近世代数模拟试题2

{ 1、设置换σ 和τ 分别为：σ = ⎡⎢ ，τ = ⎡⎢⎥ ，判断 和 的奇偶性，并把 和12345678 ⎤ 12345678 ⎤⎣64173528⎦⎣23187654⎦矩阵，且 A = B + C 。

若令有 A = B + C ，这里 B 和 C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 2 2 ..世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中 只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无 分。

1、设 A ＝B ＝R(实数集)，如果 A 到 B 的映射 ϕ ：x→x ＋2，∀ x∈R ，则 ϕ 是从 A 到 B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 A×B 中含有（ d ）个元素。

A 、2 B 、5 C 、7 D 、103、在群 G 中方程 ax=b ，ya=b ， a,b∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当 G 为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（c ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。

5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的（d ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合 A = {- 1,0,1}； B = 1,2}，则有 B ⨯ A = 。

2、若有元素 e∈R 使每 a∈A ，都有 ae=ea=a ，则 e 称为环 R 的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环 R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环。

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设人=B=R (实数集)，如果A 到B 的映射：x-x+2,xCR,则是从A 到B 的() A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合AXB 中含有()个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b,a,bCG 都有解，这个解是()乘法来说 A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数() A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是门的() A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 1、设集合A1,0,1;B1,2,则有BA 。

2、若有元素eCR 使每aCA,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个。

4、偶数环是的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个。

6、每一个有限群都有与一个置换群。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是,元a 的逆元是。

8、设I 和S 是环R 的理想且ISR,如果I 是R 的最大理想，那么 9、一个除环的中心是一个。

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)并把和写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合M m {0,1,2,,m1,m}(m1),定义M m 中运算“m ”为a m b=(a+b)(modm),则(M m,m)是不是群，为什么？四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、设G 是群。

近世代数模拟试题二一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ）A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。

试题(2)的参考答案一、填空题（27分）1、7阶群的子群共有 2 个。

2、“圆规直尺作图的三大难题”是三等分任意角问题 、 化圆为方问题 、 倍立方问题 。

3、把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积是 (17234)(56) 。

4、如果域E 的乘法群恰好包含f (x ) = x 124-1的所有根，则E 的特征是 5 。

5、剩余类加法群Z 8的生成元有 4 个，它们是 [1], [3], [5], [7] 。

6、除环的理想有 2 个。

7、实数32在有理域上的极小多项式是 x 3-2 。

8、20042005≡ 1 (mod 5).9、复数域C 作为实数域R 的扩域，指数[C : R ]= 2 .二、选择题 10、(D) 11、(B) 12、(C) 13、(A) 14、(B).三、计算题15、解: 如果域E 的乘法子群E*=E\{0}有一个13阶子群H, 且[E*:H]=2, 则|E*|=2|H|=26，进而，|E|=27=33，域E 的特征是3。

………………………10分16、解：32+在有理数域Q 上的极小多项式为f (x ) = x 4-10x 2+1。

………2分因为, (1) 32+∉Q (2) . 假设32+∈Q (2)，则3∈Q (2)，设3= a+b 2，a , b ∈Q ，且a ≠ 0 ≠ b ，两边平方得3 - a 2-2b 2 = 2 ab 2, 等式左边是有理数，而右边是无理数，矛盾。

………………………2分(2) 2∈Q (32+) . 因为 2=21[(32+-(3-2)]=21[32+-(32+)-1]. ………2分(3) [Q (32+):Q ] = 4. 由(1)和(2)知, Q (2)是Q (32+)的真子域，显然，32+在Q (2)上的极小多项式为x 2-22x -1，进而， [Q (32+):Q (2)]=2，所以，[Q (32+):Q ]= [Q (32+):Q (2)][Q (2):Q]=4. ………2分 (3)说明,32+在Q 上的极小多项式的次数是4。

近世代数模拟试题二一、填空题（每空3分，共30分）1、设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2、环的中心是一个 。

