人教版高中数学必修1第一章集合与函数概念单元测试卷

高中数学必修1第一章集合与函数概念专项练习题一、单选题1.若函数f(x)＝ |x +2| 的单调递增区间是（ ）A. (0,+∞)B. (−∞,+∞)C. [2,+∞)D. [−2,+∞)2.设全集 U ={-2,-1,0,1,2} ， A ={−2,−1,0} ， B ={0,1,2} ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {0}B. {−2,−1}C. {1,2}D. {0,1,2} 3.函数 f(x)=2xe x +e −x 的大致图像是（ ）A. B. C. D.4.已知集合A={x|y= √(1−x)(x +3) }，B={x|log 2x≤1}，则A∩B=（ ） A. {x|﹣3≤x≤1} B. {x|0＜x≤1} C. {x|﹣3≤x≤2} D. {x|x≤2}5.设函数 f(x)={|x +1|,x ≤0,|log 4x|,x〉0, 若关于 x 的方程 f(x)=a 有四个不同的解 x 1,x 2,x 3,x 4, 且 x 1<x 2<x 3<x 4, 则 x 3(x 1+x 2)+1x32x 4 的取值范围是（ ）A. (−1,72] B. (−1,72) C. (−1,+∞) D. (−∞,72]6.已知全集U=N ，集合P ={1,2,3,4,6},P ={1,2,3,5,9}则P ∩(C U Q )=( )A. {1,2,3}B. {5,9}C. {4,6}D. {1,2,3,4,6} 7.函数 y =√−x 2−3x+4的定义域为（ ）A. (−4，−1)B. (−4，1)C. (−1，1)D. (−1，1]8.已知实数 a >0 ， a ≠1 ，函数 f(x)=log a |x| 在 (−∞,0) 上是减函数，又 g(x)=a x +1a x ，则下列选项正确的是( )A. g(−2)<g(1)<g(3)B. g(1)<g(−2)<g(3)C. g(3)<g(−2)<g(1)D. g(−2)<g(3)<g(1)9.已知奇函数 y =f(x) 在 (−∞,0) 上单调递减，且 f(1)=0 ，若 a =f(log 318) ， b =f(log 214) ， c =f(log 23) ，则 a,b,c 的大小关系是（ ）A. c <b <aB. a <b <cC. a <c <bD. c <a <b10.设a=√2+√3 ， M={x|x≤√10}，给出下列关系：①a ⊂M ； ②M ⊇{a}； ③{a}∈M ； ④{Ф}⊆{a}； ⑤2a ∉M ； 其中正确的关系式共有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 11.集合 A ={−1,0,1,2,3} , B ={x|log 2(x +1)<2} ，则 A ∩B 等于（ ）A. {−1,0,1,2}B. {0,1,2}C. {−1,0,1,2,3}D. {0,1,2,3} 12.函数 y =xe cosx (−π≤x ≤π) 的大致图象为( )A. B. C. D.13.若定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是减函数，则有（ ）A. f （3）＜f （﹣2）＜f （1）B. f （1）＜f （﹣2）＜f （3）C. f （﹣2）＜f （1）＜f （3）D. f （3）＜f （1）＜f （﹣2） 14.设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件，则称f (x )为闭函数.①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a,b ]⊆D ， 使f (x )在[a,b ]上的值域为[a,b ] ， 如果f (x )=√2x +1+k 为闭函数，那么k 的取值范围是（ ）A. −1<k ≤−12 B. 12≤k <1 C. k >−1 D. k ＜1 15.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f （x ）=sinxcosx ； ②f （x ）=2sin （x+π4）；③f （x ）=sinx+√3cosx ； ④f （x ）=√2sin2x+1． 其中“同簇函数”的是（ ）A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④ 16.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（ ）A. y =−x 2+1B. y =lg |x |C. y =1x D. y =e −x 17.下列函数中，是偶函数且在区间 (0,+∞) 上为增函数的是（ ） A. y =2ln x B. y =|x 3| C. y =x −1x D. y =cosx18.已知 f(12x −1)=2x +3，f(m)=6 ,则 m 等于（ ） A. −14 B. 14 C. 32 D. −32 19.若函数y=x 2﹣3x ﹣4的定义域为[0，m]，值域为 [−254,−4] ，则m 的取值范围是（ ）A. （0，4]B. [−254,−4] C. [32,3] D. [32,+∞)20.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A. y=x 2+1B. y=|lgx|C. y=cosxD. y=e x ﹣1二、填空题21.已知集合A={1，m+2，m 2+4}，且5∈A ，则m=________．22.已知函数 f(x)={x +1,x ≤1f(log 2x),x >1 ，则 f(4)= ________； f(x) 的零点为________.23.函数f （x ）=lg （2sinx ﹣1）的定义域为________．