22.2 一元二次方程的解法(直接开平方法)--

22.2 解一元二次方程(配方法) 教案第1课时教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=mx+n=p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的18的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：x=（18x）2+12整理得：x2-64x+768=0问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500整理，得：x2-36x+70=0（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768两边加（642）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024左边写成平方形式→（x-32）2=•256 •降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．学生活动：例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=±，，x1≈34，x2≈2．可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．例2．解下列关于x的方程（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6x-1=6，x-1=-6x1=7，x2=-5可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．（2）x 2-2x-12=0 x 2-2x=12x 2-2x+12=12+1 （x-1）2=32 x-1=x 1x 2可以验证：x 1=1+2x 2=1-2 三、巩固练习教材P 38 讨论改为课堂练习，并说明理由．教材P 39 练习1 2．（1）、（2）．四、应用拓展例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．C AQ P分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业1．教材P45复习巩固2．2．选用作业设计．一、选择题1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-113．如果m x2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9二、填空题1．方程x2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x xx---的值为0，则x的值为________．3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，•所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．三、综合提高题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x2-4x+y2，求（xy）z的值．3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？答案:一、1．B 2．B 3．C二、1．x1=1，x2=-5 2．2 3．z2+2z-8=0，2，-4三、1．（x-3）（x-1）=0，x1=3，x2=1，∴三角形周长为9（∵x2=1，∴不能构成三角形）2．（x-2）2+（y+3）2，∴x=2，y=-3，z=-2，（xy）z=（-6）-2=1 363．设每台定价为x，则：（x-2500）（8+290050x-×4）=5000，x2-5500x+7506250=0，解得x=275022.2.2 配方法第2课时教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重难点关键1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，•右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9x-4=±3即x1=7，x2=1（2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22（x+2）2=3即x+2=x1，x2二、探索新知像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．解下列方程（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：（1）移项，得：x2+6x=-5配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5（2）移项，得：2x2+6x=-2二次项系数化为1，得：x2+3x=-1配方x2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54由此可得x+32=x132，x232（3）去括号，整理得：x2+4x-1=0移项，得x2+4x=1配方，得（x+2）2=5x+2=x1，x2三、巩固练习教材P39练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）．四、应用拓展例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2（12y+12）（16y-16）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53五、归纳小结本节课应掌握：配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．六、布置作业1.教材P45复习巩固3．2.作业设计一、选择题1．配方法解方程2x2-43x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-23）2=0C．（x-13）2=89D．（x-13）2=1092．下列方程中，一定有实数解的是（）． A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0 D．（12x-a）2=a3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1 B．2 C．-1 D．-2二、填空题1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数． 3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y2-18y-4=0 （2）x22．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x y x y -+的值．3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．答案:一、1．D 2．B 3．B二、1．1，-5 2．正 3．x-y=54三、1．（1）y 2-2y-49=0，y 2-2y=49，（y-1）2=139，y-1=，y 1，y 2（2）x2（2=•0，x1=x2 2．（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3，∴原式=268 1313 --=-3．（1）设每件衬衫应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，x2-30x+200=0，x1=10，x2=20（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250 ∵-2（x-15）2≤0，∴x=15时，赢利最多，y=1250元．答：略。

班级：______姓名：___________ 年级九年级科目数学课型运算课课时 1 主备主讲课题一元二次方程的解法——配方法教研组长签字教学副校长签字一、教学目标1.能准确找到配方所需的常数；会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

2.让学生经历配方法的探究过程，培养学生的应用意识，转化思想，提高学生的运算能力；3.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心二、教学过程知识预备 1. 用直接开平方法解方程：27)132=+x（2.问题导入：学校要建一个操场，要求长比宽多10m，并且面积为375m2，那么操场的长和宽分别为多少？自主探究（一）探究配方所需的常数1.回顾: 完全平方公式：2)ba±（= ，说出公式的特点2.根据你所掌握的公式特点，将下列代数式配成完全平方的形式试一试：2x＋6x＋（）= x（）22x- 5x＋（） = x（）22x＋8x＋（） = x（）23、思考：当二次项系数为1时，常数项与一次项系数有怎样的关系？常数项为一次项系数一半的平方（二）用配方法解一元二次方程1、尝试解一元二次方程375102=+xx2.解下列方程。

