北师大版数学七升八下

北师大数学暑假预科七升八2017.7目录第一讲无理数与平方根 (2)第二讲立方根 (6)第三讲实数 (10)第四讲实数的运算 (14)第五讲探索勾股定理 (18)第六讲勾股定理逆应用 (22)第七讲最短距离 (26)第八讲直角坐标系 (30)第九讲坐标系提升 (34)第十讲函数基本知识 (39)第十一讲一次函数与正比例函数 (44)第十二讲一次函数图形应用 (49)第十三讲二元一次方程概念与求解 (54)第十四讲二元一次方程组应用题 (59)第十五讲二元一次方程与一次函数关系 (64)第十六讲数据分析 (69)第十七讲证明（一）基本知识 (74)第十八讲三角形内角和 (80)第一讲 无理数与平方根一、【基础知识精讲】1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。

2. 平方根: 如果x 2＝a （a≥0），那么x 叫做a 的平方根.3. 平方根的表示方法: ① 当a>0时，a 的平方根记为±a ； ② 当a ＝0时，a 的平方根是a ，即0＝0；③ 当a<0时，a 没有平方根.4. 平方根的性质: ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0有一个平方根，它就是0本身；③负数没有平方根.5. 算术平方根: ①正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，②0的算术平方根是0.6. 算术平方根的性质: 非负数的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，a ≥0.7. (1) (a )2＝a ，(a≥0) (2) 00.........(0) 0a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩二、【例题精讲】例1、判断下列说法是否正确：① ±6的平方根是36；( ) ② 1的平方根是1；( )③ －9的平方根是±3；( ) ④ 19361±=； ( )⑤ 9是2)9(-的算术平方根；( ) ⑥ |－16|的平方根是±4；()例2、求下列各数的平方根和算术平方根：（1）169； （2）22514； （3）10－2；例3、填空题(1)1214的平方根是_________； (2) (－41)2的算术平方根是_________；(3) 9-2的平方根是_________； (4) 若｜x －4｜+y x 2=0, 那么x=__, y=__.例4、求下列各式中的x:（1）92x ＝34； （2）（3x －1）2＝25三、【同步练习】1．填空题（1）0.16的平方根是__________，0.16的平方是_________.(2）若17是m 的一个平方根，则m 的另一个平方根是_____.（3）9的平方根是_____，81的算术平方根是_____.2．求下列各式中的x:（1）49（x 2＋1）＝50； （2）（3x －1）2＝（－5）2．3．求下列各式的值：（1）225)12(+-； （2）2)7(-；三、【拓展练习】一.填空题1. 若22(5),5a b =-=-，则a b +的所有可能值为 ________.2. 10b +=，则______________.a b +=3. 下列说法：（1）任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）2a 的算术平方根是a ，（4）2(4)π-的算术平方根是4π-，（5）算术平方根不可能是负数，正确的个数有____________个。

2024年北师大版数学七升八暑假作业温故知新五（基础复习练+预习提前练）基础知识复习9.探索直线平行的条件考点1 认识同位角、内错角、同旁内角1. 如图，第1题图（1）和是直线和被直线所截而成的角；（2）能用图中数字表示的的同位角是；（3）图中与是同旁内角的角有个.2. 如图，的同位角是，的同位角是，的内错角是，的同旁内角是.第2题图3. 如图所示，第3题图（1）和是直线、被所截得的角;（2）和是直线,被所截得的内错角;（3）和是直线,被所截而成的同旁内角;（4）和是直线,被所截得的内错角.考点2 平行线的判定4. 已知：如图，，，判断直线.下面是嘉琪同学的解题过程，请在括号中注明依据，在横线上补全步骤.解：（），（），（等量代换）.又（已知），，（）.5. 已知：如图，，平分,试说明的理由.6. 如图，点，，，在同一条直线上，.（1）若，，求的度数；（2）若，求证：.7. 如图，直线,交于点，，分别平分和，已知，且.（1）求的度数；（2）试说明的理由.10.平行线的性质考点1 综合运用平行线的性质与判定进行计算或说理1. 如图，直线，相交于点，且，.（1）若，求的度数；（2）若，求的度数；（3）像（1）（2）中的，称为四边形的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由.2. 如图，直线，平分且，，求的度数.3. 如图，，.（1）试说明：；（2）若是的平分线，，求的度数.考点2 利用平行线的性质或判定解决实际问题4. 如图，图1是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图2和图3，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现：（1）在图2所示的图形中，若，，则；（2）在图3中，若，，则；（3）有同学在图2和图3的基础上，画出了图4所示的图形，其中，请判断，，之间的数量关系，并说明理由.5. 数学活动课上，老师先在黑板上画出两条直线，再将三角板,与直线相交于点放在黑板上，转动三角板得到下面三个不同位置的图形.（1）如图1，若点在直线上，，则；（2）如图2，若点在直线的下方且在直线的上方，与有怎样的关系？写出结论，并给出理由；（3）如图3，若点在直线的下方，与之间有怎样的关系？写出结论，并给出理由.新课预习5.平方根知识梳理1. 算术平方根一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的，记作，读作“根号”.特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即.2. 平方根一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的（也叫）.正数有平方根，一个是的算术平方根，另一个是，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作，读作“正、负根号”.只有一个平方根，是它本身；没有平方根.3. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫做.其中叫做被.跟踪练习知识点1 算术平方根和平方根概念及计算1. 64的平方根是（）A. B. 4 C. D. 82. 0.09的算术平方根是（）A. 0.9B.C. 0.3D.3. 36的算术平方根是.4. 的平方根是.知识点2 算术平方根、平方根的应用5. 已知长方形的长是宽的2倍，面积为8，则长方形的宽为.6. 已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，则这个长方形的周长为.知识点3 利用平方根的性质求解7. 已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根.8. 已知，.（1）已知的算术平方根为3，求的值；（2）如果一个正数的平方根分别为，，求这个正数.9. 已知实数，满足.（1）求，的值；（2）求的平方根.10. 综合探究：（1）完成下列填空.①，②，③，④，⑤，⑥;（2）根据计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来：.（3）利用你总结的规律，计算：①若，则；②.11. 喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9这三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6.（1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，;（填“是”或者“不是”）（2）请说明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根;（3）已知9，，25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值.答案19.探索直线平行的条件考点1 认识同位角、内错角、同旁内角1．（1）；；；内错（2）（3）32．；和；和；3．（1）；；；同位（2）；（3）；（4）；考点2 平行线的判定4．已知；对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行5．解：平分，，，，.6．（1）解：，，.，,.（2）证明：，，，.，，.7．（1）解：，分别平分和，，.,.，，.，，，，，.（2），，，.10.平行线的性质考点1 综合运用平行线的性质与判定进行计算或说理1．（1）解：，,.（2）,.，,.,.（3）相等，理由如下:，,，.,.2．解:，，.，,.平分，,.3．（1）解：，.,，.（2）且，.是的平分线，,,.考点2 利用平行线的性质或判定解决实际问题4．（1）（2）（3）解：如图，过点作,,,,,,,,即.5．（1）（2）解：与的关系：.理由：如图1,过点作,,.,,,,.（3）.理由：如图2,设与直线交于点，与直线交于点，,则,,,.答案25.平方根知识梳理1．算术平方根2．平方根；二次方根；两个；0；负数3．开平方；开方数跟踪练习知识点1 算术平方根和平方根概念及计算1．C2．C3．64．知识点2 算术平方根、平方根的应用5．26．24知识点3 利用平方根的性质求解7．解：的平方根是，，解得.的算术平方根是4，，解得，，的平方根是.8．（1）解：的算术平方根为3，，即，.（2）根据题意得，即，，，这个正数为.9．（1）解：，，，，.（2），的平方根是.10．（1）① 3② 0.5③ 6④ 0⑤⑥（2）不一定等于，当时，；当时，（3）①②11．（1）不是；（2）解：，，，，18，8这三个数是“和谐组合”，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；（3）分三种情况：①当时，，解得（舍去）.②当时，，解得（不是整数，舍去）.③当时，,解得.综上所述，的值为81.。

