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《图形的相似》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A．B．C．D．2．（5分）已知线段a＝3，b＝4，则a、b的比例中项为（）A．3.5B．12C．2D．±3．（5分）下列四条线段中，不能成比例的是（）A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10B．a＝2，b＝2，c＝，d＝5 C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝44．（5分）下列四组线段中，不成比例线段的是（）A．2cm，5cm，10cm，25cm B．4cm，7cm，4cm，7cmC．2cm，cm，cm，4cm D．cm，cm，2cm，5cm 5．（5分）下列a、b、c、d四条线段，成比例线段的是（）A．a＝12，b＝4，c＝5，d＝12B．a＝15，b＝3，c＝5，d＝1C．a＝13，b＝2，c＝8，d＝12D．a＝5，b＝0.02，c＝0.7，d＝0.3二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，AE＝5，DF＝3.6，那么BD＝．7．（5分）已知线段a，b，c满足＝＝，且a+2b+c＝26，则a＝，b＝，c＝．8．（5分）若，则﹣的值是．9．（5分）如图，已知l1∥l2∥l3，若＝，EF＝4，则DE＝．10．（5分）如图，AE、BD交于点C，AB∥DE，若AC＝4，BC＝2，DC＝1，则EC＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知＝＝，求的值．12．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．（1）若BD＝20，求BG的长；（2）求的值．13．（10分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且AE ＝3，AC＝6，AD＝2，AB＝4．（1）求证：DE∥BC；（2）若BC＝5，求ED的长．14．（10分）黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB＝BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC ＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．15．（10分）已知＝＝＝＝k，求k值．《图形的相似》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．【解答】解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．2．（5分）已知线段a＝3，b＝4，则a、b的比例中项为（）A．3.5B．12C．2D．±【分析】根据比例中项的定义列方程求解即可．【解答】解：∵设线段c为a，b的比例中项，∴c2＝ab，∵线段a＝3，b＝4，∴c2＝12，∴c＝2，c＝﹣2（舍去）．故选：C．【点评】本题考查了比例线段，熟记比例中项的定义是解题的关键，要注意线段的长度是正数．3．（5分）下列四条线段中，不能成比例的是（）A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10B．a＝2，b＝2，c＝，d＝5 C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、4×10＝5×8，能成比例；B、2×5＝2×，能成比例；C、1×4≠2×3，不能成比例；D、1×4＝2×2，能成比例．故选：C．【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．4．（5分）下列四组线段中，不成比例线段的是（）A．2cm，5cm，10cm，25cm B．4cm，7cm，4cm，7cmC．2cm，cm，cm，4cm D．cm，cm，2cm，5cm 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A．2×25＝5×10，四组线段中能成比例，不符合题意；B．4×7＝4×7，四组线段中能成比例，不符合题意；C．×4≠×2，四组线段不能成比例，符合题意；D．×5＝×2，四组线段中能成比例，不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．5．（5分）下列a、b、c、d四条线段，成比例线段的是（）A．a＝12，b＝4，c＝5，d＝12B．a＝15，b＝3，c＝5，d＝1C．a＝13，b＝2，c＝8，d＝12D．a＝5，b＝0.02，c＝0.7，d＝0.3【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【解答】解：A．4×12≠5×12，所以不成比例，不符合题意；B．1×15＝3×5，所以成比例，符合题意；C．2×13≠8×12，所以不成比例，不符合题意；D．0.02×5≠0.3×0.7，所以不成比例，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，AE＝5，DF＝3.6，那么BD＝ 2.4．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC＝2，AE＝5，∴CE＝3，AB∥CD∥EF，∴，即，∴BD＝2.4，故答案为：2.4【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．7．（5分）已知线段a，b，c满足＝＝，且a+2b+c＝26，则a＝6，b＝4，c＝12．【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可．【解答】解：设＝＝＝k，则a＝3k，b＝2k，c＝6k，∵a+2b+c＝26，∴3k+4k+6k＝26，解得：k＝2，∴a＝6，b＝4，c＝12，故答案为：6，4，12．【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．8．（5分）若，则﹣的值是﹣．【分析】将﹣变形为﹣，再代入计算即可求解．【解答】解：∵，∴＝，∴﹣＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键．9．（5分）如图，已知l1∥l2∥l3，若＝，EF＝4，则DE＝．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，解得，DE＝，故答案为：．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．10．（5分）如图，AE、BD交于点C，AB∥DE，若AC＝4，BC＝2，DC＝1，则EC＝2．【分析】由AB∥DE，即可证得△ABC∽△ECD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CE的长．【解答】解：∵AB∥DE，∴△ABC∽△ECD，∴，∵AC＝4，BC＝2，DC＝1，∴，解得：CE＝2．故答案为：2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知＝＝，求的值．【分析】设＝＝＝k，根据比例的性质得出x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入求出即可．【解答】解：设＝＝＝k，所以＝＝﹣1．【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．12．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．（1）若BD＝20，求BG的长；（2）求的值．【分析】（1））由GF∥BC推出＝即可解决问题；（2）由AB∥CD，AB＝CD，推出＝，＝，可得＝解决问题；【解答】解：（1）∵GF∥BC，∴＝，∵BD＝20，＝∴BG＝8．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝．【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（10分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且AE ＝3，AC＝6，AD＝2，AB＝4．（1）求证：DE∥BC；（2）若BC＝5，求ED的长．【分析】（1）根据平行线分线段成比例证明即可；（2）根据平行线的性质和相似三角形的判定定理得出△EAD∽△CAB，根据相似三角形的性质求出即可．【解答】证明：（1）∵AE＝3，AC＝6，AD＝2，AB＝4，∴，∴，∴DE∥BC；（2）∵DE∥BC，∴△EAD∽△CAB，∴，∵BC＝5，∴，∴ED＝2.5．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△EAD∽△CAB是解此题的关键．14．（10分）黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB＝BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC ＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC＝∠C ＝72°，∠ABD＝∠CBD＝36°，∠BDC＝72°，则可得到AD＝BD＝BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2＝CD•AC，于是有AD2＝CD•AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；（2）设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x，由（1）的结论得到x2＝1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC＝1，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴DA＝DB，BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC＝CD：BC，即BC2＝CD•AC，∴AD2＝CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）解：设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x，∵AD2＝CD•AC，∴x2＝1﹣x，解得x1＝，x2＝，即AD的长为．【点评】本题考查了黄金分割，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．15．（10分）已知＝＝＝＝k，求k值．【分析】依据等比性质可得，＝k，分两种情况讨论，即可得到k的值．【解答】解：∵＝＝＝＝k，∴由等比性质可得，＝k，当a+b+c+d≠0时，k＝＝；当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，∴k＝＝＝﹣2；综上所述，k的值为或﹣2．【点评】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．。
周口市 2010—— 2011 学年度下期九年级 27.1《图形的相像》测试题一、填空题 1、形状的图形叫相像形； 两个图形相像， 此中一个图形能够看作由另一个图形的或而获得的。
2、相像多边形的对应角，对应边；假如两个多边形的对应角，对应边的比，那么这两个多边形相像。
相像多边形对应边的比称为。
3、下边各组中的两个图形，是形状同样的图形，是形状不一样的图形 .4、如图，在正六边形ABCDEF 与正六边形 A B C D E F 中∵正六边形的每个内角都等于 120°A FA ′F ′ ∴∠ A=∠ A ′，， ， ，，；BEB ′ E ′又∵ AB=BC=CD=DE=EF=FAA ′A B =；CDC ′D ′∴AB=＇A B∴正六边形 ABCDEF ∽正六边形 A B C D E F D5、如图，四边形 ABCD 和四边形 A 1B 1C 1D 1 相像，A已知∠ A=120°，∠ B=85°∠ C 1 =75°， AB=10，1 1 11 1，A B =16， CD=18，则∠ D =，CD=B它们的相像比为。
6、若 (a –b) :b=3 : 2 , 则 a : b= _________。
7、已知两个相像园形的相似比是 3∶ 4， 此中一个园形的半径长为的 半径长为。
8、若四边形 ABCD 与四边形 A B C D 的相像比为 3∶ 2，那么四边形的相像比为 。
D 1A 1C B 1C 14 cm ，那么另一个园形A B C D 与四边形 ABCD9、在比率尺 1∶ 10 000 000 的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm ，那么甲、乙两个城市之间的实质距离应为 km 。
二、选择题10、以下说法中正确的选项是（ ）A ． 两个平行四边形必定相像B ．两个菱形必定 相像C ．两个矩形必定相像D．两个等腰直角三角形必定相像11、以下说法中正确的选项是（ ）A ．两个直角三角形相像 B．两个等腰三角形相像C ．两个等边三角形相像D ．两个锐角三角形相像12、以下各组线段（单位：cm ）中，成比率线段的是（）A ．1．2．3． 4 B．1 .2. 2. 4C．3. 5. 9. 13D ．1. 2. 2. 313、若四边形 ABCD ∽四边形 A B C D ，且 AB ∶ A B =1∶ 2，已知 BC=8，则 B C 的长是（）A ． 4B．16C． 24 D ．6414、 Rt △ ABC的两条直角边分别为 3 cm、4 cm，与它相像的Rt △A B C的斜边为20 cm ，那么 Rt △A B C的周长为（）A． 48cm B． 28cm C． 12cm D． 10cm三、解答题15、证明：随意两个正六边形是相像形16、如下图为一矩形木框，周围为宽度同样的木条，那么这个矩形框的里、外两个矩形是相像形吗？假定木框长为 30 cm 宽为 20cm，木条的宽度为 2 cm，试加以考证。
