →·AP i→＝|AB →||AP i →|cos ∠BAP i ＝|AB →|·|AB →|＝1(i ＝1，2，…，8)．故选A.(2)不妨设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，B (1，1，0)，B 1(1，1，1)，平面ACD 1的法向量为DB 1→＝(1，1，1)，又BB 1→＝(0，0，1)，所以cos 〈DB 1→，BB 1→〉＝DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|＝13×1＝33， 所以BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎫332＝63.(3)λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ>0，解得λ＝3.【答案】 (1)A (2)D (3)3(1)空间向量数量积计算的两种方法 ①基向量法：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．②坐标法：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题 ①a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. ②|a |＝a 2. ③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．[解] 因为A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，a ＝AB →，b ＝AC →，所以a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)．(1)cos θ＝a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，所以a 和b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)因为k a ＋b ＝k (1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝－52或k ＝2.利用空间向量证明平行和垂直(高频考点)[学生用书P147]空间几何中的平行与垂直问题是高考试题中的热点问题．考查形式灵活多样，可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，是高考中的重要得分点．高考对空间向量解决此类问题有以下两个命题角度：(1)证明平行问题； (2)证明垂直问题．[典例引领](1)(2015·高考湖南卷节选)如图，已知四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A 1A ＝6，且A 1A ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱DD 1，BC 上．若P 是DD 1的中点，证明：AB 1⊥PQ .(2)如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .【证明】 (1)由题设知，AA 1，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B 1(3，0，6)，D (0，6，0)，D 1(0，3，6)，Q (6，m ，0)，其中m ＝BQ ，0≤m ≤6.若P 是DD 1的中点，则P ⎝⎛⎭⎫0，92，3，PQ →＝(6，m －92，－3)． 又AB 1→＝(3，0，6)，于是AB 1→·PQ →＝18－18＝0， 所以AB 1→⊥PQ →，即AB 1⊥PQ .(2)因为平面P AD ⊥平面ABCD 且ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0).PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.所以PB →＝2FE →＋2FG →， 又因为FE →与FG →不共线， 所以PB →与FE →，FG →共面．因为PB ⊄平面EFG ，所以PB ∥平面EFG .(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系；②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； ④根据运算结果解释相关问题． (2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．①线线平行l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. ②线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. ③线面平行(l ⊄α)l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0. ④线面垂直l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3. ⑤面面平行α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4.⑥面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.[题点通关]角度一 证明平行问题 1.如图，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．利用向量方法证明：直线MN ∥平面OCD ．[证明] 作AP ⊥CD 于点P ，连接OP ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则P ⎝⎛⎭⎫0，22，0，D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0，O (0，0，2)，M (0，0，1)，N ⎝⎛⎭⎫1－24，24，0，MN →＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1，OP →＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，OD →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2. 设平面OCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·OP →＝0，n ·OD →＝0，即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.取z ＝2，得n ＝(0，4，2)．因为MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1·(0，4，2)＝0，所以MN →⊥n ，且MN ⊄平面OCD ，所以MN ∥平面OCD ．角度二 证明垂直问题2．如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC . [证明] (1)如图所示，以O 为坐标原点，以射线OD 为y 轴正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)． 于是AP →＝(0，3，4)，BC →＝(－8，0，0)， 所以AP →·BC →＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0， 所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)连接MB ，MC .由(1)知AP ＝5， 又AM ＝3，且点M 在线段AP 上，所以AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125，又BA →＝(－4，－5，0)， 所以BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125， 则AP →·BM →＝(0，3，4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0， 所以AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ， 又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，所以AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BMC .[学生用书P360(独立成册)]1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．2D [解析] 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0， 所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直B [解析] 由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，所以AB →＝－3CD →，所以AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点．所以AB ∥CD ．3．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B ．9 C.647D ．