北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升-专题二几何计算在七年级下学期，学习的几何知识点主要有相交线与平行线、三角形，因此几何计算中以角度的计算为主，也会与角平分线、高线、内角和定理等知识点相结合，有些题目的难度较大，可能会作为压轴题出现在考试中.类型一与平行线有关的几何计算1. 如图所示，AD//BC，∠1=78∘，∠2=40∘，求∠ADC的度数.2. 如图，EF//AD，∠1=∠2，∠BAC=70∘,求∠AGD的度数.3.如图所示，直线a//b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60∘，求∠2的度数.4. 如图，CD平分∠ACB，DE//BC，∠AED=80∘，求∠EDC的度数.5. 请解答下列各题：（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等.如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射,此时∠1=∠2，∠3=∠4.①由条件可知：∠1=∠3，依据是;∠2=∠4，依据是.②反射光线BC与EF平行，依据是.（2）解决问题：如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b 射出的光线n平行于m，且∠1=42∘，则∠2=,∠3=.类型二与三角形有关的几何计算6. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD,CE是腰上的高，交于点O.（1）求证：OB=OC;（2）若∠ABC=65∘，求∠COD的度数.7. 如图，在△ABC中，AB=BC，AB的垂直平分线DE分别交AB,BC于点D,E.（1）若∠C=72∘，求∠B,∠1的度数；（2）若BD=6，AC=7，求△AEC的周长.8. 如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.（1）若AB=10cm，求△CMN的周长；（2） 若∠MFN =65∘ ，则∠MCN 的度数为 ∘ .9. 综合与探究（1） 如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A ，∠B ，∠C ，∠D 四个角的数量关系是 ；（2） 如图2，若∠BCD ，∠ADE 的平分线CP ，DP 交于点P ，则∠P 与∠A ，∠B 的数量关系为∠P = ；（3） 如图3，CM ，DN 分别平分∠BCD ，∠ADE ，当∠A +∠B =70∘ 时，试求∠M +∠N 的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；（4） 如图4，如果∠MCD =14∠BCD ，∠NDE =14∠ADE ，当∠A +∠B =n ∘ 时，则∠M +∠N 的度数为 .答案专题二几何计算类型一与平行线有关的几何计算1．解：∵AD//BC，∴∠ADB=∠2=40∘，∴∠ADC=∠ADB+∠1=40∘+78∘=118∘.2．解：∵EF//AD，∴∠2=∠3.∵∠1=∠2，∴∠1=∠3,∴DG//AB，∴∠BAC+∠AGD=180∘,∴∠AGD=110∘.3．解：∵AC⊥AB，∴∠BAC=90∘.∵∠1=60∘,∴∠B=180∘−∠1−∠BAC=30∘.∵a//b,∴∠2=∠B=30∘.4．解：∵DE//BC，∠AED=80∘，∴∠ACB=∠AED=80∘（两直线平行，同位角相等）.∵CD平分∠ACB，∠ACB=40∘.∴∠BCD=12∵DE//BC，∴∠EDC=∠BCD=40∘（两直线平行，内错角相等）.5．（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换【解析】由解：条件可知：∠1=∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；∠2=∠4，依据是：等量代换.故答案为：①两直线平行，同位角相等；② 同位角相等，两直线平行【解析】反射光线BC 与EF 平行，依据是：同位角相等，两直线平行.故答案为：②同位角相等，两直线平行.（2） 84∘； 90∘类型二 与三角形有关的几何计算6．（1） 证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .∵BD ,CE 是△ABC 的两条高线，∴∠BEC =∠BDC =90∘ .在△BEC 和△CDB 中，{∠BEC =∠CDB ,∠EBC =∠DCB ,BC =CB ,∴△BEC≌△CDB ，∴∠DBC =∠ECB ，BE =CD .在△BOE 和△COD 中，{∠BOE =∠COD ,∠BEC =∠CDO ,BE =CD ,∴△BOE≌△COD ,∴OB =OC .（2） 解：∵∠ABC =65∘ ，AB =AC ，∴∠A =180∘−2×65∘=50∘ .∵∠A +∠ACE =90∘ ,∠COD +∠ACE =90∘ ,∴∠COD =∠A =50∘ .7．（1） 解：∵AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点D ，E ，∴BE =AE ，∠ADE =∠BDE =90∘ .∵AB =BC ，∴∠C =∠BAC =∠3+∠4=72∘ ，∴∠B =180∘−∠C−∠BAC =180∘−72∘−72∘=36∘ ，∴∠3=∠B =36∘ ，∴∠1=90∘−∠3=54∘ .（2）∵BD=6，∴AB=2BD=2×6=12,∴BC=12.∵AE=BE,∴AE+CE+AC=BC+AC=12+7=19.即△AEC的周长为19.8．（1）解：∵DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，∴MA=MC，NB=NC，∴△CMN的周长=MC+MN+NC=MA+MN+NB=AB.∵AB=10cm,∴△CMN的周长为10cm.（2）50【解析】∵∠MFN=65∘,∴∠FMN+∠FNM=180∘−∠MFN=180∘−65∘=115∘，∴∠AMD+∠BNE=115∘.∵MD⊥AD，NE⊥BE，∴∠A+∠B=180∘−(∠AMD+∠BNE)=65∘.由（1）可知:MA=MC，NB=NC，∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，∴∠CMN+∠CNM=2(∠A+∠B)=130∘，∴∠MCN=180∘−130∘=50∘.故答案为:50.9．（1）∠A+∠B=∠C+∠D解:在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180∘;在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180∘.∵∠AOB=∠COD,∴∠A+∠B=∠C+∠D.故答案为：∠A+∠B=∠C+∠D.(∠A+∠B)（2）90∘−12【解析】设∠PCD=x，∠EDP=y.∵CP，DP分别平分∠BCD，∠ADE，∴∠BCD=2x，∠ADE=2y.∵∠P=∠PDE−∠PCD=y−x，∠COD=∠ODE−∠BCD=2y−2x,∴∠COD=2∠P.∵∠COD+∠A+∠B=180∘，∴2∠P+∠A+∠B=180∘，∴∠P=90∘−1(∠A+∠B).2(∠A+∠B).故答案为:90∘−12（3）如图1，延长CM,DN交于点P.(∠A+∠B).由（2）知:∠P=90∘−12∵∠A+∠B=70∘，∴∠P=55∘，∴∠PMN+∠PNM=125∘，∴∠CMN+∠DNM=360∘−125∘=235∘.n∘（4）225∘−14【解析】如图2，延长CM,DN交于点P.设∠PCD=x，∠ADP=3y，则∠P=y−x,∠COD=4y−4x，∴∠COD=4∠P，∴4∠P+∠A+∠B=180∘.∵∠A+∠B=n∘,∴∠P=180∘−n∘4,∴∠PMN+∠PNM=180∘−180∘−n∘4=135∘+14n∘,∴∠CMN+∠DNM=360∘−(135∘+14n∘)=225∘−14n∘.故答案为：225∘−14n∘.。