部编版初中九下九年级数学下册第六章图形的相似同步练习一．成比例线段1.线段的比1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. 2.成比例线段及比例的性质： （1）成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍； ②由于线段a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数；③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致.（2）比例的基本性质:若dc b a =, 则ad=bc ； 若ad=bc, 则d b c a d c b a ==或 合比性质:如果dc b a =，那么d d c b b a ±=±； 等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a 注意：若没有“b+d+…+n ≠0”这个条件，需分类讨论.二.平行线分线段成比例※平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1，1l //2l //3l ，则EFBC DE AB =.推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例.定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例.②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.1. 线段2 cm 、8 cm 的比例中项为_______cm ．．5．如图，32AD AE BD EC ==，试求AB BD 和EC AC 的值．7．已知A 、B 两地的实际距离是300千米，量得两地的图上距离是5 cm ．则该图所用的比例尺是 ( )A ． 1：60B ．60：1C ．6 000 000：1D ．1：6 000 0008．已知2x ＝3 y ＝4z ，则x ：y ：z 是 ( )A ．2：3：4B ．4：3：2C ．7：6：5D ．6：4：39．已知b c a c a b k a b c+++===，则k 的值是 ( ) A ．－1 B ．2 C ．－1或2 D ．无法确定10．已知A 、B 两地的实际距离是300 km ，量得两地在地图上的距离是5 cm ．(1)该地图的比例尺是______________．(2)若在该地图上量得A 、C 两地间的距离是16 cm ，则A 、C 两地间的实际距离是_______km ．11．(1)已知a 、b 、c 、d 是成比例的线段，其中a ＝3 cm ，b ＝2 cm ，d ＝4 cm ，则c ＝_______ cm ．(2)在2和8这两个数之间添上一个数，使之成为2与8的比例中项，这个数是_______．12．(1)已知34122x y x y -=+，求x y的值．(2)已知x ：y ＝3：5，y ：z ＝2：3，求2x y z x y z ++-+的值．13．如图，在△ABC 中，AD AEDB EC =，AB ＝12，AE ＝6，EC ＝4． (1)求AD 的长．(2)试说明DB EC AB AC=成立．14．如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，BE 1⊥AC ，E 1F 1⊥AB ，F 1E 2⊥AC ，E 2 F 2⊥AB ，F 2 E 3⊥AC ．(1)求AE 3：AB 的值．(2)作E 3 F 3⊥AB ，F 3E 4⊥AC ，…，F n －l E n ⊥AC ，求AE n ：AB 的值．三.黄金分割如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比。
[6.1 图上距离与实际距离]一、选择题1．2017·兰州已知2x ＝3y (y ≠0)，则下面结论成立的是链接听课例3归纳总结( ) A.x y ＝32 B.x 3＝2yC.x y ＝23D.x 2＝y 32．下列四条线段中，不是成比例线段的是( ) 链接听课例2归纳总结A ．a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B ．a ＝3，b ＝2，c ＝6，d ＝9C ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10D ．a ＝12，b ＝14，c ＝16，d ＝133．若a ＝5 cm ，b ＝10 mm ，则ab的值是( ) 链接听课例1归纳总结 A.120 B.12C ．2D ．5 4．若x ∶y ＝3∶2，且y 是x ，z 的比例中项，则y ∶z 等于( ) A ．5∶4 B ．4∶3 C ．3∶2 D ．2∶1 二、填空题5．若a ＝4，b ＝9，c ＝6，且a b ＝c d，则a ，b ，c 的第四比例项d 为________． 6．如果线段a ＝3，b ＝12，那么线段a ，b 的比例中项x ＝________．7．2016·常州在比例尺为1∶40000的地图上，某条道路的长为7 cm ，则该道路的实际长度是________km.8．2017·天水如图K －12－1所示，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明在距离路灯的底部(点O )20米的A 处，则小明的影子AM 的长为________米．图K －12－19．2018·成都已知a 6＝b 5＝c4，且a ＋b －2c ＝6，则a 的值为________．三、解答题10．如图K －12－2，已知AD DB ＝AEEC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长.链接听课例3归纳总结图K －12－211．已知线段a ＝0.3 m ，b ＝60 cm ，c ＝12 dm. (1)求线段a 与线段b 的比；(2)如果线段a ，b ，c ，d 成比例，求线段d 的长； (3)b 是a 和c 的比例中项吗？为什么？12．已知a ∶b ＝2∶3，a ∶c ＝1∶2，且2a ＋b ＋c ＝33，求a ，b ，c 的值．分类讨论若ab ＋c ＝ba ＋c ＝ca ＋b＝k ，求k 的值．详解详析[课堂达标] 1．A2．[解析] C 先按从小到大的顺序排列，再比较第1，4两个数的积与第2，3两个数的积的大小．A 项，c ＝2，a ＝3，d ＝4，b ＝6，cb ＝ad ＝12.B 项，b ＝2，a ＝3，c ＝6，d ＝9，bd ＝ac ＝18.C 项，a ＝4，c ＝5，b ＝6，d ＝10，ad ≠cb .D 项，c ＝16，b ＝14，d ＝13，a ＝12，ca ＝bd ＝112.3．[解析] D 因为a ＝5 cm ，b ＝10 mm ，所以a b 的值为5010＝5.故选D.4．[解析] C ∵x ∶y ＝3∶2，∴x ＝32y .又∵y 是x ，z 的比例中项，则y 2＝xz ，∴y 2＝32yz ，从而y ＝32z ，∴y ∶z ＝3∶2.5．[答案] 272[解析] ∵a b ＝c d ，∴49＝6d ，∴d ＝272.6．[答案] 6[解析] 由题意，知x 2＝ab ，即x 2＝3×12＝36，解得x ＝6(负值已舍去)． 7．[答案] 2.8[解析] 设这条道路的实际长度为x ，则140000＝7x ，解得x ＝280000 cm ＝2.8 km. ∴这条道路的实际长度为2.8 km. 8．[答案] 5 [解析] 设AM ＝x 米，则xx ＋20＝1.68，解得x ＝5. 9．[答案] 12 [解析] 设a ＝6x ，b ＝5x ，c ＝4x . ∵a ＋b －2c ＝6，∴6x ＋5x －8x ＝6，解得x ＝2， 故a ＝12.10．解：∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE4.2，解得AE ＝5.6 cm.则AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．11．[解析] (1)根据a ＝0.3 m ＝30 cm ，b ＝60 cm ，即可求得a ∶b 的值；(2)根据线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，可得a b ＝cd，再根据c ＝12 dm ＝120 cm ，即可得出线段d 的长；(3)根据b 2＝3600，ac ＝30×120＝3600，可得b 2＝ac ，进而得出b 是a 和c 的比例中项．解：(1)∵a ＝0.3 m ＝30 cm ，b ＝60 cm ， ∴a ∶b ＝30∶60＝1∶2.(2)∵线段a ，b ，c ，d 是成比例线段， ∴a b ＝c d.∵c ＝12 dm ＝120 cm ， ∴12＝120d， ∴d ＝240 cm.(3)是．理由如下： ∵b 2＝3600，ac ＝30×120＝3600， ∴b 2＝ac ，∴b 是a 和c 的比例中项．12．解： ∵a ∶c ＝1∶2，∴a ∶c ＝2∶4. 又∵a ∶b ＝2∶3，∴a ∶b ∶c ＝2∶3∶4. 设a ＝2k ，则b ＝3k ，c ＝4k (k ≠0)． 又∵2a ＋b ＋c ＝33，∴4k ＋3k ＋4k ＝33，解得k ＝3， ∴a ＝6，b ＝9，c ＝12. [素养提升] 解：由ab ＋c ＝ba ＋c ＝ca ＋b＝k ，得a ＝(b ＋c )k ，① b ＝(a ＋c )k ，② c ＝(a ＋b )k ，③①＋②＋③，得a ＋b ＋c ＝2k (a ＋b ＋c )．分两种情况：(1)当a ＋b ＋c ≠0时，两边同除以a ＋b ＋c ， 得1＝2k ， ∴k ＝12.(2)当a ＋b ＋c ＝0时，b ＋c ＝－a ， ∴a b ＋c ＝a－a＝－1， ∴k ＝－1.综合(1)(2)知，k 的值为12或－1.[点评] 考虑问题要全面，本题应考虑到a ＋b ＋c ＝0和a ＋b ＋c ≠0两种情况．。
图形的相似（填空题：一般）1、：的比值是（___________）；把4 : 0.8化为最简单的整数比是（___________）。
2、在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为．3、如果=k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=_____．4、已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP的长等于_______厘米．（结果保留根号）5、已知是线段的黄金分割点，若，则_________。
6、已知，则＝________．7、已知：点P是线段MN的黄金分割点，(PM>PN),MN=4cm,则MP= .8、已知线段AB=20cm，点C是线段AB的黄金分割点，则较长线段AC的长为______cm．9、若，则的值为_________.10、已知点是线段的一个黄金分割点，且，则长为___________ .11、已知，则=________．12、如果，那么=__________．13、若，则=________________．14、配置一种盐水，盐和水的质量比是1:2，盐是盐水质量的________.15、如图,上体育课,甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时,乙的影子恰好在甲的影子里边,已知甲,乙同学相距1米．甲身高1.8米,乙身高1.5米,则甲的影长是米．16、如图，在△ABC与△ADE中，，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件可以是__________．17、如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=___________．18、将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见，如：我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值，这个比值是________．19、如果，那么__________。
九年级数学（下）自主学习达标检测[图形的相似、相似三角形]（时间60分钟 满分100分）一、选择题（每题4分，共32分）1．下列各种图形相似的是 （ ）A ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（1）、（3）D ．（1）、（4）2．下列图形相似的是 （ ）（1）放大镜下的图片与原来的图片；（2）幻灯的底片与投影在屏幕上的图象；（3）天空中两朵白云的照片；（4）卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片． A ．4组 B ．3组 C ．2组 D ．1组3．下列说法不一定正确的是 （ ）A ．所有的等边三角形都相似B ．有一个角是100°的等腰三角形相似C ．所有的正方形都相似D ．所有的矩形都相似4．一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( ) A ．7.5米 B ．8米 C ．14.7米 D ．15.75米5．两个相似三角形的周长比为4︰9，则面积比为 （ ） A ．4︰9 B ．8︰18 C ．16︰81 D ．2︰36．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下 （ ） A ．小明的影子比小强的影子长 B ．小明的影子比小强的影子短 C ．小明的影子和小强的一样长 D ．谁的影子长不确定 7．如图，能使△ACD ∽△BCA 全等的条件是（ ） A ．BC AB CD AC =B ．CB CD AC •=2C ．CDBD AC AB =D ．BD AD CD •=28．如图所示的测量旗杆的方法，已知AB 是标杆，BC 表示AB 在太阳光下的影子，•叙述错误的是（ ）A ．可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高B ．只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高C ．可以利用△ABC ∽△EDB ，来计算旗杆的高D ．需要测量出AB 、BC 和DB 的长，才能计算出旗杆 的高二、填空题（每题4分，共32分）9． 下列情形：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②用彩笔在黑板上写上三个大字1、2、3，它们是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为正确的是 ，错误的是 ．（填序号）(1)(2)(3)(4)BCDA第7题EDC BA第8题10． 若a ， x ，b ， y 成比例线段，则比例式为 ；若a =1，x =2，b =2.5，则y = ．11．三角形三边之比为3︰5︰7，与它相似的三角形最长边为21cm ，那么与它相似的三角形周长为 ．12．如图，∠ADC =∠ACB =90°，∠ACD =∠B ，AC =5，AB =6，则AD =____ __． 13．直线CD ∥EF ，若OC =3，CE =4，则ODOF的值是 ． 14．如图，AD ∥EF ∥BC ，则图的相似三角形共有_____对．15．△ABC 的三边长为2，10，2，△A'B'C '的两边为1和5，若△ABC ∽△A'B'C'，则△A'B'C'的笫三边长为________．16．两个相似三角形的面积之比为1∶5，小三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为___ __．三、解答题（共36分）17．在如图所附的格点图中画出两个相似的三角形.18．两个相似三角形的一对对应边的长分别是35cm 和14cm ，它们的周长相差60cm ，求这两个三角形的周长．第12题BDA 第13题O FECD第14题BCD AE F19．如图，△A BC 中，EF ∥BC ，FD ∥AB ，AE ＝18，BE ＝12，CD ＝14，求线段EF的长．20．如图，有一路灯杆AB （底部B 不能直接到达），在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度。
