合肥一模理科数学含答案

安徽省合肥市区属中学2025届高考数学一模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ）A ．23B ．25C ．28D ．292．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．843．已知向量()1,3a =，b 是单位向量，若3a b -=，则,a b =（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 4．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ）A ．0.02sin 360000y t =B ．0.03sin180000y t =C ．0.02sin181800y t=D ．0.05sin 540000y t = 6．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为22y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( )A ．9B ．5C ．2或9D ．1或5 7．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ） A ．B ．C ．D ． 8．直线20(0)ax by ab ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π 10．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为3Γ的离心率为（ ）A ．2B 23C ．73D 21 11．已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b << 12．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ）A ．94B ．5C ．5224+D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题1．若集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得，故；由，解得，故，因此.故本题正确答案为点晴:集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数、还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解对数不等式和一元二次不等式，在解对数不等式的过程中，要注意真数大于零.在求交集时注意区间端点的取舍. 并通过画数轴来解交集、并集和补集的题目.2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，故的共轭复数为.故本题正确答案为3．要想得到函数的图像，只需将函数的图像（）A. 向左平移个单位，再向上平移1个单位B. 向右平移个单位，再向上平移1个单位C. 向左平移个单位，再向下平移1个单位D. 向右平移个单位，再向下平移1个单位【答案】B【解析】因为，故只需将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，即可得到函数的图象.故本题正确答案为4．执行如图的程序框图，则输出的为（）A. 9B. 11C. 13D. 15【答案】C【解析】由程序框图可知，，由，解得，故输出的的值为.故本题正确答案为5．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，两点．为坐标原点．若的面积为1，则的值为（）A. 1B.C.D. 4【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线方程为，与抛物线的准线相交于,所以的面积为，解得.故本题正确答案为6．的内角的对边分别为,若，，则的外接圆面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，由正弦定理可得，（为外接圆半径）.利用两角和公式得，即,因为，所以,所以.故的外接圆面积为.故本题正确答案为7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设为两个同高的几何体，的体积不相等，在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设命题：“若，则”.可知命题是祖暅原理的逆否命题，由命题的性质可知必然成立.故是的充分条件；设命题：“若，则”，对此可以举出反例，若比在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积多一些，且多的总量与少的总量相抵，则它们的体积还是一样的.所以命题：“若，则”是假命题，即不是的必要条件.综上所述，是的充分不必要条件.故本题正确答案为8．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线的方程为）的点的个数的估计值为（）A. 5000B. 6667C. 7500D. 7854【答案】B【解析】由图象可知，空白区域的面积，故阴影部分的面积；由几何概型可知，落入阴影部分的点的个数的估计值为故本题正确答案为9．一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据如图所示的三视图，该几何体为一个正方体的一部分和四分之一个圆柱体，如图所示.则该几何体的表面积为.故本题正确答案为10．已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与-18，则展开式所有项系数之和为（）A. -1B. 1C. 32D. 64【答案】D【解析】因为的展开式中项的系数为，所以；又因为的展开式中项的系数为，所以，解得，或，令，故展开式所有项系数之和为.故本题正确答案为11．已知函数在在上的最大值为,最小值为,则（）A. 4B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】因为函数，所以，当时，；而，当时，，所以不是函数的极值点，即函数在上单调，函数在上的最值在端点处取得，因为，，故.故本题正确答案为点晴：本题考查的是导数在研究函数中的应用.解决本题的关键是先求导函数，通过判断导函数的正负，判断原函数的增减情况，得到函数的最值.在本题中当时，，但是当时，，所以不是函数的极值点，即函数在上单调，最值在端点处取到.12．已知函数，．方程有六个不同的实数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据已知条件，作出函数的图象，如图所示.因为方程至多有两个实数解，，则方程有六个不同的实数解等价于存在四个实数，使得，同时存在两个实数使得,由图象可知，，，由韦达定理可知，，则，，故的取值范围是.故本题正确答案为D.点晴：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断.解决本题首先根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，结合方程有六个不同的实数解，并且方程至多有两个实数解，，得到，，再由由韦达定理可知，，可得的取值范围是.二、填空题13．命题：“”的否定为__________．【答案】，【解析】因为命题的否定是将命题的条件和结论全部否定，故原命题的否定为，.故本题正确答案为，.14．已知，，且，则实数__________．【答案】-6【解析】因为，且，，所以，解得.故本题正确答案为.15．已知，则__________．【答案】1或【解析】因为，且，解得，或，.当时，；当，，故或.故本题正确答案为或..16．已知直线与函数和分别交于两点，若的最小值为2，则__________．【答案】2【解析】设，则，所以，则,设，则，当时，.因为的最小值为，故将代入，解得，所以，得，故.故本题正确答案为.点晴：本题考查的是转化与化归思想及导数在研究函数中的应用.首先利用转化与化归思想把图象交点问题转化为新的函数为关于的函数的最值问题，再利用导数知识根据函数的最小值为求得，进而得到.三、解答题17．已知等差数列的前项和为，且满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析: （1）根据已知条件求出的首项和公差，即可求出数列的通项公式. （2）将（1）中求得的代入，利用等差数列和分组并项求和公式即可求出.试题解析：（Ⅰ）因为为等差数列，所以（Ⅱ）∵∴当时，，∴当时，，∴∴点晴：本题考查的是数列中的求通项和数列求和问题.第一问中关键是根据已知条件求出数列的通项公式;第二问中的通项，分成两组求和即可，一组是等比数列，一组是与的奇偶有关，采用分组并项求和即可.18．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为．第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获奖金400元．（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 (元）的分布列；（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？【答案】（Ⅰ）见解析；（2）方案甲较划算．【解析】试题分析: （1）计算出取值时的概率，画出分布列.（2）比较选择方案甲和方案乙进行抽奖所获奖金的均值，选择更大的一种方案.试题解析：，，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金(元）的分布列为0 500 1000（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金的均值若选择方案乙进行抽奖中奖次数，则抽奖所获奖金的均值故选择方案甲较划算．19．如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，．（Ⅰ）若为中点，求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，可证，又因为底面，可得，即可得证.（2）如图建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，则直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）∵四边形为菱形，，连结，则为等边三角形，又∵为中点∴，由得∴∵底面，底面∴，又∵∴平面（Ⅱ）∵四边形为菱形，，，得，，∴又∵底面，分别以，，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系、、、∴，，设平面的一个法向量，则有，令，则∴直线与平面所成角的正弦值．点晴：本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；第二问中通过建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，结合得到结论.20．已知点为椭圆的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于两不同点，若，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据已知条件得，，椭圆的方程与直线联立，根据求出的值，即可求出椭圆的方程。

安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷 （满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1.集合M={x|1<x<4},N={x|2≤x≤3},则M ∩N=A.{x|2≤x<4}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|1<x<4}2.复数1+i i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若向量a ,b 为单位向量，|a -2b ,则向量a 与向量b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.函数y=2sin|2x||1x +在[－π,π]的图象大致为5.在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差．后来又转学来 一位同学。

若该同学中考体育的绩恰好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是A.班级平均分不变，方差变小B.班级平均分不变，方差变大C.班级平均分改变，方差变小D.班级平均分改变，方差变大6.若sin α=13,α=2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,则sin(α-32π)的值为A.- 13B.- 3C. 13D. 37.若直线l :x-2y-15=0经过双曲线M: 2222-x y a b ＝1的一个焦点，且与双曲线M 有且仅有一 个公共点，则双曲线M 的方程为A. 22-520x y =1B. 22-205x y =1C. 22-312x y =1D. 22-123x y 1 8.命题p: ∀x ∈R,e x >2x(e 为自然对数的底数）；命题q: ∃x>1,1nx+1ln x≤2,则下列命题中，真命题是A. ⌝ (p ∨q)B.p ∧qC.p ∧ (⌝q)D.( ⌝p) ∧^q9.若数列{a n }的前n 项积b n =1-27n,则a,的最大值与最小值之和为 A-13 B. 57 C.2 D. 73 10.平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=AA 1=2, ∠BAD=60°,点A 1在平面ABCD 内的射影是AC 与BD 的交点O,则异面直线BD,与AA,所成的角为A.90°B.60°C.45°D.30°11.椭圆E: 2222x y a b+＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆E 上，ΔPF 1F 2的重心为 G.若ΔPF 1F 2的内切圆H 的直径等于121||2F F ,且GH//F 1F 2,则椭圆E 的离心率为 A.B. 23C. 2D. 12 12.若不等式e x -aln(ax-1)+1≥0对∀x ∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立（e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值为A.e+1B.eC.e 2+1D.e 2第II 卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分． 把答案填在答题卡上的相应位置。

2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，B={x|3−x≤0}，则A∪B=()A. {x|−2≤x≤3}B. {x|x≥−2}C. {x|3≤x≤5}D. {x|x≥−5}2.已知复数z=2+i2018(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览．下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是()A. 2013年以来，每年参观总人次逐年递增B. 2014年比2013年增加的参观人次不超过50万C. 2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多D. 2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万4.若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<b<a5.在等差数列{a n}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是()A. 32B. 39C. 46D. 786.执行如图的程序框图，如果输入的x为3，那么输出的结果是()A. 8B. 6C. 1D. −17.函数f(x)=|2x−2|2x+2的图象大致为()A. B.C. D.8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f(x)的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③f(0)=1；；．其中正确的是()A. ①②③B. ②③④C. ①④⑤D. ②③⑤9.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线和圆x2+y2−4x+3=0相切，则该双曲线的离心率为()A. 2√33B. 43C. √2D. 210.某工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y=a⋅0.5x+b.现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为()A. 1.75万件B. 1.7万件C. 2万件D. 1.8万件11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别为AD,AA1的中点，则以下说法错误的是()A. 平面EFC截正方体所的截面周长为2√5+3√2B. 存在BB1上一点P使得C1P⊥平面EFCC. 三棱锥B−EFC和D−FB1C体积相等D. 存在BB1上一点P使得AP//平面EFC12.若函数f(x)={ln (x+1)−x,x≥0,2x2+2x,x<0,则函数f(x)的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，若a⃗//b⃗ ，则k等于______ ．14.已知直线y=x−1与抛物线y2=4x交于A，B两点，则弦AB的长为__________．15.有个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有个空座位相邻的不同坐法有_________种.(用数字作答)三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知命题1：设x i，a i=(i=1,2)均为正实数，若x1+x2=1，则a1x1+a2x2≤(√a1+√a2)2；命题2：x i，a i(i=1,2，3)均为正实数，若x1+x2+x3=1，则a1x1+a2x2+a3x3≤(√a1+√a2+√a3)2；由上述两个命题可知，设x i，a i(i=1,2，3，…，n)均为正实数，若(1)，则(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2=a2+√3bc，acosB=bcosA(1)求角A，B，C的大小；(2)若BC边上的中线AM的长为√7，求△ABC的面积．18.已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球，一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出3个球，将3个球对应的分值相加后记为该局得分，计算完得分后将球放回袋中，当出现第n局得n分(n∈N∗)的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．(1)求在一局游戏中得3分的概率；(2)求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E(X)．19.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD//BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．(1)求AB的长，并证明：AD1⊥B1D；(2)求平面AA1B1与平面ACD1所成角的余弦值．20.已知F1、F2分别是椭圆C：x2+y2=1的左、右焦点．4(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−54，求点P 的坐标；(2)若直线l 与圆O ：x 2+y 2=14相切，交椭圆C 于A 、B 两点，是否存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ？21. 设函数f(x)=lnx −ax 2+ax ，a 为正实数．(1)当a =2时，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求证：f(1a )≤0；(3)若函数f(x)有且只有1个零点，求a 的值．22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2t y =12+√3t (t 为参数)，曲线C 1：{x =2sinφy =2(1+cosφ)(φ为参数)． (1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C2：θ=π3(ρ∈R)与直线l和曲线C1分别交于异于原点的A，B两点，求|AB|的值．23.若a>0，b>0，且12a+b +1b+1=1，求a+2b的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法以及并集的运算．可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：A={x|−2≤x≤5}，B={x|x≥3}；∴A∪B={x|x≥−2}．故选：B．2.答案：A解析：解：∵z=2+i 20181+i =2+(i4)504⋅i21+i=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，∴z=12+12i．∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：(12,12)，位于第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得：在A中，2013年以来，2015年参观总人次比2014年参观人次少，故A错误；在B中，2014年比2013年增加的参观人次超过50万，故B错误；在C中，2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多，故C正确；在D 中，2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次不超过160万，故D 错误．