北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升-专题六倍长中线构造全等三角形中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造.类型倍长中线构造全等三角形1. 在△ABC中，AB=7，AC=3，则BC边的中线AD的取值范围是.2. 在△ABC中，AB=10，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是.3.如图，在△ABC中，∠ABC=45∘，AD，BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F.下列结论：①∠FCD=45∘；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD；④若BF=2EC，则△FDC的周长等于AB的长.正确结论的序号是.4.如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC).（1）求证：AB−AC<2AD<AB+AC；（2）若AB=8cm，AC=5cm，求AD的取值范围.5. 如图，已知AD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E.若BE=6，求点C到AD的距离.6.某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题：【探究】如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，点D是BC的中点，试探究BC 边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程.（1）求证：△ADC≌△EDB.证明：∵延长AD到点E，使DE=AD,连接BE.在△ADC和△EDB中,AD=ED（已作）,∠ADC=∠EDB（）, CD=BD（中点定义）,∴△ADC≌△EDB（）.（2）探究得出AD的取值范围是.【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF.求证：∠BFD=∠CAD.7. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE,请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.A. SSSB. SASC. AAS（2）求得AD的取值范围是.A. 6<AD<8B. 6≤AD≤8C. 1<AD<7D. 1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF.试说明AC=BF.（1）【方法学习】数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法（如图2）.①延长AD到点M，使得DM=AD；②连接BM，通过三角形全等把AB,AC,2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB−BM<AM<AB+BM，从而得到AD的取值范围是.【方法总结】上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以说明.（3）【深入思考】如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE =∠CAF=90∘，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以说明.答案专题六倍长中线构造全等三角形类型倍长中线构造全等三角形1．2<AD<52．2<AD<83．①③④4．（1）证明：如图,延长AD至点E，使AD=DE，连接BE.在△ACD 和△EBD 中，{DC =BD ,∠ADC =∠BDE ,AD =DE ,∴△ACD≌△EBD (SAS)，∴AC =BE （全等三角形的对应边相等）.在△ABE 中，由三角形的三边关系可得AB−BE <AE <AB +BE ，即AB−AC <2AD <AB +AC .（2） 解：∵AB =8cm ，AC =5cm ，∴8−5<2AD <8+5，∴32<AD <132.5．解：如图，过点C 作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F .∵BE ⊥AD ,CF ⊥AD ,∴∠BED =∠CFD .∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD .在△BED 和△CFD 中，{∠BED =∠CFD ,∠BDE =∠CDF ,BD =CD ,∴△BED≌△CFD (AAS),∴BE =CF .∵BE =6,∴CF =6,∴ 点C 到AD 的距离为6.（1） 对顶角相等； SAS（2） 1<AD <7（3） 证明：如图，延长AD 到点H ，使DH =AD ,连接BH .由（1）得△ADC≌△HDB,∴BH=AC,∠BHD=∠CAD.∵AC=BF,∴BH=BF,∴∠BFD=∠BHD,∴∠BFD=∠CAD.（1）B（2）C（3）解：如图，延长AD到点M，使AD=DM，连接BM.∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD.∵在△ADC和△MDB中,{DC=DB,∠ADC=∠MDB,DA=DM,∴△ADC≌△MDB(SAS),∴BM=AC,∠CAD=∠M.∵AE=EF,∴∠CAD=∠AFE.∵∠AFE=∠BFD,∴∠BFD=∠M,∴BF=BM=AC,即AC=BF.（1）1<AD<7（2）解：AC//BM,且AC=BM.理由:由（1）知,△MDB≌△ADC,∴∠M=∠CAD,AC=BM,∴AC//BM.（3）EF=2AD.理由：如图，延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM.由（1）知，△BDM≌△CDA(SAS)，∴BM=AC.∵AC=AF,∴BM=AF.由（2）知:AC//BM，∴∠BAC+∠ABM=180∘.∵∠BAE=∠FAC=90∘，∴∠BAC+∠EAF=180∘,∴∠ABM=∠EAF.在△ABM和△EAF中，{AB=EA,∠ABM=∠EAF,BM=AF,∴△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM=EF.∵AD=DM,∴AM=2AD.∵AM=EF,∴EF=2AD.。