人教版九年级数学下册图形的相似同步练习一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下面几对图形中，相似的是( )2．下列图形是相似图形的是( )A ．两张孪生兄弟的照片B ．三角板的内、外三角形C ．行书中的“美”与楷书中的“美”D ．同一棵树上摘下的两片树叶3．下列各线段的长度成比例的是( )A ．2 cm ，5 cm ，6 cm ，8 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cmD ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm4．两个相似多边形的一组对应边分别为3 cm ，4.5 cm ，那么它们的相似比为( ) A.23 B.32 C.49 D.945．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为( )A ．6B ．8C ．12D ．106．下列四组图形中，一定相似的是( )A ．正方形与矩形B ．正方形与菱形C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形7. 如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )A ．87°B ．60°C ．75°D ．120°8. 若y x ＝34，则x ＋y x的值为( ) A ．1 B.47 C.54 D.749. 用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为( )A ．150°B ．105°C ．15°D ．无法确定大小10. 如图，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么AB AD等于( ) A ．0.618 B.22 C. 2 D ．2二．填空题（共8小题，3*8=24）11．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝5 cm ，b ＝3 cm ，c ＝6 cm ，则线段d ＝____cm.12. 在比例尺1∶1000000的地图上，A ，B 两地的图上距离为2.4厘米，则A ，B 两地的实际距离为________千米．13．如图，在长8 cm ，宽4 cm 的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为________cm 2.14. 已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA ＝3AB ，则线段CA 与线段CB 的比为_________.15. 已知线段a ＝4，b ＝16，线段c 是线段a ，b 的比例中项(即a c ＝c b)，那么c 等于________. 16. 已知a b ＝23，则a+b b等于_________. 17.如果x y ＝25，那么y －x y ＋x＝________. 18. 有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m ，在图纸上，这条边的长为5 cm ，其他两条边的长都为4 cm ，则其他两条边的实际长度都是________m.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 已知图中的两个梯形相似，求未知边x ，y ，z 的长度和∠α，∠β的度数．20．(6分)试判断如图所示的两个矩形是否相似？并简单说明理由．21．(6分) 如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F.(1)AB ，BC ，BF ，DE 这四条线段是否成比例？如果不是，请说明理由；如果是，请写出比例式．(2)若AB ＝10，DE ＝2.5，BF ＝5，求BC 的长．22．(6分) 如图，在△ABC 中，AB ＝24，AE ＝6，EC ＝10，AD BD ＝AE EC. (1)求AD 的长；(2)试说明AB BD ＝AC EC.23．(6分) 已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，且AB∶BC∶CD∶AD＝7∶8∶11∶14，若四边形EFGH的周长为80，求四边形EFGH各边的长．24.(8分)如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．25．(8分)如图，矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，求AD的长．参考答案：1-5 CBDAB 6-10 DADCB11. 18512. 2413. 814．3∶415．816. 5317. 3718. 2019. 解：∵两个梯形相似，∴x 2＝y 4＝4.5z ＝4.83.2， ∴解得x ＝3，y ＝6，z ＝3.∵相似多边形的对应角相等，∴∠α＝∠D ＝180°－∠A ＝180°－62°＝118°，∠β＝∠B′＝180°－∠C′＝180°－110°＝70°20. 解：这两个矩形的角都是直角，因而对应角相等，小矩形的长是20－5－5＝10，宽是12－3－3＝6，∵1020＝612， 即两个矩形的对应边的比相等，∴这两个矩形相似21. 解：(1)AB ，BC ，BF ，DE 这四条线段成比例．∵在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥AD ，∴S ▱ABCD ＝AB·DE ＝AD·BF.∵BC ＝AD ，∴AB·DE ＝BC·BF ，即AB BC ＝BF DE. (2)∵AB·DE ＝BC·BF ，∴10×2.5＝5BC ，解得BC ＝5.22. 解：(1)设AD ＝x ，则BD ＝24－x ，由AD BD ＝AE EC 得x 24－x ＝610，解得x ＝9.∴AD ＝9. (2)由AB ＝24，AD ＝9得BD ＝15，∵ABBD＝2415＝85，ACEC＝6＋1010＝85，∴ABBD＝ACEC.23. 解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，∴AB∶BC∶CD∶AD＝EF∶FG∶GH∶EH＝7∶8∶11∶14.设EF＝7x，FG＝8x，GH＝11x，EH＝14x，则7x＋8x＋11x＋14x＝80，∴x＝2，∴EF＝14，FG＝16，GH＝22，EH＝2824. 解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°. 又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG，∴AE＝EG＝FG＝AF，∴四边形AFGE为正方形，∴AFAB＝FGBC＝GECD＝AEAD，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC，∴四边形AFGE与四边形ABCD相似25. 解：由题意易知四边形ABEF为正方形，设AD＝x，∵AB＝1，∴FD＝x－1，FE＝1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴FEFD＝ADAB，即1x－1＝x1，整理得x2－x－1＝0，解得x1＝5＋12，x2＝1－52(不合题意，舍去)，经检验x1＝5＋12是原方程的解，∴AD＝5＋12。
人教版数学九年级下《图形的相似》测试（含答案及解析）时间：60 总分：100一、选择题〔本大题共9小题，共36.0分〕1.以下四组图形中，一定相似的图形是()A. 各有一个角是30∘的两个等腰三角形B. 有两边之比都等于2：3的两个三角形C. 各有一个角是120∘的两个等腰三角形D. 各有一个角是直角的两个三角形2.以下说法正确的选项是()A. 矩形都是相似图形B. 各角对应相等的两个五边形相似C. 等边三角形都是相似三角形D. 各边对应成比例的两个六边形相似3.以下结论中，错误的有：()①一切的菱形都相似；②缩小镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形；⑤一切的矩形不一定相似．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.以下图形一定是相似图形的是()A. 恣意两个菱形B. 恣意两个正三角形C. 两个等腰三角形D. 两个矩形5.在下面的图形中，相似的一组是()A. B.C. D.6.如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，那么外框与原图一定相似的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.以下图形一定相似的是()A. 两个矩形B. 两个等腰梯形C. 对应边成比例的两个四边形D. 有一个内角相等的菱形8.在以下命题中，正确的选项是()A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B. 有一个角是70∘两个等腰三角形一定相似C. 两个直角三角形一定相似D. 有一个角是60∘的两个菱形一定相似9.用缩小镜将图形缩小，应该属于()A. 平移变换B. 相似变换C. 对称变换D. 旋转变换二、填空题〔本大题共8小题，共24.0分〕10.假定一个三角形的各边长扩展为原来的5倍，那么此三角形的周长扩展为原来的______ 倍.11.如图，△DEF的边长区分为1，√3，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角=k，那么形组成，选择格点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF.假设相似比ABDE k的值可以是______ ．12.如图，13个边长为1的小正方形，陈列方式如图，把它们联系，使联系后能拼成一个大正方形.请在如下图的网格中(网格的边长为1)中，用直尺作出这个大正方形．13.应用复印机的缩放功用，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形缩小成边长为20厘米的等边三角形，那么缩小前后的两个三角形的周长比是______ ．14.如图，______ 与______ 相似．15.如图，请在方格图中画出一个与△ABC相似且相似比不为1的△DEF(D、E、F必需在方格图的交叉点)．16.△ABC在坐标平面内三顶点的坐标区分为A(0,2)、B(3,3)、C(2,1).以B为位似中心，画出与△ABC相似(与图形同向)，且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标区分是______ ．17.如图中的等腰梯形(ABCD)是公园中儿童游乐场的表示图.为满足市民的需求，方案扩建该游乐场.要求新游乐场以MN为对称轴，且新游乐场与原游乐场相似，相似比为2：1.又新游乐场的一条边在直线BC上，请你在图中画出新游乐场的表示图．三、解答题〔本大题共5小题，共40.0分〕18.如图，在坐标系的第一象限树立网格，网格中的每个小正方形边长都为1，格点△ABC的顶点坐标区分为A(2,4)、B(0,2)、C(4,4)．(1)假定△ABC外接圆的圆心为P，那么点P的坐标为______ ．(2)以点D为顶点，在网格中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为1：2.(画出契合要求的一个三角形即可)19.，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)在原图上作DE//AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．20.如图，△ABC，∠BAC=90∘，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分红两个相似的三角形(保管作图痕迹，不写作法)21.：如图，在菱形ABCD中AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=1，求2(1)边AB的长；(2)cos∠BAE的值．22.如图，△ABC，∠BAC=90∘，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分红两个相似的三角形(保管作图痕迹，不写作法)答案和解析【答案】1. C2. C3. B4. B5. C6. C7. D8. D9. B10. 511. 2，2√3，412. 解：如下图：所画正方形即为所求．13. 1：414. (1)；(4)15. 