故选：C ．由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多．本题考查命题真假的判断，考查折线图的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 4.答案：C解析：a >1，0<b <1，c >1，又a c =log 23log 46=log 2312log 26=2log 63=log 69>1，∴b <c <a ．5.答案：B解析：解：∵等差数列{a n }中，a 3+a 11=6，∴其前13项的和：S 13=132(a 1+a 13)=132×6=39．故选：B ．由等差数列前n 项和公式及通项公式得S 13=132(a 3+a 11)，由此能求出结果．本题考查等差数列的前13项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6.答案：D解析：本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟程序运行即可求解．解：由程序框图知：程序第一次运行x =3−2=1；第二次运行x =1−2=−1，满足x <0，∴执行y =(−1)3=−1．∴输出−1．故选：D ．7.答案：B解析：解：当x=0时，f(0)=2−11+2=13，当x=1时，f(1)=0，故排除A，由于f(x)≥0恒成立，故排除C，当x→+∞时，f(x)→1，故排除D，故选：B．利用函数值的变化趋势判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数值的变化趋势，考查计算能力．8.答案：C解析：解：由图可得：函数函数y=Asin(ωx+ϕ)的最小值−|A|=−2，令A>0，则A=2，又∵T4=7π12−π3，ω>0∴T=π，ω=2，∴y=2sin(2x+ϕ)将(7π12,−2)代入y=2sin(2x+ϕ)得sin(7π6+ϕ)=−1即7π6+ϕ=3π2+2kπ，k∈Z即ϕ=π3+2kπ，k∈Z∴f(x)=2sin(2x+π3 ).∴f(0)=2sinπ3=√3，f(x+π6)=2sin[2(x+π6)+π3]=2sin(2x+2π3).f(π4)=2sin(π2+π3)=1.对称轴为直线x=kπ2+π12，一个对称中心是(5π6,0)，故②③不正确；根据f(x)=2sin(2x+π3)的图象可知，④f(12π11)<f(14π13)正确；由于f(x)=2sin(2x+π3)的图象关于点(5π6,0)中心对称，故⑤f(x)=−f(5π3−x)正确．综上所述，其中正确的是①④⑤．故选C．9.答案：D解析：本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．根据圆方程，得到圆心坐标C(2,0)，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，说明C到渐近线的距离等于半径1，再根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，算出c=2a，即可得出该双曲线的离心率．解：圆x2+y2−4x+3=0可化为(x−2)2+y2=1∴圆心坐标C(2,0)∵双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为ax±by=0，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，∴C到渐近线的距离为|2a|√a2+b2=1，即c=2a因此该双曲线的离心率为e=ca=2故选：D10.答案：A解析：本题主要考查了函数模型的应用，属于基础题．将x=1，2分别带入y=a⋅0.5x+b，联立解出a，b的值，再将x=3代入方程即可求出三月份的产量．解析：解：由题意可得{1=0.5a+b1.5=0.25a+b，解得a=−2，b=2，所以y=−2×0.5x+2，将x=3代入y=−2×0.5x+2得，y=1.75，故选A．11.答案：B解析：本题考查了线面的位置关系的判断，考查了体积的运算，属于中档题．由面面垂直的判定定理结合正方体ABCD−A1B1C1D1的结构可得答案．解：若存在BB1上一点P使得平面EFC，由C1P⊂面BB1C1C，故可得平面EFC⊥面BB1C1C，然而面BB1C1C⊥面ABCD，面BB1C1C⊥面AA1B1B，面BB1C1C⊥面A1B1C1D1，面BB1C1C⊥面DCC1D1，故平面EFC不可能和面BB1C1C垂直，故可知不存在BB1上一点P使得平面EFC，故选B12.答案：C解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数求出函数单调性进而求出函数零点，属于基础题．解：根据函数可做出如下图像：−1，当x≥0时，f(x)=ln(x+1)−x，f′(x)=1x+1令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒小于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=0，x=0是一个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的一元二次方程，令f(x)=0，解得x=−1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=−1和x=0两个零点，故选C．13.答案：−12解析：解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，a⃗//b⃗ ，∴2k+1=0，．解得k=−12故答案为：−12根据向量平行列方程解出k．本题考查了向量平行与坐标的关系，属于基础题．14.答案：8解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．解：将直线l：x−y−1=0过(1,0)即抛物线方程y2=4x的焦点坐标，联立直线与抛物线方程，消元y，可得x2−6x+1=0∴x1+x2=6，∴弦AB的长为x1+x2+p=6+2=8．故答案为8．15.答案：480解析：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，有A44=24种情况，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，有A52=20种情况，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有24×20=480种；故答案为480．16.答案：x1+x2+x3+⋯+x n=1a1 x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2解析：本题考查归纳推理的应用，属于基础题目．解：由命题①②可归纳为若x1+x2+x3+⋯+x n=1，则a1x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2．故答案为x1+x2+x3+⋯+x n=1；a1x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2．17.答案：解：(1)在△ABC中，∵b2+c2=a2+√3bc，∴b2+c2−a2=√3bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =√32，又A∈(0,π)，∴A=π6．∵acosB=bcosA，∴sinAcosB −sinBcosA =0， 即sin(A −B)=0， ∴A −B =0， ∴B =A =π6． ∴C =π−A −B =2π3．(2)∵A =B ， ∴BC =AC ，设CM =x ，则AC =2x ， 又AM =√7， 在△ACM 中，由余弦定理得：AM 2=CM 2+AC 2−2CM ⋅AC ⋅cos 2π3，∴7=x 2+4x 2−4x 2⋅(−12)，解得x =1． ∴AC =BC =2x =2，∴S △ABC =12AC ⋅BC ⋅sin 2π3=12×2×2×√32=√3．解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．(1)根据余弦定理求出A ，利用正弦定理将边化角得出A ，B 的关系求出B ，利用内角和求出C ； (2)设CM =x ，在△ACM 中，利用余弦定理列方程解出CM ，得出AC ，BC ，代入面积公式计算面积．18.答案：解：(1)设“在一局游戏中得3分”为事件A ，则P(A)=C 21C 21C 11C 53=25．(2)X 的所有可能取值为1，2，3，4，在一局游戏中得2分的概率为C 21C 22+C 22C 11C 53=310，P(X =1)=C 22C 21C 53=15，P(X =2)=45×310=625，P(X =3)=45×(1−310)×25=28125， P(X =4)=45×(1−310)×35=42125， ∴X 的分布列为X 12 3 4P156252812542125∴E(X)=1×15+2×625+3×28125+4×42125=337125．解析：本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题． (1)根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值;(2)由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值， 求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．19.答案：解：(1)由题意得AB ，AD ，AA 1两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =t ，则A(0,0，0)，B(t,0，0)，B 1(t,0，3)，C(t,1，0)，C 1(t,1，3)，D(0,3，0)，D 1(0,3，3)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1，0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,3，0)， ∵AC ⊥BD ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 2+3+0=0， 解得t =√3或t =−√3(舍去)，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,−3)， ∵AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD 1⊥B 1D . (2)由(1)得AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)， 设n⃗ =(x,y ，z)是平面ACD 1的一个法向量， 则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3y +3z =0，令x =1，得n ⃗ =(1,−√3,√3)， 平面AA 1B 1的法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=√31×√7=√217． ∴平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角的余弦值为√217．解析：(1)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量能求出AB 的长，并证明AD 1⊥B 1D .(2)求出平面ACD 1的一个法向量和平面AA 1B 1的法向量，利用向量法能求出平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)由椭圆方程为x 24+y 2=1，可知：a =2，b =1，c =√3，∴F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x,−y)⋅(√3−x,−y)=x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解得：{x =1y =√32,∴P(1,√32)． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=14−1516=−1116≠0，此时OA ⊥OB 不成立．②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ， 则由已知可得√k 2+1=12，即k 2+1=4m 2．由{y =kx +m x 2+4y 2=4，可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1⋅x 2=4(m 2−1)4k 2+1．要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0， 即5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2．∴k 2+1=0，此方程无实解，此时OA ⊥OB 不成立． 综上，不存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解出即可得出．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0，此时OA ⊥OB 不成立． ②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，则由已知可得√k 2+1=12.直线方程与椭圆方程联立可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0，要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0，把根与系数的关系代入可得5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2.解出即可判断出结论．21.答案：(1)解：当a =2时，f(x)=lnx −2x 2+2x ，f′(x)=1x −4x +2，∴f′(1)=−1， ∵f(1)=0，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y =−x +1； (2)证明：f(1a )=−lna −1a +1(a >0)， 令g(x)=−lnx −1x +1(x >0)，则g′(x)=1−x x 2，∴0<x <1时，g′(x)>0，函数单调递增；x >1时，g′(x)<0，函数单调递减，∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，∴g(x)≤g(1)=0，∴f(1a)≤0；(3)解：由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为1，则f′(1)=0，即1−2a+a=0∴a=1．解析：(1)求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；(2)构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；(3)由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为(1,0)，则f′(1)=0，即可得出结论．本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)直线l的一般方程为√3x−2y+24=0，直线l的极坐标方程为，曲线C1的标准方程为x2+(y−2)2=4，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ．(2)将θ=π3分别代入和ρ=4sinθ得ρA=16√3，ρB=2√3，所以|AB|=|ρA−ρB|=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是中档题．(1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l和曲线C1的极坐标方程，求出A，B的极径，得|AB|=|ρA−ρB|= |16√3−2√3|=14√3．23.答案：解：设a+2b=t，则a=t−2b，因为a>0，b>0，12a+b +1b+1=1，所以12(t−2b)+b +1b+1=1，即12t−3b +1b+1=1，所以12t−3b =1−1b+1=bb+1.从而2t−3b=b+1b =1+1b，即2t=3b+1b +1⩾2√3b×1b+1=2√3+1，当且仅当b=√33时取等号，所以t⩾2√3+12.故a+2b的最小值为2√3+12．解析：本题主要考查了利用基本不等式求最值，为中档题．设a+2b=t，则a=t−2b，代入12a+b +1b+1=1，得到2t=3b+1b+1，利用基本不等式进行求解即可．。

合肥市高三第一次教学质量检测理数试题—附答案合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) (考试时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷 (60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则( ). A. B. C. D.2.设复数满足(为虚数单位)，在复平面内对应的点为(，)，则( ). A. B. C. D. 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自xx年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是xx-xx年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( ).A.这五年，xx年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，xx年进口增速最快4.下列不等关系，正确的是( ). A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，，，则的值等于( ). A.21 B.1 C.-42 D.0 6.若执行右图的程序框图，则输出的值等于( ). A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数的图象大致为( ). 8.若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是( ). A.的图象关于对称 B.在上有2个零点 C.在区间上单调递减 D.在上的值域为 9.已知双曲线()的左右焦点分别为，圆与双曲线的渐近线相切，是圆与双曲线的一个交点.若，则双曲线的离心率等于( ). A. B.2 C. D. 10.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ). (注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001) A. B. C. D. 11.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直；④四边形的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为( ). A.①④B.②③C. ①②④D. ①②③④ 12.已知函数，则函数的零点个数为( ) (是自然对数的底数). A.6 B.5 C.4 D.3 第Ⅱ卷 (90分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知向量(1，1)，，且∥，则的值等于 . 14.直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，弦的长为16，则直线的倾斜角等于 . 15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传 ___新时代 ___社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有种. 16.已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，则球的体积等于，球的表面积等于 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 在中，内角所对的边分别为，若，. (1)求；(2)若边的中线长为，求的面积. 18.(本小题满分12分) “大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数 40 40 20 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)：(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X 的分布列与数学期望. 19.(本小题满分12分) 如图，已知三棱柱中，平面平面，，. (1)证明：；(2)设，，求二面角的余弦值. 20.(本小题满分12分) 设椭圆()的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 21.(本小题满分12分) 已知函数(为自然对数的底数). (1)求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；(2)设方程()有两个实数根，，求证：. 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为. (1)求曲线的直角坐标方程；(2)设曲线与直线交于点，点的坐标为(3，1)，求. 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()，不等式的解集为. (1)求的值；(2)若，，，且，求的最大值. 合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.-2 14.或 15.72 16.，(第一空2分，第二空3分) 三、解答题：大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 解：(1)在中，，且，∴，∴，又∵，∴. ∵是三角形的内角，∴. ………………………………5分 (2)在中，，由余弦定理得，∴，∵，∴. 在中，，，，∴的面积. ………………………………12分 18.(本小题满分12分) (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：. ………………………………5分 (2)可能取值为0，1，2，3. 则，，，，∴的分布列为 0 1 2 3 ∴. ……………………………12分或解：∵随机变量服从，∴. ……………………………12分19.(本小题满分12分) (1)连结. ∵，四边形为菱形，∴. ∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面. 又∵，∴平面，∴. ∵，∴平面，而平面，∴. …………………………5分 (2)取的中点为，连结. ∵，四边形为菱形，，∴，. 又∵，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设，，，，∴(0，0，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，1，0)，(-1，1，). 由(1)知，平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则，∴. ∵，，∴. 令，得，即 . ∴，∴二面角的余弦值为. ……………………………12分 20.(本小题满分12分) (1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，. 设圆的半径为，则，∴，解得，∴，∴椭圆的方程为. ……………………………5分 (2)∵关于原点对称，，∴. 设，. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由直线和椭圆方程联立得，即，∴. ∵，，∴，∴，，∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切. 当直线的斜率不存在时，依题意得，. 由得，∴，结合得，∴直线到原点O的距离都是，∴直线与圆也相切. 同理可得，直线与圆也相切. ∴直线、与圆相切. …………………………12分 21.(本小题满分12分) (1)由，得，∴函数的零点. ，，. 曲线在处的切线方程为. ，，∴曲线在处的切线方程为.………………………5分 (2). 当时，；当时，. ∴的单调递增区间为，单调递减区间为. 由(1)知，当或时，；当时，. 下面证明：当时，. 当时， . 易知，在上单调递增，而，∴对恒成立，∴当时，. 由得.记. 不妨设，则，∴. 要证，只要证，即证. 又∵，∴只要证，即. ∵，即证. 令. 当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数. ∴，∴，∴. (12)分 22.(本小题满分10分) (1)曲线的方程，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为：. …………………………5分 (2)把直线代入曲线得，得，. ∵，设为方程的两个实数根，则，，∴为异号，又∵点(3，1)在直线上，∴. …………………………10分 23.(本小题满分10分) 解：(1)∵，∴的解集为，∴，解得，即. …………………………5分 (2)∵，∴. 又∵，，，∴，当且仅当，结合解得，，时，等号成立，∴的最大值为32. …………………………10分模板,内容仅供参考。

