浙江省2019-2020学年高二数学上学期联考试题(含解析)

2019学年浙江省高二上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 双曲线的焦距是（）A ．B ． 5___________________________________C ． 10___________________________________D ．2. 设，则“ ”是“直线与直线垂直”的（）A ．充分但不必要条件_____________________________________B ．必要但不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若则 ___________B ．若则C．若则 ___________D ．若则4. 已知不等式的解集为．则（）A ．___________________________________B ．_________________________________ C ．___________________________________D ．5. 直线与曲线的公共点的个数是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46. 把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A ．90°______________________________B ．60°___________________________________C ．45°___________________________________D ．30°7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若，则的斜率是（）A ．______________________________B ．_________________________________ C ．______________________________D ．8. 已知实数x ， y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1 ，则实数m等于（）A ． 7____________________B ． 5_________________________________C ． 4______________________________D ． 39. 如图，在长方形ABCD中， AB= ， BC=1 ， E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C ，则K所形成轨迹的长度为（）________________________A ．___________________________________B ．___________________________________ C ．_________________________________ D ．10. 已知，，若不等式恒成立，则的最小值为（）A ．____________________B ．____________________________C ．___________D ．二、填空题11. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是_________________________________ ．12. 设是一个球面上的四个点，两两垂直，且，则该球的体积为_________________________________ ．13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线交双曲线的渐近线于两点，为线段的中点．若直线平行于其中一条渐近线，则该双曲线的离心率为______________ ．14. 如图，直线，垂足为O ，已知中，为直角，AB=2 ， BC=1 ，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（ 1 ），（ 2 ）．则C、O两点间的最大距离为______ ．15. 已知，且满足，则的最大值为___________ ．16. 在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为，设有下列四个说法：① 存在实数，使点在直线上；② 若，则过、两点的直线与直线平行；③ 若，则直线经过线段的中点；④ 若，则点、在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交．在上述说法中，所有正确说法的序号是___________________________________ ．三、解答题17. 关于的方程：．（1）若方程表示圆，求实数的范围；（2）在方程表示圆时，若该圆与直线相交于两点，且，求实数的值．18. 如图，在三棱锥中，平面，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．19. 已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点，如图所示．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值．20. 已知函数，且，．（1）求､的值；（2）已知定点，设点是函数图象上的任意一点，求的最小值；（3）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。

所以异面直线 与 所成的角为 .
又 平面 .
所以直线 与平面 所成的角为
在 中, ,
所以 .
取边 的中点 ，连结 ，
则有 ，
所以二面角 的平面角为 ,
在 中，
由余弦定理有： ,
即 ，
所以 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查异面直线成角，线面角，二面角的求法，关键是在立体图中作出相应的角，也可以用向量法，属于中档题.
故答案为：①②③④.
【点睛】
本题考查空间的垂直，异面直线所成角，二面角等属于中档题.
17．已知 是实数，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则 的值为______.
【答案】
【解析】不等式 恒成立，则两个因式的符号相反（或有一个为0），因为当 时， ，则此时 必须为负，则 ，且函数 和 在 轴上的交点必须重合.从而求得答案.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】(1)取 中点 ，连 ， ，证明平面 平面 ，然后可证明平面 平面 .
(2)连接 、 ，作 于 .连接 , 即为所求角,然后归结到三角形中求解.
【详解】
解：（1）取 中点 ，连 ， ，
∵ 是 的中位线，
∴ ，
又∵ 平面 ，
∴ 平面 .
∵在 中， ， 分别是 ， 的中点.
A．-5B．5C．-25D．25
【答案】C
【解析】用向量的加法法则将 表示成 ，然后用向量数量积的定义进行计算.
【详解】
.
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的加法和数量积的运算，属于基础题.
7．已知 是等比数列， ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据 ， 求出公比 ，再由数列 是等比数列，根据等比数列的前 项和公式得到答案.