2024年北师大版数学七升八暑假作业温故知新四（基础复习练+预习提前练）基础知识复习7.整式的除法考点1 整式的除法1. 计算.2. 用篱笆围一个面积为的长方形花圃，其中一条边长为，则与这条边相邻的边长为.（用含的代数式表示）3. 计算：（1）；（2）.考点2 整式的混合运算4. [2023春·宝安区校级期中]先化简，再求值：，其中，.5. 先化简，再求值：，其中，.6. 杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论：根据上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值.7. 探究与实践【问题发现】（1）用四个长为,宽为的长方形拼成如图1所示的正方形，由此可以得到，，的等量关系是；【问题探究】（2）如图2，将边长为的正方形和边长为正方形拼在一起，使得点，，共线，点落在上，连接，若，的面积为，求的长度；【问题解决】（3）如图3，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中，为两条互相垂直的道路，且，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了25万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计）8.两条直线的位置关系考点1 相交线与平行线1. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. 平行、相交或垂直考点2 对顶角、邻补角2. 下列图中与是对顶角的是（）A. B. C. D.3. 如图，直线和直线相交于点，若，则的度数是.考点3 余角和补角4. 一个角的余角等于，则这个角的补角等于.5. 一个角的余角比它的补角的还少，则这个角为.考点4 垂直的定义6. 如图，直线，相交于点，过点作，射线平分，.求：（1）的度数；（2）的度数.7. 如图，直线，相交于点，于点.（1）若，求的度数；（2）若，请判断与垂直吗？如果垂直，请说明理由.考点5 画垂线8. 如图，已知点是射线上一点.（1）过点画的垂线，垂足为点；（2）过点画的平行线.考点6 垂线的性质和点到直线的距离9. 如图，要把河中的水引到农田处，想要挖的水渠最短，我们可以过点作垂直于河边，垂足为点，然后沿开挖水渠，其依据是.10. 如图，,,其中,,,，点到的距离是，点到的距离是.新课预习4.认识无理数知识梳理1. 有理数总可以用或表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.2. 称为无理数.跟踪练习知识点1 无理数的判断1.下列各数中，是无理数的是（）A. B. 0 C. D. 22. 下列各数：，，0，（每两个1之间依次增加1个2）中，无理数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 下列各数：12，，，，0.其中无理数有个.4. 下列各数：，，,,，0，2，，，（相邻两个2之间0的个数逐次加1）.其中，无理数是.知识点2 无理数的估算5. 数学课上，好学的小明向老师提出了一个问题：无限循环小数是无理数吗？以为例，老师给小明做了以下解答（注:即）：设为，即，等式两边同时乘10，得，即.因为,所以,解得,即.因为分数是有理数，所以是有理数.同学们，你们学会了吗？请根据上述材料，解决下列问题：（1）无限循环小数写成分数的形式是；（2）请用解方程的办法将写成分数.6. 已知某个长方体的体积是，它的长、宽、高的比是，则该长方体的长、宽、高是有理数还是无理数？为什么？7. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.已知点，请按要求设计，使,.（1）在图1中，的长为无理数，，的长均为有理数；（2）在图2中，的长为有理数，，的长均为无理数；（3）在图3中，三边的长均为无理数.答案17.整式的除法考点1 整式的除法1．2．3．（1）解：原式.（2）原式.考点2 整式的混合运算4．解：原式,当，时，原式.5．解：,当,时，原式.6．解：小红说得对，,，原式.（1）（2）解：设，，则.的面积为，，即.，，（负值舍去），则.（3）该物业筹集的资金不够用，说明如下：设，，由题意得，两个三角形区域的面积之和为，一共需要的资金为元.，，元.，，即，，即，该物业筹集的资金不够用.8.两条直线的位置关系考点1 相交线与平行线1．C考点2 对顶角、邻补角2．D3．考点3 余角和补角4．1455．30考点4 垂直的定义6．（1）解：射线平分，，，.（2），.，.7．（1）解：，，，，，.（2）垂直，理由：，，，，.考点5 画垂线8．（1）解：如图.（2）如图.考点6 垂线的性质和点到直线的距离9．垂线段最短10．8；4.8答案24.认识无理数知识梳理1．有限小数；无限循环小数2．无限不循环小数跟踪练习知识点1 无理数的判断1．C2．B3．14．,知识点2 无理数的估算5．（1）【解析】设为，即，等式两边同时乘10，得，即，因为，所以，解得，即，故答案为：.（2）解：设为，即，等式两边同时乘100，得，即,因为，所以，解得，即.6．解：长、宽、高都是无理数，理由如下：设长、宽、高分别为，，.根据题意，得，则.因为不存在一个有理数的立方为30，所以是无理数.故,,均为无理数，即该长方体的长、宽、高是无理数.7．（1）解：如图1所示（答案不唯一）.图1（2）如图2所示（答案不唯一）.图2（3）如图3所示（答案不唯一）.图3。

北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升-专题四三垂直模型“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90∘，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型（简称三垂直模型），当模型中有一组对应边相等时，则模型中必定存在全等三角形.解决一线三等角模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题.类型一一线三垂直全等模型1. 如图，已知AC=CE，且∠ACE=90∘，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D,BC= 2，CD=3,连接AD，AE,则图中阴影部分的面积为（）第1题图A. 5B. 6C. 9D. 102. 如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处,∠O=90∘.若OA=40cm, OB=30cm，则点C离地面的距离是cm.第2题图3. 如图，已知△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90∘，AC=CE，且AB⊥BD 于B，ED⊥BD于D.（1）求证：△ABC≌△CDE；（2）若AB=5，DE=3，求BD的长.4. 在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE.（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD−BE.（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5. 如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D,∠ACE=90∘，且AC=5 cm，CE=6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s 的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→⋯运动）.当点P到达终点时，P，Q同时停止运动.过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N.设运动时间为t s，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，求t的值.6.【问题发现】（1）如图1，在△ABC与△CDE中，∠B=∠E=∠ACD=90∘，AC=CD，B,C, E三点在同一直线上，AB=3，ED=4，则BE=;【问题提出】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BC=4，过点C作CD⊥AC，且CD =AC，求△BCD的面积;【问题解决】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45∘，△ACD的面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积.类型二一线三等角模型7. 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角.若为直角，则又称一线三垂直模型）.解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题.（1）已知：如图1，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E.求证：DE=BD+CE.（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角,那么结论DE=BD+CE是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.（3）如图3，将（1）中的条件改为：AB=AC，A，E，D三点都在直线m上，且有∠BDF=∠DEC=∠BAC=β，其中β为任意锐角,那么结论DE=BD+CE是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请写出DE,BD,CE之间的数量关系并说明理由.答案专题四三垂直模型类型一一线三垂直全等模型1．A2．303．（1）证明：∵∠ACE=90∘，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，∴∠B=∠D=90∘，∠ACB+∠DCE=90∘.∵∠ACB+∠BAC=90∘，∴∠BAC =∠DCE .在△ABC 和△CDE 中，{∠B =∠D ,∠BAC =∠DCE ,AC =CE ,∴△ABC≌△CDE (AAS).（2） 解：∵△ABC≌△CDE ，AB =5，DE =3，∴BC =DE =3，AB =CD =5，∴BD =BC +CD =3+5=8.4．（1） ① 证明：∵∠ACB =90∘ ，∴∠ACD +∠BCE =90∘ .而AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，∴∠ADC =∠CEB =90∘ ，∠BCE +∠CBE =90∘ ，∴∠ACD =∠CBE .在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠CEB ,∠ACD =∠CBE ,AC =BC ,∴△ADC≌△CEB (AAS).② 由①知△ADC≌△CEB ,∴AD =CE ，DC =BE ，∴DE =DC +CE =BE +AD .（2） 证明:在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠CEB =90∘,∠ACD =∠CBE ,AC =CB ,∴△ADC≌△CEB (AAS),∴AD =CE ，DC =BE ，∴DE =CE−CD =AD−BE .（3） 解：DE =BE−AD .证明：易证得△ADC≌△CEB ,∴AD =CE ，DC =BE ,∴DE =CD−CE =BE−AD .5．解：当点P 在AC 上，点Q 在CE 上且从未返回时,∵ 以P ，C ，M 为顶点的三角形与△QCN 全等，∴PC =CQ ，∴5−2t =6−3t ，∴t =1;当点P 在AC 上，点Q 第一次从点C 返回时,∵ 以P ，C ，M 为顶点的三角形与△QCN 全等，∴PC =CQ ，∴5−2t =3t−6，∴t =115;当点P 在CE 上，点Q 第一次从点E 返回时,∵ 以P ，C ，M 为顶点的三角形与△QCN 全等，∴PC =CQ ，∴2t−5=18−3t ，∴t =235.综上所述：t 的值为1或115或235.（1） 7【解析】∵∠ACD =∠E =90∘ ，∴∠ACB =90∘−∠DCE =∠D .在△ABC 和△CED 中，{∠B =∠E ,∠ACB =∠D ,AC =CD ,∴△ABC≌△CED (AAS)，∴AB =CE =3，BC =ED =4，∴BE =BC +CE =7.故答案为：7.（2） 解：过D 作DE ⊥BC 交BC 延长线于E ，如图.∵DE ⊥BC ,CD ⊥AC ,∴∠E =∠ACD =90∘ ，∴∠ACB=90∘−∠DCE=∠CDE.在△ABC和△CED中，{∠ABC=∠E=90∘,∠ACB=∠CDE,AC=CD,∴△ABC≌△CED(AAS),∴BC=ED=4，BC⋅DE=8.∴S△BCD=12（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图.∵△ACD的面积为12且CD的长为6，×6⋅AE=12，∴12∴AE=4.∵∠ADC=45∘，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=4，∴CE=CD−DE=2.∵∠ABC=∠CAB=45∘，∴∠ACB=90∘，AC=BC,∴∠ACE=90∘−∠BCF=∠CBF.在△ACE和△CBF中，{∠AEC=∠F=90∘,∠ACE=∠CBF,AC=BC,∴△ACE≌△CBF(AAS),∴BF=CE=2，CD⋅BF=6.∴S△BCD=12类型二一线三等角模型7．（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m,垂足分别为D,E,∴∠BDA=∠CEA=90∘.∵∠BAC=90∘，∴∠BAD+∠CAE=90∘.∵∠BAD+∠ABD=90∘，∴∠CAE=∠ABD.在△ADB和△CEA中，{∠BDA=∠CEA,∠ABD=∠CAE,AB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴BD=AE，AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE.（2）解：成立.证明：∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180∘−α,∴∠CAE=∠ABD.在△ADB和△CEA中，{∠BDA=∠AEC,∠ABD=∠CAE,AB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE.（3）解：DE=BD+CE不成立，DE=CE−BD成立.理由如下:∵∠DEC=∠EAC+∠C，∠BAC=∠BAD+∠EAC，∠DEC=∠BAC，∴∠BAD=∠C.∵∠BDF=∠DEC，∴∠BDA=∠AEC.在△ADB和△CEA中，{∠BAD=∠C,∠BDA=∠AEC,AB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AD=CE，AE=BD，∴CE=AD=AE+DE=BD+DE，∴DE=CE−BD.。