合肥市2020年高三第一次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.-2 14.3π或23π 15.72 ，164n π-(第一空2分，第二空3分)三、解答题：大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)在ABC ∆中，sin sin sin a b c A B C==，且cos cos cos 0a C c A B +=， ∴sin cos sin cos cos 0A C C A B B +=，∴()sin 10B B ⋅=，又∵sin 0B ≠，∴cos 2B =. ∵B 是三角形的内角， ∴34B π=. ………………………………5分 (2) 在ABM ∆中，31,,4BM AM B AB c π====， 由余弦定理得()2222cos AM c BM c BM B =+-⋅⋅，∴240c -=∵0c >,∴c =∵在ABC ∆中，2a =，34B π=, ∴ABC ∆的面积1sin 12S ac B ==. ………………………………12分 18.(本小题满分12分)(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15， ∴这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，这两种类型都有学校选的概率为：2222332112185555125P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……………………………5分 (2)X 可能取值为0，1，2，3.则()30332705125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3332835125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X ∴01231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………12分 或解：题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B∵随机变量X 服从23 5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∼，， ∴26355EX np ==⨯=. ……………………………12分 19.(本小题满分12分)(1)连结1AC .∵1AA AC =，四边形11AA C C 为菱形，∴11A C AC ⊥.∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C 平面ABC AC =， BC ⊂平面ABC ，,BC AC ⊥∴BC ⊥平面11AA C C .又∵11//BC B C ，∴11B C ⊥平面11AA C C ，∴111B C A C ⊥.∵1111AC B C C = ，∴1A C ⊥平面11AB C ，而1AB ⊂平面11AB C ，∴1A C ⊥1AB . …………………………5分(2)取11A C 中点M ，连结CM .∵1AA AC =，四边形11AA C C 为菱形，160A AC ∠= ，∴11CM A C ⊥，CM AC ⊥. 又∵CM BC ⊥，∴以C 为原点，CA CB CM ，，为正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设1CB =，22AC CB ==，1AA AC =，160A AC ∠= ，∴C (0，0，0)，1A)，A (2，0，0)，B (0，1，0)，1B). 由(1)知，平面11C AB的一个法向量为(110CA = ，.设平面1ABB 的法向量为()n x y z = ，，，则1 n AB n AB ⊥⊥ ，，∴100n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ . ∵()210AB =- ，，，(131AB =-，∴2030x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 令1x =，得2y z ==，12n ⎛= ⎝ ，.∴111cos ,4CA n CA n CA n ⋅<>===⋅ ， ∴二面角11C AB B --的余弦值为分 20.(本小题满分12分)(1)设椭圆的半焦距为c .2知，b c a ==，. 设圆C '的半径为r，则r ab =，2=，解得b =，∴a =，∴椭圆C 的方程为22163x y +=.……………………………5分 (2)∵M N ，关于原点对称，PM PN =，∴OP MN ⊥.设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+.由直线和椭圆方程联立得()2226x kx m ++=，即()222124260k x kmx m +++-=，得12221224212621km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 设()11OM x y = ，，()22OP x y = ，， ∴()()12121212OM OP x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()222322021m k k --==+ ∴22220m k --=，2222m k =+∴圆C '的圆心O 到直线PMr ==，∴直线PM 与圆C '相切. 当直线PM 的斜率不存在时，设00(,),M x y 则00(,)N x y -，由条件可知00(,)P x y -, 且2200x y =，又2200163x y +=, ∴202x =， ∴'PM C 与相切 . 同理可得，直线PN 与圆C '也相切.∴直线PM 、PN 与圆C '相切. …………………………12分 21.(本小题满分12分)(1)由()210x x f x e-==，得1x =±，∴函数的零点01x =±. ()221xx x f x e --'=，()12f e '-=，()10f -=. 曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()21y e x =+.()21f e'=-，()10f =， ∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()21y x e=--.………………………5分 (2)()221x x x f x e --'=.当(() 11x ∈-∞+∞ ，时，()0f x '>；当(()110x f x '∈<时，. ∴()f x的单调递增区间为(() 11-∞+∞，，，单调递减区间为(11. 又当1x <-或1x >时，()0f x <，当11x -<<时，()0f x >.下面证明：当()11x ∈-，时，()()21e x f x +>. 2(1)() (11)e x f x x +>-<< 212(1)0x x e x e-⇔++> 110 (11).2x x e x +-⇔+>-<< 易知，11()2x x g x e +-=+在[1,1]x ∈-上单调递增，而(1)0,g -= ∴()0(1,1)g x x >∀∈-对恒成立，即当()11x ∈-，时，()()21e x f x +>. 由()21y e x y m⎧=+⎪⎨=⎪⎩得12m x e =-.记112m x e '=-. 不妨设12x x <，则12111x x -<<<<， ∴121221212m x x x x x x x e ⎛⎫''-<-=-=-- ⎪⎝⎭.要证121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭，∴只要证2112122m x m e e ⎛⎫⎛⎫--≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证21x m ≤-. 又∵2221x x m e -=，只要证222211x x x e -≤-，即()()()222110x x e x -⋅-+≤.∵()211x ∈，即证()2210x e x -+≥. 令()()()11x x x e x x e ϕϕ'=-+=-，.当()10x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ为单调递减函数；当()01x ∈，时，()0x ϕ'>，()x ϕ为单调递增函数. ∴()()00x ϕϕ≥=，∴()2210x e x -+≥， ∴121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭. …………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，∴2246x y x y +=+， 即曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=. …………………………5分(2)把直线32:12x l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C得22121322⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，280t --=.∵(2320∆=+>，设12t t ，为方程的两个实数根，则12t t +=，128t t =-，∴12t t ，为异号，又∵点A （3，1）在直线l 上， ∴1212AM AN t t t t +=+=-===.…………………………10分23.(本小题满分10分) 解：(1)∵()2f x x m x =--+，∴()220f x x m x -=---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥，解得28m +=，即6m =. …………………………5分(2) ∵6m =，∴212a b c ++=，又∵a > 0，b > 0，c > 3，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-，结合212a b c ++=解得3a =，1b =，7c =时，等号成立. ∴()()()113a b c ++-的最大值为32. …………………………10分。

2024年合肥市高三第一次教学质量检测数学（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）姓名__________座位号__________注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i i (1)2+=z ，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】由题21iz i=+,利用除法法则整理为a bi +的形式,即可得到复数的坐标形式,进而求解即可【详解】由题,()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-,所以z 在复平面内对应的点为()1,1,故选:A【点睛】本题考查复数的坐标表示,考查复数在复平面的位置,考查复数的除法法则的应用2.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若333,3a S ==，则12S =（）A.144B.120C.100D.80【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的定义及性质求得数列的首项和公差，利用等差数列前n 项和公式计算即可.【详解】因为3233S a ==，所以21a =，又33a =，所以322d a a =-=，则121a a d =-=-，所以()12121112121202S ⨯=⨯-+⨯=，故选：B .3.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 1.5)P X >等于（）A.0.14B.0.62C.0.72D.0.86【答案】D 【解析】【分析】根据正态分布的性质进行计算即可.【详解】随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=,所以(1.52)0.36P X ≤<=，()1( 1.5)10.3620.142P X <=-⨯=，所以( 1.5)10.140.86P X >=-=，故选:D .4.双曲线222:1y C x b-=的焦距为4，则C 的渐近线方程为（）A.y =B.y =C.15y x =±D.3y x =±【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程以及焦距可得b =，可得渐近线方程.【详解】由焦距为4可得24c =，即2c =，所以2214c b =+=，可得23b =，即b =；则C 的渐近线方程为by x a=±=.故选：B5.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2cos 2b C a c =-，且π3B =，则=a （）A.1B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】给()2cos 2b C a c =-两边同时乘以a ，结合余弦定理求解即可.【详解】因为()2cos 2b C a c =-，两边同时乘以a 得：()22cos 2ab C a c =-，由余弦定理可得2222cos a b c ab C +-=，则()22222a b c ac +-=-，所以有2222a c b a c +-=，又2222cos a c b ac B =+-，所以22cos a c ac B =，又因为π3B =，所以1a =.故选：A6.已知四面体ABCD 的各顶点都在同一球面上，若AB BC CD DA BD =====ABD ⊥平面BCD ，则该球的表面积是（）A.100πB.40πC.20πD.16π【答案】C 【解析】【分析】根据题中条件作出外接球球心，利用勾股定理计算得到半径，进一步计算即可.【详解】过三角形ABD 的中心E 作平面ABD 的垂线，过三角形BCD 的中心F 作平面BCD 的垂线，两垂线交于点O ，连接OD ，依据题中条件可知，O 为四面体ABCD 的外接球球心，因为AB BC CD DA BD =====，所以2,1DF OF ==,则OD ==,则该球的表面积为24π20π=，故选：C .7.已知直线:10l x ay --=与22:2440C x y x y +-+-= 交于,A B 两点，设弦AB 的中点为,M O 为坐标原点，则OM 的取值范围为（）A.3⎡+⎣B.1⎤-+⎦C.22⎡-+⎣D.1⎤⎦【答案】D 【解析】【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到()()2200111x y -++=，从而求出动点M 的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出OM 的取值范围.【详解】22:2440C x y x y +-+-= 即()()22129x y -++=，则圆心为()1,2C -，半径3r =，直线:10l x ay --=，令100x y -=⎧⎨-=⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，即直线恒过定点()1,0，又()()22110249-++=<，所以点()1,0在圆内，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，由22102440x ay x y x y --=⎧⎨+-+-=⎩，消去x 整理得()221450a y y ++-=，显然0∆>，则12241y y a +=-+，则()21212224221a a x x a y y a -++=++=+，所以21222121x x a a a +-+=+，122221y y a +=-+，则212022121x x a a x a +-+==+，1202221y y y a +==-+则()()2222200222111111a a x y a a ⎛⎫--⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，又直线:10l x ay --=的斜率不为0，所以M 不过点()1,0，所以动点M 的轨迹方程为()()22111x y -++=（除点()1,0外），圆()()22111x y -++=的圆心为()1,1N -，半径11r =，又ON ==，所以11ON r OM ON r -≤≤+，11OM -≤≤，即OM 的取值范围为1⎤-+⎦.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点M 的轨迹，再求出圆心到原点的距离ON ，最后根据圆的几何性质计算可得.8.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()()(),1e x y f x y xyf x f y f ++==，记()()1,2,32a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】根据函数()f x 满足的表达式以及()1e f =，利用赋值法即可计算出,,a b c 的大小.【详解】由()()()()(),1e x y f x y xyf x f y f ++==可得，令12x y ==，代入可得()21111=e 222f f ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，即12a f ⎛⎫==± ⎪⎝⎭，令1x y ==，代入可得()()22221e f f ==，即()2e22b f ==，令1,2x y ==，代入可得()()()23e 32122e e 23f f f ==⨯=，即()3e 33c f ==；由e 2.71828≈⋅⋅⋅可得23e e 23±<<，显然可得a b c <<.故选：A【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.现有甲､乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分100分）.设事件M 表示从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N 表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”.下列说法正确的是（）机构名称甲乙分值90989092959395929194A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差C.乙机构测评分数的第一四分位数为91.5D.事件,M N 互为对立事件【答案】BD 【解析】【分析】直接由平均数、方差、百分位数及对立事件的概念，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，甲机构测评分数的平均分9098909295935x ++++==甲，乙机构测评分数的平均分9395929194935x ++++==乙，所以选项A 错误，对于选项B ，甲机构测评分数的方差2222211[(9093)(9893)(9093)(9293)(9593)]9.65D =-+-+-+-+-=，2222221[(9393)(9593)(9293)(9193)(9493)]25D =-+-+-+-+-=，所以选项B 正确，对于选项C ，乙机构测评分数从小排到大为：91，92，93，94，95，又50.25 1.25i np ==⨯=，所以乙机构测评分数的第一四分位数为92，所以选项C 错误，对于选项D ，因为甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分，由对立事件的定义知，事件,M N 互为对立事件，所以选项D 正确，故选：BD.10.