(1)016-62=+xx（2）024-2=+xx课堂小结配方法解一元二次方程的一般步骤：1、将二次项系数化为1；2、将常数项移到方程的右边；3、方程两边都加上一次项系数一半的平方；4、写成()2mx n p+=的形式，用直接开平法求解。

22.2.降次——解一元二次方程（习题课）【学习目标】1、 会灵活选用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程。

并能说出各种解法的要点及注意的问题。

2、 能利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况；同时能根据根的情况来判断某些字母系数的取值范围。

3、 会列一元二次方程解简单实际问题，并对结果作合理的解释。

【学习过程】一、自主学习：自学课本Ｐ35---P 44内容，思考下列问题：1、 一元二次方程的解法有哪几种？其基本思想是什么？它们之间有什么区别和联系？2、 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方的关键是什么？3、 用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？求根公式是怎样推导出来的？4、 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？5、 如何利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？都是有哪几种情况？6、 求取的方程的解都符合题意吗？有什么判断依据？交流与点拨：师生共同思考以上几个问题，在解一元二次方程时，往往首先把方程转化成一般形式，然后再去观察到底使用那种方法。

注意配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方（二次项系数为1时）。

求根公式不要死记，要掌握推导过程。

b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况是考点，要灵活掌握。

二、例题学习：例1 选择适当的方法解下列方程：（1）5)12(2=-x （2）09102=++x x 解： 解：（3）02432=+-x x （4）05822=+-x x解： 解：（5）3632-=-x x（教师可以选择其中一题示范三种方法，最终选择最好的方法，当然，学生可以自主选择方法，学生板演，教师点评。

）例2：关于x 的一元二次方程032)1(2=+++x x m（1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根。