3、环Z8的零因子有4、S3的真子群有5、平凡理想是指------------和---------------。

6、除环、域皆无--------------因子。

7、设A={x,y}则2A={ }8、从同构的意义上讲，一个群只能与其 同态。

9、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π 。

二、选择题（每小题3分，共15分）1、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）A 、f 的同态核是1G 的不变子群；B 、2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；C 、1G 的子群的象是2G 的子群；D 、1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。

2、整数环Z 中，可逆元的个数是( )。

A.1个B.2个C.4个D.无限个3、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ） A 、11--a bc ； B 、11--a c ； C 、11--bc a ； D 、ca b 1-。

4、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)5、设（G ，·）为半群，如果方程ax=b 与ya=b a,b ∈G 在G 中有解，（不要求唯一性）则G （ ）。

A 、也作成群B 、还是半群C 、不一定是群D 、不是群三、简答题（每小题8分，共40分。

下列题正确错误均需说明，正确的，予以证明；错误的，给出反例。

判断3分，说明5分，判断错误，全题无分。

）1、群G 的中心是G 的一个不变子群。

2、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。

3、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

近世代数模拟试题一、单项选择题每题5分,共25分1、在整数加群Z,＋中,下列那个是单位元;A 0B 1C －1D 1/n,n是整数2、下列说法不正确的是;A G只包含一个元g,乘法是gg＝g;G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是;A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是;A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类;5、下列哪个不是3A 1B 123,132,23C 123,132D 12,13,23二、计算题每题10分,共30分S的正规化子和中心化子;1.求S＝{12,13}在三次对称群32.设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶;3.设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,求出其右零因子;三、证明题每小题15分,共45分1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子;2、设Z 是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3;证明：Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元;3、证明由整数集Z和普通加法构成的Z,＋是无限阶循环群;近世代数模拟试题答案一、单项选择题每题5分,共25分1． A2． D3． C4． D5． B二、计算题每题10分,共30分1． 解：正规化子NS ＝{1,23};;;;;;;;;;;;6分中心化子CS ＝{1};;;;;;;;;;;;;;;;;;4分2． 解：群G 中的单位元是1;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分1的阶是1,－1的阶是2,i 和－i 的阶是4;;;;4×2分3． 解：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,xb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;3分因为x 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分因此右零因子为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分三、证明题每小题15分共45分 1．证明：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;5分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;8分同理设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;12分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;14分因此零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分2．明：首先该代数运算封闭;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分其次我们有：a ·b ·c ＝a ＋b －3·c ＝a ＋b －3＋c －3＝a ＋b ＋c －3－3＝a ·b ·c,结合律成立;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;6分令e ＝3,验证a ·e ＝a ＋e －3＝a,有单位元;;;;7分对任意元素a,6－a 是其逆元,因为a ·6－a ＝3;;;8分因此,Z 对该运算作成一个群;显然,单位元是e ＝3;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分3．证明：首先证明Z,＋是群,+满足结合律,对任意的Z x ∈,x x x =+=+00,0是运算+的单位元又由于： ()()0=+-=-+x x x x所以 ,1x x -=-从而Z,＋为群;;;;;;;;;2分由于+满足交换律,所以Z,＋是交换群;;;;4分Z,＋的单位元为0,对于1Z ∈,由于 1+-1=0,所以111-=-,;;;5分于是对任意Z k ∈,若0=k ,则：010=；若0>k ,则k k =+++=1111 ;;;;;;;;;;;8分若0<k ,则()()()k k k k ------===111111)1()1()1(---++-+-=个k))(1(k --= k = ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分综上,有k k =1,对任意的Z k ∈. 因而,{}Z k Z k ∈=1,从而Z,＋是无限阶循环群;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分。

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R（实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素.A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b， a，b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样）4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、设集合；，则有。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A的若干个——变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全.6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。

8、设和是环的理想且，如果是的最大理想,那么———————-—。

9、一个除环的中心是一个-域———--。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.奇1、解:把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换,为偶置换。

