直接开平方解一元二次方程

«21.2.1 直接开平方法»教学设计教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。

教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。

提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程。

重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1：解简单的方程问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3即2t+1=3，2t+1=-3方程的两根为t1=1，t2=--2例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：(2)由已知，得：（x+3）2=2直接开平方，得：x+3=±即x+3=，x+3=-所以，方程的两根x1=-3+，x2=-3-（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材P6练习．学生独立完成，集体订正四、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解五、布置作业。

《用直接开平方法解一元二次方程》教学设计发表时间：2018-10-12T09:42:36.330Z 来源：《知识-力量》5中作者：张文刚[导读] 一、教材简解本节课是九（上）第一章《一元二次方程》的内容。

为一元二次方程解法的起始课，一元二次方程的求解是初中代数中非常重要的一部分，而直接开平方法是一、教材简解本节课是九（上）第一章《一元二次方程》的内容。

为一元二次方程解法的起始课，一元二次方程的求解是初中代数中非常重要的一部分，而直接开平方法是解一元一次方程的基础方法，它看似简单，缺不容忽视，它也是配方法解一元二次方程的基础。

二、（江苏省淮安市淮阴区徐溜镇初级中学）一、教材简解本节课是九（上）第一章《一元二次方程》的内容。

为一元二次方程解法的起始课，一元二次方程的求解是初中代数中非常重要的一部分，而直接开平方法是解一元一次方程的基础方法，它看似简单，缺不容忽视，它也是配方法解一元二次方程的基础。

二、学情分析学生在已经以前学习过了一元一次方程，会求解一元一次方程。

现在再学习解一元二次方程比较容易，学生容易产生大意的心里，认为已经会解一元一次方程，那么一元二次也非常的简单。

所以在教学时应注意。

教学中采用灵活多变的教法激发他们的参与热情，及时给与鼓励，使学生学习兴趣浓厚、持续。

所以教师必须做到兼顾全体，合理设置教学目标，灵活安排教学过程。

三、目标预设1、了解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的一元二次方程的解法——直接开平方法；2、会用直接开平方法解一元二次方程．四、重点、难点1、会用直接开平方法解一元二次方程．2、理解直接开平方法与平方根的定义的关系．五、教学方法个人独立思考和小组合租六、教学准备多媒体课件七、教学流程（一）问题情境如何解方程x2＝2呢？（设计意图：利用平方根的知识解决问题，并过渡到解方程．）（二）新课讲解概念解方程x2＝2．解：x1＝，x2＝．这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．（设计意图：明确什么是直接开平方法．）（三）例题精讲例1解下列方程：（1）x2－4＝0；解，移项，得：X2=4因为x是4的平方根，所以X=±2（2）4x2－1＝0．解，移项，得：4x²=1化系数为1，得：x²=¼因为x是¼的平方根，所以：X=±½通过师生共同分析得出基本步骤：先移项，后用直接开平方．即：（1）把常数项移到方程右边；（2）利用平方根的意义解方程．（设计意图：进一步明确直接开平方法解方程的基本步骤，熟练应用直接开平方法．）例2解方程：（x＋1）2＝2．解x＋1=±X=± -1所以 x1＝ -1 x2＝ -1只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解（设计意图：要求学生有整体思想，这种认识在之前的学习中是比较常见的．）（四）总结反思1．能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？2．直接开平方法解方程的一般步骤是什么？如果一个一元二次方程具有（x＋h）2＝k（h、k是常数，k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解．首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解．（设计意图：及时总结，进一步熟练应用直接开平方法）（五）课堂练习1、解下列方程：（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）12y2－25＝0；（4）4x2+16＝02解下列方程（1）（x＋1）2－4＝0；（2）4（2－x）2－9＝0；（3）（设计意图：检查学生对于新的知识掌握的情况，对课堂的问题及时反馈，使学生熟练掌握新知识．）（六）课堂小结1．用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；2．感受转化的数学思想．（设计意图：通过总结和课后作业，巩固所学知识、技能、方法）。