考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.准线方程为2y =的抛物线的标准方程是（）A.24x y = B.24x y =-C.28x y= D.28x y=-2.直线210x ay +-=和直线()3110a x ay ---=垂直，则a =（）A.1B.12C.1或12D.1或12-3.已知在等比数列{}n a 中，4816a a ⋅=，则6a 的值是（）A.4B.-4C.±4D.164.如图，在三棱台111ABC A B C -中，且112AB A B =，设1,,AB a AC b AA c ===，点D 在棱11B C 上，满足112B D DC = ，若AD xa yb zc =++，则（）A.11,,163x y z === B.111,,632x y z ===C.11,,136x y z === D.111,,362x y z ===5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且202220230,0S S ><，则下列说法错误的是（）A.10120a < B.10110a >C.数列{}n a 是递减数列D.{}n S 中1010S 最大6.已知圆221:20(0)C x ax y a -+=>，直线:0l x =，圆1C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则圆1C 与圆222:(1)(1C x y -+=的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.相离7.已知圆22:(4)1C x y +-=上有一动点P ，双曲线22:197x y M -=的左焦点为F ，且双曲线的右支上有一动点Q ，则PQ QF +的最小值为（）A.1- B.5- C.7D.58.阅读材料：空间直角坐标系O xyz -中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为21x y z -+=，点()3,1,1Q -，则点Q 到平面α距离为（）A.6B.2C.102D.34二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()()2,2,2,1,2,1a b =-=-，则下列说法正确的是（）A.()1,4,1a b +=-B.a∥bC.a b⊥D.3cos ,23a ab -=10.已知直线()():2220l mx m y m m R ++--=∈，圆22:(1)(2)25C x y -+-=，点P 为圆C 上的任意一点，下列说法正确的是（）A.直线l 恒过定点()1,1B.直线l 与圆C 恒有两个公共点C.直线l 被圆C 截得最短弦长为D.当1m =-时，点P 到直线l 距离最大值是252+11.已知数列{}{},n n a b 满足()*123111,23n n n a a a a b n N S n++++=∈ 是{}n a 的前n 项和，下列说法正确的是（）A.若2n a n n =+，则232n n nb +=B.若n b n =，则{}n a 为等差数列C.若1n b n =+，则{}n a 为等差数列D.若2nn b =，则()122nn S n =-⋅+12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过M 的直线l 与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，点D 是点A 关于x 轴的对称点，则下列说法正确的是（）A.124y y =- B.4AF BF +的最小值为10C.,,B F D 三点共线D.0MB MD ⋅>三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.在空间直角坐标系O xyz -中，已知点()()3,1,4,2,1,5M N -，则MN =__________.14.过点()0,0作圆22:430C x y y +-+=的两条切线，切点为A B ､，则劣弧长 AB =__________.15.如图，已知正方形0000A B C D 的边长为2，分别取边00000000,,,D A A B B C C D 的中点1111,,,A B C D ，并连接形成正方形1111A B C D ，继续取边11111111,,,D A A B B C C D 的中点2222,,,A B C D ，并连接形成正方形2222A B C D ，继续取边22222222,,,D A A B B C C D 的中点3333,,,A B C D ，并连接形成正方形3333,A B C D ，依此类推；记011A A B 的面积为1122,a A A B 的面积为2,a ，依此类推，()*1n n n A A B n N -∈ 的面积为n a ，若12310231024n a a a a +++=，则n =__________.16.设12F F ､是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，点,P Q 为椭圆C 上的两点，且满足21260,2PF Q PF QF ∠==，则椭圆C 的离心率为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3,4AB AD AA ===，点,E F 分别为棱1,AB DD的中点，（1）求证：1C F ⊥平面BCF ；（2）求直线1C F 与平面1DEC 所成角的正弦值.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，点()*111,n n n N a a +⎛⎫∈⎪⎝⎭在直线210x y -+=上.（1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）求满足11635n a ≤≤的n 的取值构成的集合.19.（本题满分12分）已知动点P 与两个定点()()1,0,4,0A B 的距离的比是2.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）直线l 过点()2,1，且被曲线C 截得的弦长为3，求直线l 的方程.20.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足343,10a S ==.数列{}n b 满足12b =，*112,n n n nb a n N b a ++=∈.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}nc 满足()*1(1)32,n n n n n c n N a b +-+=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .21.