北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升-专题九 项目式学习1. 根据以下素材，探索完成任务．设计合适的盒子！素材1有一个长为90cm ，宽为60cm 的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）．素材2把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子底面的周长是220cm ．素材3如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3或4），该盒子底面的宽和长分别是x cm 和y cm(x 和y 都是整数，y >x )．问题解决任务1 确定无盖盒子的高根据素材2，求出该长方体盒子的高．任务2 研究底面长、宽的关系根据素材3，选择一种折叠成有盖盒子的方法，用含x的代数式表示y．任务3 确定有盖盒子的大小若设计有盖盒子的底面周长大于200cm，高大于4cm，请写出符合条件的一对x，y的值．2. 根据表中的素材，完成下面的任务.如何设计奖品购买及兑换方案？素材1文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支10元，笔记本每本5元．素材2学校用1 100元购买这种钢笔和笔记本，其数量之比为4:3．素材3文具店开展“满送”优惠活动，每满130元送1张兑换券，满260元送2张兑换券，以此类推．学校花费1 100元后，将兑换券全部用于商品兑换．最终，笔记本与钢笔数量相同．问题解决任务1 探究购买方案分别求出兑换前购买钢笔和笔记本的数量．任务2 确定兑换方式求出用于兑换钢笔的兑换券的张数．3. 根据以下素材，探索完成任务.如何设计宣传牌？素图1是长方形宣传牌，长330cm，宽220cm，拟在上面书写24个字．材1（1）中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍；（2）四周空白部分的宽度相等．素材2如图2，为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等．素材3如图3，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为1:2．任务1 分析数量关系设四周宽度为x cm ，用含x 的代数式分别表示设计部分的长和宽．任务2 确定四周宽度求出x 的值．任务3 确定栏目的大小（1）求每个栏目的竖直高度；（2）求长方形栏目与栏目之间中缝的间距．4. 根据以下素材，探索完成任务．如何规划游玩路线？素材1温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价2元，可乘坐4km（含4 km），4至28km（含28km）每1元可乘4km（不足4km按1元算）．如：桐岭站到动车南站共5.3km，收费3元．部分站点之间的距离见下图（单位：km）.素材2一名成年乘客可免费携带一名身高不足1.2米（含1.2米）的儿童乘车．素材3小明一家四口将乘坐轻轨出游，小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高1.5米）、弟弟（身高1.1米）、爸爸、妈妈．问题解决分析规划任务1 从新桥站到桐岭站为km，单人单程乘坐需车费元．任务2 小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要多少车费？确定方案任务3 小明一家从新桥站出发，计划共用30元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．答案专题九项目式学习1．任务1 解：设长方体盒子的高为a cm，则底面的长为(90−2a)cm，宽为(60−2a)cm，由题意,得2(90−2a+60−2a)=220，∴a=10．故长方体盒子的高为10cm．任务2 题图3或题图4选择一种即可．选择题图3时：由题意,得y+60−2x=90，∴y=2x+30．选择题图4时：由题意,得y+90−2x=60，∴y=2x−30．任务3 答案不唯一.选题图3方案：∵有盖盒子的底面周长大于200cm，高大于4cm，且y=2x+30，∴可取x=24，y=78．2．任务1 解：设兑换前购买钢笔4x支，笔记本3x本，由题意可得10×4x+5×3x=1100，即40x+15x=1100，解得x=20．4x=4×20=80（支），3x=3×20=60（本）.答：兑换前购买钢笔80支，笔记本60本．任务2 ∵1100÷130=8⋯⋯60，∴送8张兑换券．设用a张兑换券兑换钢笔，则用(8−a)张兑换券兑换笔记本，由题意可得80+2a=60+4(8−a)，解得a=2．答：用2张兑换券兑换钢笔．3．任务1 解：根据题意，设计部分的长为(330−2x)cm，宽为(220−2x)cm.任务2 ∵设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，∴330−2x=1.55(220−2x)，解得x=10，∴x的值是10.任务3 （1）设计部分的长为330−2×10=310(cm)，宽为220−2×10=200(cm).设每个栏目的竖直高度为y cm，每栏横向两行中间间隔的宽度是a cm，则竖向中间间隔的宽度为2a cm，根据题意可得200−2a4=y−a2，解得y=100，∴每个栏目的竖直高度为100cm.（2）∵310−3×1002=5(cm)，∴长方形栏目与栏目之间中缝的间距为5cm．任务1 10.8；4任务2 解：由题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算：从新桥站到三垟湿地站的里程为2.2+1.9+2.7+2.0=8.8（公里），∴需要车费(2+1+1)×3=12（元）．任务3 由题意，单程费用15元，由于弟弟免费乘车，∴一家三口每人5元．∵起步价2元可乘4公里，3元可乘3×4=12公里,∴最远可行16公里．∵向桐岭方向的最远里程为10.8公里，∴向瑶溪方向出行，2.2+1.9+2.7+2.0+5.1+2.0=15.9（公里），即最远的游玩站点是科技城．。