一元二次方程的解法——直接开平方法/八
年级暑期 学习（二）
2.举例

3.拓展
（1）形如ax²=b的一元二次方程

举例
（2）形如a(x+b)²=c的一元二次方程
举例
像上面几个例子那样，将方程的一边化为含未知数的一
次式（单项式或多项式）的平方，另一边为非负数。然后根
据平方根的定义，求出方程的解的方法就叫做直接开平方
法。
二、练习
用直接开平方法解方程
(1) 4x²-9=0
(2) (x-3)²=0
(3) 2(x+2)²=5
思考：如何用直接开平方法解方程x²-6x+9=0(提示：此方
程与练习2中的方程有何联系？)

21.2.1 直接开平方法解一元二次方程教学目标1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．【课前预习】导学过程阅读教材第30页至第31页的部分，完成以下问题一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？计算：用直接开平方法解下列方程：（1）x2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x2+6x+9=2（4）4m2-9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x-1)2-9=108解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．归纳：如果方程能化成的形式，那么可得【课堂活动】活动1、预习反馈活动2、例习题分析例1用直接开平方法解下列方程：（1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2-24n+16=11练习：（1）2x2-8=0 （2）9x2-5=3 （3）(x+6)2-9=0【课堂练习】：活动3、知识运用1、用直接开平方法解下列方程：（1）3(x-1)2-6=0 （2）x2-4x+4=5 （3）9x2+6x+1=4 （4）36x2-1=0 （5）4x2=81 （6）(x+5)2=25（7）x2+2x+1=4归纳小结应用直接开平方法解形如，那么可得达到降次转化之目的．【课后巩固】一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13±223B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23+53，x2=253-D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b为实数，满足34a++b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．4．用直接开平方法解下列方程：（1）（2-x）2-81＝0 （2）2（1-x）2-18＝0 （3）（2-x）2＝45．解关于x的方程（x+m）2=n．6、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？7．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？。