（2）当m 取何值时，此方程有两个相等的实数根。

（3）当m 取何值时，此方程没有实数根。

解：（解题时，注意01≠+m ， 1-≠m ；再结合b 2-4ac 来判断。

一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法3种题型）1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.2.运用开平方法解形如x 2=p 或（x+n) 2=p (p≥0)的方程.3.理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程.4.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想.知识点1：直接开平方法形如x 2＝p 或（nx +m ）2＝p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x 2＝p 的形式，那么可得x ＝±；如果方程能化成（nx +m ）2＝p （p ≥0）的形式，那么nx +m ＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．知识点2：配方法（1）将一元二次方程配成（x +m ）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 知识点3：配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常题型1：用直接开平方法解一元二次方程例1．（2022秋•江都区校级期末）方程x 2＝4的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝x 2＝﹣2C ．x 1＝2，x 2＝﹣2D ．x 1＝4，x 2＝﹣4【分析】根据直接开平方解方程即可．【解答】解：直接开平方得：x ＝±2，∴方程的解为：x1＝2，x2＝﹣2，故选：C ．【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．例2．（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x 2＝49； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）首先将方程整理为x 2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x ﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．【解答】解：（1）4x 2＝49，x 2＝， ∴，∴x 1＝，x 2＝﹣；（2）（2x ﹣1）2﹣25＝0，（2x ﹣1）2＝25，∴2x ﹣1＝±5，∴x 1＝3，x 2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 例3.解关于x 的方程：251250x −=．【答案】15x =，25x =−．【解析】整理方程，即得225x =，直接开平方法解方程，得：x = 即方程两根为15x =，25x =−．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x =例4.解关于x 的方程：290x =． 【答案】153x =，253x =−．【解析】整理方程，即得2259x ==，直接开平方法解方程，得：x =， 即方程两根为153x =，253x =−．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x =例5.解关于x )225x −=【答案】14x =，21x =．【解析】整理方程，即得()2259x −==，直接开平方法解方程，得：253x −==±， 得253x −=或253x −=−，即方程两根为14x =，21x =．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b +=或ax b +=例6.解关于x 的方程：()()222332x x +=+．【答案】11x =，21x =−．【解析】直接开平方法解方程，即得()2332x x +=±+，得2332x x +=+或()2332x x +=−+， 即得方程两根为11x =，21x =−．【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=−+．例7.解关于x 的方程： ()()22425931x x −=−． 【答案】1135x =，2713x =−． 【解析】整理方程，即为()()22225331x x −=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，直接开平方法解方程，即得()()225331x x +=±−，得()()225331x x +=−或()()225331x x +=−−，解得方程两根 分为1135x =，2713x =−． 【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=−+．例8.解关于x 的方程：()2222x a a ab b −=++．【答案】12x a b =+，2x b =−．【解析】整理方程，即为()()22x a a b −=+，直接开平方法解方程，即得()x a a b −=±+， 得：x a a b −=+或()x a a b −=−+，解得方程两根分为12x a b =+，2x b =−．【总结】直接开平方法解形如()22ax b c +=的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得ax b c +=±． 题型2：用配方法解一元二次方程例9．（2022秋•秦淮区期末）解方程：x 2﹣6x +4＝0（用配方法）【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x 2﹣6x ＝﹣4，等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x 2﹣6x +9＝﹣4+9，即（x ﹣3）2＝5，∴x ＝±+3， ∴x 1＝+3，x 2＝﹣+3．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．例10.用配方法解方程：22330x x −−=．【答案与解析】解：∵22330x x −−=， ∴233022x x −−= ∴23993216162x x −+=+， ∴2333416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭∴12x x ==． 【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成()()20x m n n +=≥的形式，然后用直接开平方法求解即可．例11.用配方法解方程：220130y −−=．【答案】145y =，245y =．【解析】由220130y −−=，得2122025y −+=，即2(2025y −=，所以45y −=±， 所以原方程的解为：145y =，245y =−． 【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．例12.用配方法解方程：225200x x −−+=．【答案】154x =−+，254x =−． 【解析】由225200x x −−+=，得225200x x +−=，即251002x x +−=，配方，得：2525251021616x x ++=+，即25185()416x +=，解得：54x =−±所以原方程的解为：154x =−+，254x =−． 【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方． 例13.用配方法解方程：210.30.2030x x −+=． 【答案】1213x x ==． 