函数()()3R mf x x m x=-∈的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABD 【解析】【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，当0m >时，()2220mf x x x=+>'，函数()f x 在()(),0,0,∞∞-+上单调递增，故B 正确；当0m =时，()3f x x =，()20f x x '=>，所以在()(),0,0,∞∞-+上单调递增，故D 正确；当0m <时，当0x >时，()30m f x x x =->；当0x <时，()30mf x x x=-<；故A 正确；C 错误.故选：ABD.11.已知椭圆22:142x y C +=的左､右顶点分别为,A B ，左焦点为,F M 为C 上异于,A B 的一点，过点M 且垂直于x 轴的直线与C 的另一个交点为N ，交x 轴于点T ，则（）A.存在点M ，使120AMB ∠=B.2TA TB TM TN ⋅=⋅C.FM FN ⋅ 的最小值为43-D.FMN 周长的最大值为8【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，判断ACB ∠与2π3的大小即tan a OEB b ∠===即可；对于B ,设(),M m n ，(),0T m ，(),N m n -，利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C ，求出FM FN ⋅，利用二次函数求最值即可；对于D ，利用椭圆的定义，转化求()8MF MF MN '-+'-的最大值，即可.【详解】对于A ,设椭圆的上顶点为E ，则直角三角形BOE 中，tana OEBb ∠===，则2π3AEB ∠<，故A 错误；对于B ，设(),M m n ，则(),0T m ，(),N m n -，且22142m n +=，即2242m n -=，又()()2,0,2,0A B -,则()()()()2,02,022TA TB m m m m ⋅=--⋅-=-+- ()2242m n =--=-，又222TM TN n ⋅=- ，故2TA TB TM TN ⋅=⋅，则B 正确；对于C ，()F ，()()FM FN m n m n ⋅=+⋅+-((222242m m n m -=+-=+-232m =+，22m -<<，则当3m =-时，FM FN ⋅ 取最小值为43-，故C 正确；对于D ，设椭圆的右焦点为F ',FMN 的周长为：44MF NF MN MF NF MN ++=-+-+''()88MF MF MN =-+-'≤',当且仅当,,M N F '三点共线时，等号成立，故D 正确，故选：BCD .三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}{}24,11A xx B x a x a =≤=-≤≤+∣∣，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是__________.【答案】()(),33,-∞-+∞ 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.【详解】由24x ≤，得()()220x x -+≤,解得22x -≤≤，所以{}22A xx =-≤≤∣.因为A B ⋂=∅，所以12a +<-或12a ->，解得3a <-或3a >，所以a 的取值范围是()(),33,-∞-+∞ .故答案为：()(),33,-∞-+∞ .13.已知函数()()2sin 3(π0)f x x ϕϕ=+-<<的一条对称轴为π4x =，当[]0,x t ∈时，()f x 的最小值为，则t 的最大值为__________.【答案】π2【解析】【分析】根据条件得到π4ϕ=-，从而得到()π2sin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π34x t -=，再利用2sin y t =的图象与性质，即可求出结果.【详解】因为函数()()2sin 3(π0)f x x ϕϕ=+-<<的一条对称轴为π4x =，所以ππ3π(Z)42k k ϕ⨯+=+∈，得到ππ(Z)4k k ϕ=-+∈，又π0ϕ-<<，所以π4ϕ=-，所以()π2sin 34f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又当[]0,x t ∈时，()f x 的最小值为，令πππ3,3444x t t ⎡⎤-=∈--⎢⎥⎣⎦，则2sin y t =，由2sin y t =的图象与性质知，π5π344t -≤，得到π2t ≤，故答案为：π2.14.已知点()()1122,,,A x y B x y ，定义AB d =为,A B 的“镜像距离”.若点,A B 在曲线()ln 2y x a =-+上，且AB d 的最小值为2，则实数a 的值为__________.【答案】11+【解析】【分析】依题意求出()ln 2y x a =-+的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.【详解】由函数()ln 2y x a =-+可得()2ln y x a -=-，即2e y x a -=+；所以()ln 2y x a =-+的反函数为2e x y a -=+；由点()22,B x y 在曲线()ln 2y x a =-+上可知点()122,B y x 在其反函数2e x y a -=+上，所以AB d =相当于2e x y a -=+上的点()122,B y x 到曲线()ln 2y x a =-+上点()11,A x y 的距离，即1AB AB d d ==，利用反函数性质可得2e x y a -=+与()ln 2y x a =-+关于y x =对称，所以可得当1AB 与y x =垂直时，1AB AB d d =取得最小值为2，因此1,A B 两点到y x =的距离都为1，过点1,A B 的切线平行于直线y x =，斜率为1，即11y x a'==-，可得()1,ln 122x a y a a =+=+-+=，即()1,2A a +；A 点到y x =的距离1d ==，解得1a =；当1a =()(ln 2ln 12y x a x =-+=-++与y x =相交，不合题意；因此1a =.故答案为：1【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()e x ax b f x +=，当1x =时，()f x 有极大值1e.（1）求实数,a b 的值；（2）当0x >时，证明：()1x f x x <+.【答案】（1）1,0a b ==（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题中条件列出方程组，解出验证即可；（2）变形不等式，构造函数利用函数单调性证明即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为(),∞∞-+，且()ex a b ax f x -='-，因为1x =时，()f x 有极大值1e，所以()()11e 10f f ⎧=='⎪⎨⎪⎩，解得1,0a b ==，经检验，当1,0a b ==时，()f x 在1x =时有极大值1e ，所以1,0a b ==；【小问2详解】由（1）知，()e xx f x =，当0x >时，要证()1x f x x <+，即证e 1x x x x <+，即证：e 1x x >+.设()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-，因为0x >，所以()e 10xg x ='->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，即e 10x x -->，即e 1x x >+，故当0x >时，()1x f x x<+.16.如图，三棱柱111ABC A B C -中，四边形1111,ACC A BCC B 均为正方形，,D E 分别是棱11,AB A B 的中点，N 为1C E 上一点.（1）证明：BN //平面1A DC ；（2）若11,3AB AC C E C N == ，求直线DN 与平面1A DC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）连接1,,BE BC DE ,则有平面1BEC //平面1A DC ，可得BN //平面1A DC ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行计算即可.【小问1详解】连接1,,BE BC DE .因为AB //11A B ，且11AB A B =，又,D E 分别是棱11,AB A B 的中点，所以BD //1A E ，且1BD A E =，所以四边形1BDA E 为平行四边形，所以1A D //EB ，又1A D ⊂平面1,A DC EB ⊄平面1A DC ，所以EB //平面1A DC ，因为DE //1BB //1CC ，且11DE BB CC ==，所以四边形1DCC E 为平行四边形，所以1C E //CD ，又CD ⊂平面11,A DC C E ⊄平面1A DC ，所以1C E //平面1A DC ，因为11,,C E EB E C E EB ⋂=⊂平面1BEC ，所以平面1BEC //平面1A DC ，因为BN ⊂平面1BEC ，所以BN //平面1A DC .【小问2详解】四边形1111,ACC A BCC B 均为正方形，所以11,CC AC CC BC ⊥⊥.所以1CC ⊥平面ABC .因为DE //1CC ，所以DE ⊥平面ABC .从而,DE DB DE DC ⊥⊥.又AB AC =，所以ABC 为等边三角形.因为D 是棱AB 的中点，所以CD DB ⊥.即,,DB DC DE 两两垂直.以D 为原点，,,DB DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.设AB =则()(()((110,0,0,0,0,,0,3,0,0,3,,2D E C C A ，所以()(10,3,0,DC DA == .设(),,n x y z =为平面1A DC 的法向量，则100n DC n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可取()2,0,1n = .因为113C E C N =，所以((0,2,,0,2,N DN = .设直线DN 与平面1A DC 所成角为θ，则||sin |cos ,|10||||n DN n DN n DN θ⋅=〈〉===⋅ ，即直线DN 与平面1A DC所成角正弦值为10.17.2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园.（1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：游园方式游园结果观光车自行车步行参观完所有展园808040未参观完所有展园20120160用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率.【答案】（1）分布列见解析，()56E X =（2）0.4【解析】【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望；（2）根据题意结合全概率公式运算求解.【小问1详解】由题意知：X 所有可能取值为0,1,2，则有：()0257212C C 70C 22P X ===，()1157212C C 351C 66P X ===，()2057212C C 52C 33P X ===，可知X 的分布列为：X012P 7223566533所以X 的数学期望为：()735550122266336E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】记事件A 为“游客乙乘坐观光车游园”，事件B 为“游客乙骑自行车游园”，事件C 为“游客乙步行游园”，事件M 为“游园结束时，乙能参观完所有展园”，由题意可知：()()()0.2,0.4,0.4P A P B P C ===，()()()0.8,0.4,0.2P MA P MB P MC ===∣∣∣，由全概率公式可得()()()()()()()0.4P M P A P MA PB P M B PC P M C =++=∣∣∣，所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4.18.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为()0,1F ，过点F 的直线l 与C 交于,A B 两点，过,A B 作C 的切线12,l l ，交于点M ，且12,l l 与x 轴分别交于点,D E .（1）求证：DE MF =；（2）设点P 是C 上异于,A B 的一点，P 到直线12,,l l l 的距离分别为12,,d d d ，求122d d d的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）利用导函数的几何意义求得直线12,l l 的表达式，得出,,D E M 三点的坐标，联立直线l 与抛物线方程根据韦达定理得出DE MF =；（2）利用点到直线距离公式可求得122122d d d =≥，可求出122d d d 的最小值.【小问1详解】因为抛物线C 的焦点为()0,1F ，所以2p =，即C 的方程为：24x y =，如下图所示：设点()()1122,,,A x y B x y ，由题意可知直线l 的斜率一定存在，设:1l y kx =+，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-.由24x y =，得211,42y x y x '==，所以()1111:2x l y y x x -=-，即21124x x y x =-.令0y =，得12x x =，即1,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理2222:24x l x y x =-，且2,02x E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1212DE x x =-==.由2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得21x k y =⎧⎨=-⎩，即()2,1M k -.所以MF ==故DE MF =.【小问2详解】设点()00,P x y ，结合（1）知()1111:2x l y y x x -=-，即2111:240l x x y x --=因为2211004,4x y x y ==，所以21d -==.同理可得22d -=，所以()2222221244kx x x x x x x x d d ⎡⎤--+-++--==又d==所以()()22212222004416112244kx x kd dd kx x--++==-+.当且仅当0k=时，等号成立；即直线l斜率为0时，122d dd取最小值12；19.“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意*n∈N，定义“q-数”1()1nqn q q-=+++利用“q-数”可定义“q-阶乘”()()!(1)(2)(),0! 1.q q q q qn n==且和“q-组合数”，即对任意*,,k n k n∈∈≤N N，()()()!!!qq qqnnk k n k⎛⎫=⎪-⎝⎭（1）计算：253⎛⎫⎪⎝⎭；（2）证明：对于任意*,,1k n k n∈+≤N，111kq q qn n nqk k k--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）证明：对于任意*,,,1k m n k n∈∈+≤N N，1.11mn k iiq q qn m n n iqk k k-+=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑【答案】（1）155（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题中定义，直接进行计算即可；（2）根据题中定义计算出等式左右两边的值，化简后即可证明；（3）根据题中的定义化简题中的条件，得到111n kq q qn n nqk k k---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用此等式，等到1m+个等式，相加即可.【小问1详解】由定义可知，()()()[][]2222222222222255!(1)(2)(3)(4)(5)33!2!(1)(2)(3)(1)(2)⎛⎫==⎪⎝⎭()()()232342222122212222(4)(5)155(1)(2)112+++++++===⨯+.【小问2详解】因为()()()()()()!()1!!!!!q q q q q q qq n n n n k k n k k n k ⋅-⎛⎫== ⎪--⎝⎭，()()()()()()1!1!1111!!!1!k q q k q q q q q q n q n n n q k k k n k k n k -⋅---⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭()()()1!()()!!q k q q q qn k q n k k n k -⎡⎤=+⋅-⎣⎦-.又()11()()11k k k n k q q k q n k q q q q q ---+⋅-=+++++++ 11()n q q q n -=+++= ,所以111k q q qn n n q k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问3详解】由定义得：对任意*N,N ,,q qn n k n k n k n k ⎛⎫⎛⎫∈∈≤= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.结合（2）可知111n k q q q q n n n n q k n k n k n k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n k q qn n q k k ---⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即111n k q q qn n n q k k k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也即111n k q q qn n n q k k k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以111n m k q q q n m n m n m q k k k +-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11111n m k q q qn m n m n m q k k k +--++-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……111n k q q q n n n q k k k -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.上述1m +个等式两边分别相加得：0111m n k i i q q qn m n n i q k k k -+=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑.【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用题中的定义进行运算.。