24.已知函数 f(x) 是定义在R 上的奇函数，当 x ≥0 时， f(x)=2x −c ，则 f(−2)= ________ 25.已知集合 A ={x|x 2−3x +2=0,x ∈R},B ={x|0<x <5,x ∈N} ,则满足条件 A ⊆C ⊆B 的集合 C 的个数为________．26.若函数 f(x)=lnx −kx 在区间 [1,+∞) 上单调递减，则实数 k 的取值范围是________ 27.设集合A={x|x 2﹣2ax+a=0，x ∈R}，B={x|x 2﹣4x+a+5=0，x ∈R}，若A 和B 中有且仅有一个是∅，则实数a 的取值范围是________．28.已知函数f （x ）满足f （x ﹣1）=x 2﹣x+1，则f （3）=________． 29.函数 f(x)=lg(x −3)+(x−2)0x+1的定义域是________30.函数 y =√5+4x −x 2 的值域是________．31.已知函数f （x ）= {log 2(1−x),x ≤0f(x −1)−f(x −2),x >0，则f （2016）=________32.已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x≥0时，f （x ）=x 2﹣3x ．则关于x 的方程f （x ）=x+3的解集为________． 33.如果对定义在R 上的函数f （x ），对任意两个不相等的实数x 1 ， x 2 ， 都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1），则称函数f （x ）为“H 函数”．给出下列函数①y=x 2；②y=e x +1；③y=2x ﹣sinx ；④f (x )={ln |x |,x ≠00,x =0．以上函数是“H 函数”的所有序号为 ________． 34.已知函数f （x ）= {(2−a)x +1(x <1)a x (x ≥1) 在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是________．35.函数 y =√3−xlog2(x+1)的定义域是________ .三、解答题36.设f （x ）=x 2﹣2|x|+3（﹣3≤x≤3） （1）证明f （x ）是偶函数； （2）指出函数f （x ）的单调增区间； （3）求函数f （x ）的值域．37.已知函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数. （1）求实数a的值；（2）当x∈[1m ,1n](m>0,n>0)时，若函数f(x)的值域为[3−3m,3−3n]，求m，n的值.38.某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？39.设函数f(x)=x2−2|x−a|+3,x∈R.（1）王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由；（2）若f(x)是偶函数，求a的值；（3）在（2）的情况下，画出y=f(x)的图象并指出其单独递增区间.40.已知集合A={a,b,2}，B={2,b2,2a}，若A=B，求实数a，b的值.41.设f(x)=14x+2，先分别求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．42.已知函数f(x)=log a(x+1)，g(x)=log a(4−2x)（a>0，且a≠1），设F(x)=f(x)−g(x)．（1）求函数F(x)的定义域；（2）求使函数F(x)的值为正数的x的取值范围．43.求函数y=2x﹣3+ √13−4x的值域．44.某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且OB=（1+ √3 ）百米，边界线AC 始终过点B ，边界线OA 、OC 满足∠AOC=75°，∠AOB=30°，∠BOC=45°．设OA=x （3≤x≤6）百米，OC=y 百米．（1）试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；（2）当x 取何值时？整个中转站的占地面积S △OAC 最小，并求出其面积的最小值．45.已知由方程kx 2－8x ＋16＝0的根组成的集合A 只有一个元素，试求实数k 的值．46.已知 y =f(x) 为二次函数，其图象顶点为 (1,−3) ，且过坐标原点. （1）求 y =f(x) 的解析式；（2）求 y =f(x) 在区间 [0,m] 上的最大值.47.设全集U=R ，集合A={x|﹣2＜x ＜2}，集合B={x|x 2﹣4x+3＞0} 求A∩B ，A ∪B ，A∩∁U B ．48.已知函数 f(x)=√x ， g(x)=|x −2| . （1）求方程 f(x)=g(x) 的解集；（2）定义： max{a,b}={a,a ≥bb,a <b .已知定义在 [0,+∞) 上的函数 ℎ(x)=max{f(x),g(x)} . ①求 ℎ(x) 的单调区间；②若关于 x 的方程 ℎ(x)=m 有两个实数解，求 m 的取值范围.49.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补全函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）（x∈R）的递增区间；（2）写出函数f（x）（x∈R）的值域；（3）写出函数f（x）（x∈R）的解析式．50.已知函数f(x)=|x+1|−|x|.（1）解关于x的不等式f(x)+f(x−1)<1；（2）若关于x的不等式f(x)−f(x−1)<m−2|x|有解，求m的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】A11.