2024年北师大版数学七升八暑假作业温故知新三（基础复习练+预习提前练）基础知识复习5.平方差公式考点1 认识平方差公式1.下列能用平方差公式计算的是（）A. B. C. D.2. 若，，则的值为.3. 计算：.4. 计算：.5. 计算：.6. 计算：.7. 计算：.8. 计算：.考点2 利用图形验证平方差公式9. 如图，阴影部分是边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图的割拼方法中，其中能够验证平方差公式的有（填序号）.考点3 利用平方差公式进行简便计算10. 计算：（1）；（2）.11. 利用乘法公式计算：（1）；（2）.考点4 平方差公式的运用12. 【探究】如图1，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2的长方形.比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母,表示）；【应用】请应用这个公式完成下列各题：①已知，,则的值为；②计算：；【拓展】计算的结果为.6.完全平方公式考点1 认识完全平方公式1. 计算：.2. 计算：.3. 如果关于的多项式是一个完全平方式，那么.4. 若是一个完全平方式，那么的值是.5. 已知，则.6. 已知，，则的值是.7. 计算：.8. 计算：.9. 计算：（1）；（2）.10. 计算：.考点2 用图形验证完全平方公式11. 请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图1，试用两种不同的方法表示两个阴影图形的面积的和.方法1: ;方法2: ;（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：;（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图2，两个正方形的边长分别为，，如果，，求阴影部分的面积.考点3 利用完全平方公式进行简便计算12. 用简便方法计算：.13. 用简便方法计算：（1）；（2）.考点4 与完全平方公式有关的综合运算14.【阅读理解】将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多数学问题.例：若，，求的值.解：，，，...根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若，，则；【类比应用】（2）若，，求的值；【思维拓展】（3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积.新课预习3.勾股定理的应用知识梳理1. 如果直角三角形两直角边长分别为，，斜边长为，那么有.2. 如果三角形的三边长，，满足, 那么这个三角形是直角三角形.跟踪练习知识点1 勾股定理在生活中的应用1. 如图，某地方政府决定在相距的，两站之间的公路旁的点处，修建一个土特产加工基地，且，两村到点的距离相等，已知于点，于点，，，那么基地应建在离站多少千米的地方？2. 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（,,在一条直线上），并新修一条路，测得，，.（1）问是否为从村庄到河边最近的路？（即问：与是否垂直？请通过计算加以说明）（2）求原来的路线的长.知识点2 立体图形中两点之间的最短距离3. 下面的图2是图1的侧面展开图.一只小昆虫沿着圆柱的侧面，从点沿最短的距离爬到点，则点在图2中的位置是.（填序号）4. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，点和点是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，求蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为多少分米.5. 如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为，，，盒子高为，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点，求蚂蚁要爬行的最短路程是多少厘米.答案15.平方差公式考点1 认识平方差公式1．A2．3．解：原式.4．解：.5．解：.6．解：.7．解：.8．解：.考点2 利用图形验证平方差公式9．①②③④考点3 利用平方差公式进行简便计算10．（1）解：.（2）. 11．（1）解：原式.（2）原式.考点4 平方差公式的运用12．【探究】【应用】① 12②解：.【拓展】6.完全平方公式考点1 认识完全平方公式1．2．3．164．5．26．107．解：原式.8．解：原式.9．（1）解：.（2）. 10．解：原式.考点2 用图形验证完全平方公式11．（1）；（2）（3）解：阴影部分的面积为：.考点3 利用完全平方公式进行简便计算12．解:.13．（1）解：原式.（2）原式.考点4 与完全平方公式有关的综合运算（1）40（2）解：，，，，，.（3）设，，，，，.，，，，，.答案23.勾股定理的应用知识梳理1．2．跟踪练习知识点1 勾股定理在生活中的应用1．解：设，则.因为，所以,解得.答：基地应建在离站的地方.2．（1）解：是，理由：在中，，，，,是从村庄到河边最近的路.（2）设，在中，由已知得千米，，由勾股定理得，，解这个方程，得.答：原来的路线的长为.知识点2 立体图形中两点之间的最短距离3．③4．解：如图所示,三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程为，由勾股定理得，解得，即蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程为.5．解：如图为三棱柱的侧面展开图，，，，,,即蚂蚁要爬行的最短路程为.。

北师大版八年级下册数学教案北师大版八班级下册数学教案1一、指导思想在教学中努力推动九年义务教育，落实新课改，表达新理念，培育创新精神。

通过数学课的教学，使同学切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本学问和基本技能;努力培育同学的运算力量、规律思维力量，以及分析问题和解决问题的力量。

二、学情分析八班级是学校学习过程中的关键时期，同学基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。

优生不多，思想不够活跃，有少数同学不上进，思维跟不上。

要在本期获得抱负成果，老师和同学都要付出努力，充分发挥同学是学习的主体，老师是教的主体作用，注意方法，培育力量。

三、本学期教学内容分析本学期教学内容共计六章。

第一章《三角形的证明》本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，将讨论直角三角形全等的判定，进一步体会证明的必要性。

其次章《一元一次不等式和一元一次不等式组》本章通过详细实例建立不等式，探究不等式的基本性质，了解一般不等式的解、解集、解集在数轴上的表示，一元一次不等式的解法及应用;通过详细实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系.最终讨论一元一次不等式组的解集和应。

第三章《图形的平移与旋转》本章将在学校学习的基础上进一步熟悉平面图形的平移与旋转，探究平移，旋转的性质，熟悉并观赏平移，中心对称在自然界和现实生活中的应用。

第四章《分解因式》本章通过详细实例分析分解因式与整式的乘法之间的关系揭示分解因式的实质，最终学习分解因式的几种基本方法。

第五章《分式与分式方程》本章通过分数的有关性质的回顾建立了分式的概念、性质和运算法则，并在此基础上学习分式的化简求值、解分式方程及列分式方程解应用题，能解决简洁的实际应用问题。

第六章《平行四边形》本章将讨论平行四边形的性质与判定，以及三角形中位线的性质，还将探究多边形的内角和，外角和的规律;经受操作，试验等几何发觉之旅，享受证明之美。

第一讲、三角形总复习基础知识1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；3. 全等三角形的性质与判定；4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。

从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。

因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。

因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。

例题精讲一、三角形内角和定理的应用【例1】如图1，已知∆A B C 中，∠=︒⊥B A C A D B C 90，于D ，E 是AD 上一点。

求证：∠>∠B E D C二、三角形三边关系的应用【例2】已知：如图，在∆A B C中，AB>AC ，AM 是BC 边的中线。

求证：()A M A B A C >-12。

三、角平分线定理的应用【例3】如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC 。

求证：AM 平分DAB 。

四、全等三角形的应用1、构造全等三角形解决问题【例4】已知如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。