1.2.1 一元二次方程的解法-直接开平方法考点一、直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.题型1：直接开平方法解一元二次方程1．一元二次方程2250x -=的解为（ ）A ．125x x ==B ．15=x ，25x =-C ．125x x ==-D ．1225x x ==【答案】B 【解析】【分析】先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．解：2250x -=，移项得：2=25x ，开平方得：15=x ，25x =﹣，故选B ．本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．2．若()222a =-，则a 是（ ）A ．-2B ．2C ．-2或2D ．4【答案】C 【解析】【分析】先计算2(2)-，再用直接开平方法解一元二次方程即可．()2224a =-=Q 2a \=±故选C 【点睛】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．3．方程x 2- =0的根为_______．【答案】x=± 【解析】【分析】，得出x 2=8，利用直接开平方法即可求解．解： x 2- =0，∴x 2=8，∴x =±故答案为：x =±．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤．4．有关方程290x +=的解说法正确的是（ ）A ．有两不等实数根3和3-B ．有两个相等的实数根3C ．有两个相等的实数根3-D ．无实数根【答案】D【分析】利用直接开平方法求解即可．∵290x +=，∴290x =-<，∴该方程无实数解．故选：D 【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．5．若方程()20ax b ab =>的两个根分别是4m -与38m -，则ba=_____．【答案】1【解析】【分析】利用直接开平方法得到x =，得到方程的两个根互为相反数，所以4380m m -+-=，解得3m =，则方程的两个根分别是1与1-1=，然后两边平方得到b a 的值．解：∵()20ax b ab =>，∴2b x a=，∴x =，∴方程的两个根互为相反数，∵方程2ax b =的两个根分别是4m -与38m -，∴4380m m -+-=，解得3m =，∴4341m -=-=-，383381m -=´-=，∴一元二次方程ax 2＝b 的两个根分别是1与1-，1=，∴1ba=．故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如2x p =或()()20nx m p p +=³的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成2x p =的形式，那么可得x =()()20nx m p p +=³的形式，那么nx m +=6．解方程：（1）23270x -=； （2）2(5)360x --=；（3）21(2)62x -=； （4）()()4490+--=y y ．【答案】（1）123,3x x ==-；（2）1211,1x x ==-；（3）122,2x x ==-；（4）125,5y y ==-．【解析】【分析】（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．（1）23270x -=，2327x =，29x =，3x =±，即123,3x x ==-；（2）2(5)360x --=，2(5)36x -=，56x -=或56x -=-，11x =或1x =-，即1211,1x x ==-；（3）21(2)62x -=，2(2)12x -=，2x -=2x -=-，2x =或2x =-+，即122,2x x ==-；（4）()()4490+--=y y ，21690y --=，225y =，5y =±，即125,5y y ==-．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．7．计算：4（3x +1）2﹣1＝0、3274y ﹣2＝0的结果分别为（ ）A ．x ＝±12，y ＝±23B ．x ＝±12，y ＝23C ．x ＝﹣16，y ＝23D ．x ＝﹣16或﹣12，y ＝23【答案】D 【解析】【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可．解：由4（3x +1）2﹣1＝0得（3x +1）2＝14，所以3x +1＝±12，解得x ＝﹣16或x ＝﹣12，由3274y ﹣2＝0得y 3＝827，所以y ＝23，所以x ＝﹣16或﹣12，y ＝23．故选：D ．【点睛】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．82x = ）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x ==D ．12x x ==【答案】A 【解析】【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．2x =(23x =，利用直接开方法得：x解得120,x x ==故选：A ．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )A ．230x =－B ．2(14)0x =－－C ．220x =＋D ．22()12()x =－－【答案】C 【解析】【分析】方程整理后，判断即可得到结果230x =－移项得23x =，可用直接开平方法求解；2(10)4x -=－移项得2(14)x =－，可用直接开平方法求解；22()(12)4x ==－－，可用直接开平方法求解．故选C.【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键10．方程y 2＝-a 有实数根的条件是（ ）A ．a ≤0B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数【答案】A 【解析】【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a ≥0，再进行整理即可．解：∵方程y 2＝﹣a 有实数根，∴﹣a ≥0（平方具有非负性），∴a ≤0；故选：A ．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a ≥0．11．有下列方程：①x 2-2x=0；②9x 2-25=0；③(2x-1)2=1；④21(x 3)273+=．其中能用直接开平方法做的是( )A ．①②③B ．②③C ．②③④D ．①②③④【答案】C 【解析】【分析】利用因式分解法与直接开平方法判断即可得到结果．①x 2-2x=0，因式分解法；②9x 2-25=0，直接开平方法；③(2x-1)2=1，直接开平方法；④21(x 3)273+=，直接开平方法，则能用直接开平方法做的是②③④.故选:C.【点睛】考查直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键.12．方程 x 2=（x ﹣1）0 的解为（ ）A ．x=-1B ．x=1C ．x=±1D ．x=0【答案】A 【解析】【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x 2=1，确定x 的值即可.∵(x-1)0有意义，∴x-1≠0，即x≠1，∵x 2=（x ﹣1）0∴x 2=1，即x=±1∴x=-1.故选A.【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.13．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（ ）.A ．0m >B ．7m …C ．7m >D ．任意实数【答案】B 【解析】【分析】根据70-³m 时方程有实数解，可求出m 的取值范围．由题意可知70-³m 时方程有实数解，解不等式得7m …，故选B ．【点睛】形如()2+m =a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．14．已知方程()200ax c a +=¹有实数根，则a 与c 的关系是（ ）.A ．0c =B ．0c =或a 、c 异号C ．0c =或a 、c 同号D ．c 是a 的整数倍【答案】B 【解析】【分析】将原方程化为2a=c-x 的形式，根据2x 0³可判断出正确答案．原方程可化为2a=c -x ，∵2x 0³，∴c0a -³时方程才有实数解．当c=0时，20=x 有实数根；当a 、c 异号时，c0a -³，方程有实数解．故选B ．【点睛】形如2=a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．题型3：直接开平方法解一元二次方程的复合型15．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C 【解析】【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．16．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（ ）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=-C ．121,73x x ==D ．1217,3x x =-=【答案】B 【解析】【分析】移项后利用直接开平方法解答即可．解：移项，得224(21)25(1)x x -=+，两边直接开平方，得2(21)5(1)x x -=±+，即2(21)5(1)x x -=+或2(21)5(1)x x -=-+，解得：17x =-，213x =-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．