解：所画图形如下：△DEF就是所求的相似三角形．16. (−6,0)、(3,3)、(0,−3)17. 解：如下图：18. (3,1)19. (1)证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∴ABBC =24=12，BD AB =12，∴ABBC =BDAB，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；(2)解：∵DE//AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE=1.5．20. 解：如图，AD为所作．21. 解：(1)衔接AC，AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=12BD=4，∵Rt△BOC中，tan∠CBD=OCOB =12，∴OC=2，∴AB=BC=√BO2+CO2=√42+22=2√5；(2)∵AE⊥BC，∴S 菱形ABCD =BC ⋅AE =12BD ⋅AC ， ∵AC =2OC =4， ∴2√5AE =12×8×4，∴AE =8√55， ∴BE =√AB 2−AE 2=√(2√5)2−(8√55)2=6√55， ∴cos∠ABE =BE AB =6√552√5=35．22. 解：如下图：AD 即为所求．【解析】1. 解：A 、各有一顶角或底角是30∘的两个等腰三角形相似，故错误，不契合题意；B 、有两边之比为2：3的两个三角形不一定相似，故错误，不契合题意；C 、各有一个角是120∘的两个等腰三角形相似，正确，契合题意；D 、两个直角三角形不一定相似，故错误，不契合题意；应选C ．应用相似图形的定义逐一判别后即可确定正确的选项．此题考察了相似图形的知识，可以了解相似图形的定义是解答此题的关键，难度不大． 2. 解：A.矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；B.各角对应相等的两个五边形相似，对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；C . 等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确； D.各边对应成比例的六边形对应角不一定相等，所以不一定是相似六边形，故本选项错误；应选：C ．依据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项剖析判别后应用扫除法求解． 此题考察了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要留意从边与角两个方面思索解答．3. 解：①：菱形的两组对角不一定区分对应相等，故一切的菱形不一定都相似；即：选项①错误．②：缩小镜下的图形与原图形只是大小不相等，但外形相反，所以它们一定相似；即：选项②错误．③：等边三角形的三个内角相等，三条边都相等，故一切的等边三角形都相似；即：选项③正确④：有一个角为110度的两个等腰三角形一定相似.由于它们的顶角均为110∘，两锐角均为35∘，依据〝两内角对应相等的两个三角形相似〞即可判定.故：选项④正确． ⑤：只要长与宽对应成比例的两个矩形相似，应选项⑤正确故：选B应用相似的定义逐一的对五个选项停止判定．此题考察了相似图形的判定，解题的关键是要掌握相似图形的概念与判定方法． 4. 解：A 、恣意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不契合相似的定义，故不契合题意；B、恣意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，契合相似的定义，故契合题意；C、两个两个等腰三角形，无法确定外形能否相等，故不契合题意；D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不契合题意．应选：B．依据相似图形的定义和图形的性质对每一项停止剖析，即可得出一定相似的图形．此题考察相似形的定义，熟习各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．5. 解：A、六边形与五边形不能够是相似图形，故本选项错误；B、两图形不是相似图形，故本选项错误；C、∵90∘−40∘=50∘，∴两三角形相似，故本选项正确；D、直角梯形与等腰梯形不是相似图形，故本选项错误．应选C．依据相似图形的定义对各选项剖析判别后应用扫除法求解．此题考察了相似图形的判定，是基础题，准确识图是解题的关键．6. 解：矩形不相似，由于其对应角的度数一定相反，但对应边的比值不一定相等，不契合相似的条件；锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，由于其三个角均相等，三条边均对应成比例，契合相似的条件；正五边形相似，由于它们的边长都对应成比例、对应角都相等，契合相似的条件．应选C．依据相似多边形的判定定理对各个选项停止剖析，从而确定最后答案．边数相反、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．7. 解：A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；B、两个等腰梯形不一定相似，故错误；C、对应边成比例且对应角相等的两个四边形是全等形，故错误；D、有一个内角相等的菱形是相似图形，故正确，应选D．依据相似图形的定义，结合选项，用扫除法求解．此题考察相似形的定义，熟习各种图形的性质是解题的关键．8. 解：A、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以A选项错误；B、有一个角是70∘两个等腰三角形不一定相似，所以B选项错误；C、两个直角三角形不一定相似，所以C选项错误；D、有一个角是60∘的两个菱形一定相似，所以D选项正确．应选：D．依据四边形相似要有对应角相等，对应边的比相等可对A、D停止判别；依据70∘的角能够为顶角，也能够为底角可以对B停止判别；依据三角形判定方法对C停止判别．此题考察了命题与定理：判别一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项，一个命题可以写成〝假设…那么…〞方式；有些命题的正确性是用推理证明的，这样的真命题叫做定理．9. 解：依据相似图形的定义知，用缩小镜将图形缩小，属于图形的外形相反，大小不相反，所以属于相似变换．应选：B．依据缩小镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．此题考察的是相似形的识别，关键要联络图形，依据相似图形的定义得出．10. 解：∵一个三角形的各边长扩展为原来的5倍，∴扩展后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的周长的比等于相似比，∴这个三角形的周长扩展为原来的5倍，故答案为：5．由题意一个三角形的各边长扩展为原来的5倍，依据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．此题考察了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．11.解：∵△DEF的边长区分为1，√3，2∴△DEF为直角三角形，∠F=30∘，∠D=60∘，依据等边三角形的三线合一，可作三边比为1：(√3+√3)：2的三角形，=k，k可取2，2√3，4．故相似比ABDE故答案为：2，2√3，4．依据题意可得：在正六边形网格找与△DEF相似的三角形；即找三边的比值为1：√3：2的直角三角形；剖析图形可得：共三种状况得出答案即可．此题主要考察了相似三角形的判定与性质，结合各边长得出契合题意的图形是解题关键．12. 直接依据阴影局部面积得出正方形边长，进而得出答案．此题主要考察了运用设计与作图，正确得出正方形边长是解题关键．13. 解：由于原图中边长为5cm的一个等边三角形缩小成边长为20cm的等边三角形，所以缩小前后的两个三角形的面积比为5：20=1：4，故答案为：1：4．依据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．此题考察了相似三角形对应边比值相等的性质，关键是依据等边三角形面积的比是三角形边长的比的平方解答．14. 解：应用相似图形对应角相等，对应边成比例，只要(1)，(4)图形全等，契合题意．故答案为：(1)，(4)．依据相似图形的定义直接判别得出即可．此题考察的是相似形的定义，结合图形，即图形的外形相反，但大小不一定相反的变换是相似变换．15. 应用勾股定理计算出三角形的三边长，再让它的各边都乘以2，失掉新三角形的三边长，从网格中画出即可．此题主要考察了作图中的相似变换效果，难度不大，留意看清题意是关键．16. 解：把原三角形的三边对应的增加或缩小一定的比例即可失掉对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标区分是：(−6,0)、(3,3)、(0,−3)．故答案为：(−6,0)、(3,3)、(0,−3)．依据把原三角形的三边对应的增加或缩小一定的比例即可失掉对应的相似图形，在改动的进程中坚持外形不变(大小可变)即可得出答案．此题考察了相似变换作图的知识，留意图形的相似变换不改动图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩展(或增加)相反的倍数．17. 先作轴对称图形，再把它应用位似变换缩小为相似比为2：1的等腰梯形．考察了作图−相似变换，作位似变换的图形的依据是相似的性质.画位似图形的普通步骤为：①确定位似中心，②区分衔接并延伸位似中心和能代表原图的关键点；③依据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；依次衔接上述各点，失掉缩小或增加的图形．18. 解：(1)如图，点P即为所求，其坐标为(3,1)，故答案为：(3,1)；(2)如图，△DEF即为所求三角形．(1)区分作AC、AB的中垂线，两直线的交点即为所求点P；(2)依据相似比为1：2可得DE=√2，DF=1，EF=√5，据此可得．此题主要考察三角形的外心和相似图形，熟练掌握三角形的外心到三顶点的距离相等及相似三角形的性质是解题的关键．19. (1)在△ABD与△CBA中，有∠B=∠B，依据边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可；(2)由(1)知△ABD∽△CBA，又DE//AB，易证△CDE∽△CBA，那么：△ABD∽△CDE，然后依据相似三角形的对应边成比例得出DE的长．此题主要考察了相似三角形的判定及性质.平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．20. 过点A作AD⊥BC于D，应用等角的余角相等可失掉∠BAD=∠C，那么可判别△ABD 与△CAD相似．此题考察了作图−相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形缩小或增加失掉.处置此题的关键是应用有一组锐角相等的两直角三角形相似．21. (1)首先衔接AC，AC与BD相交于点O，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，BO=12BD=4，又由tan∠CBD=12，可求得OC的长，然后由勾股定理求得边AB的长；(2)由AE⊥BC，应用S菱形ABCD =BC⋅AE=12BD⋅AC，即可求得AE的长，在Rt△ABE中可求得BE，那么可求得∠ABE的余弦值．此题主要考察菱形的性质、勾股定理以及三角函数等知识.此题难度适中，留意掌握辅佐线的作法、数形结合思想的运用．22. 直接应用直角三角形的性质过点A作AD⊥BC，即可得出答案．此题主要考察了相似变换，正确运用直角三角形的性质是解题关键．。
《图形的相似》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定2．（5分）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（）A．B．C．D．3．（5分）如图，一组互相平行的直线a，b，c分别与直线l1，12交于点A，B，C，D，E，F，直线11，l2交于点O，则下列各式不正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝4．（5分）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔術社上學期345下學期432A．舞蹈社不变，溜冰社减少B．舞蹈社不变，溜冰社不变C．舞蹈社增加，溜冰社减少D．舞蹈社增加，溜冰社不变5．（5分）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）若（k≠0），则y＝kx+k﹣2一定经过第象限．7．（5分）把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为．8．（5分）如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，如果＝，DF＝7.5，那么DE的长为．9．（5分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D为AB的中点，F为BC边上一点，连接CD、AF交干点E．若∠F AC＝90°﹣3∠BAF，BF：AC＝2：5，EF＝2，则AB长为．10．（5分）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，AF＝2BF，CE＝3AE，连接CF交DE于P点，则的值为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，点D为△ABC内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD上一点，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求证：EF∥BC；（2）当时，求的值．12．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4．线段AB的垂直平分线DF分别交边AB、AC、BC所在的直线于点D、E、F．（1）求线段BF的长；（2）求AE：EC的值．13．