【答案】B12.【答案】A13.【答案】A14.【答案】A15.【答案】C16.【答案】A17.【答案】B18.【答案】A19.【答案】C20.【答案】C二、填空题21.【答案】3或122.【答案】2；-123.【答案】（π6+2kπ，5π6+2kπ），k∈Z24.【答案】25.【答案】426.【答案】[1,+∞)27.【答案】（﹣1，0]∪[1，+∞）28.【答案】1329.【答案】(3,+∞)30.【答案】[0，3]31.【答案】032.【答案】{2+ √7，﹣1，﹣3}33.【答案】②③34.【答案】 [ 32 ，2） 35.【答案】 (−1,0)∪(0,3] 三、解答题36.【答案】 （1）证明：f （x ）的定义域为{x|﹣3≤x≤3}，关于原点对称 又f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣2|﹣x|+3=x 2﹣2|x|+3=f （x ），∴f （x ）是偶函数；（2）解： f(x)={x 2+2x +3=(x +1)2+2(−3≤x ≤0)x 2−2x +3=(x −1)2+2(0<x ≤3) 作出函数的图象，如图，可知：f （x ）的单调增区间为[﹣1，0]和[1，3]（3）解：由（2）知，x=±1时，函数取得最小值；x=±3时，函数取得最大值 ∴函数f （x ）的值域为[2，6]．37.【答案】 （1）解：函数f （x ）的定义域为： {x ∈R|x ≠0} ， f(x)=(x+1)(x+a)x=x +ax+1+a ，∴ f(−x)+f(x)=−x −ax +1+a +x +ax +1+a =0 ， ∴ a =−1 ；（2）解：由（1）可知： f(x)=x −1x ， 显然 f(x)=x −1x 在 [1m ,1n ] 上单调递增，∴{1m −m =3−3m 1n−n =3−3n，∴ m ， n 是方程 2x 2−3x +1=0 的两个实根，且 m >n ， ∴ m =1,n =12 .38.【答案】 解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时， 未租出的车辆数为 ，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元， 则租赁公司的月收益为，整理得．所以，当x=4050时，f （x ）最大，最大值为f （4050）=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元 39.【答案】 （1）解：我同意王鹏同学的看法，理由如下： f(a)=a 2+3,f(−a)=a 2−4|a|+3若 f(x) 为奇函数，则有 f(a)+f(−a)=0 ， ∴a 2−2|a|+3=0显然 a 2−2|a|+3=0 无解， 所以 f(x) 不可能是奇函数（2）解：若 f(x) 为偶函数，则有 f(x)=f(−x) ∴2|a|=0 , 解得 a =0 ，此时 f(x)=x 2−2|x|+3 ，是偶函数.（3）解：由（2）知 f(x)=x 2−2|x|+3 ，其图象如图所示其单调递增区间是 (−1,0) 和 (1,+∞) .40.【答案】 解：由已知 A =B ，得 {a =2a b =b 2 （1）或 {a =b 2b =2a .（2） 解（1）得 {a =0b =0 或 {a =0b =1 ， 解（2）得 {a =0b =0 或 {a =14b =12，又由集合中元素的互异性 得 {a =0b =1 或 {a =14b =12 . 41.【答案】解：f （0）+f （1）= ， 同理可得：f （﹣1）+f （2）= ，f （﹣2）+f （3）=．一般性结论：或写成“若x 1+x 2=1，则f （x 1）+f （x 2）=．”证明： ==42.【答案】 （1）解：∵函数 f(x)=log a (x +1) ， g(x)=log a (4−2x) ∴ F(x)=f(x)−g(x)=log a (x +1)−log a (4−2x) ∴其定义域满足： {x +1>04−2x >0 ，解得 −1<x <2∴函数 F(x) 的定义域为 (−1,2)（2）解：要使函数 F(x) 的值为正数，等价于 f(x)>g(x) ，即 log a (x +1)>log a (4−2x) . ①当 a >1 时，可得 x +1>4−2x ，解得 x >1 . ∵定义域为 (−1,2)∴实数 x 的取值范围是 (1,2)②当 0<a <1 时，可得 x +1<4−2x ，解得 x <1 . ∵定义域为 (−1,2)∴实数 x 的取值范围是 (−1,1)综上，当 a >1 时，解集为 (1,2) ；当 0<a <1 ，解集为 (−1,1) 43.【答案】解：令则，t≥0 ∴y=﹣3+t=﹣t 2+t+=﹣ （t ﹣1）2+4（t≥0）根据二次函数的性质可知，当t=1即x=3时，函数有最大值4 故答案为：（﹣∞，4]44.【答案】 （1）解：结合图形可知，S △BOC +S △AOB =S △AOC ．于是， 12 x （1+ √3 ）sin30°+ 12 y （1+ √3 ）sin45°= 12 xysin75°，解得：y= √2xx−2 ，（其中3≤x≤6）（2）解：由（1）知，y= √2x x−2 （3≤x≤6），因此，S △AOC = 12 xysin75°= 1+√34 • x 2x−2= 1+√34[（x ﹣2）+ 4x−2 +4] ≥2+2 √3 （当且仅当x ﹣2= 4x−2 ，即x=4时，等号成立）．∴当x=400米时，整个中转站的占地面积S △OAC 最小，最小面积是（2+2 √3 ）×104平方米． 45.【答案】解：当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0，所以x ＝2，此时集合A 中只有一个元素2.