近世代数期末考试题库包括模拟卷和1套完整题2一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打，错的打“X” ；每小题1分，共10 分）1、设A与B都是非空集合，那么A B xx A且x B。

（）2、设A、B、D都是非空集合，则A B到D的每个映射都叫作二元运算。

（）3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f 1。

（）4、如果循环群G a中生成元a的阶是无限的，贝U G与整数加群同构。

（）5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。

（）6、近世代数中，群G的子群H是不变子群的充要条件为g G, h H;g 1Hg H。

（）7、如果环R的阶2，那么R的单位元1 0。

（）8若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。

（）9、F（x）中满足条件p（） 0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。

（）10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z?p同构的子域，这里Z是整数环，p是由素数p生成的主理想。

（）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分）1、设A,阳,A n和D都是非空集合，而f是A1 A2 A n到D的一个映射，那么（）①集合A|, A2 , , A n , D中两两都不相同；② A1 , A2 , , A n的次序不能调换；③A1 A2A n中不同的元对应的象必不相同；④一个元a1,a2, , a n的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（）a K t ___________①在整数集Z上，a b --；②在有理数集Q上，a b ... |ab ；ab③在正实数集R上，a b a In b；④在集合n Zn 0上，a b a b。

3、设是整数集Z上的二元运算，其中a b max a,b （即取a与b 中的最大者），那么在Z中（）①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。

A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合A1,0,1；B1,2，则有BA---------。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换，则称R是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a的逆元是-------。

8、设I和S是环R的理想且I S R，如果I是R的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：写成对换的乘积。

1234567864173528，1234567823187654，判断和的奇偶性，并把和12、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ）A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)1、设集合{}1,0,1A =-；{}1,2B =，则有B A ⨯= 。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的 。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个 。

4、偶数环是 的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个 。

6、每一个有限群都有与一个置换群 。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 ，元a 的逆元是 。

8、设I 和S 是环R 的理想且I S R ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么 。

9、一个除环的中心是一个 。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：1234567864173528σ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1234567823187654τ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

近世代数模拟试题及答案一、选择题1. 下列哪个集合不是群？A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 实数集R答案：A2. 在群G中，若a, b属于G，且a*b=b*a对所有a, b成立，则称G 为交换群。

以下哪个不是交换群？A. 整数加法群B. 奇数乘法群C. 偶数乘法群D. 所有实数的加法群答案：C二、填空题1. 一个环R，如果满足乘法交换律，则称R为_________。

答案：交换环2. 有限群的阶是指群中元素的个数，设群G的阶为n，则群G的拉格朗日定理表明，G的任何子群的阶都是n的_________。

答案：因数三、简答题1. 解释什么是子群，并给出一个例子。

答案：子群是指一个群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下封闭，并且包含G的单位元。

例如，整数集Z在加法运算下构成自然数集N的一个子群。

2. 描述什么是环的零因子，并给出一个例子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得a*b=0，则称a和b为零因子。

例如，在模6的剩余类环Z6中，元素3和3是零因子，因为3*3=9≡0 (mod 6)。

四、计算题1. 给定群G={1, a, a^2, a^3}，其中a^4=1，求证G是一个群，并找出它的所有子群。

答案：首先验证群的四个基本性质：- 封闭性：对于任意g, h属于G，g*h也属于G。

- 结合律：对于任意g, h, k属于G，(g*h)*k = g*(h*k)。

- 单位元：1是G的单位元，因为对于任意g属于G，1*g = g*1 = g。

- 逆元：对于任意g属于G，存在g的逆元g^(-1)，使得g*g^(-1) = g^(-1)*g = 1。

例如，a的逆元是a^3。

G的子群有：- {1}：平凡子群。

- {1, a^2}：由a^2的幂构成的子群。

- G本身：{1, a, a^2, a^3}。

2. 证明在任何交换环中，如果a和b是可逆元素，则它们的乘积ab也是可逆的。

答案：设a和b是交换环R中的可逆元素，存在a^(-1)和b^(-1)使得a*a^(-1)=1且b*b^(-1)=1。

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射B 、单射而非满射 C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。