17．解方程：（1）21(2)602y +-=；（2）22(4)(52)x x -=-．【答案】（1）122,2y y =-=--；（2）121,3x x ==．【解析】【分析】（1）原方程先整理，再利用直接开平方法解答即可；（2）利用直接开平方法求解即可．解：（1）21(2)602y +-=，整理，得2(2)12y +=．∴2y +=±即122,2y y ==-；（2）22(4)(52)x x -=-Q ，4(52)x x \-=±-，∴452x x -=-或()452x x -=--，解得：121,3x x ==．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．题型3：一元二次方程的根的概念深入理解18．一元二次方程2251440t -=的根与249(1)25x -=的根（ ）A ．都相等B ．都不相等C ．有一个根相等D ．无法确定【答案】C【解析】【分析】运用直接开平方法分别求出两个方程的解，然后再进行判断即可得解.2251440t -=，214425t =，∴125t =±；249(1)25x -=，715x -=±，∴1125x =，225x =-；∴两个方程有一个相等的根125.故选C.【点睛】此题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程和确定方程的解，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．题型4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式19．关于x 的方程(x+a)2 =b(b>0)的根是（ ）A ．-aB ．C ．当b≥0时，D ．当a≥0时，【答案】A【解析】【分析】由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得．∵b>0，∴两边直接开平方,得：∴-a ，故选A【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则20．形如2()(0)ax b p a +=¹的方程，下列说法错误的是（ ）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =【答案】D【解析】【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．解：A 、当0p >时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B 、当0p =时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C 、当0p <时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D 、当0p ³时，原方程的根为x =故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．题型5：直接开平方法解一元二次方程-降次21．方程4160x -=的根的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】移项得416x ==24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题．解：∵4160x -=∴416x ==24，∴x=±2，∴方程4160x -=的根是x=±2.故选B.【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次．题型6：直接开平方法解一元二次方程-换元法22．若()222225a b +-=，则22a b +的值为( )A ．7B ．-3C ．7或-3D ．21【答案】A【解析】【分析】把()222225a b +-=两边开方得到a 2+b 2-2=±5，然后根据非负数的性质确定22a b +的值．解：∵()222225a b +-=，∴a 2+b 2-2=±5，∴a 2+b 2=7或a 2+b 2=-3（舍去），即a 2+b 2的值为7．故选A ．【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．题型7：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充23．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”，使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()21232422,1,(1),(1)1i i i i i i i i i i ==-=×=-=-==-=，从而对于任意正整数n ，我们可以得到()41444n n n i i i i i +=×=×=，同理可得424341,,1n n n i i i i ++=-=-=．那么234202*********i i i i i i ++++++L 的值为________．【答案】1-【解析】【分析】根据()41444nn n i i i i i +=×=×=，424341,,1n n n i i i i ++=-=-=，化简各式即可求解．解：依题意有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-=×=-=-==-=，∵2022÷4＝505…2，∴2022i =21i =-∴234202*********i i i i i i ++++++L ＝−1−i ＋1＋i ＋…＋1＋i −1＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．一、单选题1．方程()2690x +-=的两个根是（ ）A ．13x =，29x =B ．13x =-，29x =C ．13x =，29x =-D ．13x =-，29x =-【答案】D【分析】根据直接开平方法求解即可．【解析】解：()2690x +-=，()269x +=，63x \+=±，123,9x x \=-=-，故选：D ．A ．0k ³B ．0h ³C ．0hk >D ．0k <【答案】A 【分析】根据平方的非负性即可求解．【解析】解：()20x h +³Q ，0k \³．故选：A ．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解直接开平方法的条件是解题的关键．5．已知()22230aa x x ---+=是关于x 的一元二次方程，那么a 的值为（ ）A ．2±B ．2C ．2-D ．以上选项都不对【答案】C【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【解析】解：∵()22230aa x x ---+=是关于x 的一元二次方程，∴222,20a a -=-¹，解得2a =-，故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟记定义是解题的关键．6．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【解析】解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：【解析】∵根据题意可得：420420a b c a b c ++=ìí-+=î①②，①－②＝40b =，得0b =，①＋②＝820a c +=，∴解得：0b =，4c a =-．将a 、b 、c 代入原方程()200ax bx c a ++=¹可得，∵240ax bx a +-=，240ax a -=24ax a=∴2x =±故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，联立关于a 、b 、c 的方程组，由方程组推出a 、b 、c 的数量关系是解题关键．二、填空题11．方程240x -=的根是______．【答案】12x =-，22x =【分析】根据直接开平方法求解即可．【解析】解：240x -=，24x =，∴2x =±，即12x =-，22x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．12．方程()219x +=的根是_____．【答案】1224x x ==-，【分析】两边开方，然后解关于x 的一元一次方程．【解析】解：由原方程，得13x +=±．＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．两边开平方，得63x +=第二步所以3x =- 第三步“小华的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．【答案】(1)-1；(2)二 ；正确的解答过程，见解析【分析】（1）利用平方差公式展开，合并同类项即可；（2）根据直接开平方法求解即可．【解析】（1）解：2(1)(1)+--m m m 221m m =--=-1；（2）解：第二步开始出现错误；正确解答过程：移项，得（x +6）2=9，两边开平方，得x +6=3或x +6=-3，解得x 1=-3，x 2=-9，故答案为：二．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．27．嘉嘉和琪琪用图中的A 、B 、C 、D 四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按A B C D ®®®的顺序运算，则琪琪列式计算得：222[(23)(3)2](152)(17)289+´--=--=-=．（1）嘉嘉说-2，对-2按C A D B ®®®的顺序运算，请列式并计算结果；。