（10分）黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比值，被称为黄金分割数．我国著名数学家华罗庚普及并做出重要贡献的优选法中有一种0.618法也应用了黄金分割数．定义：点C在线段AB上，若满足AC2＝BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点（如图1）．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．14．（10分）如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．15．（10分）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求证：AF：FD＝AD：DB；（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．《图形的相似》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出BE，求出EF，求出AF，再根据面积公式求出S1、S2即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAB＝90°，设正方形ABCD的边长为2a，∵E为AD的中点，∴AE＝a，在Rt△EAB中，由勾股定理得：BE＝＝＝a，∵EF＝BE，∴EF＝a，∴AF＝EF﹣AE＝a﹣a＝（﹣1）a，即AF＝AH＝（﹣1）a∴S1＝AF×AH＝（﹣1）a×（﹣1）a＝6a2﹣2a2，S2＝S正方形ABCD﹣S长方形ADIH＝2a×2a﹣2a×（﹣1）a＝6a2﹣2a2，即S1＝S2，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理和正方形的性质，能熟记正方形的性质是解此题的关键，注意：正方形的每个角都是90°，正方形的四边都相等．2．（5分）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据题设条件，由，知[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，由此能求出最佳乐观系数x的值．【解答】解：∵c﹣a＝x（b﹣a），b﹣c＝（b﹣a）﹣x（b﹣a），，∴[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，∴x2+x﹣1＝0，解得x＝，∵0＜x＜1，∴x＝．故选：D．【点评】本题考查黄金分割的应用，解题时要注意一元二次方程的求解方法．3．（5分）如图，一组互相平行的直线a，b，c分别与直线l1，12交于点A，B，C，D，E，F，直线11，l2交于点O，则下列各式不正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．【解答】解：A、∵直线a∥直线b∥直线c，∴＝，正确，故本选项不符合题意；B、∵直线a∥直线b∥直线c，∴＝，正确，故本选项不符合题意；C、∵直线a∥直线b∥直线c，∴＝，正确，故本选项不符合题意；D、∵直线b∥直线c，∴△OEB∽△OFC，∴＝，错误，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．4．（5分）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔術社上學期345下學期432A．舞蹈社不变，溜冰社减少B．舞蹈社不变，溜冰社不变C．舞蹈社增加，溜冰社减少D．舞蹈社增加，溜冰社不变【分析】若甲：乙：丙＝a：b：c，则甲占全部的，乙占全部的，丙占全部的．【解答】解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：舞蹈社溜冰社魔術社上學期＝＝＝下學期＝＝＝∴舞蹈社增加，溜冰社不变．故选：D．【点评】本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积．5．（5分）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【分析】设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据比例尺的定理列出方程，解之可得．【解答】解：设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝80，即地图上，甲乙两地的距离是80cm，故选：C．【点评】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）若（k≠0），则y＝kx+k﹣2一定经过第三象限．【分析】利用比例的等比性质正确求得k的值，然后根据直线解析式中的k的值正确判断直线经过的象限．【解答】解：根据比例的等比性质，得k＝，当a+b+c≠0时，k＝2，∴直线解析式是y＝2x，∴图象经过一、三象限．当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，∴k＝＝＝﹣1，∴直线解析式是y＝﹣x﹣3，∴图象经过二、三、四象限．综上所述，直线一定经过第三象限，故答案为：三．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，利用k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降，是解答此题的关键．7．（5分）把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为﹣1．【分析】设分成的较长的线段长为x，根据黄金分割的定义得出方程2（2﹣x）＝x2，求出方程的解即可．【解答】解：设分成的较长的线段长为x，则2（2﹣x）＝x2，x2+2x﹣4＝0，x＝，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1（负数不符合题意，舍去），故答案为：﹣1．【点评】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的定义是解此题的关键．8．（5分）如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，如果＝，DF＝7.5，那么DE的长为3．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可．【解答】解：∵AD∥BE∥FC，∴＝，∵＝，DF＝7.5，∴＝，解得：DE＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．9．（5分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D为AB的中点，F为BC边上一点，连接CD、AF交干点E．若∠F AC＝90°﹣3∠BAF，BF：AC＝2：5，EF＝2，则AB长为．【分析】如图，连接BE．设∠BAF＝α．BF＝2k，BC＝CA＝5k．首先证明∠ACE ＝∠BEF＝∠BCD＝2α，想办法求出k，再设DE＝a，BD＝b，理由勾股定理构建方程组解决问题即可；【解答】解：如图，连接BE．设∠BAF＝α．BF＝2k，BC＝CA＝5k．∵CA＝CB，AD＝DB，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD，∴∠CDA＝90°，EA＝EB，∴∠EAB＝∠EBA＝α，∠BEF＝2α，∵∠EAC+∠DAE+∠ACD＝90°，∠F AC＝90°﹣3∠BAF，∴∠ACD＝∠BCD＝2α＝∠BEF，∵∠EBF＝∠CBE，∴△EBF∽△CBE，∴＝＝，∴BE＝k，EC＝，∵∠CEF＝2α+∠CAE，∥EFC＝2α+∠FBE，∵∠CAB＝∠CBA，∠EAB＝∠EBA，∴∠CAE＝∠CBE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴3k＝，∴k＝，∴BE＝，BC＝，设DE＝a，BD＝b，则有，解得a＝，b＝，∴AB＝2b＝2，故答案为2【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程或方程组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．10．（5分）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，AF＝2BF，CE＝3AE，连接CF交DE于P点，则的值为3．【分析】作EG∥CB交AB于G，交CF的延长线于H．根据EP：PD＝EH：CD，设EG＝m，求出EH，CD即可解决问题；【解答】解：作EG∥CB交AB于G，交CF的延长线于H．∵＝＝＝，∴可以设EG＝m，则BC＝4m，∵AF＝2BF，设BF＝a，则AF＝2a，∴AG＝AB＝a，FG＝2a﹣a＝a，∵＝，∴＝，∴HG＝5m，∵＝，CD＝2m，EH＝6m，∴＝＝3，故答案为3．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，点D为△ABC内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD上一点，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求证：EF∥BC；（2）当时，求的值．【分析】（1）先根据相似比的性质得出＝，＝，故可得出＝，由此即可得出结论；（2）先根据EF∥BC得出∠AEF＝∠ABC，再由DG∥BD得出∠AEG＝∠ABD，故可得出∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，故可得出△EGF∽△BDC根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．【解答】解：（1）∵EG∥BD，∴＝，∵GF∥DC，∴＝，∴＝，∴EF∥BC；（2）∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∵EG∥BD，∴∠AEG＝∠ABD，∴∠AEF﹣∠AEG＝∠ABC﹣∠AED，即∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，∴△EGF∽△BDC，∵＝，∴＝，∴＝（）2＝．【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4．线段AB的垂直平分线DF分别交边AB、AC、BC所在的直线于点D、E、F．（1）求线段BF的长；（2）求AE：EC的值．【分析】（1）作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH＝CH＝BC ＝2，再利用勾股定理计算出AH＝4，然后证明Rt△FBD∽Rt△ABH，再利用相似比计算BF和DF的长；（2）作CG∥AB交DF于G，如图，利用CG∥BD得到＝＝，然后由CG∥AD，根据平行线分线段成比例定理得到AE：EC的值．【解答】解：（1）作AH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC＝，∴BH＝CH＝BC＝2，在Rt△ABH中，AH＝＝4，∵DF垂直平分AB，∴BD＝，∠BDF＝90°∵∠ABH＝∠FBD，∴Rt△FBD∽Rt△ABH，∴＝＝，即＝＝，∴BF＝5，DF＝2；（2）作CG∥AB交DF于G，如图，∵BF＝5，BC＝4，∴CF＝1，∵CG∥BD，∴＝＝，∵CG∥AD，∴＝＝＝5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．13．（10分）黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比值，被称为黄金分割数．我国著名数学家华罗庚普及并做出重要贡献的优选法中有一种0.618法也应用了黄金分割数．定义：点C在线段AB上，若满足AC2＝BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点（如图1）．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC＝∠C ＝72°，∠ABD＝∠CBD＝36°，∠BDC＝72°，则可得到AD＝BD＝BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2＝CD•AC，于是有AD2＝CD•AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；（2）设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x，由（1）的结论得到x2＝1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC＝1，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴DA＝DB，BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC＝CD：BC，即BC2＝CD•AC，∴AD2＝CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x，∵AD2＝CD•AC，∴x2＝1﹣x，解得x1＝，x2＝，即AD的长为．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．14．（10分）如图1，我们已经学过：点C 将线段AB 分成两部分，如果，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ．（1）证明点D 是AB 边上的黄金分割点；（2）证明直线CD 是△ABC 的黄金分割线．【分析】（1）易证△BCD ∽△BAC ，则有＝，再由BC ＝CD ＝AD 可得＝，由此可得D 是AB 边上的黄金分割点；（2）设△ABC 的边AB 上的高为h ，则S △ADC ＝AD •h ，S △DBC ＝DB •h ，S △ABC ＝AB •h ，即可得到＝，＝．由（1）得＝，即可知＝，由此可得CD 是△ABC 的黄金分割线．【解答】解：（1）点D 是边AB 上的黄金分割点，理由如下：∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝72°．∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠DCB ＝36°，∴∠BDC ＝∠B ＝72°，∠ACD ＝∠A ＝36°，∴BC ＝DC ＝AD ．∵∠A ＝∠BCD ，∠B ＝∠B ，∴△BCD ∽△BAC ，∴＝．∴＝．∴D是AB边上的黄金分割点；（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC＝AD•h，S△DBC＝DB•h，S△ABC＝AB•h，∴＝，＝．∵D是AB的黄金分割点，∴＝，∴＝．∴CD是△ABC的黄金分割线．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积公式，需要注意的是：当比例顺序不确定时，应分情况讨论，避免出现漏解的现象．15．（10分）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求证：AF：FD＝AD：DB；（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EF∥CD得到，由DE ∥BC得到，然后利用等量代换可得到结论；（2）根据比例的性质由AD：BD＝2：1可计算出AD＝10，则利用AF：FD＝AD：DB得到AF＝2DF，然后利用2DF+DF＝10可计算出DF．【解答】（1）证明：∵EF∥CD，∴，∵DE∥BC，∴∴．（2）∵AD：BD＝2：1，∴BD＝AD，∴AD+AD＝15，∴AD＝10，∵AF：FD＝AD：DB，∴AF：FD＝2：1，∴AF＝2DF，∵AF+DF＝10，∴2DF+DF＝10，∴DF＝．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．。