当k≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0有一个实根，需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝4，集合A 中只有一个元素4.综上可知k ＝0或146.【答案】 （1）解：设 f(x) 解析式为： f(x)=a(x −1)2−3 ∵f(x) 过坐标原点 ∴f(0)=a −3=0 ，解得： a =3∴f(x)=3(x −1)2−3=3x 2−6x（2）解：由（1）知： f(x) 为开口方向向上，对称轴为 x =1 的二次函数 ①当 0<m <2 时， f(x)max =f(0)=0 ，当 m =2 时， f(x)max =f(0)=f(m)=0 ， ②当 m >2 时， f(x)max =f(m)=3m 2−6m47.【答案】解：全集U=R ，集合A={x|﹣2＜x ＜2}，集合B={x|x 2﹣4x+3＞0}={x|x ＜1或x ＞3}，所以A∩B={x|﹣2＜x ＜1}，A ∪B={x|x ＜2或x ＞3}，∁U B={x|1≤x≤3}，所以A∩∁U B={x|1≤x ＜2}48.【答案】 （1）解：当 x ≥2 时，方程 f(x)=g(x) 为 √x =x −2 ，即 (√x −2)(√x +1)=0 ，解得 x =4 ，当 0≤x <2 时，方程 f(x)=g(x) 为 √x =2−x ，即 (√x +2)(√x −1)=0 ，解得 x =1 ， 综上，方程 f(x)=g(x) 的解集为 {1,4} .（2）解：① f(x)≥g(x)⇒1≤x ≤4 ， f(x)<g(x)⇒0≤x <1 或 x >4所以 ℎ(x)=max{f(x),g(x)}={2−x,0≤x <1√x,1≤x ≤4x −2,x >4 ，所以， ℎ(x) 的单调递增区间为 [1,+∞) ，单调递减区间为 [0,1) .②由①知 ℎ(x)min =ℎ(1)=1 ， ℎ(0)=2 ，当 1<m ≤2 时，方程 ℎ(x)=m 有两个实数解， 综上，实数 m 的取值范围为 (1,2] .49.【答案】 （1）解：根据偶函数的图象关于y 轴对称，作出函数在R 上的图象， 结合图象可得函数的增区间为（﹣1，0）、减区间为（1，+∞）（2）解：结合函数的图象可得，当x=1，或 x=﹣1时，函数取得最小值为﹣1， 函数没有最大值，故函数的值域为[﹣1，+∞）（3）解：当x ＞0时，﹣x ＜0，再根据x≤0时，f （x ）=x 2+2x ，可得f （﹣x ）=（﹣x ）2+2（﹣x ）=x 2﹣2x ．再根据函数f （x ）为偶函数，可得f （x ）=x 2﹣2x ．综上可得，f （x ）= {x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x ＞050.【答案】 （1）解： f(x)+f(x −1)<1⇔|x +1|−|x −1|<1⇔{x ⩽−1−x −1−1+x <1 或 {−1<x <1x +1−1+x <1 或 {x ⩾1x +1−x +1<1⇔x ⩽−1 或 −1<x <12⇔x <12所以，原不等式的解集为 (−∞,12)（2）解： f(x)−f(x −1)<m −2|x| 有解即 |x +1|+|x −1|<m 有解则 m >(|x +1|+|x −1|)min 即可.由于 |x +1|+|x −1|⩾|(x +1)−(x −1)|=2 ，当且仅当 (x +1)(x −1)≤0 ，即当 −1≤x ≤1 时等号成立，故 m >2 . 所以， m 的取值范围是 (2,+∞) .。

第一章《函数与集合的概念》综合测试本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

）1 •已知集合山{0,1,2,3,4,5} , B= {1,3,6,9} , C= {3,7,8}，则（A Q B）U C等于（）A. {0,1,2,6,8} B . {3,7,8} C . {1,3,7,8} D. {1,3,6,7,8}［答案］C［解析］A Q B= {1,3} , （A Q B）U C= {1,3,7,8}，故选 C.2 .已知f （x）, g（x）对应值如表.则f(g(1))的值为（).1 D.A. - 1B. 0C不存在［答案］C［解析］•/g(1) = 0, f(0) = 1, •-f(g(1)) = 1.3.已知函数f（x+ 1）=3x + 2, 则f （x）的解析式是（)A. 3x+ 2B. 3x+ 1 C . 3x—1 D.3x+ 4［答案］C［解析］设x + 1 = t，则x= t - 1,「.f(t) = 3( t - 1) + 2 = 3t - 1 ,「.f(x) = 3x - 1.2x- 1 (x >2)4.已知f (x) = 2 ，则f ( -1) + f(4)的值为()-x + 3x ( x<2)A. —7B. 3 C . —8 D. 4［答案］B［解析］f(4) = 2X 4- 1 = 7, f( - 1) =- ( - 1)2+ 3X ( - 1) =-4,「. f(4) + f ( - 1) = 3,5. f(x) =- x2+ mx在(—g, 1］上是增函数，则m的取值范围是()故选B.［答案］［答案］A［解析］由运算与?的定义知，寸4 — X 2 2寸4 — x 2 J 4 — x 2f(x)= (x —2)2— 2「4-八。