【解析】由210.30.2030x x −+=，得213203x x −+=，即221039x x −+=， 所以21()03x −=，所以原方程的解为：1213x x ==．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方． 题型3：配方法的应用例14．（2023春•梁溪区校级期中）在求解代数式2a 2﹣12a +22的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式＝2（a 2﹣6a ）+22＝2（a 2﹣6a +9）﹣18+22＝2（a ﹣3）2+4，∵无论a 取何值，2（a ﹣3）2≥0，∴代数式2（a ﹣3）2+4≥4，即当a ＝3时，代数式2a 2﹣12a +22有最小值为4．仿照上述思路，则代数式﹣3a 2+6a ﹣8的最值为（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣8C ．最大值﹣11D ．最小值﹣5【分析】根据题意把代数式﹣3a 2+6a ﹣8配成﹣3（a ﹣1）2﹣5的形式，再利用偶次方的非负性即可得出最值．【解答】解：由题意可得：原式＝﹣3（a2﹣2a）﹣8＝﹣3（a2﹣2a+1）+3﹣8＝﹣3（a﹣1）2﹣5，∵无论a取何值，3（a﹣1）2≥0，即﹣3（a﹣1）2≤0，∴代数式﹣3（a﹣1）2﹣5≤﹣5，即当a＝1时，代数式﹣3a2+6a﹣8有最大值﹣5，故选：A．【点评】本题主要是考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成﹣3（a﹣1）2﹣5的形式．例15．（2023春•吴江区期中）我们可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我们把这样的变形叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知关于a，b的代数式满足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，请你利用配方法求a+b的值．【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出即可．【解答】解：已知等式变形得：（a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0，即（a+1）2+（b﹣2）2＝0，∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣1，b＝2，则a+b＝﹣1+2＝1．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．例16．（2023春•吴中区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求边c的值．【分析】（1）根据x2+4xy+5y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x+2y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值，代入x﹣y计算即可；（2）根据a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣2）2+2（b﹣41）2＝0，求出a、b 的值，然后根据三角形的三条边的关系，求出c的值即可．【解答】解：（1）∵x 2+4xy +5y 2+6y +9＝0，∴（x 2+4xy +4y 2）+（y 2+6y +9）＝0，∴（x +2y ）2+（y +3）2＝0，∴x +2y ＝0，y +3＝0，∴x ＝6，y ＝﹣3，∴x ﹣y ＝6﹣（﹣3）＝9．（2）∵a 2﹣4a +2b 2﹣4b +6＝0，∴（a 2﹣4a +4）+（2b 2﹣4b +2）＝0，∴（a ﹣2）2+2（b ﹣1）2＝0，∴a ﹣2＝0，b ﹣1＝0，∴a ＝2，b ＝1，∵2﹣1＜c ＜2+1，∴1＜c ＜3，∵c 为正整数，∴c ＝2．【点评】本题考查配方法的应用，以及三角形三条边的关系，解答本题的关键是明确配方法、会用配方法解答问题．例17.已知△ABC 的一边长为4，另外两边长是关于x 的方程22320x kx k −+=的两根，当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？【答案】2k =．【解析】由22320x kx k −+=，得(2)()0x k x k −−=，所以x k =或者2x k =．当2k =时，2x =和4x =，满足三角形三边关系，当4k =时，4x =和8x =，不满足三角形三边关系． 所以2k =时，△ABC 是等腰三角形【总结】先配方然后用分类讨论的方法解决问题．一、单选题【答案】D【分析】根据直接开方法求解即可．【详解】解：290x -=， 29x =直接开方得：13x =，23x =−，故选：D ．【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握此方法是解题关键．2．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）一元二次方程2680x x −−=，经过配方可变形为（ ） A ．2(3)17x −=B ．2(3)1x −=C ．2(3)17x +=D ．2(6)44x −=【答案】A【详解】解：方程移项得：268x x −=， 配方得：26989x x −+=+，即2(3)17x −=．故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）已知实数a b ，满足21a b +=，则代数式22241a b a +−−的最小值等于（ ）A ．1B ．4−C ．8−D ．无法确定【答案】C【分析】由已知得21b a =−，代入代数式即得22241a b a +−−变形为()22141a a a +−−−，再配方，即可求解．【详解】解：∵21a b +=，∴21b a =−，代入代数式即得22241a b a +−−，得()22141a a a +−−−，261a a =−+， ()238a =−−，∵()230a −≥，∴()2388a −−≥−， ∴22241ab a +−−的最小值等于8−，故选：C【点睛】本题考查配方法的应用，通过变形将代数式化成()238a −−是解题的关键． 4．（2023·江苏苏州·一模）已知关于x 的一元二次方程()20m x h k −−=（m ，h ，k 均为常数且0m ≠）的解是12x =，25x =，则关于x 的一元二次方程()21m x h k −+=的解是（ ）A ．12x =−，25x =−B ．14x =−，21x =−C ．11x =，24x =D ．13x =−，26x =− 【答案】C【分析】把()21m x h k −+=看作关于(1)x +的一元二次方程，则12x +=或15x +=，然后解两个一次方程即可．【详解】解：方程2()0(m x h k m −−=、h ，k 均为常数且0)m ≠的解是12x =，25x =， ∴对于关于(1)x +的一元二次方程()21m x h k −+=的解，即12x +=或15x +=，即11x =，24x =，∴关于x 的一元二次方程2(3)m x h k −+=的解是11x =，24x =．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如2x p =或2()(0)nx m p p +=≥的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．【答案】A【分析】勾股定理可得：()2222OP x x =++ ，再利用配方法求解2OP 的最小值，再求解OP 的最小值，从而可得答案．【详解】由勾股定理可得： ()()222222244212OP x x x x x =++=++=++当1x =−时， 2OP 有最小值2∴OP 的最小值为 1>所以A 不符合题意，B ，C ，D 都有可能，符合题意故选A【点睛】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键．