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2,,AB PA E F ==分别为,PB PD 的中点.（1）求平面CEF 与底面ABCD 所成角的余弦值；（2）求平面CEF 与四棱锥P ABCD -表面的交线围成的图形的周长.22.（本题满分12分）已知双曲线C 的中心为坐标原点，上顶点为()0,2，离心率为2.（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）记双曲线C 的上､下顶点为12,,A A P 为直线1y =上一点，直线1PA 与双曲线C 交于另一点M ，直线2PA 与双曲线C 交于另一点N ，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标.2023学年第一学期金华卓越联盟12月阶段联考高二年级数学参考答案命题人：东阳二中吕夏雯陆琳琳；审题人：汤溪中学张拥军一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.D 【解析】242pp =⇒=，又抛物线开口向下，所以抛物线的方程为28,D x y =-正确.2.C 【解析】()()311201a a a a -⋅+⋅-=⇒=或1,C 2a =正确.3.C 【解析】2486616,4,C a a a a ⋅==∴=±正确.4.A 【解析】1111111111111212,,3333AD AA A D A D A B AC AD AA A B AC =+=+∴=++又111111111,,,2263A B a AC b AA c AD a b c ===∴=++ ，A 正确.5.D 【解析】()()120222022101110121011101220221011002a a S a a a a +==+>⇒+>()1202320231012101220232023002a a S a a +==<⇒<，则10110a >所以数列{}n a 单调递减，{}n S 中1011S 最大.D 正确.6.B 【解析】圆上3个点到直线的距离是1，则圆心到直线的距离应是1,12aa a -∴=-，则2a =，圆1C 的圆心为()2,0，半径是2，圆2C 的圆心为(，半径是1，则12C C =，所以两圆的位置关系是相交.B 正确.7.D 【解析】圆心()0,4C ，取双曲线的左焦点()224,0,1,6F PQ QC QF QF ≥-=+ ，则()22216555PQ QF QC QF QC QF CF +≥-++=++≥+=PQ QF ∴+的最小值为5+，D 正确.8.A 【解析】平面α的法向量()1,1,2n =-，在平面α上任取一点()1,0,1A -，则()4,1,0QA =- ，556A 66QA n d n ⋅== 正确.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ACD 【解析】()1,4,1a b +=- ，选项A 正确，a b λ≠ ，选项B 错误；()()2122210a b -⋅+⋅+⋅-=∴⊥选项C 正确；()12324,2,4cos ,23236a b a a b -=--∴->=⋅，选项D 正确，正确答案是A.C.D 10.ABD 【解析】直线():2220l m x y y +-+-=，所以恒过定点()1,1.选项A 正确；因为定点()1,1在圆C 内，所以直线l 与圆C 恒有两个公共点.选项B 正确；l 被圆C 截得的最短弦长2516-=C 错误；当1m =-时，:0l x y -=，点P 到直线l 的距离的最大值是25522+=+，选项D 正确.正确答案是A.B.D11.ABD 【解析】当2n a n n =+，则11n a n n =+，所以()221322n n n n n b +++==，选项A 正确；已知12311123n a a a a n n++++= ，当1n =时，11a =，当2n ≥时，12311111231n a a a n n -++++=-- ，则(11,1n n a a n n n=∴==时也成立），所以{}n a 为等差数列，选项B 正确；已知123111123n a a a a n n++++=+ ，当1n =时，12a =，当2n ≥时，1231111231n a a a a n n -++++=- ，则(11,1n n a a n n n=∴==时不成立），所以{}n a 不是等差数列，选项C 不正确；已知123111223n n a a a a n++++= ，当1n =时，12a =，当2n ≥时，112311112231n n a a a a n --++++=- ，则1112,2(1n n n n a a n n n--=∴=⋅=时不成立)，所以12,1;2,2n n n a n n -=⎧=⎨⋅≥⎩当1n =时，12S =，1n =时，12112,222322n n a S n -==+⋅+⋅++⋅ ()2122222122n nn S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ()()22314122022222212212n n n nnn S n n n ----=++++-⋅=+-⋅=-⋅-- 所以()122,1nn S n n =-⋅+=时也成立，选项D 正确.正确答案是A.B.D 12.CD【解析】设直线:1l x my =-，联立方程组224,4401y x y my x my ⎧=-+=⎨=-⎩，则121244y y m y y +=⎧⎨=⎩，选项A 不正确；221212144y y x x =⋅=，所以()121244114559AF BF x x x x +=+++=++≥=当且仅当2142x x ==时等号成立，所以4AF BF +的最小值为9，选项B 不正确；()11,D x y -，设:l x ny t =+，联立方程组224,440y x y ny t x ny t ⎧=--=⎨=+⎩，则121244y y my y t -+=⎧⎨-=-⎩，所以1t =，即直线BD 过点F ，选项C 正确；对于D 选项，()()22111,,1,MB x y MD x y =+=+-，22121212114214440MB MD x x x x y y m m ∴⋅=+++-=+-++=+>，选项D 正确.正确答案是C.D三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.