人教A版高中数学必修一第1章集合与函数的概念章末检测题（附解析）末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题．设集合S＝{x|≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝A．[2,3]B．c．[3，＋∞)D．解析：由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|00，0，x＝0，－1，x＋1，＋1≥－2，2－1≤7，解得2＜≤4 综上所述，的取值范围是≤4.答案：D0．y＝1x－2＋1在[3,4]的最大值为A．2B.32c.52D．4解析：y＝1x－2＋1在[3,4]上是减函数，∴y的最大值为13－2＋1＝2.答案：A1．奇函数f在上的解析式是f＝x，则在上，函数f的解析式是A．f＝－xB．f＝xc．f＝－xD．f＝x解析：当x∈时，－x∈，由于函数f是奇函数，故f＝－f＝x．答案：B．若函数f是奇函数，且在上是增函数，又f＝0，则x•f0f x0，结合图象，x的范围是∪．答案：A二、填空题3．已知f＝x2，则f＝________.解析：f＝f＝22＝4.答案：4．已知f为奇函数，g＝f＋9且g＝3，则f＝________.解析：g＝f＋9＝3，∴f＝－6，又∵f是奇函数，∴f＝－f＝6.答案：6．已知U＝{0,2,3,4}，A＝{x∈U|x2＋x＝0}，若∁UA＝{2,3}，则实数＝________.解析：由题设可知A＝{0,4}，故0,4是方程x2＋x＝0的两根，∴x1＋x2＝4＝－，∴＝－4.答案：－4已知f3－a x－4a，x＜1x－12，x≥1，若f是R上的增函数，则实数a的范围是________．解析：3－a>03－a1－4a1－12解得35≤a＜3.答案：35，3三、解答题．已知集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，B⊆A，求a的值．解析：∵B⊆A，A≠∅，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.当B≠∅时，此时a≠0，B＝{－1a}，∴－1a∈A，即有－1a＝－2，得a＝12.综上所述，a＝0或a＝12.．已知y＝f是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f＝x2－2x，求f在R上的解析式f．解析：设x0，∵f是定义在R上的偶函数，f＝f＝2－2＝x2＋2x，∴f＝x2－2x，x≥0x2＋2x，x＜0.．某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.4元计费．若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元？解析：设乘出租车走x公里，车费为y元，由题意得y＝5，0＜x≤25＋1.6x－22＜x≤8，14.6＋2.4x－8x>8即y＝5，0＜x≤21.8＋1.6x，2＜x≤8，2.4x－4.6，x>8 因为甲、乙两地相距10公里，即x＝10>8，所以车费y＝2.4×10－4.6＝19.4．所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元．0．奇函数f是定义在上的减函数，且f＋f1－2a解得0＜a＜1，即所求实数a的取值范围是0＜a＜1.1．已知f是R上的奇函数，当x>0时，解析式为f＝2x ＋3x＋1.求f在R上的解析式；用定义证明f在上为减函数．解析：设x0，所以f＝－2x＋3－x＋1.又因为f是R上的奇函数，所以f＝－f＝－2x＋3－x＋1，所以f＝－2x＋3x－1.又奇函数在0点有意义，所以f＝0，函数的解析式为f＝－2x＋3x－1，x0.设∀x1，x2∈，且x10，x2＋1>0，x2－x1>0，所以f－f>0，所以f>f，所以函数f在上为减函数．2．设函数f的定义域为R，并且图象关于y轴对称，当x≤－1时，y＝f的图象是经过点与的射线，又在y ＝f的图象中有一部分是顶点在，且经过点的一段抛物线．试求出函数f的表达式，作出其图象；根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数是增函数还是减函数．解析：当x≤－1时，设f＝ax＋b，由已知得－2a＋b ＝0，－a＋b＝1，解得a＝1，b＝2，所以f＝x＋2．由于函数图象关于y轴对称，则由x≥1，得－x≤－1，f＝－x＋2，且f＝f，所以f＝－x＋2．当－1<x<1时，设f＝x2＋2，由已知得＝－1，即f＝－x2＋2，所以函数f的表达式为f＝x＋2，x≤－1，－x2＋2，－1<x<1，－x＋2，x≥1，图象如图所示．从图象可看出，函数f的单调区间有，[1，＋∞)．其中，f在区间和[1，＋∞)上是减函数．。

必修一第一章《集合与函数概念》单元测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合A ＝{0，1}，则下列关系表示错误的是( ) A ．0∈A B ．{1}∈A C ．∅⊆AD ．{0，1}⊆A2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如下图的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f (g (2))的值为()A ．3B ．2C ．1D ．03．设全集U ＝{1，2，3，4}，M ＝{1，3，4}，N ＝{2，4}，P ＝{2}，那么下列关系中正确的是( )A ．P ＝(∁U M )∩NB ．P ＝M ∪NC ．P ＝M ∪(∁U N )D ．P ＝M ∩N4．已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 5．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4 6．函数y ＝x －2x －1的图象是( )7．函数f (x )＝2x ＋1＋x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．[1，＋∞)8．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个9．