【答案】D【分析】将方程常数项移到等号右边，两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式变形即可得到结果【详解】解：方程整理得：285x x −=−，配方得：281611x x −+=，即2411x −=（）． 故选：D ．【点睛】此题考查了用配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握完全平方公式．二、填空题7．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）一元二次方程2430x x −+=配方为()22x k −=，则k 的值是______．【答案】１【分析】将原方程2430x x −+=变形成与()22x k −=相同的形式，即可求解．【详解】解：2430x x −+=243101x x −++=+2441x x −+=()221x −=∴1k =故答案为：1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 8．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）用配方法解方程21070x x +−=，方程可变形为()2x m n +=，则m =_________，n =__________．【答案】 5 34【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：21070x x +−=，∴2107x x +=，∴2102534x x ++=，即()2534x +=，∴5m =，34n =．故答案为：5，34【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握利用配方法解一元二次方程的方法是解题的关键． 9．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：2()0m x a b −+=与2()0n x a b −+=，称为“同类方程”．如22(1)30x −+=与26(1)30x −+=是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x −+=与2(6)(8)60a x b x +−++=是“同类方程”．那么代数式22022ax bx ++能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵22(1)10x −+=与2(6)(8)60a x b x +−++=是“同类方程”，∴22(6)(8)6(6)(1)1a x b x a x +−++=+−+，∴22(6)(8)6(6)(6)72a x b x a x a x a +−++=++−++， ∴()82667b a a ⎧+=+⎨=+⎩，解得：12a b =−⎧⎨=⎩，∴22022ax bx ++222022x x =−++()212023x =−−+∴当1x =时，22022ax bx ++取得最大值为2023．故答案为：2023．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． 10．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）已知实数x 、y 、z 满足224422018x x y y xy z −++−+=，则实数z 的最大值为 __．【答案】2022【分析】仔细观察等式左侧，先将多项式进行分组，再利用配方法化简其形式，最后根据平方的非负性确定z 的最大值.【详解】解：224422018x x y y xy z −++−+=，222442018x xy y x y z ∴−+−++=，2()4()2018x y x y z ∴−−−+=，2()4()442018x y x y z −−−+−+=，2(2)42018x y z −−+−=，2(2)0x y −−…，∴当2(2)0x y −−=时，4z −的值最大，42018z ∴−=，2022z ∴=，∴实数z 的最大值为2022，故答案为：2022．【点睛】本题考查了配方法与平方的非负性，能够识别多种情况下的配方条件，正确的配方是解题关键.三、解答题 11．（2023·江苏常州·统考一模）解方程：(1)2(1)40x +-=；(2)2260x x −−=．【答案】(1)121,3x x ==(2)1211x x ==【分析】（1）直接开方法解方程即可．（2）配方法即解方程即可．【详解】（1）2(1)40x +-= 2(1)4x +=12x +=±121,3x x ∴==（2）2260x x −−=22161x x −+=+()217x −=1x −=1211x x ∴==【点睛】此题考查一元二次方程的解法，有直接开方法，配方法，因式分解法，公式法等，解题关键是根据方程的特点挑选合适的解法．12．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）解方程：210110x x +-=．【答案】11x =，211x =−【分析】利用配方法解方程即可．【详解】解：210110x x +-=21011x x +=，210251125x x ++=+，()2536x +=，56x +=±，11x =，211x =−【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟悉相关性质是解题的关键． 13．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）解方程：(1)()21250x −−=；(2)2410x x −−=．【答案】(1)16x =，24x =−(2)12x =12x =【分析】(1)利用直接开平方法解此方程，即可求解；(2)利用配方法解此方程，即可求解． 【详解】（1）解：由原方程得：()2125x −= 得15x −=±，解得16x =，24x =−，所以，原方程的解为16x =，24x =−；（2）解：由原方程得：241x x −=，得24414x x −+=+，()225x −=，得2x −=12x =12x =所以，原方程的解为12x =12x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．，AOB 、COD 的面积分别为【答案】（1）①0x ≠；②一、三；③当0x <时，x x +的最大值为2−；（2）最小值为11；（3）25【分析】（1）①根据分母不为0即可求解；②根据当0x >时，0y >；当0x <时，0y <即可判断；③模仿求解过程，利用配方法即可求解；（2）将2316x x y x ++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设BOC S x =△，已知4AOB S =△，9COD S =△，则由等高三角形可知：::BOC COD AOB AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出AOD S ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】解：（1）①函数1y x x =+的自变量x 的取值范围为：0x ≠；②容易发现，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <．由此可见，图像在第一、三象限；③当0x >时，112x x x x +≥=； 当0x <时，11()x x x x +=−−−12x x −−≥=1()2x x ∴−−−≤−∴当0x >时，1x x +的最小值为2；当0x <时，1x x +的最大值为2−．故答案为：①0x ≠；②一、三；③当0x <时，1x x +的最大值为2−；（2）由2316163x x y x x x ++==++， 0x >，∴163311y x x =++≥=， 当16x x =时，最小值为11．