【解析】()1,2,1,MN MN =-∴==.14.23π【解析】圆C ：22(2)1x y +-=，2,63COB COA ACB ππ∠∠∠∴==∴=，故劣弧长23AB π=.15.10【解析】由题意可知三角形的面积构成首项为12，公比为12的等比数列，12311122110231,1012102412nnn a a a a n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴+++==-=∴=-.16.9【解析】如图，过1F 作12F M QF = ，连接2MF ，因为122PF QF = ，所以12260F PF PF Q ∠∠==，设2QF t =，则11222,,22,2PF t MF t PF a t MF a t ===-=-，在2PMF 中，222222||||PM PF PM PF MF +-=，即22222294846644t a at t at t a at t +-+-+=-+，化简得1210859,,99a t PF a PF a ===，所以1006480221299c t a ==，所以离心率219c a =.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）方法一：因为F 是1DD 的中点，所以111112,D F D C FD DC D FC ==== 和FDC 是等腰直角三角形，所以1145D FC CFD ∠∠==，1C F CF ∴⊥，因为BC ⊥平面111,CDD C C F ⊂平面11CDD C ，所以1BC C F ⊥，,BC CF ⊂平面11BCF C F ∴⊥平面BCF方法二：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，()()()()()()()110,3,0,2,3,0,0,0,2,0,2,4,2,0,0,0,2,2,0,2,2,C B F C CB CF C F ==-=--所以111440,0,C F CF C F CB C F ⋅=-=⋅=∴⊥平面BCF ；（2）()()13,1,0,0,2,4DE DC == ，设平面1DEC 的法向量为(),,n x y z =，则130240DE n x y DC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，所以取()2,6,3n =- ，又()10,2,2C F =--，11132sin cos ,14||C F n C F n C F n θ⋅∴==== .直线1C F 与平面1DEC所成角的正弦值为14.18.【解析】（1）由已知得111212121,21111n n n n nn a a a a a a ++++=+∴==++，且11120a +=≠，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，112n n a ∴+=，则1;21n n a =-（2）因为11635n a ≤≤，所以111,52163,626463215n n n ≤≤≤-≤∴≤≤-，得2log 66n ≤≤，又因为*n N ∈，所以n 的取值构成的集合是{}3,4,5,6.19.【解析】（1）设点(),P x y=，化简得2210210x y x +-+=，所以动点P 的轨迹C 的方程为22(5)4x y -+=；（2）由（1）可知点P 的轨迹C 是以()5,0为圆心，2为半径的圆，可计算得圆心()5,0到直线l的距离1d ==，①当直线l 的斜率不存在时，圆心到直线l 的距离是3，不符合条件，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，所以1d ==，化简得229611k k k ++=+，解得0k =或34k =-，所以直线l 的方程是1y =或34100x y +-=.20.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为1123,4610a d d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得11,1,n a d a n ==∴=.()11211,2n n n n b n b n b b n n ++++=∴= ，且121b =，所以n b n ⎧⎫⎨⎩⎭是等比数列，2,2n nn n b b n n∴=∴=⋅（也可用累乘法求{}n b 的通项公式）（2）()()()()1111(1)3211(1)(1)(1)12212212n n n nn n n n n n n c n n n n n n ++++⎛⎫-+--==-+=- ⎪ ⎪+⋅⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭，()1111(1)212n n n T n ++∴=---+⋅21.【解析】（1）以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，平面ABCD 的法向量为()0,0,1m =，()()()()()2,2,0,1,0,1,0,1,1,1,2,1,1,1,0C E F CE EF =--=- ，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，所以200CE n x y z EF n x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，所以取()1,1,3n = ，所以cos ,||||11m n m n m n ⋅〈〉=== ，所以平面CEF 与底面ABCD所成角的余弦值为11；（2）由对称性可知平面CEF 与棱PA 交于一点，设交点()()40,0,,1,0,1,1330,3Q t QE t QE n t t =-⋅=+-=∴= ，103QE QF ∴==又CE CF ==，所以围成的图形的周长为210263+22.【解析】（1）设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，由上顶点坐标可知2a =，则由52c e a ==可得225,1c b c a ==-，双曲线的渐近线方程为2y x =±.（2）由（1）可得()()120,2,0,2A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214y x -=联立可得()2224240k x kmx m -++-=，且()22Δ1640k m =-+>，则212122224,44km m x x x x k k --+==--，()2212122248,44k m m y y y y k k -+-∴+==--设()1213,1,,A P A P P t k k t t ∴=-=，2111233,4A P A P MA MA MA k k k k k ∴=-=-⋅= ，得2212MA NA k k ⋅=-2221221222441641612,124y y k m m k x x m ++---+-∴⋅=-=--，化简得22(2)3,4m m +=-。