已知函数f (x )＝ax 3－bx －4，其中a ，b 为常数．若f (－2)＝2，则f (2)的值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－1010．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，则f (－1)与f (a 2－2a ＋3)的大小关系是( )A ．f (－1)≥f (a 2－2a ＋3)B ．f (－1)≤f (a 2－2a ＋3)C ．f (－1)>f (a 2－2a ＋3)D ．f (－1)<f (a 2－2a ＋3)11．函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝ax ＋b (ab ≠0)的图象只可能是( )12．设数集M 同时满足以下条件：①M 中不含元素－1，0，1；②若a ∈M ，则1＋a 1－a∈M .则下列结论正确的是( ) A ．集合M 中至多有2个元素 B ．集合M 中至多有3个元素 C ．集合M 中有且仅有4个元素 D ．集合M 中有无穷多个元素二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．用列举法表示集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪10m ＋1∈Z ，m ∈Z ＝________． 14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (a )＝4，则实数a 的值为________．15．已知全集U ＝{2，4，a 2－a ＋1}，A ＝{a ＋4，4}，∁U A ＝{7}，则a ＝________． 16．若函数f (x )满足f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x (x ≠0)，则f (x )＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)集合U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋mx ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋n ＝0}，A ∩B ≠∅，且(∁U A )∩B ＝{2}，求集合A .18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．若A∩B＝∅，求a的取值范围．19．(本小题满分12分)设函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增；(2)若a>0，且f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．21．(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：(1)(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋mx，且f(1)＝2.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(3)若f(a)>2，求实数a的取值范围．必修一第一章《集合与函数概念》单元测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合A ＝{0，1}，则下列关系表示错误的是( ) A ．0∈A B ．{1}∈A C ．∅⊆AD ．{0，1}⊆A解析：{1}与A 均为集合，而∈用于表示元素与集合的关系，所以B 错，其正确的表示应是{1}⊆A .答案：B2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如下图的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f (g (2))的值为()A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由图象可知g (2)＝1，由表格可知f (1)＝2，所以f (g (2))＝2.答案：B3．设全集U ＝{1，2，3，4}，M ＝{1，3，4}，N ＝{2，4}，P ＝{2}，那么下列关系中正确的是( )A ．P ＝(∁U M )∩NB ．P ＝M ∪NC ．P ＝M ∪(∁U N )D ．P ＝M ∩N解析：由题意知∁U M ＝{2}，故P ＝(∁U M )∩N . 答案：A4．已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：对于f (2x ＋1)，－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.答案：B5．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4 解析：∵43>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83，∵－43<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝43， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝123＝4. 答案：B6．函数y ＝x －2x －1的图象是( )解析：函数的定义域为{x |x ≠1}，排除C 、D ，当x ＝2时，y ＝0，排除A ，故选B.答案：B7．函数f (x )＝2x ＋1＋x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．