（3）设BOC S x =△，已知4AOB S =△，9COD S =△则由等高三角形可知：::BOC AOB AOD S S S S =△△△△ :94:AOD x S ∴=36:AOD S x ∴=∴四边形ABCD 面积36491325x x =+++≥+=当且仅当6x =时取等号，即四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题．一、单选题 1．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）把方程2430x x +−＝化为2x m n =+（）的形式后，m 的值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．1【答案】B 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵2430x x +−＝，∴243x x −＝-，则24434x x ++−＝-，即221x −（）＝， ∴2m =﹣，n ＝1，故B 正确． 故选：B ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握一元二次方程配方法，是解题的关键． 【分析】利用配方法将29x mx −+进行配方，即可得出答案.． 【详解】解：原式22924m m x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭， 当x-2m =0，即x=2m 时，原式取得最小值9-24m =8，整理得：24m =， 解得：m=±2，则m 的值可能为2，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法的运用，掌握配方法是解题的关键．3．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）若226A x xy +＝﹣，2411B y x +＝﹣﹣，则A 、B 的大小关系为（ ）A ．A ＞BB ．A ＜BC ．A ≥BD ．A ＝B 【答案】A【分析】利用做差法求出A B −=()()22131x y −+−+，然后利用偶数次幂的非负性即可得出()()2213110x y −+−+≥＞，即可得出0A B −＞，从而得出正确选项． 【详解】解：()2226411A B x x y y x −+−−+−＝﹣ 2222264112611x x y y x x x y y =+−+−+=−+−+()()()()222221691131x x y y x y =−++−++=−+−+∵()210x −≥，()230y −≥，∴()()2213110x y −+−+≥＞， ∴0A B −＞，即A B ＞，故选：A ．【点睛】本题考查了配方法的应用，考查了通过做差法判断式子的大小，熟练掌握配方法是本题的关键所在．二、填空题【答案】2k ≤【分析】根据配方法可进行求解．【详解】解：∵A ＝x2﹣x+（32k −）＝x2﹣x 1144+−+（32k −）＝（x 12−）214−+（32k −）， 若x 取任何实数，A 的值都不是负数，∴14−+（32k −）≥0，解得：112k ≤； 故答案为：112k ≤． 【点睛】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．5．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）方程()219x +=的根是_____．【答案】1224x x ==−，【分析】两边开方，然后解关于x 的一元一次方程．【详解】解：由原方程，得13x +=±．解得122,4x x ==−．故答案是：122,4x x ==−．【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：2(0)x a a =≥；2(ax b a =，b 同号且0)a ≠；2()(0)x a b b +=≥；2()(a x b c a +=，c 同号且0)a ≠．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．6．（2022·江苏·九年级专题练习）已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）．【答案】<【分析】先求A-B 的差，再将差用配方法变形为A ﹣B ＝﹣（x+2）2﹣2，然后利用非负数性质求解．【详解】解：A ﹣B ＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x ﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2﹣2<0，∴A ﹣B<0，∴A<B ，故答案为：<．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．7．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）若实数x ，y 满足条件2x 2﹣6x ＋y 2＝0，则x 2＋y 2＋2x 的最大值是____．【答案】15【分析】先将2x2﹣6x+y2＝0，变形为y2＝﹣2x2+6x ，代入所求代数式并化简为x2+y2+2x ＝﹣（x ﹣4）2+16，利用非负数性质可得x2+y2+2x≤16，再因为y2＝﹣2x2+6x≥0，求得0≤x≤3，即可求解．【详解】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，∴y2＝﹣2x2+6x ，∴x2+y2+2x ＝x2﹣2x2+6x+2x ＝﹣x2+8x ＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x ﹣4）2+16，∵（x ﹣4）2≥0，∴x2+y2+2x≤16，∵y2＝﹣2x2+6x≥0，解得0≤x≤3，当x ＝3时，x2+y2+2x 取得最大值为15，故答案为：15．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法以及完全平方式的非负性是解决本题的关键． 8．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如20x x +=是“差1方程”．若关于x 的方程210ax bx ++=(a ，b 是常数，0a >)是“差1方程”设210t a b =−，t 的最大值为__________．【答案】9【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a 与b 的关系式，再由210t a b =−，得t 与a 的关系，从而得出最后结果．【详解】解：由题可得：224140b a b a ∆=−⨯=−≥∴解方程得x =，关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“差1方程”，∴1=，224b a a ∴=+，210t a b =−，226(3)9t a a a ∴=−=−−+，()30a −≥，3a ∴=时，t 的最大值为9．故答案为：9【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义．9．（2022秋·江苏南京·九年级统考阶段练习）已知实数a 、b ，满足1b a −=，则代数式2267a b a +−+的最小值等于______．【答案】5【分析】由题意得1b a =+，代入代数式2267a b a +−+可得2(2)5a −+，故此题的最小值是5． 【详解】1b a −=，1b a ∴=+，2267a b a ∴+−+22(1)67a a a =++−+22267a a a =++−+2445a a =−++2(2)5a =−+，∴代数式2267a b a +−+的最小值等于5，故答案为：5．