求证：∆A M N 的周长等于2。

2、“全等三角形”在综合题中的应用【例5】如图，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。

点B在AE的延长线上，点D在AF上。

若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。

求AC的长。

五、中考点拨【例6】如图，在∆A B C中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为【】A. 9B. 8C. 7D. 6六、题型展示【例7】已知：如图，∆A B C 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE 垂直BD 的延长线于E ，AE BD =12。

北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升-专题三规律探究规律探究问题是考试常考题型，规律探究问题一般会涉及多个量，有常量有变量，研究变量居多，抓住变量就等于抓住解题的关键，这些变量通常按照一定顺序给出.有些题目看起来很复杂，实际上关键内容不是很多，我们在解题时一定要认真分析，把其中的关键信息提取出来.类型一数式规律1. 观察：(x−1)(x+1)=x2−1，(x−1)(x2+x+1)=x3−1，(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1,据此规律，当(x−1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=0时，代数式x2023−1的值为（）A. 1B. −2C. 1或−1D. 0或−22. 计算下列各式，然后回答问题.(a+4)(a+3)=；(a+4)(a−3)=；(a−4)(a+3)=；(a−4)(a−3)=.（1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果.(x+a)(x+b)=.（2）运用上述结果，写出下列各题结果.①(x+2008)(x−1000)=；②(x−2005)(x−2000)=.3. 观察下列各式，回答相关问题：(x−1)(x+1)=x2−1;(x−1)(x2+x+1)=x3−1;(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1;(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1;….（1）根据规律可得(x−1)(x n−1+x n−2+⋯+x2+x+1)=（其中n为正整数）.（2）求32022+32021+32020+⋯+32+3+1的值.（3）求22022−22021+22020−⋯+22−2+1的值.4. 阅读材料，回答问题：①2×1=(3−1)×1=2;②2×(1+3)=(3−1)×(1+3)=8;③2×(1+3+9)=(3−1)×(1+3+32)=26;④2×(1+3+9+27)=(3−1)×(1+3+32+33)=80;….（1）请你根据材料中的规律，按照材料中的格式写出第5个等式；（2）请你写出第n个等式，并利用整式的乘除证明等式成立.5. 请先观察下列算式，再填空：32−12=8×1，52−32=8×2.①72−52=8×；②92−（）2=8×4；③（）2−92=8×5；④132−（）2=8×；….（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来.（2）你能运用平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？类型二图形规律6. 如图，下列各图都是由小正方形组合而成，按照各图的组合规律继续添加小正方形，则第2024个图形中共有（）个小正方形.A. 3 034B. 3 036C. 6 064D. 6 0657. 观察下列图形，已知a//b，在第①个图中，∠1+∠2=180∘，则在第n+1个图中，∠1+∠2+∠P1+⋯+∠P n=∘.8. 下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，观察图案回答问题：（1）第5个图案中白色正方形的个数为.（2）请用含n的代数式表示第n个图案中白色正方形的个数.（3）是否存在第n个图案，使白色正方形的个数为2 023？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由.9. 【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.请解答下列问题：（1）图2中阴影部分的正方形的边长是.（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：方法1: ；方法2: .（3）观察图2，请你写出(a+b)2,(a−b)2,ab之间的等量关系: .，则(x−y)2（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若x+y=6，xy=112=.【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式.（5）根据图3，写出一个代数恒等式：.的值.（6）已知a+b=3，ab=1，利用上面的等量关系求a3+b32答案专题三规律探究类型一数式规律1．D2．（1）a2+7a+12；a2+a−12；a2−a−12；a2−7a+12 2．（1）x2+(a+b)x+ab（2）①x2+1008x−2008000②x2−4005x+40100003．（1）x n−1解：(x−1)(x n−1+x n−2+⋯+x2+x+1)=x n−1.故答案为：x n−1.（2）原式=12×(3−1)×(32022+32021+32020+⋯+32+3+1)=12×(32023−1)=320232−1 2.（3）原式=−13×(−2−1)×(22022−22021+22020−⋯+22−2+1)=−13×[(−2)2023−1]=220233+13.4．（1）解：第5个等式为2×(1+3+9+27+81)=(3−1)×(1+3+32+33+34)= 242.（2）第n个等式为2×(1+3+9+27+81+⋯+3n−1)=(3−1)×(1+3+32+33+34+⋯+3n−1)=3n−1.证明:2×(1+3+9+27+81+⋯+3n−1)=(3−1)(1+3+9+27+81+⋯+3n−1)=3×(1+3+32+33+34+⋯+3n−1)−(1+3+32+33+34+⋯+3n−1)=3+32+33+34+35+⋯+3n−(1+3+32+33+34+⋯+3n−1)=3n−1，∴等式成立.5．（1）3；7；11；11；65．（1）(2n+1)2−(2n−1)2=8n;（2）(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)=8n.类型二图形规律6．B7．(n+1)×1808．（1）28（2）解：第1个图案中白色正方形的个数：8=3×3−1;第2个图案中白色正方形的个数：13=3×5−2;第3个图案中白色正方形的个数：18=3×7−3;第n个图案中白色正方形的个数:3×(2n+1)−n=5n+3.（3）存在.由题意,得5n+3=2023，解得n=404.所以第404个图案中白色正方形的个数为2 023.（1）(a−b)（2）(a−b)2；(a+b)2−4ab（3）(a−b)2=(a+b)2−4ab（4）14（5）(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（6）解：∵a+b=3，ab=1，∴a3+b32=(a+b)3−3ab(a+b)2=27−92=9.。