浙江省浙东北联盟（ZDB）2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知椭圆x2k +y25=1的一个焦点坐标为(2,0)，则k的值为()A. 1B. 3C. 9D. 812.直线x+y=5和圆O：x2+y2−4y=0的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交不过圆心D. 相交过圆心3.如图，正方体ABCD−EFGH中，M为BG的中点，则直线DM与平面ABCD所成角的正切值为()A. √56B. √55C. √5D. √24.下列三视图表示的几何体是()A. 正六棱柱B. 正六棱锥C. 正六棱台D. 正六边形5.l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是()A. 如果l1//α，l2//α，则一定有l1//l2B. 如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC. 如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1//αD. 如果l1⊥α，l2//α，则一定有l1⊥l26.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点F，G分别是棱BC，BB1的中点，则AC与GF所成的角的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，若AB1⊥BC1，则下列关于直线A1C和AB1，BC1的关系的判断正确的为()A. A1C和AB1，BC1都垂直B. A1C和AB1垂直，和BC1不垂直C. A1C和AB1，BC1都不垂直D. A1C和AB1不垂直，和BC1垂直8.下列说法正确的是()A. 单位向量都相等B. 模长相等的两个平行向量是相等向量C. 若a→ =b→ ，则|a→ |=|b→ |D. 若a→ //b→ ,b→ //c→ 则a→ //c→ 9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在A、B两点恰好关于直线l:x−y−1=0对称，且直线AB与直线l的交点的横坐标为2，则椭圆C的离心率为()A. 13B. √33C. √22D. 1210.已知AB是平面α的斜线段，A为斜足，若AB与平面α成60°角，过定点B的动直线l与斜线AB成60°角，且交α于点P，则动点P的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.方程x2+y2+2ax−by+c=0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a=________，b=________，c=________．12.设F1、F2是椭圆3x2+4y2=48的左、右焦点，点P在椭圆上，满足sin∠PF1F2=35，△PF1F2的面积为6，则|PF2|=______．13.若过点M( 0，2 )作圆x2+y2−2x−1=0的切线，则切线长为______．14.已知球的直径为4，则该球的表面积为__________．15.已知经过椭圆x236+y216=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为______ ．16.已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为1.点E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值是_________．17.在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为DC的三等分点(靠近C处)，F为线段EC上一动点(包括端点)，现将△AFD沿AF折起，使D点在平面内的射影恰好落在边AB上，则当F运动时，二面角D−AF−B平面角余弦值的变化范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在正三棱柱ABC−A′B′C′中，D、E、F分别为棱BC，A′A，AC的中点．(1)求证：平面AB′D⊥平面BCC′B′；(2)求证：EF//平面AB′D．19.已知△ABC的顶点坐标是A(8,0)，B(0,6)，O(0,0)．(1)求△ABC外接圆C的方程．(2)过点P(−1,5)作圆C的切线l，求切线l的方程．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为√22，短轴的两个端点分别为A，B，S△ABF=1．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)过点D(2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N(M在D，N之间)，求S△ODMS△ODN(O为坐标原点)的取值范围．21.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，且∠BAD=60∘，△PAB是等边三角形．(Ⅰ)证明：AB⊥PD；(Ⅱ)若平面PAB⊥平面ABCD，求二面角A−PB−C的余弦值．22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−√22,√32)，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P,Q，且OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】利用椭圆的方程，通过焦点坐标为(2,0)，求解k即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．【解答】解：椭圆x2k +y25=1的一个焦点坐标为(2,0)，可得√k−5=2，解得k=9．故选C．2.答案：A解析：解：将圆O的方程化为标准方程得：x2+(y−2)2=4，可得：圆心O(0,2)，半径r=2，∵圆心O到直线x+y=5的距离d=√2=3√22>2=r，∴直线与圆O的位置关系是相离．故选A将圆O的方程化为标准方程，找出圆心O坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线x+y=5的距离d，判断d与r的大小关系，即可得出直线与圆O的位置关系．此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离(d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径)．