[1，＋∞)解析：令2x ＋1＝t (t ≥0)，则x ＝t 2－12，所以f (x )＝f (t )＝t 2－12＋t ＝12(t 2＋2t－1)，当t ∈(－1，＋∞)时，f (t )为增函数，又因为t ≥0，所以当t ＝0时，f (t )有最小值－12，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.答案：C8．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个解析：M ＝{x |－2≤x －1≤2}＝{x |－1≤x ≤3}，N ＝{1，3，5，…}，则M ∩N ＝{1，3}，所以阴影部分表示的集合共有2个元素，故选B.答案：B9．已知函数f (x )＝ax 3－bx －4，其中a ，b 为常数．若f (－2)＝2，则f (2)的值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－10 解析：因为f (－2)＝a (－2)3＋b ·(－2)－4＝2， 所以8a ＋2b ＝－6，所以f (2)＝8a ＋2b －4＝－10. 答案：D10．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，则f (－1)与f (a 2－2a ＋3)的大小关系是( )A ．f (－1)≥f (a 2－2a ＋3)B ．f (－1)≤f (a 2－2a ＋3)C ．f (－1)>f (a 2－2a ＋3)D ．f (－1)<f (a 2－2a ＋3)解析：因为a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，且函数f (x )是偶函数，所以f (－1)＝f (1)．又因为函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f (－1)＝f (1)<f (2)≤f (a 2－2a ＋3)．答案：D11．函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝ax ＋b (ab ≠0)的图象只可能是( )解析：先确定一次函数的图象，根据一次函数的图象确定a ，b 的取值，再根据a ，b 的取值确定二次函数的开口方向和对称轴即可．答案：D12．设数集M 同时满足以下条件：①M 中不含元素－1，0，1；②若a ∈M ，则1＋a 1－a∈M .则下列结论正确的是( ) A ．集合M 中至多有2个元素 B ．集合M 中至多有3个元素 C ．集合M 中有且仅有4个元素 D ．集合M 中有无穷多个元素解析：因为a ∈M ，1＋a1－a∈M ，所以1＋1＋a 1－a 1－1＋a1－a＝－1a ∈M ，所以1＋1－a 1－1－a＝a －1a ＋1∈M ，又因为1＋a －1a ＋11－a －1a ＋1＝a ，所以，集合M 中有且仅有4个元素：a ，－1a ，1＋a 1－a ，a －1a ＋1. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．用列举法表示集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪10m ＋1∈Z ，m ∈Z ＝________．解析：由10m ＋1∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1，2，5，10，从而m 的值为－11，－6，－3，－2，0，1，4，9.答案：{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (a )＝4，则实数a 的值为________．解析：当a ≤0时，f (a )＝－a ＝4，所以a ＝－4；当a >0时，f (a )＝a 2＝4，所以a ＝2.故a ＝－4或a ＝2.答案：－4或215．已知全集U ＝{2，4，a 2－a ＋1}，A ＝{a ＋4，4}，∁U A ＝{7}，则a ＝________． 解析：a 2－a ＋1＝7，a 2－a －6＝0，解得a ＝－2，a ＝3，检验知a ＝－2. 答案：－216．若函数f (x )满足f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x (x ≠0)，则f (x )＝________．解析：因为f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①所以以1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝3x .②由①②，得f (x )＝2x －x (x ≠0)． 答案：2x －x (x ≠0)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)集合U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋mx ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋n ＝0}，A ∩B ≠∅，且(∁U A )∩B ＝{2}，求集合A .解：因为(∁U A )∩B ＝{2}， 所以2∈B ，2∉A ，所以2是方程x 2－5x ＋n ＝0的根， 即22－5×2＋n ＝0，所以n ＝6，所以B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}． 由A ∩B ≠∅知3∈A ，即3是方程x 2＋mx ＋2＝0的根， 所以9＋3m ＋2＝0，所以m ＝－113. 所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x 2－113x ＋2＝0＝⎩⎨⎧23，3. 