中考数学《图形的相似》专项练习题及答案一、单选题1．一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（）A．5cm B．6cm C．（6-√3）cm D．（3+√3）cm2．如图，DE△BC，EF△AB，现得到下列结论：AEEC=BFFC，ADBF=ABBC，EFAB=DEBC，CECF=EABF其中正确的比例式的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（）A．1:2B．1:3C．1:9D．1:164．如图，△ABC中，三边互不相等，点P是AB上一点，有过点P的直线将△ABC切出一个小三角形与△ABC相似，这样的直线一共有（）A．5条B．4条C．3条D．2条5．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为2，则△EDC的面积是（）A．2B．8C．16D．326．如图，△ADE△△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：27．如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若s1表示△ADE的面积，s2表示四边形DBCE的面积，则s1：s2=（）A．1︰2B．1︰3C．1︰4D．2︰38．如图，按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的12，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F得△DEF，则下列说法正确的是（）①△ABC与△DEF是相似图形；②△ABC与△DEF的周长比为2：1；③△ABC与△DEF的面积比为4：1．A．①、②B．②、③C．①、③D．①、②、③9．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，CB相交于点P，若∠DPB=45°，则S△CDP：S△ABP 的值（）A．25B．23C．13D．1210．如图，AD△BE△CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4B．5C．6D．811．一个三角形的三边长分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形中有一条边长为6.则这个三角形的周长不可能是()A．725B．18C．48D．2412．如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与△ABC相似的三角形是（）A．B．C．D．二、填空题13．勾股定理是一个基本的几何定理，有数百种证明方法．“青朱出入图”是我国古代数学家证明勾股定理的几何证明法．刘徽描述此图“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，加就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也”．若图中BF=4，DF=2，则AE=．14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一点，BE=1，AE与BD交于点F．则DF的长为．15．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为．16．如图，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC于D，BD=3，CD=12，则AD的长为17．在某一时刻，测得一根高为1m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋高楼的影长为40m，这栋高楼的高度是m．18．如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为m．三、综合题19．如图，已知△BAC=90°，AD△BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：（1）△DFB△△AFD；（2）AB：AC=DF：AF．20．一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上）.（1）发现BE与DG数量关系是，BE与DG的位置关系是.（2）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图2），（1）中的结论还成立吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由.（3）把图1中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=2，AB=4，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请直接写出这个定值.21．如图，已知点D在△ABC的外部，AD△BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．（1）求证：△BAC＝△AED；（2）在边AC取一点F，如果△AFE＝△D，求证：ADBC=AFAC．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作BD的垂线与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE交AC于点K，连接DF。
第6章 图形的相似 6.1 图上距离与实际距离学习目标1．了解线段的比和成比例的线段．2．了解比例的基本性质，并能解决简单问题．随堂练习1．判断下列各组长度的线段是否成比例，正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”． （1）4、8、10、20（ ） （2）3、9、7、21（ ） （3）11、33、66、22（ ） （4）1、3、5、15（ ）2．已知11x =，10y =，7s =，且x sy t=，则t =________． 3．已知a 、b 、c 、d 成比例，5a =，3b =，7c =，则d =________． 4．若线段1a =，4b =，线段c 是a 、b 的比例中项，则c =________．5．在比例尺为1∶50000的地图上，测得A 、B 两地间的图上距离为16cm ．求A 、B 两地间的实际距离． 6．已知73a b a b +=-，求a b 和32a ba+的值．课后复习7．（1）若:3:4a b =，:3:5b c =，则::a b c =________________；（2）若线段b 是线段a 、c 的比例中项，且4a =，9c =，则b =________； （3）若12a c m b d n ===，则2323a c m b d n-+=-+________． 8．已知M 是线段AB 延长线上的一点，且:5:2AM BM =，则:AB BM =________． 9．若25x y =，则x y =________；若2703t s -+=，则st=________．10．将mn pq =改写成比例式的形式，错误的是（ ）． A ．m qp n= B ．p n m q= C ．q n m p= D ．m p n q= 11．已知234x y z==，且2318x y z +-=．求x 、y 、z 的值．12．如图，32AD AE BD EC ==．求（1）AB BD 的值；（2）ECAC的值．拓展延伸13．已知a 、b 、c 均为正数，且a b c k b c c a a b===+++．下列各点中，在正比例函数y kx =图像上的点是________（填序号）． ①11,2⎛⎫⎪⎝⎭②()1,2③11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭④()1,1-14．P 为线段AB 上的一点，::AP PB m n =，AB a =．求AP 的长．6.2 黄金分割学习目标1．在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，了解黄金分割、黄金矩形的意义．2．能计算与黄金分割有关的数量问题，能利用黄金分割进行简要证明．随堂练习1．已知C是线段AB的黄金分割点，如果:0.618AC BC≈，那么:BC AB≈________，:AC AB≈________（精确到0.001）．2．如图，C是线段AB的黄金分割点()AC BC>．且512AC-=，则AB=________，BC=________．3．研究发现，当气温与人体正常体温（37℃）的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个气温约为________℃（精确到1℃）．4．古希腊的巴台农神庙（Parthenom Temple）的正视图是一个黄金矩形．该黄金矩形的长为6m，其宽约为________m（精确到0.1m）．5．点C在线段AB上，且AC BCAB AC=．下列说法中，错误的是（）．A．线段AB被点C黄金分割B．BC与AC的比是黄金比C．AB与AC的比是黄金比D．AC与AB的比是黄金比6．如图，在五角星形中，C、D是AB的两个黄金分割点．若1CD=，则AB=________．课后复习7．科学研究表明，当人的下肢长与身高的比为0.618时，看起来最美．某女士身高为169cm，其下肢长约为________cm（精确到1cm），就能符合上述比例．8．如图，C是AB的黄金分割点，那么ACAB与ACBC的值分别是（）．A．51+，51-B．51-，51+C．51-，51-D．51+，51+9．摄影中的35mm胶片幅面的比率为24:365:7=．7.55:80.618≈≈，摄影教学课程中，为了寻找画面中的黄金分割点，先要制造一个黄金矩形：在正方形ABCD中，以AB的中点E为圆心，线段EC为半径画弧，交AB的延长线于点F，图中便出现了黄金矩形．请指出图中的黄金分割点和黄金矩形，并加以说明．拓展延伸10．如图，在ABC△中，AB AC=，36A∠=︒，像这样，顶角为36︒的等腰三角形叫做黄金三角形，（1）请你利用图①和图②设计两种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使分成的三角形中含有两个黄金三角形（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）；（2）在图③中，BF平分ABC∠交AC于点F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于点M ．判断CM 与AB 之间的数量关系（不要求写出证明）．11．用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ：，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置点B '，EB EB '=；类似地，在AB 上折出点B ''，使AB AB '''=（如图）．这时点B ''就是AB 的黄金分割点、请说明理由．6.3 相似图形和学习目标1．了解相似形、相似比的概念． 2．了解相似形的特性，会识别相似图形．随堂练习1．观察下列各组图形，其中同一组内两个图形相似的是________（填序号）．2．如图，梯形ABCD 与梯形A B C D ''''相似，10AB =，8AD =，9CD =，5A B ''=，7B C ''=，则BC =________，C D ''=________，A D ''=________．3．已知111ABC A B C △∽△，且50A ∠=︒，95B ∠=︒，则1C ∠=（ ）． A ．50︒B ．95︒C ．35︒D ．25︒4．下列命题：①直角三角形都相似；②等腰三角形都相似；③正方形都相似；④菱形都相似．其中，正确的命题有（ ）． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，已知两个四边形相似．求：（1）x 、y ；（2）α∠．课后复习6．如图，ADE ABC △∽△，且:2:1AD DB ，则:DE BC 为（ ）． A ．2∶1B ．1∶2C ．2∶3D ．3∶27．观察下列图形，用线段将形状相同的图形连起来．8．如图，网格纸中画有格点三角形ABC ．在图中画格点三角形111A B C ，使111A B C ABC △∽△，并写出它们的相似比．拓展延伸9．右面一组图形中的三角形都是相似三角形．