3.答案：B解析：【分析】本题考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题．过M作MN⊥BC，交BC于N，连接DN，则∠MDN为直线DM与平面ABCD所成角，由此能求出直线与平面所成角的正切值．【解答】解：过M作MN⊥BC，交BC于N，连接DN，∵正方体ABCD−EFGH中，M为BG的中点，∴MN//CG，∵CG⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴∠MDN为直线DM与平面ABCD所成角，设正方体ABCD−EFGH的棱长为a，则MN=12a，DN=√a2+(12a)2=√52a，∴tan∠MDN=MNDN =12a√52a=√55．故选：B．4.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是由三视图判断几何体的形状，属于基础题．由题目中的三视图中，正视图和侧视图为矩形，易得这是一个柱体，又由俯视图即可判断几何体的形状．【解答】解：∵正视图、侧视图是矩形，俯视图是正六边形，∴该几何体是六棱柱，故选：A．5.答案：D解析：【分析】本题考查空间中的线面关系，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1//α，l2//α，则有l1//l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1//α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2//α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2//a，∴l1⊥l2，故D正确．故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．连接B1C，AB1，因为F，G分别为BC，BB1的中点，则∠B1CA为异面直线FG与AC所成的角，由此解答即可．【解答】解：连接B1C，AB1，因为F，G分别为BC，BB1的中点，所以FG//B1C，所以∠B1CA为异面直线FG与AC所成的角，在正方体中易证AC=B1C=AB1，所以△ACB1为等边三角形，所以∠B1CA=60°．故选C．7.答案：A解析：解：设D 为BC 的中点，连结AD 、B 1D ，设E 为AB 的中点，连结CE 、A 1E ，∵△ABC 是正三角形，∴AD ⊥BC ，由正三棱柱的性质可知，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， 又平面ABC ∩平面BB 1C 1C =BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴B 1D 是AB 1在平面BB 1C 1C 上的射影， 同理，A 1E 是A 1C 在平面AA 1B 1B 上的射影， ∵AB 1⊥BC 1，由三垂线逆定理可知，B 1D ⊥BC 1，∵长方形AA 1B 1B≌长方形BB 1C 1，∴A 1E ⊥AB 1，由三垂线定理可知，AB 1⊥A 1C ； 取AC 中点F ，连结BF 、C 1F ，∵△ABC 是等边三角形，∴BF ⊥AC ，∵AA 1⊥平面ABC ，∴BF ⊥AA 1， ∵AA 1∩AC =A ，∴BF ⊥平面ACC 1A 1，∵A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴BF ⊥A 1C ，∵长方形AA 1B 1B≌长方形BB 1C 1≌长方形AA 1C 1C ，∴A 1C ⊥C 1F ，由三垂线定理可知，BC 1⊥A 1C . ∴A 1C 和AB 1，BC 1都垂直． 故选：A ．设D 为BC 的中点，连结AD 、B 1D ，设E 为AB 的中点，连结CE 、A 1E ，由射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理能推导出A 1C 和AB 1，BC 1都垂直．本题考查线线关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理的合理运用．8.答案：C解析： 【分析】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，属于基础题．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可． 【解答】解：单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故A 错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故B 错误； 由向量的定义可知C 正确；b → =0→ 时，a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ 与c ⃗ 不一定平行，D 错误； 故选C ．9.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的几何意义及直线与椭圆的位置关系，属于一般题． 利用直线AB 与椭圆交点的中点为(2,1)建立关系式，即可得解． 【解答】解：由题知AB 中点坐标为(2,1)，直线AB 斜率为−1， 则直线AB 方程为y −1=−(x −2)， 即y =−x +3，由{y =−x +3x 2a 2+y 2b 2=1消去y 得，(a 2+b 2)x 2−6a 2x +9a 2−a 2b 2=0，所以6a 2a 2+b 2=2×2，有a 2=2b 2，则a 2=2b 2=2(a 2−c 2)，所以e =c a=√12=√22， 故选C ．10.答案：D解析：解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆； 把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题AB 与平面α成60°角，过定点B 的动直线l 与斜线AB 成60°角，且交α于点P ， 故可知动点P 的轨迹是抛物线． 故选：D ．用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．本题考查点的轨迹方程的判断，考查圆锥曲线的定义及性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．11.答案：−2；4；4解析： 【分析】本题考查圆的标准方程及一般方程，属于基础题．利用圆心与半径可写出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解． 