直接开平方法解一元二次方程的依据直接开平方法是一种通过对一元二次方程进行变形，把含平方项和常数项的部分变成完全平方的形式来求解方程的方法。

其依据可以从以下两个方面解释：一、方程解的性质对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，其解可表示为：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$当 $b^2-4ac>0$ 时，方程有两个不同的实数解；当 $b^2-4ac=0$ 时，方程有一个二重实数解；当 $b^2-4ac<0$ 时，方程有两个共轭的虚数解。

因此，我们可以得出如果一元二次方程的判别式 $b^2-4ac\geq0$，那么方程的解一定是实数。

而直接开平方法能够将原方程变形为一个完全平方，因此得到的解一定是实数。

二、完全平方公式对于任意实数 $a$ 和 $b$，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。

因此，如果我们能够把一元二次方程$ax^2+bx+c=0$ 中的 $bx$ 部分表示为 $2\sqrt{a}\sqrt{c}\cdotk$ 的形式，其中 $k$ 是某个实数，那么可以通过完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 将方程变形为：$$(\sqrt{a}x+\sqrt{c}k)^2-ac\cdot k^2=0$$这个新方程中，$bx$ 部分已经变成了 $2\sqrt{a}\sqrt{c}\cdot k$ 的形式，而 $c$ 部分已经变成了完全平方 $\sqrt{c}\cdot k$ 的形式。

因此，我们可以直接得到方程的解：$$\sqrt{a}x+\sqrt{c}k=\pm\sqrt{ac}\qquad\Rightarrow\qquad x=\frac{\pm\sqrt{ac}-\sqrt{c}\cdot k}{\sqrt{a}}$$其中，$k$ 的取值需要满足 $\sqrt{a}x+\sqrt{c}k$ 的平方等于$ac\cdot k^2$，即 $(\sqrt{a}x+\sqrt{c}k)^2=ac\cdot k^2$，进而可以确定 $k$ 的取值。

一元二次方程的解法直接开平方法
直接开平方法是求解一元二次方程的常用方法之一。

它的基本思想是通过将方程化为完全平方形式，然后直接开平方根得到方程的解。

假设一元二次方程为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a≠0。

一元二次方程的直接开平方法如下：
1. 将方程化为完全平方形式：将方程左右两边同时加上c，并将方程左边的二次项乘以2/a，得到(ax^2 + bx + c + c) +
2ax^2/a = 0。

2. 整理方程，得到(2ax^2 + bx + (b^2-4ac))/a = 0。

3. 化简方程，得到2ax^2 + bx + (b^2-4ac) = 0。

4. 利用二次方程的求根公式，计算方程的两个根：x = (-b ±√(b^2-4ac))/(2a)。

根据方程b^2-4ac的取值情况，可以得到一元二次方程的根的不同情况：
1. 当b^2-4ac > 0时，方程有两个不相等的实根。

2. 当b^2-4ac = 0时，方程有两个相等的实根。

3. 当b^2-4ac < 0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。

“直接开平方法解一元二次方程”说课一、教学分析“直接开平方法解一元二次方程”是人教版九年级上册，第二十二章《一元二次方程》第二单元解一元二次方程的第一节，本节课为一元二次方程解法的起始课。

一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却是不容忽视的一节重要内容。

首先“直接开平方解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的前提和基础；其次，在一元二次不等式的求解及求二次函数与 x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法；同时在“直接开平方法解一元二次方程”的学习中还突出体现了“换元、转化、类比、分类”等重要的数学思想方法。