18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}．若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：若A ＝∅，则A ∩B ＝∅， 此时2a >a ＋3，解得a >3.若A ≠∅，由A ∩B ＝∅，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |－12≤a ≤2或a >3.19．(本小题满分12分)设函数f (x )对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.(1)求证f (x )是奇函数；(2)求f (x )在区间[－3，3]上的最大值和最小值． (1)证明：令x ＝y ＝0，则f (0)＝0. 再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0， 所以f (－x )＝－f (x )．故f (x )为奇函数． (2)解：任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，所以f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)<0， 所以f (x )为减函数．又f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－6， 所以f (－3)＝－f (3)＝6.故f (x )max ＝f (－3)＝6，f (x )min ＝f (3)＝－6. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0，且f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． (1)证明：任取x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)．故函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增．(2)解：任取1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1 x1－a －x2x2－a＝2（x1－x2）（x1－a）（x2－a）.因为a>0，x1－x2<0，所以要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1.故a的取值范围是(0，1]．21．(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：(1)(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？解：(1)由题表作出(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0)的对应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示．设它们共线于直线y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝0，45k ＋b ＝15，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝150.所以y ＝－3x ＋150(0≤x ≤50，且x ∈N *)，经检验(30，60)，(40，30)也在此直线上．所以所求函数解析式为y ＝－3x ＋150(0≤x ≤50且x ∈N *)． (2)依题意P ＝y (x －30)＝(－3x ＋150)(x －30)＝ －3(x －40)2＋300.所以当x ＝40时，P 有最大值300，故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋mx ，且f (1)＝2. (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若f (a )>2，求实数a 的取值范围． 解：由f (1)＝2，得1＋m ＝2，m ＝1. 所以f (x )＝x ＋1x .(1)f (x )＝x ＋1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f (－x )＝－x ＋1－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．(2)f (x )＝x ＋1x 在(1，＋∞)上是增函数．证明：设任意的x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)－x1－x2x1x2＝(x1－x2)x1x2－1x1x2，因为1<x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数．(3)设任意的x1，x2∈(0，1)，且x1<x2，由(2)知f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（x1x2－1）x1x2，由于x1－x2<0，0<x1x2<1，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以f(x)在(0，1)上是减函数．由f(x)在(1，＋∞)上是增函数，在(0，1)上是减函数，且f(1)＝2知，当a∈(0，1)时，f(a)>2＝f(1)成立；当a∈(1，＋∞)时，f(a)>2＝f(1)成立；而当a<0时，f(a)<0，不满足题设．综上可知，实数a的取值范围为(0，1)∪(1，＋∞)．。