【解答】解：由于圆心为C(2,2)，半径为2，故圆方程为：(x−2)2+(y−2)2=22，即x2+y2−4x−4y+4=0，故2a=−4，−b=−4，c=4，故a=−2，b=4，c=4，故答案为−2；4；4．12.答案：3解析：解：椭圆方程3x2+4y2=48可化为，x2 16+y212=1，∴a=4,b=2√3．∴c=2，∴|F1F2|=4，∵△PF1F2的面积为6，∴12|F1P|⋅|F1F2|⋅sin∠PF1F2=6，又∵sin∠PF1F2=35，∴|PF1|=5，根据椭圆定义易知，|PF2|=3．故答案为：3．将椭圆方程化为标准方程，易得a=4，b=2√3，然后根据三角形面积公式和椭圆的定义求解即可．本题主要考查椭圆的定义三角形面积公式等基础知识，属于中档题．13.答案：√3解析：解：把圆的方程化为标准方程得：(x−1)2+y2=2，∴圆心A坐标(1,0)，半径|AN|=√2，又M(0,2)，∴|AM|=√(1−0)2+(0−2)2=√5，则切线长|MN|=√|AM|2−|AN|2=√3．故答案为：√3把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，根据题意画出相应的图形，根据切线的性质得到三角形AMN为直角三角形，利用两点间的距离公式求出|AM|的长，再由半径|AN|，利用勾股定理即可求出切线长|MN|的长．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，切线的性质，以及勾股定理，利用了数形结合的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即直线与圆只有一个交点，熟练掌握切线性质是解本题的关键．14.答案：16π解析：球的直径为4，球的半径为：2，球的表面积为：S=4πR2=16π．故答案为：16π．15.答案：24解析：解：∵F1，F2为椭圆x236+y216=1的两个焦点，∴由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，∴△AF2B的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=24，故答案为：24．△AF1B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△AF1B的周长．本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化．16.答案：√1010解析：【分析】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，将线面夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键，属于中档题．取AB 的中点F ，连接B 1F ，过点F 作FG ⊥BD ，垂足为G ，连接B 1G ，根据FG ⊥平面BDD 1B 1，可知∠FB 1G 为B 1F 与平面BDD 1B 1所成角，在Rt △FB 1G 中求解即可，而AE//B 1F ，从而求出所求．【解答】解：取AB 的中点F ，连接B 1F ，过点F 作FG ⊥BD ，垂足为G ，连接B 1G ，由正方体性质易知BB 1⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥FG ，又FG ⊥BD ，BD ∩BB 1=B ，BD ⊂平面BDD 1B 1，BB 1⊂平面BDD 1B 1, ∴FG ⊥平面BDD 1B 1,∴∠FB 1G 为B 1F 与平面平面BDD 1B 1所成角，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为1，∴FG =√24，B 1F =√52， ∴sin∠FB 1G =√24√52=√1010， 而AE//B 1F ，所以直线AE 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为√1010． 故答案为√1010．17.答案：[19,14] 解析：解：如图，过点D 作DM ⊥AF 于点O ，交AB于点M ，不妨设二面角D −AF −B 的平面角为θ， 则cosθ=OMOD ，设DF =x ，2≤x ≤3，由勾股定理，OD =√x 2+1，OF =√x 4x 2+1，OA =√1x 2+1，∴cosθ=OM OD =OAOF =1x 2在[2,3]上是减函数，∴19≤cosθ≤14．故答案为：[19,14].过点D 作DM ⊥AF 于点O ，交AB 于点M ，不妨设二面角D −AF −B 的平面角为θ，则cosθ=OM OD =OAOF =1x 2，从而求其取值范围． 本题考查了学生的作图能力及空间想象力，注意折起前后的等量关系是本题解决的关键，属于中档题．18.答案：证明：(1)∵BB′⊥平面ABC ，BB′⊂平面B′C′CB ，∴平面B′C′CB ⊥平面ABC ，∵△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，又平面B′C′CB ⊥平面ABC ，平面B′C′CB ∩平面ABC =BC ，∴AD ⊥平面B′C′CB ，∵AD ⊂平面AB′D ，∴平面AB′D ⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M ，连接EM ，DM ，DF ．∵D 、E 、F 、M 分别为棱BC ，A′A ，AC ，AB′的中点，∴DF=//12AB，EM=//12A′B′，∵AB=//A′B′，∴DF=//EM，∴四边形DFEM是平行四边形，∴EF//DM，又EF⊄平面AB′D，DM⊂平面AB′D．∴EF//平面AB′D．解析：本题考查了线面平行，面面垂直的判定，构造平行线是证明的关键，属于中档题．(1)由BB′⊥平面ABC可得BB′⊥AD，由正三角形ABC得出BC⊥AD，于是AD⊥平面BCC′B′，从而有平面AB′D⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF，则利用中位线定理可证四边形DFEM是平行四边形，于是EF//DM，于是EF//平面AB′D．19.答案：解：(1)∵△ABC的顶点坐标是A(8,0)，B(0,6)，O(0,0)，显然，故其外接圆圆圆心为斜边的中点即AB中点，其外接圆直径的长度为斜边的长度．∴△ABC外接圆C的直径为|AB|=√82+62=10，圆心为(4,3)，∴△ABC外接圆C的方程为：(x−4)2+(y−3)2=25；(2)当直线l的斜率不存在时，x=−1，圆心(4,3)到直线x=−1的距离为4−(−1)=5，故直线x=−1为该圆的一条切线；当直线l的斜率存在时，设为k，则过点P(−1,5)的l的方程为y−5=k(x+1)，即kx−y+k+5=0，依题意，圆心(4,3)到直线l的距离d=2=2=5，解得：k=2120，∴l的方程为：21x−20y+121=0，综上所述，过点P(−1,5)作圆C的切线l的方程为：x=−1或21x−20y+121=0．