【点睛】此题考查了代数式的变形及配方法的应用，关键是掌握完全平方公式并正确变形、计算．三、解答题(2)求代数式226410a b a b −−−+−的最大值．【答案】(1)﹣3(2)当a ＝﹣3，b ＝2时，代数式226410a b a b −−−+−的最大值是3【分析】（1）通过配方可求出完全平方形式，根据平方式的非负性可得结果；（2）把226410a b a b −−−+−配方成完全平方的形式可得结果．（1）解：2x ﹣4x+1＝2(44)3x x −+−＝2(2)3x −−， ∵2(2)0x −≥，∴2241(2)33x x x −+=−−≥−，∴当x ＝2时，这个代数式2x ﹣4x+1的最小值为﹣3．故答案为：﹣3；（2）226410a b a b −−−+− ＝﹣2a ﹣6a ﹣9﹣2b +4b ﹣4+3＝﹣2(3)a +﹣2(2)b −+3， ∵2(3)a +≥0，2(2)b −≥0， ∴﹣2(3)a +0≤，﹣2(2)b −0≤， ∴226410a b a b −−−+−＝﹣2(3)a +﹣2(2)b −+33≤， ∴当a ＝﹣3，b ＝2时，代数式226410a b a b −−−+−的最大值是3．【点睛】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答． 11．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；2(2)x +≥【答案】(1)3(2)7(3)有最大值，最大值为8(4)2【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（4）根据27110x x y −+−=，用x 表示出y ，写出x y +，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求．【详解】（1）解：2(1)3x −+的最小值为3．故答案为：3；（2）21032x x ++222105532x x =++−+2(5)7x =++，2(5)0x +≥，2(5)77x ∴++≥，∴当2(5)0x +=时，2(5)7x ++的值最小，最小值为7，21032x x ∴++的最小值为7；（3）22211125(69)8(3)8333x x x x x −++=−−++=−−+，21(3)03x −−≤，21(3)883x ∴−−+≤，∴代数式21253x x −++有最大值，最大值为8；（4）27110x x y −+−=，2711y x x ∴=−+，22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x ∴+=−++=−+=−+−+=−+，2(3)0x −≥，2(3)22x ∴−+≥，当2(3)0x −=时，2(3)2x −+的值最小，最小值为2，x y ∴+的最小值为2．【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．【问题解决】利用配方法解决下列问题：(1)当x =___________时，代数式221x x −−有最小值，最小值为 ___________．(2)当x 取何值时，代数式22812x x ++有最小值？最小值是多少？【拓展提高】(3)当x ，y 何值时，代数式2254625x xy y x −+++取得最小值，最小值为多少？(4)如图所示的第一个长方形边长分别是25a +、32a +，面积为1S ；如图所示的第二个长方形边长分别是5a 、5a +，面积为2S ，试比较1S 与2S 的大小，并说明理由．【答案】(1)1，2− ；(2)2x =−时，4；(3)3x =−，y =−6，16；(4)12S S >，见解析．【分析】（1）仿照文中所给的配方法的思路解答即可；（2）先提取公因数2，再利用文中所给的配方法的思路解答即可；（3）将2254625x xy y x −+++配方成()()222316x y x −+++，即可解答； （4）求出()22212610=691=31S S a a a a a −=−+−++−+，利用()230a −≥，得到1210＞S S −≥，即12S S ＞． 【详解】（1）解： ()22221=2111=12x x x x x −−−+−−−− 因为()210x −≥，所以2221x x −−≥−，因此，当=1x 时，代数式221x x −−有最小值，最小值是2−．故答案为：1；2−（2）解：()()()22222812=246=24442=22x x x x x x x +++++++++， 因为()220x +≥，所以212428x x ++≥，因此，当=2x −时，代数式22812x x ++有最小值，最小值是4．（3）解：()()222222254625=446916=2316x xy y x x xy y x x y x x −+++−++++−++++因为()220x y −≥，()230x +≥，所以225462516x xy y x −+++≥，因此，当2=x y ，3x =−时，即3x =−，y =−6时，代数式2254625x xy y x −+++有最小值，最小值是16．（4）解：()()21253261910S a a a a =++=++，()2255525S a a a a =+=+， ∴()22212610=691=31S S a a a a a −=−+−++−+， ∵()230a −≥，∴1210＞S S −≥，即12S S ＞．【点睛】本题考查配方法，解题的关键是理解题意，掌握配方法的原则．【答案】(1)见解析(2)()6y x −=(3)当3x =−，y =−6时，2254625x xy y x −+++取得最小值，最小值为16【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式；（2）首先根据配方法把2246130x y x y ++−+=变形为()()22230x y ++−=，再根据偶次方的非负性，得出20x +=，30y −=，解出x 、y 的值，然后将x 、y 的值代入代数式()y x −，计算即可得出结果；（3）首先根据配方法把代数式2254625x xy y x −+++变形为()()222316x y x −+++，再根据偶次方的非负性，得出()()22231616x y x −+++≥，进而得出当20x y −=，30x +=时，2254625x xy y x −+++取得最小值，再进行计算即可得出结果．【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方，249x x −+24449x x =−+−+()225x =−+；第二种形式：选取二次项和常数项配方，249x x −+26964x x x x =++−−()2310x x=+−；或249x x −+ 26964x x x x =−++−()232x x =−+；第三种形式：选取一次项和常数项配方，249x x −+222444999x x x x =−+−+2225339x x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭；（2）解：2246130x y x y ++−+=，配方，得：22446949130x x y y +++−+−−+=， 即()()22230x y ++−=， ∵()220x +≥，()230y −≥，∴20x +=，30y −=，解得：2x =−，3y =，∴()()()326y x −=−⨯−=；（3）解：2254625x xy y x −+++222446916x xy y x x =−+++++()()222316x y x =−+++，∵()()22230x y x −++≥，∴()()22231616x y x −+++≥， 当20x y −=，30x +=时，2254625x xy y x −+++取得最小值，即当3x =−，y =−6时，2254625x xy y x −+++取得最小值，最小值为16． 【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键．。