近世代数模拟试题一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个选项是群的一个例子？A. 整数集合B. 偶数集合C. 正实数集合D. 所有实数的集合2. 群的运算满足以下哪个性质？A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足3. 在群中，单位元具有什么性质？A. 唯一性B. 可逆性C. 交换性D. 以上都不是4. 以下哪个选项是环的一个例子？A. 整数集合B. 有理数集合C. 复数集合D. 所有选项都是5. 环中的加法运算满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足6. 以下哪个选项是域的一个例子？A. 整数集合B. 有理数集合C. 实数集合D. 所有选项都是7. 域中的乘法运算满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足8. 向量空间中的向量加法满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足9. 线性变换的定义域和值域必须是？A. 向量空间B. 群C. 环D. 域10. 以下哪个选项是线性无关的例子？A. 一组线性方程的解B. 一组线性方程的系数C. 一组线性方程的增广矩阵D. 一组线性方程的系数矩阵二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个群的元素个数是有限的，则称该群为________群。

12. 群的运算满足封闭性，即对于任意两个元素a和b，它们的运算结果________。

13. 环中的元素a和b，如果满足ab=ba，则称这两个元素________。

14. 域中的元素a和b，如果满足ab=1，则称b为a的________。

15. 向量空间中的一组向量，如果它们之间不存在非平凡的线性组合等于零向量，则称这组向量________。

三、解答题（每题20分，共40分）16. 给定一个群G，证明群G中的单位元是唯一的。

17. 证明如果一个环R的乘法运算满足交换律，则称R为交换环。

近世代数 【2 】模仿试题一一.单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是相符标题请求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选.多选或未选均无分.1.设A ＝B ＝R(实数集),假如A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2,∀x ∈R,则ϕ是从A 到B 的（ ）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射2.设聚集A 中含有5个元素,聚集B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积聚集A ×B 中含有（ ）个元素.A.2B.5C.7D.103.在群G 中方程ax=b,ya=b, a,b ∈G 都有解,这个解是（ ）乘法来说A.不是独一B.独一的C.不必定独一的D.雷同的(两方程解一样)4.当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A.不相等B.0C.相等D.不必定相等.5.n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A.倍数B.次数C.约数D.指数二.填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上准确答案.错填.不填均无分.1.设聚集{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B ---------.2.如有元素e ∈R 使每a ∈A,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的--------.3.环的乘法一般不交流.假如环R 的乘法交流,则称R 是一个------.4.偶数环是---------的子环.5.一个聚集A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------.6.每一个有限群都有与一个置换群--------.7.全部不等于0的有理数对于通俗乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a的逆元是-------.8.设I 和S 是环R 的幻想且R S I ⊆⊆,假如I 是R 的最大幻想,那么---------.9.一个除环的中间是一个-------.三.解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）1.设置换σ和τ分离为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ,断定σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对调的乘积.2、证实：任何方阵都可独一地表示成一个对称矩阵与一个否决称矩阵之和.3.设聚集)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -⋯⋯=,界说m M 中运算“m +”为a m +b=(a+b)(modm),则（m M ,m +）是不是群,为什么？四、证实题（本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分）1、设G 是群.证实：假如对随意率性的G x ∈,有e x =2,则G 是交流群. 2.假定R 是一个有两个以上的元的环,F 是一个包含R 的域,那么F 包含R 的一个商域.近世代数模仿试题二一、单项选择题二、1.设G 有6个元素的轮回群,a 是生成元,则G 的子集（ ）是子群.A.{}aB.{}e a ,C.{}3,a eD.{}3,,a a e 2.下面的代数体系（G,*）中,（ ）不是群A.G 为整数聚集,*为加法B.G 为偶数聚集,*为加法C.G 为有理数聚集,*为加法D.G 为有理数聚集,*为乘法3.在天然数集N 上,下列哪种运算是可联合的？（ ）A.a*b=a-bB.a*b=max{a,b}C. a*b=a+2bD.a*b=|a-b|4.