根据其规律，图⑩中共有________个三角形，其中最小的三角形与最大的三角形的相似比是________，面积比是________．10．在长21的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸片的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸片相似，然后将它们剪下，求所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值．6.4 探索三角形相似的条件（1）学习目标掌握与平行线有关的基本事实，探索“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”，并用以解决有关问题．随堂练习1．如图，DE BC，3AD=，2BD=，6AE=，则AC=________．2．如图，在梯形ABCD中，AD BC，AC与BD相交于点O．若2OA=，3OD=，5OC=，则OB 为（）．A．4 B．65C．103D．7．53．如图，DE BC，EF AB，图中相似的三角形有（）．A．1对B．2对C．3对D．4对4．如图，DE BC，10AD=，8AE=，12DE=，18BC=．求BD、EC的长．课后复习5．如图，点B、E、C、F在一条直线上，DE AB，DF AC．写出图中的相似三角形：________________________．6．已知：如图，在ABC △中，DEBC ，EF CD ．（1）写出图中的相似三角形，并选择一对加以证明；（2）若5AE =，3EC =，4EF =，7BC =，求DE 、CD 的长．7．如图，DEFG BC ，2DE =，3FG =，5BC =，4AE =，DG 的延长线交BC 延长线于点H ．（1）EG =________，GC =________； （2）求CH 的长．拓展延伸8．如图，DE是ABC△的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G．求:AG GD．9．如图，在ABC△中，点D在AC上，点E在BD上，且23ADDC=，32BEED=，AE的延长线交BC于点F．求:BF FC．6.4 探索三角形相似的条件（2）学习目标探索“两角分别相等的两个三角形相似”，并会用以解决有关问题．随堂练习1．如图，AE与BD相交于点C．要得到ABC DEC△∽△，只需添加条件________．2．如图，要得到ABC ACD△∽△，只需添加条件________________________．3．如图，要得到ABE ACD△∽△，只需添加条件________________________．4．如图，在ABC∠=∠=∠．图中有________对相似二角△中，点D在AB上，点E在AC上，且123形，它们是：_________________________________________________________________．5．已知两个等腰三角形，给出下列条件：①顶角相等；②底角相等；③有一个角相等；④有一个钝角相等．其中，能得到“这两个等腰三角形相似”的结论的条件是________________（填序号）．6．已知：如图，BAD CAE∠=∠，B D∠=∠．（1）ABC△相似吗？为什么？△和ADE（2）若2BC=cm，求DE的长．=，6AB AD课后复习7．如图，在ABC △中，AED B ∠=∠，6DE =，10AB =，8AE =，则BC 的长是________．8．如图，AB CD EF ，图中相似的三角形共有（ ）． A ．2对B ．3对C ．4对D ．4对以上9．如图，在ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，CD 是ACB ∠的平分线． （1）ABC △和CBD △相似吗？为什么？ （2）AD 、AB 、BD 之间有什么关系？为什么？拓展延伸10．如图，在Rt ABC△中，CD是斜边AB上的高，（1）试说明ABC CBD ACD△∽△∽△；（2）由ABC ACD△∽△，可得AB ACAC AD，即AC是________和________的比例中项；（3）图中还存在哪些有关“比例中项”的结论？请说明理由．11．如图，在ABC△中，三内角的平分线交于点D，过点D作AD的垂线分别交AB、AC于点M、N．试说明：MBD DBC NDC△∽△∽△．6.4 探索三角形相似的条件（3）学习目标探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，并会用以解决有关问题．随堂练习1．在ABC △和A B C '''△中，如果B B '∠=∠，6AB =，8BC =，4B C ''=，那么当A B ''=________时，A B C ABC '''△∽△．2．如图，要得到AEF ACB △∽△，只需添加条件：________或________或________．3．如图，下列条件中，能使得ABC BDC △∽△的是（ ）． A ．BC CACD AB=B ．BD ABCD BC=C ．2BC AC CD =⋅ D ．2BD DA DC =⋅4．如图，点P 在AC 上．以下条件中，不能判定ABP ACB △∽△的是（ ）． A ．AB ACAP AB=B ．AC BCAB BP=C ．ABP C ∠=∠D ．APB ABC ∠=∠5．如图，每一个小正方形的边长均为1．下列阴影三角形中，与ABC △相似的是（ ）．课后复习6．在ABC △中，12AB =，10AC =，点D 在边AC 上，且5AD =．如果要在AB 上找一点E ，使ADE △与ABC △相似，则AE =________．7．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上的一点，且:1:3CE DE =，点P 在BC 上，如果PCE △与以A 、B 、P 为顶点的三角形相似，则这样的点P 有________个．8．如图，在平面直角坐标系中有点()4,0A 、()0,2B ，若点C 在x 轴上（点C 、点A 不重合），则当点C 的坐标为________________________时，由点B 、O 、C 为顶点的三角形与AOB △相似． 9．已知：如图，2AE AD AB =⋅，且ABE ACB ∠=∠． 试说明：（1）ADE AEB △∽△；（2）DEBC ；（3）BCE EBD △∽△．拓展延伸10．已知：如图，ABC △、DCE △、FEG △是3个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 在一条直线上，且3AB =，1BC =，BF 分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、R ． （1）BFG △与FEG △相似吗？请说明理由； （2）求BF 的长；（3）观察图形，请你提出—个与点P 相关的问题，并进行解答．11．如图，在ABCD □中，点E 在BC 上，AE 交BD 于点F ，且2BE EF EA =⋅．试说明：2AB BF BD =⋅．6.4 探索三角形相似的条件（4）学习目标探索“三边成比例的两个三角形相似”，并会用以解决有关问题．随堂练习1．在ABC △中，4AB =，5BC =，6CA =．（1）如果10DE =，那么当EF =________，FD =________时，DEF ABC △∽△； （2）如果10DE =，那么当EF =________，FD =________时，FDE ABC △∽△．2．在ABC △中，::2:3:4AB BC CA =，在DEF △中，1DE =，2FD =．当EF =________时，DEF ABC △∽△．3．若三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21cm ，则其余两边的和为________． 4．ABC △的三边长分别为2、10、2，DEF △的两边长分别为1、5，要使ABC DEF △∽△，则DEF △的第三边长可以是（ ）． A ．22B ．2C ．22D ．25．已知：如图，在四边形ABCD 中，3AB =，12BC =，8CD =，4AD =，6BD =．求证：BD 平分ABC ∠．6．小明为了装饰自己的房间，想要制作两个相似的三角形框架．已做好的一个框架的三边长分别为4、5、6，待做的另一个框架已确定了一边长为2，你认为他可以如何确定另两边的长？课后复习7．已知ABC △的三边长分别为1、3、2，A B C '''△的两边长分别为2和6，如果ABC A B C '''△∽△，那么A B C '''△的第三边为________．8．下列条件中，不能使ABC △和DEF △相似的是（ ）． A ．4538A D '∠=∠=︒，2622C '∠=︒，108E ∠=︒40A D ∠=∠=︒ B ．1AB =， 1.5AC =，2BC =，12DE =，8EF =，16DF = C ．BC a =，AC b =，AB c =，DE a =，EF b =，DF c = D ．AB AC =，DE DF =，40A D ∠=∠=︒9．已知：如图，AG 、DH 分别是ABC △和DEF △的角平分线，且AB BG AGDE EH DH==．求证：DEF ABC △∽△．拓展延伸10．如图，由三个小正方形拼成一个矩形AEDF ．请你猜想1∠、2∠、3∠有什么关系，并说明你的猜想是正确的．11．如图，在44△的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上（称为格点三角⨯的正方形方格中，ABC形）．在图中画出所有与ABC△相似且相似比不为1的格点三角形，并说明理由．6.4 探索三角形相似的条件（5）学习目标1．探索三角形中三条中线交于一点的性质，了解三角形的重心．2．会灵活运用三角形相似的条件解决问题，进一步体会证明的必要性．随堂练习1．如图，在ABCAD DB=________．△中，DE BC，:3:5DE BC=________，:AE AC=，则:2．如图，在ABC△∽________．△中，AC是BC、DC的比例中项，则ABC3．如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，线段1MN=，且点M、N分别在CB、CD上滑动．当CM=________时，ADE△与以M、N、C为顶点的三角形相似．4．在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，且将该四边形分成如图所示的①、②、③、④四个三角形．若OA OB OC OD ⋅=⋅，则这四个三角形中一定相似的是________________（填序号）．5．已知点D 、E 分别在ABC △的边AC 、AB 上．下列条件中，不能推出ABC ADE △∽△的是（ ）． A ．AE ACAD AB=B ．B ADE ∠=∠C ．AE DEAC BC=D ．C AED ∠=∠6．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，垂足为E ．图中相似三角形共有（ ）． A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对课后复习7．如图，在ABCD □中，3BE =，2EF =．求：（1）:DF AB 的值；（2）FG 的值．8．如图，ABC △是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD CE =，AD 与BE 相交于点F ． （1）写出一个与AEF △相似的三角形，并证明；（2）写出一个有关比例中项的结论：2AE=________·________（不要求写出证明过程）．拓展延伸9．在正方形ABCD中，2AB=，P是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），DQ AP⊥，垂足为Q．（1）求证：DQA ABP△∽△；（2）当点P的位置变化时，线段DQ的长也随之变化．设PA x=，DQ y=，求y与x之间的函数表达式．10．如图，在ABC△中，D是BC的中点，点G是ABC△的重心．求AGAD的值．6.5 相似三角形的性质（1）学习目标1．探索相似三角形、相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系． 2．会运用相似形的性质解决简单问题．随堂练习1．若两个相似二角形的相似比为2∶3，则面积比为________；若两个相似多边形的面积比为1∶4，则相似比为________．2．—个三角形的各边扩大为原来的4倍，则所得三角形的面积扩大为原来的________倍．3．若ABC △三边的中点分别为D 、E 、F ，则ABC △与DEF △周长的比为________，面积的比为________．4．在ABC △中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，那么ADE △与四边形DBCE 的面积之比为________． 5．—个三角形的三边之比为2∶3∶4，和它相似的另一个三角形的最大边等于16，则其最小边等于________，周长等于________． 6．如图，在ABC △中，DEFGBC ，::1:2:3AD DF FB =，则::ADE DFGE FBCG S S S =四形四形△边边________．7．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个多边形的周长分别为________．课后复习8．如图，在ABCD □中，M 是边BC 上的一点，AM 与BD 相交于点N ，且:4:1AM NM =． （1）写出图中的相似三角形及它们的相似比； （2）若2CM =cm ，求BC 和BM 的长．9．如图，在ABC △中，DEBC ，12AE EC =．求DOE △与BOC △的周长比与面积比．10．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ，AOD △的面积与BOC △的面积之比为1∶9，AOB △的面积为6．求：（1）:AD BC 的值；（2）梯形ABCD 的面积．拓展延伸11．如图，在ABC △中，D 是边BC 的中点，且AD AC =，DE BC ⊥交AB 于点E ，EC 交AD 于点F ．若FCD △的面积为5，10BC =，求DE 的长．12．如图，在四边形ABCD 中，AC AB ⊥，BD CD ⊥，BCE △的面积为162cm ，ADE △的面积为82cm ．求ADBC．6.5 相似三角形的性质（2）学习目标1．探索相似三角形对应线段的比等于相似比． 2．