因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。

二、标准分析《标准》中要求“理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程”，“直接开平方法解一元二次方程”是上述各种解法的前提和基础方法，所以本节课在教学中重视用“直接开平方法解一元二次方程”的准确性和熟练性。

三、教材对比分析（ 1）人教版教材比较注重用实际问题的引入，让学生在解决问题的过程中体会解一元二次方程的实质，得到“直接开平方法”。

（ 2）北师大版教材没有提供实际问题背景，而是直接给出三个问题，让学生观察、发现、感受问题间的关系。

（ 3）华师大版教材也没有提供实际问题背景，而是直接由解方程得到了直接开平方法；值得一提的是，只有华师大版教材明确给出了“直接开平方法”的概念，并且后面紧接着是“因式分解法”的介绍，而非“配方法”。

四、重点分析教学重点：较熟练的运用直接开平方法求一元二次方程的解。

教学难点：探究关于 x的方程的解的情况。

突破方法：预先设计好探究问题的梯度，层层铺垫，让学生在教师的启发、引导下，通过自主探究、小组合作学习的方式，帮助学生体会换元与转化的数学思想，同时更加深入而准确的理解直接开平方法适用的一元二次方程 x2=a (a≥0)的形式。

直接开平方法解一元二次方程步骤以直接开平方法解一元二次方程步骤为标题，写一篇文章。

一元二次方程是数学中常见的方程形式，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数，且a ≠ 0。

解一元二次方程有多种方法，其中一种常用的方法是直接开平方法。

下面将详细介绍直接开平方法解一元二次方程的步骤。

步骤一：将一元二次方程化简为完全平方形式我们要将一元二次方程化简为完全平方形式，即将方程的左侧转化为一个完全平方的形式。

具体的操作是将方程的左侧进行配方，使其变为一个平方的形式。

例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其化简为(x + 3)^2 = 0。

步骤二：应用开平方根的性质求解方程在得到完全平方形式后，我们可以直接应用开平方根的性质来求解方程。

对于完全平方形式的方程(x + a)^2 = 0，我们可以得到x + a = 0，即x = -a。

步骤三：求解方程的根根据步骤二的结果，我们可以得到方程的根x = -a。

将方程的完全平方形式还原为一元二次方程，并将根代入，即可求解方程的根。

例如，对于方程(x + 3)^2 = 0，将根x = -3代入，我们可以得到(-3 + 3)^2 = 0，即0 = 0，方程的根为x = -3。

通过以上步骤，我们可以利用直接开平方法解一元二次方程。

这种方法的优点是简单直接，适用于一些特殊的一元二次方程。

但需要注意的是，这种方法只适用于完全平方形式的方程，对于一般的一元二次方程需要采用其他方法进行求解。

除了直接开平方法，解一元二次方程还有其他常用的方法，如配方法、因式分解法、公式法等。

这些方法各有特点，适用于不同的方程情况。

在实际应用中，我们可以根据方程的特点选择最合适的方法进行求解。

总结起来，直接开平方法是解一元二次方程的一种常用方法。

它的步骤包括将方程化简为完全平方形式，应用开平方根的性质求解方程，最后求解方程的根。

通过这种方法，我们可以简单直接地求解一些特殊的一元二次方程。

m (m ≥0)n ）2=m( m 学生经历知识探索的过程，体会用直接开平方法解一元二次方程的过程中的转化思想和分类讨论的思想，提高学生的观察分析能力和运算能力。

2
)(0)n m m 的一元二次方程都可以用
220y （ ）35x ( ) 26x ( )
2
8)144( ) 222)325x x （）2
350x ( ) ⑧240a ( )
知方程1(1)250m m x x 是一元二次方程，_______
35x ，40， 你认为哪几个方程可以根据曾经学
过的知识求出解来？请说说你的看法。

经过学生的观察可以发现方程2
40
a 可以用平方根的定义来解出方程的根。

40可以转化为4。

方程的解就是4的平
对于方程2
(8)144m 。

可以把 8m 看做一个整体，
的平方根，从而可以求出这两个方程的解。

（学生进行分析，老师适当补充） 给出规范的解题格式： 40
解：方程化为：24a ，
直接开平方得：2a
2 2
2x 2
8)144
解：直接开平方得： 812m
812得：4m
812得：16m
引出直接开平方法定义： 直接开平方法：凡是形如2x =m(m ≥0)方的方法来求它的解，这种解法叫直接开平方法。

学并论 师生操作。