八年级入学前检测题一、选择题1． 64的立方根是（ ）A ．4B ．4±C ．8D ．8±2. 下列各式不能成立的是（ ）。

A.（x 32)=x 6B. x 532x x =⋅C.(x xy y x y 4)()22-+=-D. x 1)(22-=-÷x3. 如图，将一个含30°角的三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=115°，那么∠2的度数是（ ）A.95°B.85°C.75°D.65°4. 在实数722-、0、1、2－π、∙3.0） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个5. 若x 2+mx+25是完全平方式，则m 的值是（ ）A 、10或-10B 、110C 、–10D 、110± 6. 月球的平均亮度只有太阳的0.00000215倍.0.00000215用科学计数法可表示为（ ）A.-52.1510⨯B.-62.1510⨯C. -72.1510⨯D. -621.510⨯7. 如图，若12∠=∠，则在结论：①34∠=∠，②AB ∥CD ，③AD ∥BC 中（ ）A ．三个都正确B ．只有一个正确C ．三个都不正确D ．只有一个不正确 8.如图，已知在Rt ABC △中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记 为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于（ ） A.9 B.25 C.50 D.16二、填空题9. 81的算术平方根是________. 10. 如果3+x =2,那么(x +3)2=______.11. 一个三角形三边分别为8，15，17，那么最长边上的高为 ． 12. 若2225,7x y x y +=+=，则xy= ． 13. 如图，△ABC 中，AB=AC ，，AB 的垂直平分线交边AB 于D 点，交边AC 于E 点，若△ABC 与△EBC 的周长分别是40cm 、24cm ，则BC=_____cm.（第8题）C A B S 1S 214.如图,AC 、BD 相交于点O,∠A=∠D,请你再补充一个条件, 使得△ABO ≌△DOC,你补充的条件是______________.15.在一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的黄、白两种小球，其中白球8只，黄球m 只，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率为23，则m=__________.16. 如图，圆柱形容器高为18cm ，底面周长为24cm ，在杯内 壁离杯底4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B 处的最短距离为 .18.解方程（1）22(1)8x += （2）2(23)270x -+=19.化简求值： 322(48)4(2)(2)xy x y xy x y x y -÷++-，其中2(1)0x -.20.已知2a －1的平方根是±3，3a ＋b －1的算术平方根是4，求a ＋2b 的值.21.如图，已知AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12，求四边形ABCD的面积.22.一架梯子AB的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端BC为7米。

北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升-专题七折叠问题折叠是一种对称变换，属于轴对称，对称轴所在直线是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.解决这些问题的基本方法是精确找出折叠前后相等的边与角，以及结合图形的性质把边角的关系联系起来，同时结合方程思想、数形结合思想等数学思想进行解题.类型一平行线中的折叠问题1.如图，将一个对边平行的纸条沿AB折叠一下，若∠1=130∘，则∠2的大小为.2. 如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处.若α+β=119∘，则∠EMF的度数为（）A. 57∘B. 58∘C. 59∘D. 60∘3. 将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64∘，则∠1的度数为（）第3题图A. 52∘B. 62∘C. 64∘D. 42∘4. 如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E.若∠BDC=62∘，则∠FDE的度数为（）第4题图A. 28∘B. 62∘C. 34∘D. 24∘5.如图1，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C,D分别落在H,G的位置，再沿BC折叠成图2.若∠DEF=72∘，则∠GMN=∘.6. 如图1是长方形纸带，∠CFE=55∘，将纸带沿EF折叠成图2，再沿GE折叠成图3，则图3中∠DEF的度数是.7. 如图，四边形ABCD为一长方形纸片，AD//BC，∠DAB=∠ABC=∠C=∠ADC =90∘，E为BC上一点，将纸片沿AE折叠，B点落在长方形外的F点，连接BD.若∠CBD=20∘，且AF//BD,求∠BAE的度数.类型二三角形中的折叠问题8. 如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠,使点B落在点B′处.若∠B=35∘，∠BNM=28∘，则∠AMB′的度数为（）第8题图A. 30∘B. 37∘C. 54∘D. 63∘9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，∠C=40∘，点D为BC上一点，把△ABD 沿AD折叠到△AB′D，点B的对应点B′恰好落在边BC上，则∠CAB′的度数为（）第9题图A. 10∘B. 20∘C. 30∘D. 40∘10. 如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC=6，BC=4，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E,D分别在AB,AC上，则△BCD的周长为.11. 将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处.若∠1=80∘，∠2=28∘，则∠A的度数为.12. 定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90∘，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”.如图，将三角形纸片ABC沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处.已知∠A=∠B=35∘,设∠BED=x∘，当△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”时，求x的值.13. 探究：（1）如图1，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？当∠A=40∘时，∠B+∠C+∠1+∠2=∘.（2）把图1中△ABC沿DE折叠得到△A′DE，如图2.填空：∠1+∠2∠B+∠C;（选填“>”“<”或“=”）如果∠A=30∘，则∠A′DB+∠A′EC=；猜想∠A′DB,∠A′EC与∠A的关系为，并说明理由.（3）如图3，把△ABC沿着DE折叠得到△A′DE，A′D与AC相交于点F,则∠A′DB,∠A′EC与∠A的关系为，并说明理由.答案专题七折叠问题类型一平行线中的折叠问题1．115∘2．B3．A4．C5．726．15∘7．解:∵AD//BC，∠CBD=20∘,∴∠ADB=∠CBD=20∘.∵AF//BD,∴∠ADB=∠FAD.∵∠DAB=90∘,∴∠BAF=∠DAB+∠FAD=110∘.∵纸片沿AE折叠,∴∠BAE=∠FAE,∴∠BAE=1∠BAF=55∘.2类型二三角形中的折叠问题8．C9．A10．1011．26∘12．20【解析】∵将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，∠A=∠B=35∘,∴∠EDF=∠A=35∘,当△BED为“准直角三角形”时，2∠DEB+∠B=90∘或∠DEB+2∠B=90∘,∴2x+35=90或x+2×35=90,∴x=27.5或x=20.①当x=27.5时，即∠DEB=27.5∘,∴∠CDE=∠DEB+∠B=27.5∘+35∘=62.5∘,∴∠CDF=∠CDE−∠EDF=62.5∘−35∘=27.5∘,∴∠CFD=180∘−∠C−∠CDF=180∘−110−27.5∘=42.5∘,此时2∠CDF+∠CFD=2×27.5∘+42.5∘=97.5∘,2∠CFD+∠CDF=2×42.5∘+27.5∘=112.5∘,∴△CDF不是“准直角三角形”；②当x=20时，即∠DEB=20∘,∴∠CDE=∠DEB+∠B=20∘+35∘=55∘,∴∠CDF=∠CDE−∠EDF=55∘−35∘=20∘,∴∠CFD=180∘−∠C−∠CDF=180∘−110∘−20∘=50∘,此时2∠CDF+∠CFD=90∘,∴△CDF是“准直角三角形”;综上所述，能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为20.13．（1）280【解析】∠1+∠2=∠B+∠C∵∠A+∠1+∠2=180∘，∠A+∠B+∠C=180∘,∴∠1+∠2=∠B+∠C.当∠A=40∘时，∠B+∠C=180∘−40∘=140∘，∠1+∠2=180∘−40∘=140∘，∴∠B+∠C+∠1+∠2=280∘.故答案为: 280.（2）=；60∘；∠A′DB+∠A′EC=2∠A；解：由（1）得∠ADE+∠AED=∠B+∠C.由翻折变换的性质可知，∠1+∠2=∠ADE+∠AED，∴∠1+∠2=∠B+∠C.由翻折变换的性质可知，∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE+∠AED=180∘−∠A，∠ADA′+∠AEA′=360∘−2∠A，∠A′DB+∠A′EC=360∘−(360∘−2∠A)=2∠A.当∠A=30∘时，∠A′DB+∠A′EC=60∘.故答案为:=;60∘;∠A′DB+∠A′EC=2∠A.（3）∠A′DB=∠A′EC+2∠A；∵∠A′DB=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A′+∠A′EC，∴∠A′DB=∠A′EC+2∠A.故答案为:∠A′DB=∠A′EC+2∠A.。