22.2 降次——解一元二次方程本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，解一元二次方程的算法是《一元二次方程》一章的重点内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节的主要内容是一元二次方程的解法。

这部分知识是对一次方程（组）知识学习的延续和深化，是后续内容学习的基础和工具。

主要学习下列三个内容：1.配方法配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程.根据教材的特点主要设置了直接开平方法解一元二次方程和二次项系数是1的一元二次方程的解法.直接开平方法解一元二次方程比较简单，主要设置了【典例引路】中的例1、例2.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.配方及二次项系数是1的一元二次方程的解法为本节的难点，为此设置了【拓展应用】中的例2，【当堂检测】中的第3，5题，【课时作业】中的第4，5，6，7，8，9，10，12题，【选做题】中的第1，2题，【备选题目】中的第1，2题。

2.公式法此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计【典例引路】的例3、[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。

3.因式分解法利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计【典例引路】的例4，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。

4.整体思想和数感整体思想是数与代数中常用的数学思想，为此设计[拓展应用]的例1，课标虽不要求解含字母系数的方程,为提高数感, 为此设计[备选题目]的问题。

点击一：利用直接开平方法解一元二次方程用此法可解形如c x =2、)0()(2≥=+c c b ax 或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于一些特殊的方程。

九年级数学上册新版华东师大版:21.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标知识与技能理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．过程与方法提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．情感态度与价值观历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型;经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历设置丰富的问题情景,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.重、难点1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？BCAQ P 老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）22p．问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12x ·2x=8x 2=8根据平方根的意义，得x=±即x 1，x 2可以验证，和都是方程12x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．二、探索新知上面我们已经讲了x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±，如果x 换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±即，方程的两根为t 1-12，t 212例1：解方程：x 2+4x+4=1分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材P6练习．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=，达到降次转化之目的．六、布置作业1．教材P16复习巩固1．2．选用作业设计:。