【新结构】（合肥一模）安徽省2024年合肥市高三第一次教学质量检测数学❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.记为等差数列的前n项和，若，，则()A.144B.120C.100D.803.已知随机变量X服从正态分布，且，则等于()A. B. C. D.4.双曲线的焦距为4，则C的渐近线方程为()A. B. C. D.5.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则()A.1B.C.D.26.已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若，平面平面BCD，则该球的表面积是()A. B. C. D.7.已知直线与交于A，B两点，设弦AB的中点为M，O 为坐标原点，则的取值范围为()A. B. C. D.8.已知函数的定义域为，且，，记，，，则()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表满分100分设事件M表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”.下列说法正确的是()机构名称甲乙分值90989092959395929194A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差C.乙机构测评分数的第一四分位数为D.事件M，N互为对立事件10.函数的图象可能是()A. B.C. D.11.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，M为C上异于A，B的一点，过点M 且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N，交x轴于点T，则()A.存在点M，使B.C.的最小值为D.周长的最大值为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＜3}，B={x|x＞a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为（）A. [3，+∞）B. （3，+∞）C. （-∞，3）D. （-∞，3]2.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如图1所示的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如图2所示的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（）A. 100000元B. 95000元C. 90000元D. 85000元4.已知tanα=3，α∈（0，），则sin2α+cos（π-α）的值为（）A. B. C. D.5.若（+）8（ax-1）展开式中含x项的系数为21，则实数a的值为（）A. 3B. -3C. 2D. -26.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（）A. 2B.C. 4D. π7.函数f（x）=sin x2+cos x的部分图象符合的是（）A. B.C. D.8.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为Ⅹ分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y分，则D （Y）一D（X）的值为（）A. B. C. D.9.已知锐角△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=1，三角形ABC的面积S△ABC=1，则a2+b2的取值范围为（）A. [）B. （9，+∞）C. [，9]D. [，9）10.在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，过B点作AC的垂线，垂足为D，以BD为折痕将△ABD折起使点A到达点P处，满足平面PBD⊥平面BDC，则三棱锥P-BDC 的外接球的表面积为（）A. 25πB. 16πC. 48πD. π11.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2作其渐近线的垂线，垂足为M，交双曲线C右支于点P，若=2，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D. 212.已知数列：；，，；，，…，；…，，，，…，；…，则此数列的前2036项之和为（）A. 1024B. 2048C. 1018D. 1022二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，3），=（-2，-1），=（1，2），若向量+k与向量共线，则实数k的值为______．14.曲线f（x）=a ln x在点P（e，f（e））处的切线经过点（-1，-1），则a的值为______．15.若函数f（x）=sin（ωx+）（0＜ω＜1）在区间（π，2π）内有最值，则ω的取值范围为______．16.如图，P为椭圆+=1上一个动点，过点P作圆C：（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB面积最大时，•的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知平面向量=（sin x，2cos x），=（2sin x，sin x），函数f（x）=•+1．（1）求f（x）的单调区间；（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若f（A）=4，a=2，求△ABC周长的取值范围．18.2018年，中国某省的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛者每人和一位种子选手进行一场比赛，赢了就可以晋级，否则，就不能晋级，结果将晋级的200人按年龄（单位：岁）分成六组：第一组[30，35），第二组[35，40），第三组[40，45），第四组[45，50），第五组[50，55），第六组[55，60]，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）求实数a的值；（2）若先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样共抽取10人，然后从被抽取的这10人随机抽取3人参加优胜比赛．①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②设ξ为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．19.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=-2，公差为d（d∈N*）．（1）若a5=30，求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在d，n使S n=10成立？若存在，试找出所有满足条件的d，n的值，并求出数列{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．20.如图，在梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB=BC=CP，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起得到图（二），点M为棱PC上的动点．（1）求证：平面ADM⊥平面PDC；（2）若AB=2，二面角P-AD-C为135°，点M为PC中点，求二面角M-AC-D余弦值的平方．21.已知抛物线E：y2=4x，圆C：（x-3）2+y2=1．（1）若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；（2）在（1）的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点M （t，0）使∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22.设函数f（x）=（4+ax）ln（x+2）-2x．（1）若a=0，证明：f（x）≤4ln2；（2）已知g（x）=4ln（x+2）-2x+x2，若函数G（x）=f（x）-g（x）有两个零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了集合的基本运算，解题的关键是数形结合思想的应用，属于中档题．结合数轴可求A∩B=∅时的a的范围，再求解即可．【解答】解：结合数轴可知，当a≥3时，A∩B=∅，因为A∩B≠∅，所以实数a的取值范围a＜3，故选：C．2.【答案】D【解析】解：由得x+y＞a+b，当a＞0，b＜0，xy＞ab不一定成立，即充分性不成立反之由也推不出，即必要性不成立，即“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查教师2018年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出2017年的就医费用，从而求出2018年的就医费用，由此能求出该教师2018年的家庭总收入．【解答】解：由已知得，2017年的就医费用为80000×10%=8000元，∴2018年的就医费用为8000+4750=12750元，∴该教师2018年的家庭总收入=85000元．故选：D．4.【答案】A【解析】解：已知tanα==3，sin2α+cos2α=1，α∈（0，），∴sinα=，cosα=，则sin2α+cos（π-α）=2sinαcosα-cosα=-=，故选：A．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵（+）8=的展开式的通项公式为T r+1=••，令=-，求得r=3；令=，求得r=，不合题意，舍去．故展开式中含x项的系数为••a=21，则实数a=3，故选：A．在二项展开式（+）8的通项公式中，令x的幂指数分别等于-和，求出r的值，即可求得展开式中含x项的系数，再根据展开式中含x项的系数为21，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：几何体是一个轴截面的顶角为120°的半圆锥，过顶点的截面面积的最大值为，两条母线的夹角为90°的截面，最大值为：=2，故选：A．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，转化求解最大的截面面积．本题考查三视图求解几何体的截面面积的最值，是基本知识的考查．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法是解决本题的关键．利用特殊值法分别计算f（0），f（）的值进行排除即可．【解答】解：函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，f（0）=sin0+cos0=1排除C，f（）=sin+cos=sin＞0，排除A，D，故选：B．8.【答案】A【解析】解：设A学生答对题的个数为m，得分5m，则m～B（12，），D（m）==，∴D（X）=25×=．设B学生答对题的个数为n，得分5n，则n～B（12，），D（n）==，∴D（Y）=25×=．∴D（Y）-D（X）=-=．故选：A．设A学生答对题的个数为m，得分5m，则m～B（12，）．同理，设B学生答对题的个数为n，得分5n，则n～B（12，），利用二项分布列的性质即可得出．本题考查了二项分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：因为三角形为锐角三角形，所以过C作CD⊥AB于D，D在边AB上，如图：因为：S△ABC=AB•CD=1，所以CD=2，在三角形ADC中，AD==，在三角形BDC中，BD==，∵AD+BD=AB=1，∴+=1，∴a2+b2=a2-4+b2-4+8=（）2+（）2+8=（）2+（1-）2+8=2（）2-2+9∵∈（0，1）．∴a2+b2∈[，9）．故选：D．因为三角形为锐角三角形，所以过CCD⊥AB于D，D在边AB上，如图：根据面积算出CD=2，再根据勾股定理，二次函数知识可求得．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题．10.【答案】D【解析】解：AB=3，BC=4，AC=5，且BD⊥AC，可得BD=，DC=，从而PD=AD=，在三棱锥P-BDC中，DB，DC，DP两两垂直，可知其为长方体的一部分，其外接球直径2R==，故其表面积为：4=，故选：D．利用折叠后DB，DC，DP两两垂直，联想长方体，结合长方体外接球直径为其体对角线长，即可得解．此题考查了三棱锥外接球问题，难度适中．11.【答案】A【解析】【分析】计算PF2，在△PF1F2中利用余弦定理得出a、b的关系即可求出离心率．本题考查了双曲线的性质，属于中档题．【解答】解：F2（c，0），渐近线方程为y=，即bx-ay=0，∴F2M==b，∵=2，∴PF2=，由双曲线定义可知：PF1-PF2=2a，∴PF1=+2a，又F1F2=2c，∠F1PF2=120°，在△PF1F2中，由余弦定理可得：4c2=+（+2a）2-2××（+2a）×（-），又c2=a2+b2，∴2b=3a，即=，∴e===．故选：A．12.【答案】C【解析】解：将此数列分组：第一组：；第二组：++=；第三组：++…+=…，第n组：+++…+=．由（2-1）+（22-1）+……+（2n-1）=2036，即2n+1-2-n=2036，解得n=10．则此数列的前2036项之和为=+……+==1018．故选：C．将此数列分组：第一组：；第二组：++=；第三组：++…+=…，以此类推可得第n组：+++…+=．由（2-1）+（22-1）+……+（2n-1）=2036，即2n+1-2-n=2036，解得n即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】-【解析】解：由=（1，3），=（-2，-1），得=（1-2k，3-k），由向量与向量共线得2（1-2k）=3-k，即k=-．故答案为：-．根据向量共线的坐标表示可得．本题考查了平面向量共线的坐标表示，属基础题．14.【答案】e【解析】解：由f（x）=a ln x，得f′（x）=，∴k=，又当x=e时，f（e）=a，∴P（e，a），则切线方程为y-a=，即y=，把（-1，-1）代入，可得a=e．故答案为：e．求出原函数的导函数，得到f′（e），进一步求得曲线f（x）=a ln x在点P（e，f（e））处的切线方程，把（-1，-1）代入求得a值．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】（，）∪（，1）【解析】解：若函数f（x）有最值，则ωx+=kπ+，k∈Z，即ωx=kπ+，即x=（kπ+），k∈Z，∵f（x）在区间（π，2π）内有最值，∴π＜（kπ+）＜2π，即1＜（k+）＜2，即ω＜k+＜2ω，则，由k+＞0得k＞-，当k=0时，＜ω＜，当k=1时，＜ω＜，∵0＜ω＜1，∴＜ω＜1，综上所述，＜ω＜或＜ω＜1，即实数ω的取值范围是（，）∪（，1），故答案为：（，）∪（，1）根据函数的最值，求出x的值，结合π＜x＜2π，解不等式即可．本题主要考查三角函数性质的应用，根据三角函数的最值公式解不等式是解决本题的关键．16.【答案】【解析】解：连接PC，设∠APC=θ，由切线性质可得|PA|=|PB|，四边形PACB面积S=|PA|×1×2=|PA|，当四边形PACB面积最大时，就是|PA|最大，|PA|=，结合椭圆性质可得当点P在椭圆左顶点时，|PC|最大，此时|PA|=，则sin，，•的值为|PA|2cos2θ=8×（1-×2）=，故答案为：．连接PC，设∠APC=θ，当四边形PACB面积最大时，就是|PA|最大，结合椭圆性质可得当点P在椭圆左顶点时，|PC|最大，利用向量数量积公式求解．本题考查了椭圆的性质，圆的切线，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】解：（1）由题意，函数f（x）=•+1=2sin2x+2sin x cosx+1=1-cos2x+sin2x+1=2sin（2x-）+2，令2x-，k∈Z，得：∴f（x）的单调递增区间为；[]，k∈Z．令2x-，k∈Z，得：∴f（x）的单调递减区间为；[]，k∈Z．（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x-）+2，那么f（A）=2sin（2A-）+2=4可得：A=∵a=2根据正弦定理，可得b=sin B，c=sin C，那么△ABC周长l=a+b+c=2+（sin B+sin C）=2+[sin B+sin（）]=2+4sin（B+）∵△ABC是锐角三角形，∴，则；那么则4sin（B+）∈（，4]．那么△ABC周长l=a+b+c∈（2，6]；因此那么△ABC周长范围是（2，6]．【解析】（1）函数f（x）=•+1=2sin2x+2sin x cosx+1=1-cos2x+sin2x+1=2sin（2x-）+2，结合正弦函数的图象可得单调区间；（2）根据f（A）=4，求解A，a=2，利用正弦定理求解b，c，化简，从而求解△ABC周长的取值范围．本题考查了向量坐标的运算，三角函数的化简，正弦定理的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）直方图中的组距为5．可得：（0.024+a+0.040×2+0.030×2）×5=1，解得a=0.036．（2）①由直方图可得：第四组、第五组、第六组中的人数分别为：0.04×5×200=40，0.03×5×200=30，0.03×5×200=30．三组共100，按组分层抽样共抽取10人，从第四组、第五组、第六组中分别抽取的人数为4，3，3．则这三组各有一人参加优胜比赛的概率P==．②ξ为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，ξ可能值为0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．【解析】（1）直方图中的组距为5．可得：（0.024+a+0.040×2+0.030×2）×5=1，解得a．（2）①由直方图可得：第四组、第五组、第六组中的人数，按组分层抽样共抽取10人，从第四组、第五组、第六组中分别抽取的人数为4，3，3．可得这三组各有一人参加优胜比赛的概率．②ξ为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，ξ可能值为0，1，2，3．利用超几何分布列的概率计算公式即可得出．本题考查了超几何分布列及其数学期望、古典概率计算公式、频率分布直方图的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）当a5=30时，由a5=a1+4d，得30=-2+4d，即d=8．∴a n=a1+（n-1）d=8n-10；（2）由题意可知，，即-4n+dn2-dn=20，∴dn2-（d+4）n-20=0．令n=1时，得-24=0，不合题意；n=2时，得d=14，符合．此时数列的通项公式为a n=14n-16；n=3时，得d=，不合题意；n=4时，得d=3，符合．此时数列的通项公式为a n=3n-5；n=5时，得d=2，符合．此时数列的通项公式为a n=2n-4；n=6时，得d=，不合题意；n=7时，得d=，不合题意；n=8时，得d=，不合题意；n≥9时，d＜1，均不合题意．∴存在3组，其解与相应的通项公式分别为：d=14，n=2，a n=14n-16；d=3，n=4，a n=3n-5；d=2，n=5，a n=2n-4．【解析】（1）由已知求得公差，直接代入等差数列的通项公式得答案；（2）由S n=10，得到dn2-（d+4）n-20=0，然后依次取n值，求得d，分类分析即可得到所有满足条件的d，n的值，并求得通项公式．本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．20.【答案】证明：（1）在图（一）梯形ABCP中，∵D是CP的中点，AB=，CD=AB，∴CD∥AB，CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CP⊥BC，∴AD⊥PC，在图（二）中，∵AD⊥PD，AD⊥DC，∴AD⊥平面PCD，∵AD⊂平面ADM，∴平面ADM⊥平面PDC．解：（2）由AB=2 结合题意得AB=BC=DP=DC=2，∵AD⊥平面PCD，∴AD⊥PD，AD⊥DC，∴∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，∴∠PDC=135°，由（1）的证明知平面PDC⊥平面ABCD，且交线为DC，∴Dz⊥平面ABCD，∴DA，DC，Dz两两垂直，分别以DA，DC，Dz所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，-），∵M为PC的中点，∴M（0，1-，），=（-2，2，0），=（0，1+，-），设平面MAC的一个法向量=（x，y，z），则，令y=1，得=（1，1，），平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），∴|cos＜＞|===，∴二面角M-AC-D余弦值的平方为．【解析】（1）推导出四边形ABCD是平行四边形，AD⊥PC，由AD⊥PD，AD⊥DC，得AD⊥平面PCD，由此能证明平面ADM⊥平面PDC．（2）分别以DA，DC，Dz所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AC-D余弦值的平方．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的平方的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.【答案】解：（1）由题意可得抛物线的焦点F（1，0），当直线的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，设直线的斜率为k，方程设为y=k（x-1），即kx-y-k=0，由圆心（3，0）到直线的距离为d==，当直线与圆相切时，d=r=1，解得k=±，即直线方程为y=±（x-1）；（2）可设直线方程为y=（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程可得x2-14x+1=0，则x1+x2=14，x1x2=1，x轴上假设存在点M（t，0）使∠AMO=∠BMO，即有k AM+k BM=0，可得+=0，即为y1（x2-t）+y2（x1-t）=0，由y1=（x1-1），y2=（x2-1），可得2x1x2-（x1+x2）-（x1+x2-2）t=0，即2-14-12t=0，即t=-1，M（-1，0）符合题意；当直线为y=-（x-1），由对称性可得M（-1，0）也符合条件．所以存在定点M（-1，0）使得∠AMO=∠BMO．【解析】（1）求得抛物线的焦点，设出直线的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，解方程可得所求直线方程；（2）设出A，B的坐标，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，解方程可得t，即M的坐标，即可得到结论．本题考查直线与圆的位置关系和直线与抛物线的位置关系，考查相切的条件和联立方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及方程思想和变形能力，属于中档题．22.【答案】（1）证明：当a=0时，f（x）=4ln（x+2）-2x，（x＞-2），故f′（x）=-2=-，故x∈（-2，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减，故x=0时，函数f（x）有极大值也是最大值，故f（x）的最大值是f（0）=4ln2，故f（x）≤4ln2；（2）解：∵函数G（x）=f（x）-g（x）有2个零点，可化为G（x）=（4+ax）ln（x+2）-2x-4ln（x+2）+2x-x2有2个零点，即关于x的方程x[a ln（x+2）-x]=0（x∈（-2，+∞））有2个不相等的实根，易知0是方程的一个根，此时a∈R，当x≠0时，只需h（x）=a ln（x+2）-x有一个不为0的零点即可，当a＜0时，h′（x）=-1＜0，故h（x）为减函数，∵h（-2）=a ln（-2+2）-（-2）=2+2-＞0，h（0）=a ln2＜0，故h（x）在（-2，+∞）上仅有1个零点，且不为0，满足题意，当a=0时，h（x）=-x=0，解得：x=0，不合题意，当a＞0时，h（0）=a ln2＞0，h（-2）=a ln（-2+2）-（-2）=-＜0，故h（x）在（-2，0）上至少有1个零点，不合题意，综上，a＜0．【解析】（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，根据函数的单调性证明即可；（2）问题转化为G（x）=（4+ax）ln（x+2）-2x-4ln（x+2）+2x-x2有2个零点，通过讨论a的范围求出单调性从而确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 M={x|log 2x<l},集合 N={x|x 2- 1^0},则 MAN=() A. {x|lWxV2} B. {x| - l^x<2} C ・{x| - lVxWl} D ・{x|0<xWl}2. 已知复数z 莘（i 为虚数单位）,那么z 的共辘复数为（1-1 3.要想得到函数y=sin2x+1的图彖，只需将函数y=cos2x 的图象（） 4. 执行如图的程序框图，则输出的n 为（ ）A. 9B. 11 C ・ 13 D ・15 JTA. 向左平移三个单位, JTB. 向右平移三个单位,C. 向左平移今个单位, 兀D. 向右平移个单位, 再向上平移1个单位再向上平移1个单位再向下平移1个单位再向上平移1个单位2 r5.已知双曲线x?=l的两条渐近线分别与抛物线y~=2px （p>0）的准线交于A, B两点，O为坐标原点，若AOAB的而积为1,则p的值为（）A. 1B.血C. 2^2D. 4则AABC的外接圆的而积为（）A. 471B. 8兀C. 9兀D. 36兀7•祖珈•原理：“幕势既同，则积不容异S它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的儿何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A、B 为两个同高的几何体，p： A、B的体积不相等，q： A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖眶原理可知，p是。