657D [解析] 由题意知存在实数x ，y 使得c ＝x a ＋y b ， 即(7，5，λ)＝x (2，－1，3)＋y (－1，4，－2)， 由此得方程组⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，5＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y .解得x ＝337，y ＝177，所以λ＝997－347＝657.4．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定B [解析] 如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.5.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )A ．(1，1，1)B ．⎝⎛⎭⎫1，1，12 C.⎝⎛⎭⎫1，1，32 D ．(1，1，2)A [解析] 设P (0，0，z )，依题意知A (2，0，0)，B (2，2，0)，则E ⎝⎛⎭⎫1，1，z2， 于是DP →＝(0，0，z )，AE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，z 2， cos 〈DP →，AE →〉＝DP →·AE →|DP →||AE →|＝z 22|z |·z24＋2＝33. 解得z ＝±2，由题图知z ＝2，故E (1，1，1)．6．(2017·唐山统考)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC→1，N为B 1B 的中点，则|MN →|为( ) A.216a B ．66a C.156a D ．153a A [解析] 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a ，0，0)，C 1(0，a ，a )， N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a2.设M (x ，y ，z )， 因为点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，所以(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，所以x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3. 所以M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3，所以|MN →| ＝⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32＝216a . 7．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，点Q 在平面yOz 上，则垂足Q 的坐标为________．[解析] 由题意知点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影， 所以垂足Q 的坐标为(0，2，3)． [答案] (0，2，3)8．在空间直角坐标系中，以点A (4，1，9)，B (10，－1，6)，C (x ，4，3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为__________．[解析] 由题意知AB →＝(6，－2，－3)， AC →＝(x －4，3，－6)．又AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，可得x ＝2. [答案] 29．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．[解析] 由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10. 即2a ·c ＋b ·c ＝－10，又因为a ·c ＝4，所以b ·c ＝－18， 所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，所以〈b ，c 〉＝120°，所以两直线的夹角为60°. [答案] 60°10．已知空间四边形OABC ，点M 、N 分别是OA 、BC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a 、b 、c 表示向量MN →＝________．[解析] 如图所示，MN →＝12(MB →＋MC →)＝12[(OB →－OM →)＋(OC →－OM →)]＝12(OB →＋OC →－2OM →)＝12(OB →＋OC →－OA →)＝12(b ＋c －a )． [答案] 12(b ＋c －a )11.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EG 的长．[解] 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14. (2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22.12．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)． (1)求以AB ，AC 为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标． [解] (1)由题意可得：AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)， 所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.所以sin 〈AB →，AC →〉＝32，所以以AB ，AC 为边的平行四边形的面积为 S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1，所以向量a 的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．13．有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [解析] ①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．14．已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________．[解析] 对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值1.|b －(x e 1＋y e 2)|2＝|b |2＋(x e 1＋y e 2)2－2b ·(x e 1＋y e 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y2，所以当x＝2－y 2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x ＝2－y2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.[答案] 1 2 2 2 15.如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .[证明] (1)设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，C (2a ，0，0)， B (0，0，a )，D (a ，3a ，0)， E (a ，3a ，2a )． 因为F 为CD 的中点， 所以F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.AF →＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a ，0，－a )．因为AF →＝12(BE →＋BC →)，AF ⊄平面BCE ，所以AF ∥平面BCE .(2)因为AF →＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD →＝(－a ，3a ，0)，ED →＝(0，0，－2a )，所以AF →·CD →＝0，AF →·ED →＝0， 所以AF ⊥CD ，AF ⊥ED ．又CD ∩DE ＝D ，所以AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE .16．如图，正三角形ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B ．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BPBC 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)AB ∥平面DEF ，理由如下： 在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 的中点， 得EF ∥AB ．又因为AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ， 所以AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，故DE →＝(0，3，1)． 假设存在点P (x ，y ，0)满足条件，则AP →＝(x ，y ，－2)， AP →·DE →＝3y －2＝0， 所以y ＝233.又BP →＝(x －2，y ，0)，PC →＝(－x ，23－y ，0)， BP →∥PC →，所以(x －2)(23－y )＝－xy ， 所以3x ＋y ＝2 3.把y ＝233代入上式得x ＝43，所以BP →＝13BC →，所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE ，此时BP BC ＝13.。