解析：(1)依题意，易知ABC外接圆C的直径为|AB|=√82+62=10，圆心为(4,3)，从而可得△ABC 外接圆C的方程．(2)分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在时，设为k两种情况讨论，分别利用圆心到直线的距离等于半径去解决问题即可．本题考查圆的一般方程与圆的切线方程的求法，利用圆心到直线的距离等于半径是求切线斜率(存在时)的关键，考查转化思想．20.答案：解：(Ⅰ)S△ABF=1，则bc=1，又e =c a =√22，a 2=b 2+c 2，∴a =√2，b =1，∴椭圆C 的标准方程x 22+y 2=1．(Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +2，由{x =my +2x 22+y 2=1，得(2+m 2)y 2+4my +2=0， ∴△=16m 2−8(2+m 2)>0，解得m 2>2，∴y 1+y 2=−4m m 2+2，y 1y 2=2m 2+2，令， ∵|y 1|<|y 2|，∴0<t <1，则(y 1+y 2)2y 1y 2=t +1t +2=8m 2m 2+2=81+2m 2∈(4,8)，∴3−2√2<t <1，故为坐标原点)的取值范围为(3−2√2,1)．解析：(Ⅰ)由S △ABF =1，则bc =1，又e =c a =√22，a 2=b 2+c 2，解得即可求出椭圆的方程， (Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +2.由此利用韦达定理得到为坐标原点)的取值范围(O 为坐标原点)．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形的取值范围的求法，解题时要认真审题． 21.答案：(Ⅰ)证明：取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，BD ，∵△PAB 是等边三角形，∴PO ⊥AB ，又∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴DO ⊥AB ，∵PO ∩DO =O ，PO ，DO ⊂平面POD ，∴AB ⊥平面POD ，∵PD ⊂平面POD ，∴AB ⊥PD ．(Ⅱ)∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面BCD =AB ，PO ⊥AB ，PO ⊂平面PAB ，∴PO ⊥平面ABCD∴PO ⊥DO ，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设AB =2，平面PAB 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)， P(0,0,√3)，B(1,0，0)，C(2,√3,0)，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,−√3)， 设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{x −√3z =02x +√3y −√3z =0, 令z =1，得x =√3，y =−1，∴n ⃗ =(√3,−1,1)，设二面角A −PB −C 的平面角为θ，θ为钝角，∴cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5=−√55．解析：本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，BD ，证明PO ⊥AB ，DO ⊥AB ，推出AB ⊥平面POD ，然后证明AB ⊥PD ．(Ⅱ)以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设AB =2，求出平面PAB 的一个法向量，平面PBC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A −PB −C 的平面角的余弦函数值即可．22.答案：解：(1)由题意得：a =√2b,12a 2+34b 2=1⇒b =1,a =√2，椭圆C 的方程为x 22+y 2=1;(2)假设满足条件的圆存在，其方程为：x 2+y 2=r 2(0<r <1)，当直线P,Q 的斜率存在时，设直线方程为y =kx +m ，由{y =kx +m x 2+2y 2=2得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 令P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则有：x 1+x 2=−4km 1+2k ，x 1x 2=2m 2−21+2k 2， ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由x 1x 2+y 1y 2=0，得(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0，∴(1+k 2)(2m 2−2)1+2k 2−4k 2m 21+2k 2+m 2=0， ∴3m 2=2k 2+2，因为直线PQ 与圆相切，∴r 2=m 21+k 2=23，所以存在圆x 2+y 2=23， 当直线PQ 的斜率不存在时，也适合x 2+y 2=23，综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=23满足题意．解析：本题考查椭圆的方程的求法，圆与椭圆以及直线的综合应用，考查分类讨论思想、转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)由短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形，推出a =√2b ，利用椭圆经过的点的坐标，代入椭圆方程，求出a 、b ，即可得到椭圆C 方程；(2)假设满足条件的圆存在，其方程为：x 2+y 2=r 2(0<r <1)，当直线PQ 的斜率存在时，设直线方程为y =kx +b ，联立方程组，令P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，利用韦达定理，结合x 1x 2+y 1y 2=0，推出3m 2=2k 2+2，利用直线PQ 与圆相切，求出圆的半径，得到圆的方程，判断当直线PQ 的斜率不存在时的圆的方程，即可得到结果．。