］的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C的方程为x2- y=0）的点的个数的估计值为（）A. 5000B. 6667C. 7500D. 78549.一个几何体的三视图如图所示（其屮正视图的弧线为四分Z—圆周），则该儿何体的表面积为（）A. 72+6兀B. 72+4兀C. 48+6兀D. 48+4兀10. 已知(ax+b)^的展开式中/项的系数与F 项的系数分别为135与-18,则 (ax+b) °展开式所有项系数Z 和为( )A. - 1 B ・ 1 C. 32 D. 6411・已知函数f(x) = (x2-2x)sin(x-I) +x+l 在［-1, 3］上的最大值为M,最小值为m,则M+m 二( )A. 4B. 2 C ・ 1 D ・ 0有六个不同的实数解，则3a+b 的取值范围是() A. [6, 11]B ・[3, 11]C ・(6, 11) D ・(3, 11)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.命题:xER, x —ax+lVO"的否定为 ___________ ・14-已知 a=(l ，3)' b=(~2, k)，且(a+2b) “(3 a-b )'则实数心——•15. __________________________________ 已知 sin2a - 2=2cos2a,则sin 2a+sin2a= ______________________________ ・12. 已知函数f (x)2X +1, x<0|yx 2-2x+l|,-af (x) +b=0 (bHO)16.己知直线y二b与函数f (x) =2x+3和g (x) =ax+lnx分别交于A, B两点,若I AB |的最小值为2,则a+b=三、解答题（本大题共5小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・）17.己知等差数列｛如｝的前n项和为S” R满足S4=24, S7=63.（I ）求数列｛aj的通项公式；（II）若b n=2S（-l）n^n，求数列｛bj的前n项和G・18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择. 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的屮奖率均为寻，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为壬，每次屮奖均可获得奖金400元. （I ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X （元）的分布列；（II）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？19.如图所示，在四棱台ABCD - AiBiCiDi中，AAi丄底面ABCD,四边形ABCD 为菱形，ZBAD二120°, AB二AA]=2A|B|=2・（I）若M为CD中点，求证：AM丄平面AAjBiB；（II ）求直线DD（与平面A.BD所成角的正弦值.2 220.已知点F为椭圆E,冷+分l(a〉b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个a b顶点构成一个等边三角形，直线j+y=l与椭圆E有且仅有一个交点M.(I )求椭圆E的方程；(II )设直线-^-+^-=1与y轴交于P,过点P的直线与椭圆E交于两不同点A, B,若九|PM 2=|PA|*|PB|,求实数九的取值范围.21.己知函数f(x) =(x>o, e为自然对数的底数)，f (x)是f (x)的导函数.(I )当a=2 时，求证f (x) >1；(II)是否存在正整数a,使得f (x) ^x2lnx对一切x>0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分•［选修4・4：坐标系与参数方程］工-］+ +｛"2 (t为参数)以坐标原点O为极点，以5^/3+V3tx轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为s in0-V3Pcos2e=O. (I )求曲线C的直角坐标方程;(II)写岀直线1与曲线C交点的一个极坐标.［选修4・5：不等式选讲］23.已知函数f (x) =|x - m| - |x+3m| (m>0)・(I )当m二1时，求不等式f (x) 21的解集；(II)对于任意实数x, t,不等式f (x) <|2+l| + |t- 1|恒成立，求m的取值范围.2017年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合M={x|log2x<l},集合N ={x|x2・1 W0},则MAN=（）A.{x 1W X V2}B. {x| - lWx<2} C・{x| - 1<X W1} D. {x 0<xWl}【考点】交集及其运算.【分析】化简集合M、N,根据交集的定义写出MQN即可.【解答】解：集合M={x|log2x<l} = {x|0<x<2},集合N ={x|x2 - lW0} = {x| - lWxWl},则MQN二{x|0VxWl}・故选：D.2.已知复数（i为虚数单位），那么z的共轨复数为（1-1【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、共辘复数的定义即可得出.A77 饲粉"i (2+i ) (1 + i) 1+Ji 【解答】解：复数rzr(i・i)(i+Q*c那么z的共辘复数为故选：B.3.要想得到函数y=sin2x+l的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）JTA.向左平移牛个单位，再向上平移1个单位4B.向右平移牛个单位，再向上平移1个单位C.向左平移今个单位，再向下平移1个单位JTD.向右平移-亍个单位，再向上平移1个单位【考点】函数y=Asin （cox+（p）的图象变换.【分析】利用诱导公式化简成同名函数，在平移变换（左加右减，上加下减）即可.JT JT【解答】解:由函数y=cos2x可化简为：y=sin （―+2x） =sin[2 （x+-^-）],jr•I向右平移单位可得y=sin2x的图象，再向上平移1个单位，可得y=sin2x+l的图象.故选B4.执行如图的程序框图，则输出的n 为（）«« 1. S・1A. 9B. 11C. 13D. 15【分析】算法的功能是求满足S=144--<^的最大的正整数时2的值，3 5 n 2017验证S=l・3•…・13>2017,从而确定输出的n值.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足S=144-1<^T的最大3 5 n 2017的正整数n+2的值，・.・S=1・3•…・13>2017・••输出n=13.故选：C.25.已知双曲线眷的两条渐近线分别与抛物线y2=2px (p>0)的准线交于A, B两点，O为坐标原点，若AOAB的面积为1,则p的值为( )A. 1B.伍C. 2^2D. 4【考点】双曲线的简单性质.2【分析】求岀双曲线X2=1的两条渐近线方程与抛物线y2=2px (p>0)的准线方程，进而求出A, B两点的坐标，再由AAOB的面积为1列出方程，由此方程求出p的值.2【解答】解：双曲线冷的两条渐近线方程是y=±2x,又抛物线y2=2px (p>0)的准线方程是X—号，故A, B两点的纵坐标分别是y=±p,又AAOB的面积为1,・••寺•号・2尸1，Vp>0,・••得p=V2.故选B.6.AABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,若cosC=~^> bcosA+acosB二2, 则AABC的外接圆的面积为（）A. 4兀B. 8KC. 9兀D. 36兀【考点】余弦定理；正弦定理.【分析】由余弦定理化简已知等式可求c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用止弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值，利用圆的面积公式即可计算得解.【解答】解：V bcosA+acosB=2,2 2 2 2 2 2・・・由余弦定理可得：bX b厂J+aX,整理解得：c=2,2bc 2ac又v cosC=—y^，可得：sinC=71-co s2C=y»z设三角形的外接圆的半径为R,则2R=-T^T=1 =6,可得：R=3,smC —•••△ABC的外接圆的面积S=TT R2=9兀・故选：C.7•祖眶原理：“幕势既同，则积不容异"・它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A、B 为两个同高的几何体，p： A、B的体积不相等，q： A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖眶原理可知，p是4的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由p=>q,反Z不成立.即可得出・【解答】解：由p=>q,反之不成立.・・・p是q的充分不必要条件.故选：A.8.在如图所示的正方形屮随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C的方程为x2- y=0）的点的个数的估计值为（）A. 5000B. 6667C. 7500D. 7854【考点】模拟方法估计概率.【分析】由题意，阴影部分的面积S= f Q dx= （x-*yx J） | Q=y,正方形的面积为1,利用正方形中随机投掷10000个点，即可得出结论.【解答】解：由题意，阴影部分的面积s=瑞（1-只2）松（二•/）丨正方形的面积为1,•・•正方形中随机投掷10000个点，・•・落入阴影部分（曲线C的方程为x2- y=0）的点的个数的估计值为10000X恭6667,故选B.9.一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该A. 72+671B. 72+4兀C. 48+6兀D. 48+4兀【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】由已知中的三视图，可得该儿何体是一个以正视图为为底面的柱体，由柱体表面积公式，可得答案.【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为为底面的柱体, （也可以看成一个凹六棱柱与四分之一圆柱的组合体），1 9其底面面积为:4X4-2X2-H^JT*2 =124-71, 底面周长为：4+4+2+2+°^・2・帀• 2 =12+TI,柱体的高为4,故柱体的表面积S二（12+兀）X2+ （12+兀）X4=72+6K,故选：A10.已知（ax+b）^的展开式中/项的系数与F项的系数分别为135与-18,则（ax+b）°展开式所有项系数之和为（）A. - 1 B・ 1 C. 32 D. 64【分析】由题意先求得a、b的值，再令x=l求出展开式屮所有项的系数和.【解答】解：(ax+b) 6的展开式中x°项的系数与F项的系数分别为135与-18, /. Cg*a4*b2=135①，C：・a5・b= - 18②;由①、②组成方程组[15/b =135,[6a5b=-18解得a=l, b= - 3 或a二-1、b=3；・••令x=l,求得(ax+b) &展开式中所有项系数之和为2~64・故选：D.11・已知函数f(x) = (x2-2x)sin(x-I) +x+l在[-1, 3]上的最大值为M, 最小值为m,则M+m二( )A. 4B. 2 C・ 1 D・ 0【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】把已知函数解析式变形，可得f (x) =[ (x - 1) 2 - l]sin (x - 1) +x - 1+2,令g (x) = (x - 1) 2sin (x - 1) - sin (x - 1) + (x - 1),结合g (2 - x) +g (x) =0,可得g (x)关于(1, 0)中心对称，则f(X)在[・1, 3]上关于(1, 2)中心对称，从而求得M+m的值.【解答】解：Vf (x) = (x2 - 2x) sin (x - 1 ) +x+l = [ (x - 1) 2 - l]sin (x - 1) +x - 1+2令g (x) = (x - 1) 2sin (x - 1) -sin (x-1) + (x-1),而g (2 - x) = (x - 1) ~sin (1 - x) -sin (1 - x) + (1 - x),Ag (2 - x) +g (x) =0,则g (x)关于(1, 0)中心对称，则f (x)在［-1, 3］上关于(1, 2)中心对称./.M+m=4.故选：A.2*+1, x<012.已知函数f (x) =■ 1 ,, 、，方程f2 (x) - af (x) +b二0 (bHO)|yx2-2x+l|, x>0L Z有六个不同的实数解，则3a+b的取值范围是( )A. [6, 11]B・[3, 11]C・(6, 11) D・(3, 11)【考点】根的存在性及根的个数判断.2X+1, x<0【分析】作函数f (X) =|討2汕，8的图象,从而利用数形结合知F -at+b=0有2个不同的正实数解，且其中一个为1,从而可得- 1 - a>0且- 1的图象如下,；•关于x 的方程f? (x) - af (x) +b 二0有6个不同实数解, 令匸f (x),/.t 2 - at+b=O 有2个不同的正实数解，其中一个为在(0, 1)上，一个在(1, 2)上；fb>0故]l-a+b<0 , [4-2a+b>0其对应的平面区域如下图所示：故当a=3, b=2时，3a+b 取最大值11,当a=l, b=0时，3a+b 取最小值3, 则3a+b 的取值范围是[3, 11] 故选：B二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上) 13.命题：汩 xWR, x —ax+lVO"的否定为W x^R, x? - ax+120【考点】命题的否定.【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写岀结果即可.-5 -4 -3 -2 -1 0/15 43 2【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：T xER, x'-ax+lVO"的否定是：V xGR, x2 - ax+1 ^0；故答案为：V xeR, x2-ax+1^014-己知8=（1, 3），b=（-2, k），冃（a+2b）“（3 a-b ）'则实数k二_A_・【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示.【分析】利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出.【解答】解:a+2b =（ - 3, 3+2k） , 3^-b=（5, 9-k）.丫（ a+2b）“（3 a-b ）' - k） - 5 （3+2k） =0,解得k= - 6・故答案为：-6.15.己知sin2a - 2=2cos2a,则sin2a+sin2a= 1 或------- 5【考点】同角三角函数基本关系的运用.【分析】利用同角三角函数的基木关系，求得cosa=0或tana=2, 式子从而求得要求的值.【解答】解：•/ sin2a - 2=2cos2a,・；2sinacosa - 2=2 ( 2cos2a - 1 ),即sinacosa=2cos2a,cosa=0 或tana=2.贝I」sin a+sin2a=sin a+2sinacosa= 1 +0= 1 ；sin2CI +2sir)a cos Clotan a +2tanClsin2a+cos? tan"a +1 414_8 ―"7或sin2a+sin2a=16. 已知直线y=b 与函数f （x ） =2x+3和g （x ） =ax+lnx 分别交于A, B 两点， 若I AB |的最小值为2,则a+b 二2•【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】设 A （xi ，b ） , B （X2, b ）,则 2xi+3=ax2+lnx2=b,表示出 xj,求出 | AB|, 利用导数，结合最小值也为极小值，可得极值点，求出最小值，解方程可得尸1, 进而得到b,求出a+b.【解答】解：设A （xi ，b ） , B （X2，b ）,则 2x i +3=ax2+lnx2=b,(x>0),由I AB |的最小值为2, 口J 得 2 - a > 0, 函数在（0,壬匚）上单调递减，在（£匚，+°°）上单调递增, ・・・x 二吉时，函数y 取得极小值，H 为最小值2,即有（1_2a ）迈一寺1迈±兮=2, 解得a=l, 由 X2=l,则 b=ax2+lnx2= 1 +ln 1=1,可得a+b=2.故答案为：2. 三、解答题(本大题共5小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤(ax2+lnx2 -3)则 y=1 " "2a _1.1 _ (2-3)*-1 2 x 2x・)17. 已知等差数列｛如｝的前n 项和为％ 且满足S4=24, S7=63・(I )求数列｛如｝的通项公式；(II )若b n =2a *+(-l )n *a n ＞求数列｛b 」的前n 项和几・【考点】数列的求和；数列递推式.【分析】(I)利用等差数列的求和公式及其通项公式即可得出.(II )通过分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出・【解答】解：(I )因为｛aj 为等差数列,4X3 s 4=4a l +—2~~d ~24 心产3(II )・・• b n =2a,+ (T )n• %= 2如+】+(7 )% (2n+1)=2 X 4n +(-l )n -(2n+l)・•・ T n =2(4^42+--+4n ) + [-3+5-7+9--*+(-l)n (2n+l)]=^^z ^+G^ 当 n=2k (kEN*)时，G n =2X^-=n,二片」彎"+n当 n=2k - I (keN')时，Gf2X 卫#8 •43-1^n(n=2k, k€『) 更牛丄n-2(n=2kT, k€『)18. 某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择. 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为第一次抽奖，若 未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硕币，决定是否继续进 行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行 第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中 奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为壬，每次中奖均可获得奖金400元. （I ） 求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X （元）的分布列；(2n+l)=-n-2,Tn=mk n _2（II）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.【分析】（I）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出.（II）利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出・【解答】解：（I ）P（X=0）#岭■哙，p（X=500）岭x寺€，d 1 d RPCXziooO-x-x^,所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X （元）的分布列为X0 5001000P 7 2 8 25 25（II ）由（I ）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X的均值Q 7E （X） =500 X-^lOOOX 詩520，若选择方案乙进行抽奖中奖次数g〜B（3, |）,则E（t）=3x|=|,抽奖所获奖金X的均值E （X） =E=400E （0 =480,故选择方案甲较划算.19.如图所示，在四棱台ABCD - AiBiCiDi屮，AA】丄底面ABCD,四边形ABCD 为菱形，ZBAD=120°, AB=AAi=2AiBi=2.(I)若M为CD中点，求证：AM丄平面AA|B】B；(II )求直线DDi与平而AjBD所成角的正弦值.【考点】直线与平而所成的角；直线与平而垂直的判定.【分析】(I )推导出AM丄CD, AM丄AB, AM丄AA],由此能证明AM丄平面AA]BiB(II)分别以AB, AM, AAi为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A - xyz,利用向量法能求岀直线DD]与平面A]BD所成角()的正弦值.