第六节 空间向量及运算1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.1.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .(2)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →. 2.数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积 ①a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.②a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ，b 为非零向量). ③|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)空间向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).则①|a |＝a 21＋a 22＋a 23.②a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3). ③a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3). ④λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3). ⑤a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.⑥设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1).⑦cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面.( )(2)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( )(3)对于向量a ，b ，若a ·b ＝0，则一定有a ＝0或b ＝0.( ) (4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( )(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×2.已知空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →等于( )A.12a ＋12b －23cB.－23a ＋12b ＋12cC.12a －23b ＋12cD.23a ＋23b －12c[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12b ＋12c －23a . [答案] B3.与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1B.(－1，－3,2)C.⎝⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D.(2，－3，－22)[解析] 可知－12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1，选C.[答案] C4.若向量a ＝(2,2,0)，b ＝(1,3，z )，且〈a ，b 〉＝π3，则实数z ＝( ) A.22 B.5 C.±22D.±5[解析] ∵cos 〈a ，b 〉＝cos π3＝a ·b |a |·|b |＝2×1＋2×3＋0×z 22＋22＋02×12＋32＋z2＝12，∴z ＝±22.[答案] C 5.有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面；④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4[解析] ①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立.③正确.④中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确.[答案] B6.已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________. [解析] b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值为355. [答案]355考点一 空间向量的线性运算——自练型(1)已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，则用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →正确的是( )A.OG →＝OA →＋23OB →＋23OC →B.OG →＝12OA →＋23OB →＋23OC →C.OG →＝16OA →＋13OB →＋13OC →D.OG →＝16OA →＋13OB →＋23OC →(2)如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →可用a ，b ，c 表示为__________.[解析] (1)OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(MO →＋ON →)＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋12OC →＋12OB →＝16OA →＋13OB →＋13OC →.(2)由图可知，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝BB 1→＋12B 1D 1→＝BB 1→＋12(A 1D 1→－A 1B 1→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .[答案] (1)C (2)－12a ＋12b ＋c(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.考点二 共线、共面向量定理的应用——互动型 如右图，已知平行六面体ABCD－A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证：E 、F 、G 、H 四点共面.[证明] 取ED ′→＝a 、EF →＝b 、EH →＝c ，则HG →＝HB →＋BC →＋CG →＝D ′F →＋2ED ′→＋12AA ′→＝b －a ＋2a ＋12(AH →＋HE →＋EA ′→)＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG →与b 、c 共面，即E 、F 、G 、H 四点共面.证三点共线、四点共面的向量方法(1)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 ①P A →＝λPB →(λ∈R ).②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R ). ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1). (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →.②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →.③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1). ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →).如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心.证明：A 1、G 、C 三点共线.[证明] ∵CA 1→＝CB →＋BA →＋AA 1→＝CB →＋CD →＋CC 1→，CG →＝CC 1→＋23×12(C 1B →＋C 1D →)＝13(CB →＋CD →＋CC 1→)＝13CA 1→，∴CG →∥CA 1→，且有公共点C ，即A 1、G 、C 三点共线.考点三 空间向量的数量积——共研型角度1：数量积的坐标运算(1)已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A.－2B.－143C.145D.2(2)已知O 为坐标原点，A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为__________.[解析] (1)由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0， 所以14－7λ＝0，解得λ＝2.(2)OA →＋λOB →＝(1,0,0)＋λ(0，－1,1)＝(1，－λ，λ)， ∵OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，∴(1，－λ，λ)·(0，－1,1)＝1＋2λ2×2×－12，2λ＝－221＋2λ2，λ＝－66. [答案] (1)D (2)－66 角度2：数量积的应用如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点.(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值. [解] (1)证明：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos60°＋a 2cos60°－a 2)＝0.∴MN →⊥AB →.即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . (2)由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )， ∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )]＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a . ∴MN 的长为22a .(3)设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )， MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60° ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ， ∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22， ∴cos θ＝23，∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.数量积有以下三方面应用(1)求夹角：设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离)：运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)证垂直：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.1.[角度1]已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a 与b 方向相同，则λ与μ的值分别为__________.[解析] ∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎨⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎨⎧λ＝－3，μ＝12.当⎩⎨⎧λ＝2，μ＝12时，a ＝(3,0,2)，b ＝(6,0,4)＝2a ，a 与b 方向相同，符合题意；当⎩⎨⎧λ＝－3，μ＝12时，a ＝(－2,0,2)，b ＝(6,0，－6)＝－3a ，a 与b方向相反，不符合题意，舍去.故λ＝2，μ＝12.[答案] 2 122.[角度2]在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，则AC 1的长为__________.[解析] 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，所以a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c ，所以|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6.所以|AC 1→|＝ 6. [答案]6课题42：向量的有关概念不清致误名师导学：在向量的应用中，向量的夹角与异面直线所成的角的含义有所不同，体现在范围上；与非零向量a 共线的单位向量有两个.已知AB →＝(1,2，－2)，CD →＝(0,2,4)，则直线AB 与CD 所成角的余弦值为__________.[错解] ∵cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD→|AB →|·|CD →|＝1×0＋2×2－2×412＋22＋(－2)2×02＋22＋42＝－2515.∴直线AB 与CD 所成角的余弦值为 －255.[正解] 由cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD→|AB →|·|CD →|＝1×0＋2×2－2×412＋22＋(－2)2×02＋22＋42＝－2515，故异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为2515. [答案]2515两异面直线所成角θ的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.1.已知a＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角的余弦值为( )A.48585B.－48585C.－1515D.1515[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2×2－823×25＝－1515.[答案] C2.与向量a ＝(6,7，－6)平行的单位向量为__________.[解析] 设与a 平行的单位向量为b ＝(x ，y ，z )，则x 2＋y 2＋z 2＝1，且b ＝λa ，即x ＝6λ，y ＝7λ，z ＝－6λ，解得λ＝±111，则b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫611，711，－611或⎝ ⎛⎭⎪⎫－611，－711，611.[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫611，711，－611或⎝ ⎛⎭⎪⎫－611，－711，611。