会用相似三角形的性质解决有关问题．随堂练习1．两个相似三角形的相似比为3∶5，则对应的角平分线之比为________． 2．两个相似三角形的面积比为9∶16，则对应边上的高之比为________．3．两个相似的直角三角形斜边上中线的比为2∶3，它们周长的比为________，面积的比为________． 4．在ABC △和DEF △中，2AB =cm ，3BC =cm ，6DE =cm ，9EF =cm ，且B E ∠=∠．若点A 到BC 的距离为1.5cm ，则点D 到EF 的距离为________cm ． 5．如图，已知DEFGBC ，ADE △的面积记为1S ，梯形DFGE 的面积记为2S ，梯形FBCG 的面积记为3S ，且123::4:21:11S S S =，AH BC ⊥，分别交DE 、FG 、BC 于点M 、N 、H ．若4AM =，则MN =________，NH =________．6．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，BC AC ⊥，CD AD ⊥，且18AB =，12AC =． （1）求AD 的长；（2）若DE AC ⊥，CF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，求DECF的值．课后复习7．如图，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，EC AB ，EB DC ．（1）找出图中的相似三角形并证明．（2）设ABE △的边BE 上的高为1h ，CDE △的边CD 上的髙为2h ．若ABE △的面积为4，CDE △的面积为9，求12h h 的值及BCE △的面积．拓展延伸8．—块三角形铁片ABC ，12BC =cm ，高8AH =cm ，按图①、图②两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG ，且要求矩形的长是宽的2倍．为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断图①、图②两种设计方案哪个更好．9．如图，AD 、BE 是锐角三角形ABC 的高，A D ''、B E ''是锐角三角形A B C '''的高，且AB A B AD A D ''=''，C C '∠=∠．试说明：AD B E A D BE ''''⋅=⋅．6.6 图形的位似学习目标了解位似形的意义，会利用位似形将一个图形进行放大和缩小．随堂练习1．如图，正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 是位似形，且:2:3AB FG =．下列结论中，正确的是（ ）．A ．23DE MN =B ．32DE MN =C ．32A F ∠=∠D ．23A F ∠=∠2．如图，ABC △和DEF △是位似三角形，点O 是位似中心，且2AC DF =，则:OE OB =________． 3．如图，矩形ABCD 与矩形EFGH 是位似形，点O 是位似中心，且:3:5OB OF =，则矩形ABCD 与矩形EFGH 的面积之比等于________．4．如图，ABC △与A B C '''△是位似形，点O 是位似中心．若2OA AA '=，8ABC S =△，则A B C S '''=△________． 5．如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”的一个“顶点”的坐标为(),a b ，那么大“鱼”的对应“顶点”的坐标为（ ）． A ．(),2a b --B ．()2,a b --C ．()2,2a b --D ．()2,2b a --课后复习6．如图，五边形ABCDE 和五边形11111A B C D E 是位似形，点P 是位似中心，且123PA PA =，则11:AB A B 等于（ ）． A ．23B ．32 C ．35D ．537．如图，在正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为()3,2，()1,1--．这两个正方形的位似中心的坐标是________． 8．尺规作图：（1）将ABC △放大2倍，且位似中心选在AB 上的点O 处；（2）将正六边形ABCDEF 缩小50%，且位似中心选在形内的点O 处．拓展延伸9．如图，已知TAB △的顶点坐标分别为()1,1T 、()2,3A 、()4,2B ．（1）以点T 为位似中心，在正方形网格中，把TAB △按3∶1的比例放大为TA B ''△，并写出点A '、B '的坐标；（2）若点(),C a b在线段AB上，写出经第（1）题的放大后点C的对应点C'的坐标．10．两个位似多边形，如果它的位似中心在连接两个对应点的线段之外，这样的位似图形叫做外位似；如果它的位似中心在连接两个对应点的线段上，这样的位似图形叫做内位似．在图中，以O为位似中心，画出五边形ABCDE的外位似图形和内位似图形，且相似比为1∶2．6.7 用相似三角形解决问题（1）学习目标了解平行投影的意义，应用平行投影的性质解决实际问题，增强应用数学的意识．随堂练习1．如图，AB是标杆，BC表示AB在太阳光下的影子，下列关于测量旗杆ED的高的方法，叙述错误的是（）．A．可以利用“同一时刻不同物体与其影长的比相等”来求旗杆高B．可以利用ABC EDB△∽△来求旗杆的高C．只需测量标杆和旗杆的影长就可求得旗杆的高D．只要测量AB、BC和DB的长就能求得旗杆的高2．如果高为1.5m的标杆的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高是（）．A．20m B．16m C．18m D．15m3．如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m．旗杆的高为（）．A．12m B．10m C．8m D．7m4．如图，身高为1.6m的小玲想测量一棵大树的高度，她沿着树影由点B向点A走去，走到点C时，人影顶端正好与树影顶端重合，并测得 3.2CA=m，则可知树的高度为（）．BC=m，0.8A．4.8m B．6.4m C．8m D．9.6m课后复习5．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取点D、E，使13CD AC=，13CE BC=，测得20DE=cm，则AB=________m．6．如图，为了估算河的宽度，可以在河对岸选定一个目标作为点A，在本岸选点B和C，使BC AB⊥，然后再选点E，使CE BC⊥，BC和AE交于点D．如果此时测得120BD=m，60DC=m，50EC=m，求两岸间的距离AB．拓展延伸7．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长1m的竹竿的影长为0.8m，甲树的影长为4.08m（如图①）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图②），墙壁上的影长为1.2m，落在地面上的影长为2.4m．小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图③），测得在台阶顶面上的影长为0.2m，一级台阶高为0.3m，落在地面上的影长为4.4m．小明：测得丁树落在平地路面上的影长为2.4m，落在坡面上影长为3.2m（如图④）；身高是1.6m的小明站在坡面上，影子都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．（1）甲树的高度为________m，乙树的高度为________m，丙树的高度为________m；（2）求出丁树的高度（画出示意图）．8．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿2AB=m，它的影子1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上， 1.2PM=m，0.8MN=m．求木竿PQ的长．6.7 用相似三角形解决问题（2）学习目标1．了解中心投影的意义，探究中心投影与平行投影的区别，运用中心投影的相关知识解决一些实际问题．2．综合运用判定三角形相似的条件和相似三角形的性质解决问题．随堂练习1．图为小孔成像原理的示意图．根据图中标注的尺寸，蜡烛AB在暗盒中成像CD的髙度是________cm．2．如图，铁道口的栏杆AB的短臂 1.25OB=m．当短臂端点A下降0.85m时，长臂OA=m，长臂16.5端点B升高________m．3．晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（）．A．变长B．变短C．先变长后变短D．先变短后变长4．小华自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5m．若幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是（）．A．50cm B．60cm C．500cm D．600cm课后复习5．如图，AB和DE是地面上的两根立柱，5BC=m．AB=m，某一时刻AB在阳光下的投影3（1）在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）设此时DE在阳光下的投影长为a m，则DE的长为________m．6．如图，为了测量路灯S的高度h，把一根长1.5m的竹竿AB竖立在地面上，测得竹竿的影长BC为1m ，然后拿着竹竿沿OB 方向走了4m 到点B '，再把竹竿竖立在地面上（即A B ''），测得竹竿的影长B C ''为1.8m ．求路灯的高度．7．如图，某地冬至日中午，一温室的外墙高CD 为3m ，其南面窗户的最底点G 距地面1m ，且CD 在地面上留下的影长CF 为2m ．现欲在距点C 7m 的正南方点A 处建一幢12m 高的楼房AB （设点A 、C 、F 在同一水平线上）． （1）请按比例画出楼房AB 及其在冬至日中午时的影长AE ；（2）如上述楼房AB 建成，冬至中午该温室CD 窗户的光照是否会受到影响？请说明理由．拓展延伸8．如图①，小明晚上在路灯下散步．已知小明的身高AB h =，灯柱的高OP O P l ''==，两灯柱之间的'=．距离OO m（1）若小明距灯柱OP的水平距离OA a=，则他的影长AC=________．（2）若小明在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和()+是否不断改变？为什么？AC ADυ的速度匀速行走，如图②，试求他影子的顶端在地面上移动的（3）若小明在点A朝着影子的方向以1υ．平均速度29．如图，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过圆锥底面圆的圆心，圆锥的高为23m，底面半径为2m，某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长4BE=m．（1）求ABC∠的度数；（2）若2∠=∠，求光源A距平面的高度．ACP ABC小结与思考学习目标1．了解线段的比、成比例线段及比例的基本性质，了解黄金分割及其应用． 2．探索三角形相似的条件与性质，并会进行有关的计算与说理． 3．了解某些图形运动与相似三角形的关系．随堂练习1．一棵高3m 的小树影长为4m ，同一时刻临近的一座铁塔的影长为24m ，这座铁塔高________m ． 2．已知矩形ABCD ∽矩形A B C D ''''，相似比为2．若6AB =cm ，12BC =cm ，则矩形A B C D ''''的周长为________cm ．3．点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP PB >．下列说法中，正确的是________（填序号）． ①2AP PB AB =⋅；②2AB AP PB =⋅；③2BP AP AB =⋅；④::AP AB PB AP =．4．在ABC △中，AB AC =，在DEF △中，DE DF =．要得到ABC DEF △∽△，只需添加条件________（填一个即可）．5．在平面直角坐标系中，已知点()3,0A -、()0,4B -、()0,1C ，过点C 作直线l 交x 轴于点D ，使以点D 、C 、O 为顶点的三角形与AOB △相似，这样的直线l 一共可以作________条．6．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CD 是斜边AB 上的高，BAC ∠的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ．图中共有8个三角形，如果把相似的三角形归为一组，那么图中的三角形可分为________组．7．如图，在梯形ABCD 中，ABCD ，AB a =，CD b =，两腰的延长线交于点M ，过点M 作DC 的平行线，分别交AC 、BD 的延长线于点E 、F ，则EF =________． 8．如图，AD 、BC 相交于点E ，ABEF CD ，点F 在BD 上，6AB =cm ，9CD =cm ．求EF 的长．课后复习9如图，在ABCD □中，28AB =，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE EF FC ==，DE 交AB 于点M ，MF 交CD 于点N ，则CN =________．10．如图，在ABC △中，D 是AB 的中点，点D 在CB 的延长线上，AFBC ，交ED 的延长线于点F ，EF 交AC 于点G ．若:3:1CG GA =，8BC =，求AF 的长．拓展延伸11．如图，在ABC △中，5AB =，4AC =，3BC =，PQAB ，分别交两边AC 、BC 于点P 、Q ．（1）PQC △的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长； （2）PQC △的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；（3）在AB 上是否存在点M ，使得PQM △为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出PQ的长．12．如图，O的直径AC与弦BD相交于点F，点E在DB的延长线上，EAB ADB∠=．（1）AE与O相切吗？为什么？（2）若B是EF的中点，判断以A、B、C为顶点的三角形与AEF△是否相似，并说明理由．（3）已知4CF=，在“（2），，的条件下，求AE的长．AF=，2。