【解答】证明：(I )・••四边形为菱形，ZBAD=120°,连结AC,•••△ACD为等边三角形，又TM为CD屮点，A AM丄CD,由CD〃AB 得，A AM丄AB,•・・AA| 丄底面ABCD, AMu 底面ABCD, AAM1AA],又・.・ABQAAi二A, A AM丄平面AAiBiB解：(II) J 四边形ABCD 为菱形，ZBAD=120°, AB=AA1=2A1B1=2, ・・・DM=1, AM 二逅，ZAMD=ZBAM=90°,乂・.・AA］丄底面ABCD,分别以AB, AM, AAi 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A ・ xyz,则 Ai (0, 0, 2)、B (2, 0, 0)、D(-b 吕 0)、比(寺爭 ・・DD] = (寺，宀 j 1 2), BD=(-3, 5/3» 0)，A|B =(2> 0» -2),n ・BD=0 _〔-3x+V^y=0~_ 厂 l 人 “ 一 2x-2z=0 FpxWz,令 x=l,则 2(1,巫,", n•A[B=0 ' *・•・直线DD ］与平面A )BD 所成角0的正弦值:sin© =|cos< n » DD ；> |二 I ——“ ——|二*.In p|DD]|20. 已知点F 为椭圆E ：耳+苓lG>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个 a 2 b 2 顶点构成一个等边三角形，直线亍兮=1与椭圆E 有且仅有一个交点M. (I )求椭圆E 的方程；(II )设直线彳样二1与y 轴交于P,过点P 的直线与椭圆E 交于两不同点A, B, 若九|PM 2=|PA |*|PB |,求实数九的取值范围.【考点】椭圆的简单性质.2 2【分析】(I )由题意可得a, b 与c 的关系，化椭圆方程为二+—二1,联立 4c 2 3c z直线方程与椭圆方程，由判别式为0求得C,则椭圆方程可求； 设平面A )BD 的一个法向量 n= (x, y, z)，则有(II)由(I )求得M坐标，得到|PM|2,当直线1与x轴垂直时，直接由入|PM|~|PA|・|PB|求得X值；当直线1与x轴不垂直吋，设直线1的方程为y=kx+2,联立直线方程与椭圆方程，利用判别式大于0求得k的取值范围，再由根与系数的关系,结合X|PM|2=|PA|-|PB|,把九用含有k的表达式表示，则实数九的取值范围可求.2 2【解答】解：(I )由题意，得a=2c, b=^3c,则椭圆E为：七*七七1， 4c 3c••.△二4・4 (4・ 3c2) =0,得c?=l,・・・椭圆E的方程为工+^■二1；4 3(II)由(I )得M(l・ y),•・•直线与y轴交于P (0, 2),・・・|PM|2兮，当直线1与x轴垂直时，|PA卜|PB |=(24<3)(2-V3)=l，c 4由入|PM -= | PA | • PB |,得入详，当直线1与x轴不垂直时,设直线1的方程为y二kx+2, A (xi，yi), B (x2, y2),(y=kx+2 r c联立｛9o ，得(3+4k~) x2+16kx+4=0,[3x^+4y -12=04 依题意得，口辺二：+[訐,且△二48 (4k2-1) >0,A |PA| |PB| = (l+k2)x1x2=(l + k2)—^=H一寻入，1 ' 3+4k23+4k2 421. 已知函数f(x) = e x -|ax 2 (x>0, e 为自然对数的底数),f (x)是f (x)的导函数.(I )当 a 二2 时，求证 f (x) > 1；(II)是否存在正整数a,使得f (x) ^x 2lnx 对一切x>0恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，说明理由.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.【分析】(I )求出函数的导数，根据函数的单调性zmjk ；(II)求出函数的导数，得到aWe,问题转化为证明当a=2时，不等式恒成立,根据函数的单调性证明即可•【解答】解：(I )证明：当 a=2 时，f (x) =e x - x 2,则 f (x) =e x - 2x,令 f [ (x.)二f' (x) = e x -2x,则 f 7:.f (x) >f (0) =1；.魯Y,l (x)二2, 令 fi (x) =0,得 x=ln2, 故f (x)在x=ln2时取得最小值,Vf (ln2) =2 - 21n2>0,Af (x)在(0, +°°)上为增函数,(II ) f (x) =e x - ax,由f (x) ^x2lnx,得e x - ax^x2lnx 对一切x>0 恒成立，当x=l吋，可得aWe,所以若存在，则正整数a的值只能取1, 2.下而证明当a二2时，不等式恒成立，设g(x)=4—lnx，则g' 3=全零+务丄」"2)(广—X乙X x J x x J由(I ) e x>x2+l^2x>x, .\e x - x>0 (x>0),・••当0VxV2 时,g* (x) <0；当x>2 时,g (x) >0,即g (x)在(0, 2)上是减函数，在(2, +8)上是増函数，A g(x) >g(2)=| (e2-4-41n2)>| (2. 72-4-41n2)>^-(3-lnl6)>0,・••当a=2时,不等式恒成立,所以a的最大值是2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分•［选修4・4：坐标系与参数方程］(X二］+”1.十2 (t为参数)以坐标原点O为极点，以y=V3+V3tx轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为sin9 ~V3P cos2 0=0.(I )求曲线C的直角坐标方程；(II)写出直线1与曲线C交点的一个极坐标.【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)利用极坐标与直角坐标互化方法，求曲线C的直角坐标方程;(II)将 * " 2 t ,代入y^/3x2=0得，V3W3t-V3 (1+y t) 2=0,求出交点u y=V3+V3t坐标，即可直线1与曲线c交点的一个极坐标.【解答】解：(I)T sin8 7^ P cos'8 =0, .I p sin8 P'cos'8 =0,即y-V3x2=0；， 1(II)将，2 ,代入卩十女2二0得，V3+V3t-V3(H*jt)2=0,即t=0,从而，交点坐标为(1，V5),所以，交点的一个极坐标为(2, ¥)•[选修4・5：不等式选讲]23.已知函数f (x) =|x - m| - |x+3m| (m>0).(I )当m=l时，求不等式f (x) $1的解集；(II)对于任意实数x, t,不等式f(x) <|2+t| + |t- 1|恒成立，求m的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式.【分析】(1)将m=l的值带入，得到关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；(II)问题等价于对任意的实数xf (x) <[|2+t| + |t- l|]min恒成立，根据绝对值的性质求出f(X)的最大值以及[|2+t| + |t・1 |]min，求岀m的范围即可.(I ) f (x) = |x・m|Tx+3m|n -2x-2m -3nr<x<ni,L4m x<-3m或xW - 3,【解答】解:当m=l时,,f-2x-2>l叫-3W・・・不等式f (x) $1的解集为(x|x<-y};(II)不等式f (x) <|2+t| + |t - 11对任意的实数t, x恒成立,等价于对任意的实数Xf(X)<[|2+t| + |t - lllmin恒成立,即[f (x) Jmax<[|2+t|+ t - 1Vf (x) = |x - m| ・ |x+3m|W| (x - m) - (x+3m) |=4m,|2+t| + |t- 1|N| (2+t) - (t- 1) |=3,.*.4m<3 又m>0,所以0<Cin<C—.2017年3月7日。

2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|x2−x−2<0}，B＝{x|2x−1>0}，则A∪B＝（）A.(−1, +∞)B.(12,1) C.(12,2) D.(12,+∞)2.设复数z满足|z−1|＝|z−i|（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为(x, y)，则（）A.y＝−xB.y＝xC.(x−1)2+(y−1)2＝1D.(x+1)2+(y+1)2＝13.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著．如图是2013−2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，2013年出口总额比进口总额少C.这五年，出口增速前四年逐年增加D.这五年，2017年进口增速最快4.下列不等关系，正确的是（）A.log23<log34<log45B.log23>log45>log34C.log23<log45<log34D.log23>log34>log455.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝−3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（）A.21B.1C.−42D.06.若执行图的程序框图，则输出i的值为（）A.2B.3C.4D.5 7.函数y =2x −2−x |x|−cosx 的图象大致为（ ）A. B.C. D.8.若函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则下列说法正确的是（ ）A.g(x)的图象关于x =−π12对称B.g(x)在[0, π]上有2个零点C.g(x)在区间(π3,5π6)上单调递减 D.g(x)在[−π2,0]上的值域为[−√32,0] 9.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，圆F 2与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点．若F 1M →⋅F 2M →=0，则双曲线C 的离心率等于（ ）A.√5B.2C.√3D.√210.射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）\A.0.110B.0.112C.0.114D.0.11611.已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，则： ①平面α分正方体所得两部分的体积相等；②四边形BFD 1E 一定是平行四边形；③平面α与平面DBB 1不可能垂直；④四边形BFD 1E 的面积有最大值．其中所有正确结论的序号为（ ）A.①④B.②③C.①②④D.①②③④12.已知函数f(x)={−e −x ,x ≤0xe x −x −1−lnx,x >0，则函数F(x)＝f （f(x)）−ef(x)的零点个数为（ ）（e 是自然对数的底数）．A.6B.5C.4D.3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)，且a → // (a →+2b →)，则m 的值等于________．14.直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于_______．15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有________种．16.已知三棱锥A −BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A −BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A −BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A −BCD 的三个面和球O n−1都相切(n≥2，且n∈N∗)，则球O1的体积等于________，球O n的表面积等于________．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，acosC+ccosA+√2bcosB=0．(1)求B；(2)若BC边的中线AM长为√5，求△ABC的面积．18.“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．19.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC．（1）证明：A1C⊥AB1；（2）设AC＝2CB，∠A1AC＝60∘，求二面角C1−AB1−B的余弦值．20.设椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)的左右顶点为A1，A2，上下顶点为B1，B2，菱形A1B1A2B2的内切圆C′的半径为√2，椭圆的离心率为√22．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足|PM|＝|PN|，试判断直线PM，PN 与圆C′的位置关系，并证明你的结论．21.已知函数f(x)=1−x 2e x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f(x)的零点x0，以及曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程；（2）设方程f(x)＝m(m>0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<2−m(1+12e)．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程21.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3−√22t，y=1+√22t（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=4cosθ+6sinθ．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为(3, 1)，求|AM|+|AN|．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲22.已知函数f(x)＝|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)≥0的解集为(−∞, 4]．（1）求m的值；（2）若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c＝2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|x2−x−2<0}，B＝{x|2x−1>0}，则A∪B＝（）A.(−1, +∞)B.(12,1) C.(12,2) D.(12,+∞)【解答】∵A={x|−1<x<2},B={x|x>12}，∴A∪B＝(−1, +∞)．2.设复数z满足|z−1|＝|z−i|（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为(x, y)，则（）A.y＝−xB.y＝xC.(x−1)2+(y−1)2＝1D.(x+1)2+(y+1)2＝1【解答】由z在复平面内对应的点为(x, y)，且|z−1|＝|z−i|，得|x−1+yi|＝|x+(y−1)i|，∴√(x2+y2=√x2+(y−1)2，整理得：y＝x．3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著．如图是2013−2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，2013年出口总额比进口总额少C.这五年，出口增速前四年逐年增加D.这五年，2017年进口增速最快【解答】对于A，2013出口额最少，故A对；对于B，2013年出口额少于进口额，故B对；对于C，2013−2014出口速率在增加，故C错；对于D，根据蓝色线斜率可知，2017年进口速度最快，故D对．4.下列不等关系，正确的是（）A.log23<log34<log45B.log23>log45>log34C.log23<log45<log34D.log23>log34>log45【解答】∵log23−log34=lg3lg2−lg4lg3=lg23−lg2lg4lg2lg3>lg23−(lg2+lg42)2lg2lg3>lg23−(12lg9)2lg2lg3=0，∴log23>log34，同理log34>log45，∴log23>log34>log45．5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝−3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（）A.21B.1C.−42D.0【解答】等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝−3，2a4+3a7＝9，∴2(−3+3d)+3(−3+6d)＝9，解得d＝1，∴S7＝7×(−3)+7×62d=0．6.若执行图的程序框图，则输出i的值为（）A.2B.3C.4D.5【解答】 模拟程序的运行，可得x ＝4，y ＝1，i ＝0x ＝8，y ＝1+1＝2满足条件x >y ，执行循环体，i ＝1，x ＝16，y ＝2+4＝6满足条件x >y ，执行循环体，i ＝2，x ＝32，y ＝6+16＝22满足条件x >y ，执行循环体，i ＝3，x ＝64，y ＝22+64＝86此时，不满足条件x >y ，退出循环，输出i 的值为3．7.函数y =2x −2−x |x|−cosx 的图象大致为（ ） A. B.C.D.【解答】 f(−x)=2−x −2x |−x|−cos(−x)=−2x −2−x |x|−cosx =−f(x)，即函数f(x)在定义域上为奇函数，故排除D ；又f(0)=0,f(1)=2−2−11−cos1>0，故排除B 、C ．8.若函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则下列说法正确的是（ ）A.g(x)的图象关于x =−π12对称B.g(x)在[0, π]上有2个零点C.g(x)在区间(π3,5π6)上单调递减D.g(x)在[−π2,0]上的值域为[−√32,0] 【解答】 函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)＝sin[2(x −11π6)]＝sin(2x −11π3)＝sin(2x +π3)，所以对于选项A ：当x =−π12时，g(x)≠±1，故A 错误．对于选项B ：当2x +π3=kπ(k ∈Z)，整理得x =kπ2−π6，(k ∈Z)，当k ＝1时，x =π3，当k ＝2时，x =5π6时，函数g(x)＝0，故选项B 正确．对于选项C:x ∈(π3,5π6)，所以2x +π3∈(π,2π)，故函数在该区间内有增有减，故错误． 对于选项D:x ∈[−π2,0]，所以2x +π3∈[−2π3,π3]，所以函数g(x)的值域为[−1, √32]，故错误． 故选：B ．9.已知双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，圆F 2与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点．若F 1M →⋅F 2M →=0，则双曲线C 的离心率等于（ ）A.√5B.2C.√3D.√2 【解答】双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，渐近线方程为bx −ay ＝0，bx +ay ＝0，可得F 2与双曲线C 的渐近线的距离为d =√22=b ， 可得圆F 2的方程为(x −c)2+y 2＝b 2，①若F 1M →⋅F 2M →=0，即有M(x, y)的方程为x 2+y 2＝c 2，②联立方程①②可得x =2c 2−b 22c，y 2=4b 2c 2−b 44c ， 代入双曲线的方程即为b 2⋅4c 4−4b 2c 2+b 44c a 2⋅4b 2c 2−b 44c =a 2b 2， 化简可得b 2＝4a 2，则e =c a =√1+b 2a =√5，10.射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）A.0.110B.0.112C.0.114D.0.116【解答】由题意可得，12=1×e−7.6×0.8μ，∴−ln2＝−7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．∴这种射线的吸收系数为0.114．11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等；②四边形BFD1E一定是平行四边形；③平面α与平面DBB1不可能垂直；④四边形BFD1E的面积有最大值．其中所有正确结论的序号为（）A.①④B.②③C.①②④D.①②③④【解答】如图则：对于①：由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故①正确；对于②：因为平面ABB1A1 // CC1D1D，平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BF，平面BFD1E∩平面CC1D1D ＝D1E，∴BF // D1E，同理可证：D1F // BE，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故②正确；对于③：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB1D，又因为EF⊂平面BFD1E，所以平面BFD′E⊥平面BB′D，故③不正确；对于④：当F与A重合，当E与C1重合时，BFD1E的面积有最大值，故④正确．正确的是①②④，12.已知函数f(x)={−e−x,x≤0xe x−x−1−lnx,x>0，则函数F(x)＝f（f(x)）−ef(x)的零点个数为（）（e是自然对数的底数）．