空间向量及其运算空间向量的运算包括两种运算,一种是非坐标运算:即向量满足的运算法则和运算律以及在空间向量基本定理的基础之上,求解向量的模和夹角的运算；一种是坐标运算:已知空间向量,a b 的坐标表示,其中111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==,使得向量及其运算实现了代数表示.在向量坐标表示或运算平行四边形法则或三角形法则1(a b x x ±=±与向量a 的积是一个向量记作λa11(,,a x y λ=λ||||cos ,a b a b a b ⋅=<>数量积a b ⋅ 12a b x x y ⋅=+存在唯一的实数，λ使a b =λ（0b ≠)向量//a b(0)b ≠1122x y x y ⇒==0a b ⋅= 向量a b ⊥1212x x y y ++||a =2a (22||a a =)向量的模||a2211||a x y =++cos ,||||a ba b a b ⋅<>=向量夹角<a b ，> 121222111cos ,a b x x y y x y z <>=+++⋅//AB BC ⇔AB xBC =或OB OA xBC =+或,1OA OB OC =λ+μλ+μ=且C A ,三点共线 （两向量共线) 例：正方体'AC ，2'.3A F FC ='2',A E ED = 求证：,,EF B 三点共线。

AB x AC y AD =+或OB OA xAC yAD =++或OA xOB yOC zOD =++ 且1x y z ++=例：长方体111D C B A ABCD -中,M 为DD 1的中点,N 在AC 上,且1:2:=NC AN ,求证:1,,,A B M N 四点共面． 212121(,,)AB x x y y z z =---1|(AB x =典 型 1)平行六面体为端点的三条棱长度都为1.(1)夹角的余弦值. 2)。

3.1向量及其运算1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量，如位移、速度、力等。

向量的大小叫做向量的长度或者向量的模。

模为0的向量叫做零向量，模为1的向量叫做单位向量。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2.向量的加减运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：b a+=+=； b a -=-=； )(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+；⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++；⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(.说明：①引导学生利用图形验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

例1.下列命题正确的有( ) (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；(3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)向量a ，b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，a ∥b ；(5)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；(6)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] C[解析] (1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．(2)正确．∵AB →＝DC →∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →. 又∵A ，B ，C ，D 不共线， ∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →.(3)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同． 故a ＝c .(4)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (5)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .(6)不正确.AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向． 故选C.例2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋cC.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c[答案] A[解析] B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD →＝A 1A →＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝－12a ＋12b ＋c .∴应选A.3.向量的数乘运算共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线，当我们说a 、b平行时，也具有同样的意义．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .注意：对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a反向的所有向量。

新高考数学新题型一轮复习课件第七章§7.6　空间向量的概念与运算考试要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有和 的量相等向量方向且模 的向量相反向量方向且模 的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相或 的向量共面向量平行于的向量大小方向相同相等相反相等平行重合同一个平面2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使.(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在 的有序实数对(x ，y )，使p ＝ .(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝ ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.a ＝λb 唯一x a ＋y b x a ＋y b ＋z c3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝ .(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).|a||b|cos〈a，b〉向量表示坐标表示数量积a·b_________________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)_________________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)_____________________模|a |______________夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝_______________________a1b1＋a2b2＋a3b3＝04.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量.(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( )(3)在空间直角坐标系中，在Oyz 平面上的点的坐标一定是(0，b ，c ).( )(4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( )√×××1.若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是A.{a，a＋b，a－b}B.{b，a＋b，a－b}√C.{c，a＋b，a－b}D.{a＋b，a－b，a＋2b}∵λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b共面.∴A，B，D不正确.√由题意，根据向量运算的几何运算法则，3.设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝____.∵l1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－6－4＋m ＝0，∴m ＝10.10T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一空间向量的线性运算D1的中点，∵P是C∵N是BC的中点，∵M是AA1的中点，教师备选√用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.√√题型二空间向量基本定理及其应用(2)判断点M是否在平面ABC内.所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.所以M，A，B，C四点共面，从而M在平面ABC内.教师备选跟踪训练2　(1)(多选)(2022·武汉质检)下列说法中正确的是A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件√√由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，可得P，A，B，C四点共面，故C正确；若P，A，B，C为空间四点，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.属于∴M，A，B，C四点共面.即点M∈平面ABC.例3　如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：题型三空间向量数量积及其应用则|a|＝|b|＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.教师备选√设正方体内切球的球心为O，则OM＝ON＝1，∵MN为球O的直径，又P在正方体表面上移动，由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.跟踪训练3　如图所示，在四棱柱ABCDAB1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)(2)求证：AC1⊥BD；＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝0.(3)求BD1与AC夹角的余弦值.。