2.1 考察本章所列出的几种典型（一维Logistic Map 、二维Henon Map 、Lorenz 系统、Rossler 系统）非线性动力学系统通向混沌途经。
要求：
(1). 进行数值求解，考察求解变量非线性时间序列曲线，并绘制出2D 及3D 解集，总结吸引子特征；
(2). 考察初值敏感性，即改变初值后的解轨线敏感变化情况；
(3). 考察2D 往返图，考察混沌系统吸引子形态。
2.1.1 Logistic Map
Logistic 的方程表达式为：
1(1)n n n x rx x +=-
现在x 的变化范围是[0,1], 参量r 通常在0到4取值。
取x 的初值为0.5，r=3时进行方程的迭代。
迭代结果以及对应的递归图如图1所示。
X 序列图横坐标是迭代次数，纵坐标是n 所对应的x 值。
对应的Recurrence Plot 横坐标是n X ，纵坐标是1+n X
图1 r 取3 , 3.2 , 3.45 , 3.8时对应的序列
从图1中可以看出随着参数r 的变化，x 值的吸引子由一个变为两个，两个变为
四个。
不断的变化。
那么是否logisticm Map就是随着r的变化逐渐进入一种无序的随机状态呢？再来看看不同的r值对应x吸引子的变化情况。
图2 Logstic混沌模型倍周期分叉图
图2是利用matlab绘制的Logistic map图。
横坐标是参变量r，纵坐标是对应的吸引子。
从图2可以看出系统是周期分叉进入混沌系统。
当r值大于3.7左右后系统进入混沌状态。
在混沌区并非“漆黑一片”，将某些周期窗口局部放大，竟然可见模样相似的倍周期分岔结构，如此继续，可得无穷嵌套的自相似结构，章法井然，显然是无序中的有序。
如图3，图4所示。
图3 混沌区中的窗口
图4 放大坐标得到的自相似图形
初值变化对Logstic 系统的影响。
如下图所示，r=3时，系统没有进入混沌状态，改变初值，x 值收敛到定值。
初值的变化对系统最终的状态没有多大的影响。
r=3.8时系统进入混沌状态，初值的微小变化都会引起最终结果的巨大变化。
r=3.8时，整个系统对初值的变化很敏感。
12003,0.5,0.50001a x x ===
12003.8,0.5,0.50001a x x ===
2.1.2.Lorenz Model
Lorenz方程为：
() dx dt y x dy dt rx y xz dz dt bz xy
δ
=-
=--
=-+
当取参数δ=10，b=8/3，初值点取为（1 1 1），不断改变r值可以看到混沌吸引子的形成过程如图1所示
图1 改变r值得到的混沌吸引子的形成过程
图2 从不同角度得到的混沌吸引子图
r=28时，系统进入混沌状态，从不同的角度观察吸引子轨迹可以得到不同的图像如图2所示。
图3可以看出，初值的微小变化引起将引起系统的巨大变化如图3所示。
图3 改变初值x时间序列的变化
2.1.3、Rossler方程
Rossler方程表达式为：
() x y z
y x ay
z b xz cz =-+
=+
=+-
a=0.2，b=0.2，c取2.5, 3.5 ,4, 4.5时的时间序列以及2D，3D图如图1-3所示。
从图中可以看出Rossler方程是周期倍分叉通向混沌的。
图1 不同c值对应的Rossler方程的x时间序列图
图2不同c值对应的Rossler方程的2D图
图3不同c值对应的Rossler方程的3D图
由以上所讨论的可以看出，混沌为无固定周期的循环性行为，即非周期的有序性，严格地说是非周期的具有渐进的自相似有序性的现象。
混沌具有初值敏感性，自相似性以及无周期的特性。
2.2. 对Rossler系统，取a=0.1, b=0.1及c=4、6、8.5、8.7、9、12.8、13、18，要求：
(1). 观察解轨线从周期变化到混沌、混沌变化到周期过程；
(2). 观察变量x与c的分岔变化规律。
(1)a=0.1，b=0.1及c=4、6、8.5、8.7、9、12.8、13、18
(2) x 与c 的分岔变化规律：
2.3. Duffing 方程30.3cos1.2x x x x F t +-+=，计算给出F 取不同值（依次为0.20、0.27、0.28、0.2867、0.32、0.365、0.40、0.645、0.85）时的x ~t 曲线及（,x x ）相平面上轨线。
如下图所示左图为x ~t 曲线，右图为（,x x ）相平面上轨线
3.1. 已知分形函数如下：
(2)1cos()()n D n n b t w t b +∞
-=-∞⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭∑ 式中，D 为分形维数，b 为常数。
取b =2及D =1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，
1.8和1.9，分别产生不同维数时的分形时间序列。
要求：(1). 根据如上产生的分形时间序列，由R/S 分析法计算不同维数时的Hurst 标度估计值，并与所设定的分形维数进行相关比较，评价R/S 分析法提取标度的效果；
(2). 在如上式分形时间序列基础上叠加噪声，即产生如下所示的含有噪声的分形时间序列：()i i i L x t ησε=+，式中σ为原始时间序列标准差，i ε为高斯随机变量(满足均值为0及方差为1的独立分布)，η为噪声强度，
可分别取η=1,3,5,7。
在上述条件下，重新考察R/S 分析法计算的不同维数的Hurst 标度估计值，并讨论之。
(1)取b=2及D=1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6、1.7、1.8、1.9，分别产生不同维数 时的分形时间序列。
(2)r/s法计算各序列分形维数：
下图为无噪声时R/S算法标度H与维数D的关系下图为在不同噪声强度时，R/S算法标度与维数对应关系
用r/s 法计算的分形维数与实际维数相差较大；加噪后，信号被噪声淹没，所得的维数已严重失真。
实际上，r/s 法对周期和高斯噪声仅有有限的抗噪能力，对随机和脉冲噪声不具有抗噪性
4.1. 考察如下时间序列的递归图结构：
10212 (4,=0.808, =100)(3) (200)4,3,0.25
s logistic series a x n s sin t n s s s m πτα==⎧⎪==⎪⎨=+⎪⎪===⎩点点 递归图如下所示：。