A.6B.5C.4D.3【解答】f2′(x)=e x+xe x−1−1x =(x+1)(e x−1x)，设g(x)=e x−1x(x>0)，由当x→0+时，g(x)→−∞，g(1)＝e−1>0，且函数g(x)在(0, +∞)上单增，故函数g(x)存在唯一零点x0∈(0, 1)，使得g(x0)＝0，即e x0−1x0=0，则x0e x0=1,lnx0+x0=0，故当x ∈(0, x 0)时，g(x)<0，f 2′(x)<0，f 2(x)单减；当x ∈(x 0, +∞)时，g(x)>0，f 2′(x)>0，f 2(x)单增，故f 2(x)min =f 2(x 0)=x 0e x 0−x 0−1−lnx 0=0，故f 2(x)≥0(1)令t ＝f(x)，F(t)＝f(t)−et ＝0， 当t ≤0时，−e −t −et ＝0，解得t ＝−1，此时易知f(x)＝t ＝−1有一个解（2）当t >0时，te t −t −1−lnt −et ＝0，即te t −t −1−lnt ＝et ，作函数f 2(t)与函数y ＝et 如下图所示，由图可知，函数f 2(t)与函数y ＝et 有两个交点，设这两个交点为t 1，t 2，且t 1>0，t 2>0， 而由图观察易知，f(x)＝t 1，f(x)＝t 2均有两个交点，故此时共有四个解（3）综上，函数F(x)＝f （f(x)）−ef(x)的零点个数为5． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)，且a → // (a →+2b →)，则m 的值等于________． 【解答】根据题意，向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)， 则a →+2b →=(1+2m, −3)，若a → // (a →+2b →)，则有1+2m ＝−3，解可得：m ＝−2；14.直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于________π3或2π3． 【解答】直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F(3, 0)，斜率为k ，直线方程为：y ＝k(x −3)， 且与抛物线C 交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)两点，可得k 2(x −3)2＝12x ， 即k 2x 2−(6k 2+12)x +9k 2＝0，可得x 1+x 2=6k 2+12k ，弦AB 的长为16，6k 2+12k +6＝16，解得k ＝±√3．所以，直线的倾斜角为：π3或2π3．15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有________种． 【解答】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有C 42＝6种情况，②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，有A 44＝24种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有A 22A 33＝12种情况，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有6×12＝72种；16.已知三棱锥A −BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A −BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A −BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A −BCD 的三个面和球O n−1都相切(n ≥2，且n ∈N ∗)，则球O 1的体积等于________√6π，球O n 的表面积等于________6π4． 【解答】如图，设球O 1半径为r 1，…，球O n 的半径为r n ，E 为CD 中点，球O 1与平面ACD 、BCD 切于F 、G ，球O 2与平面ACD 切于H ，作截面ABE ，设正四面体A −BCD 的棱长为a 1√36a=√63a−r √32a ，解得r 1=√612a ， √63a−2r −r √63a−r 1=r2r 1，解得r 2=√624a ， 把a ＝6代入的r 1=√62，r 2=√64， 由平面几何知识可得数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列， 所以r n =√62(12)n−1，故球O 1的体积=43πr 13=43π(√62)3=√6π；球O n 的表面积＝4πr n 2＝4π×[√62(12)n−1]2=6π4，三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2，acosC +ccosA +√2bcosB =0． (1)求B ；(2)若BC边的中线AM长为√5，求△ABC的面积．【解答】解：(1)在△ABC中，asinA =bsinB=csinC，且acosC+ccosA+√2bcosB=0，∴sinAcosC+sinCcosA+√2sinBcosB=0，∴sinB⋅(1+√2cosB)=0，又∵sinB≠0，∴cosB=−√22．∵B是三角形的内角，∴B=3π4；(2)在△ABM中，BM=1,AM=√5,B=3π4,AB=c，由余弦定理得AM2=c2+(BM)2−2c⋅BM⋅cosB，∴c2+√2c−4=0，∵c>0，∴c=√2．在△ABC中，a=2，c=√2，B=3π4，∴△ABC的面积S=12acsinB=1．18.“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．【解答】依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15， ∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：P =C 32(25)2(15)+C 32(15)2(25)=18125．X 可能取值为0，1，2，3．则P(X =0)=C 30(35)3=27125， P(X =1)=C 31(25)(35)2=54125， P(X =2)=C 32(25)2(35)=36125， P(X =3)=C 33(25)3=8125，∴X 的分布列为：∴EX =0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65． 或∵随机变量X 服从XB(3,25)，∴EX =np =3×25=65．19.如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，AA 1＝AC ，AC ⊥BC ．（1）证明：A 1C ⊥AB 1；（2）设AC ＝2CB ，∠A 1AC ＝60∘，求二面角C 1−AB 1−B 的余弦值． 【解答】 证明：连结AC 1．∵AA 1＝AC ，四边形AA 1C 1C 为菱形，∴A 1C ⊥AC 1．∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面AA 1C 1C ．又∵BC // B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，∴B 1C 1⊥A 1C ． ∵AC 1∩B 1C 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，而AB 1⊂平面AB 1C 1， ∴A 1C ⊥AB 1．取A 1C 1的中点为M ，连结CM ．∵AA 1＝AC ，四边形AA 1C 1C 为菱形，∠A 1AC ＝60∘，∴CM ⊥A 1C 1，CM ⊥AC ． 又∵CM ⊥BC ，以C 为原点，CA ，CB ，CM 为正方向建立空间直角坐标系，如图． 设CB ＝1，AC ＝2CB ＝2，AA 1＝AC ，∠A 1AC ＝60∘，∴C(0, 0, 0)，A 1(1, 0, √3)，A(2, 0, 0)，B(0, 1, 0)，B 1(−1, 1, √3)． 由（1）知，平面C 1AB 1的一个法向量为CA 1→=(1,0,√3)．设平面ABB 1的法向量为n →=(x,y,z)，则n →⋅AB →=0并且n →⋅AB 1→=0， ∴{−2x +y =0−3x +y +√3z =0．令x ＝1，得y =2,z =√3，即n →=(1,2,√3)．∴cos <CA 1→,n →>=CA 1→⋅n→|CA 1→||n →|=2×√163=√34， ∴二面角C 1−AB 1−B 的余弦值为：−√34．20.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点为A 1，A 2，上下顶点为B 1，B 2，菱形A 1B 1A 2B 2的内切圆C ′的半径为√2，椭圆的离心率为√22． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足|PM|＝|PN|，试判断直线PM ，PN 与圆C ′的位置关系，并证明你的结论． 【解答】设椭圆的半焦距为c ．由椭圆的离心率为√22知，b =c,a =√2b ． 设圆C ′的半径为r ，则r ⋅√a 2+b 2=ab ， ∴√2⋅√3b =√2b 2，解得b =√3，∴a =√6， ∴椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．∵M ，N 关于原点对称，|PM|＝|PN|，∴OP ⊥MN ． 设M(x 1, y 1)，P(x 2, y 2)．当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y ＝kx +m ．由直线和椭圆方程联立得x 2+2(kx +m)2＝6，即(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6＝0， ∴{x 1+x 2=−4km2k 2+1x 1x 2=2m 2−62k 2+1． ∵OM →=(x 1, y 1)，OP →=(x 2, y 2)，∴OM →⋅OP →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)⋅2m 2−62k 2+1+km ⋅−4km2k 2+1+m 2 =3(m 2−2k 2−2)2k 2+1=0，∴m 2−2k 2−2＝0，m 2＝2k 2+2， ∴圆C ′的圆心O 到直线PM 的距离为√k 2+1=√2=r ，∴直线PM 与圆C ′相切．当直线PM 的斜率不存在时，依题意得N(−x 1, −y 1)，P(x 1, −y 1)．由|PM|＝|PN|得|2x 1|＝|2y 1|，∴x 12=y 12，结合x 126+y 123=1得x 12=2，∴直线PM 到原点O 的距离都是√2， ∴直线PM 与圆C ′也相切． 同理可得，直线PN 与圆C ′也相切． ∴直线PM 、PN 与圆C ′相切．21.已知函数f(x)=1−x 2e x（e 为自然对数的底数）．（1）求函数f(x)的零点x0，以及曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程；（2）设方程f(x)＝m(m>0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<2−m(1+12e)．【解答】由f(x)=1−x 2e x=0，得x＝±1，∴函数的零点x0＝±1，f′(x)=x2−2x−1e x，f′(−1)＝2e，f(−1)＝0．曲线y＝f(x)在x＝−1处的切线方程为y＝2e(x+1)，f′(1)=−2e，f(1)＝0，∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y=−2e(x−1)；证明：f′(x)=x2−2x−1e x，当x∈(−∞,1−√2)∪(1+√2,+∞)时，f′(x)>0；当x∈(1−√2,1+√2)时，f′(x)<0．∴f(x)的单调递增区间为(−∞,1−√2),(1+√2,+∞)，单调递减区间为(1−√2,1+√2)．由（1）知，当x<−1或x>1时，f(x)<0；当−1<x<1时，f(x)>0．下面证明：当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)．当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)⇔2e(x+1)+x 2−1e x>0⇔e x+1+x−12>0．易知，g(x)=e x+1+x−12在x∈[−1, 1]上单调递增，而g(−1)＝0，∴g(x)>g(−1)＝0对∀x∈(−1, 1)恒成立，∴当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)．由{y=2e(x+1)y=m得x=m2e−1．记x′1=m2e−1．不妨设x1<x2，则−1<x1<1−√2<x2<1，∴|x1−x2|<|x′1−x2|=x2−x′1=x2−(m2e−1)．要证|x1−x2|<2−m(1+12e )，只要证x2−(m2e−1)≤2−m(1+12e)，即证x2≤1−m．又∵m=1−x22e x2，∴只要证x2≤1−1−x22e x2，即(x2−1)⋅(e x2−(x2+1))≤0．∵x2∈(1−√2,1)，即证e x2−(x2+1)≥0．令φ(x)＝e x−(x+1)，φ′(x)＝e x−1．当x∈(1−√2,0)时，φ′(x)<0，φ(x)为单调递减函数；当x∈(0, 1)时，φ′(x)>0，φ(x)为单调递增函数．∴φ(x)≥φ(0)＝0，∴e x2−(x2+1)≥0，∴|x1−x2|<2−m(1+12e)．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3−√22t，y=1+√22t（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=4cosθ+6sinθ．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为(3, 1)，求|AM|+|AN|．【解答】解：(1)曲线C的方程ρ=4cosθ+6sinθ，∴ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ，∴x2+y2=4x+6y，即曲线C的直角坐标方程为：(x−2)2+(y−3)2=13．(2)把直线l:{x=3−√22t，y=1+√22t代入曲线C得(1−√22t)2+(−2+√22)t2=13，整理得，t2−3√2t−8=0．∵Δ=(−3√2)2+32>0，设t1，t2为方程的两个实数根，则t1+t2=3√2，t1t2=−8，∴t1，t2为异号，又∵点A(3, 1)在直线l上，∴|AM|+|AN|=|t1|+|t2|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√50=5√2．（本小题满分0分）选修4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)＝|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)≥0的解集为(−∞, 4]．（1）求m的值；（2）若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c＝2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．【解答】∵f(x)＝|x−m|−|x+2|，∴f(x−2)＝|x−m−2|−|x|≥0的解集为(−∞, 4]，∴|x−m−2|≥|x|，解得m+2＝8，即m＝6．∵m＝6，∴a+2b+c＝12．又∵a>0，b>0，c>3，∴(a+1)(b+1)(c−3)=(a+1)(2b+2)(c−3)2≤12[(a+1)+(2b+2)+(c−3)3]3=12(a+2b+c3)3=12(123)3=32，当且仅当a+1＝2b+2＝c−3，结合a+2b+c＝12解得a＝3，b＝1，c＝7时，等号成立，∴(a+1)(b+1)(c−3)的最大值为32．。

参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2023?合肥一模）已知复数z=3+4i，表示复数z的共轭复数，则，=（）A．考点：专题：分析：解答：复数求模．数系的扩充和复数．菁优网权版所有B5．C．D6．首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，写出复数的共轭复数，求出共轭复数的模长．解：复数z=3+4i，=3﹣4i，=，=，﹣4﹣3i，=故选：B．==5．=﹣4﹣3i，点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数的共轭复数，考查复数求模长，实际上一个复数和它的共轭复数模长相等，本题是一个基础题．2．（5分）（2023?合肥一模）设集合S={0，a}，T={x∈Z，x＜2}，则“a=1”是“S?T”的（）A充分不必要B必要不充分．条件C充分必要条．件考点：专题：分析：解答：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网权版所有2．条件D既不充分也．不必要条件简易逻辑．求出集合T，根据集合元素关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解：T={x∈Z，x＜2}={﹣1，0，1}，当a=1时，S={0，1}，满足S?T．若S?T，则a=1或a=﹣1，∴“a=1”是“S?T”的充分不必要条件．故选：A．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用集合元素和集合之间的关系是解决本题的关键．2点评：3．（5分）（2023?合肥一模）过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得+b（a、b∈R），则以下说法正确的是（）A点P（a，b）一定在单位圆内．B点P（a，b）一定在单位圆上．-9-C点P（a，b）一定在单位圆外． D当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上．考点：专题：分析：解答：平面向量的基本定理及其意义．菁优网权版所有平面向量及应用．根据点P到圆心O的距离判断点P与圆的位置关系．解：易知，∵∴，==1 ，=，= =1 ∴OP=又圆的半为1 ∴点P一定在单位圆上故选：B 点评：4．（5分）（2023?合肥一模）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两本题主要考察了向量的求模运算，以及点与圆的位置关系的判断，属于中档题．点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A．考点：专题：分析：解答：解：不妨设A（c，y0），代入双曲线∵线段AB的长度恰等于焦距，∴， =1，可得y0=±．双曲线的简单性质．计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．菁优网权版所有B． C． D．先求出AB的长，进而可得，从而可求双曲线的离心率．∴c2﹣a2=ac，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=．故选：A．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）（2023?合肥一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A18+2．考点：专题：分析：由三视图求面积、体积．菁优网权版所有B24+2．C24+4．D36+4．空间位置关系与距离．根据三视图判断几何体是直四棱柱，且四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为2，底面梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为2，利用勾股定理求出腰为公式计算．=，代入棱柱的表面积解答：解：由三视图知几何体是直四棱柱，且四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为2，底面梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为2，腰为∴几何体的表面积S=（2+4+2）×2+2××2=24+4．=，点评：故选：C．本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键． 6．（5分）（2023?合肥一模）已知函数f（x）=，f（﹣x）） B（x，﹣f（x）） C A（x，（．．．﹣sinx，﹣，﹣x，﹣f）） +sinx，则一定在函数y=f（x）图象上的点是（） D（．（+x，﹣f﹣x））（x﹣考点：专题：分析：解答：函数的图象．函数的性质及应用．在函数y=f（x）图象上的点只需把点的坐标代入方程，满足表达式即可．菁优网权版所有解：对于A，f（﹣x）=，确；对于B，﹣f（x）=﹣，对于C，﹣f（x﹣=﹣，+sin（﹣sin（﹣x），﹣，+sin（﹣x），=，+sinx，﹣，﹣sinx，≠f （x），∴A不正﹣sinx，+，+sinx，≠f（x），∴B不正确；），+，+sin（x﹣）， +sin（﹣x），=f（﹣x），）=﹣，﹣sin（x﹣﹣x），+，﹣sin（﹣x），=，﹣sin（﹣x），﹣，∴C正确；对于D，﹣f（x﹣）=﹣，﹣sin（x﹣），+，+sin（x﹣）， - 11 -=﹣，≠f（+sin（﹣x），+，﹣sin（﹣x），=，﹣sin（﹣x），﹣，+sin（﹣x），=f（﹣x）+x），∴D不正确；故选：C．点评：本题考查函数的定义，函数的图象的应用，考查计算能力．7．（5分）（2023?合肥一模）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A5．考点：专题：分析：解答：程序框图．算法和程序框图．根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件n＞117时，确定输出i的值．菁优网权版所有B6．C7．D8．解：由程序框图知：程序第一次运行n=12﹣4=8，i=1+1=2；第二次运行n=4×8+1=33，i=2+1=3；第三次运行n=33﹣4=29，i=3+1=4；第四次运行n=4×29+1=117，i=4+1=5；第五次运行n=117﹣4=113，i=5+1=6；第六次运行n=113×4+1=452，i=6+1=7．此时满足条件n＞117，输出i=7．故选：C．本题考查了选择结果与循环结构相结合的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．点评：8．（5分）（2023?许昌三模）在△ABC中，已知2acosB=c，sinAsinB（2﹣cosC）=sin2+，则△ABC为（） A等边三角形． C锐角非等边B等腰直角三．角形D钝角三角形-12-。