设1σ.2σ.3σ是三个置换,个中1σ=（12）（23）（13）,2σ=（24）（14）,3σ=（1324）,则3σ=（ ）A.12σB.1σ2σC.22σD.2σ1σ5.随意率性一个具有2个或以上元的半群,它（ ）.A.不可能是群B.不必定是群C.必定是群D. 是交流群二.填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上准确答案.错填.不填均无分.1.凯莱定理说：任一个子群都统一个----------同构.2.一个有单位元的无零因子-----称为整环.3.已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------.4.a 的阶若是一个有限整数n,那么G 与-------同构.5.A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----.6.若映射ϕ既是单射又是满射,则称ϕ为-----------------.7.α叫做域F 的一个代数元,假如消失F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα . 8.a 是代数体系)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x = ,则称a 为---------.9.有限群的另一界说：一个有乘法的有限非空聚集G 作成一个群,假如知足G 对于乘法关闭;联合律成立.---------.10.一个环R 对于加法来作成一个轮回群,则P 是----------.三.解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）1.设聚集A={1,2,3}G 是A 上的置换群,H 是G 的子群,H={I,(1 2)},写出H 的所有陪集.2、设E 是所有偶数做成的聚集,“•”是数的乘法,则“•”是E 中的运算,（E,•）是一个代数体系,问（E,•）是不是群,为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q.四.证实题（本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分）1.若<G,*>是群,则对于随意率性的a.b ∈G,必有惟一的x ∈G 使得a*x ＝b.2.设m 是一个正整数,应用m 界说整数集Z 上的二元关系：a 〜b 当且仅当m ︱a –b.近世代数模仿试题三一.单项选择题1.6阶有限群的任何子群必定不是（ ）.A.2阶B.3 阶C.4 阶D. 6 阶2.设G 是群,G 有（ ）个元素,则不能肯定G 是交流群.A.4个B.5个C.6个D.7个3.有限布尔代数的元素的个数必定等于（ ）.A.偶数B.奇数C.4的倍数D.2的正整数次幂4.下列哪个偏序集构成有界格（ ）A.（N,≤）B.（Z,≥）C.（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D. (P(A),⊆)5.设S3＝{(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交流的所有元素有（ ）A.(1),(123),(132)B.12),(13),(23)C.(1),(123)D.S3中的所有元素二.填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上准确答案.错填.不填均无分.1.群的单位元是--------的,每个元素的逆元素是--------的.2.假如f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f 1----------.3.区间[1,2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------.4.可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————.5.环Z 8的零因子有-----------------------.6.一个子群H 的右.左陪集的个数----------.7.从同构的不雅点,每个群只能同构于他/它本身的---------.8.无零因子环R 中所有非零元的配合的加法阶数称为R 的-----------.9.设群G 中元素a 的阶为m ,假如e a n =,那么m 与n 消失整除关系为--------.三.解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）1.用2种色彩的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出若干种不同的项链？2、S 1,S 2是A 的子环,则S 1∩S 2也是子环.S 1+S 2也是子环吗？3.设有置换)1245)(1345(=σ,6)456)(234(S ∈=τ.1．乞降στστ-1;2．肯定置换στ和στ-1的奇偶性.四.证实题（本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分）1.一个除环R 只有两个幻想就是零幻想和单位幻想.2、M 为含幺半群,证实b =a -1的充分必要前提是aba =a 和ab 2a =e .近世代数模仿试题四一.单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是相符标题请求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选.多选或未选均无分.1.设聚集A 中含有5个元素,聚集B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积聚集A ×B 中含有（ ）个元素.A.2B.5C.7D.102.设A ＝B ＝R(实数集),假如A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2,∀x ∈R,则ϕ是从A 到B 的（ ）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3＝{(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交流的所有元素有（）A.(1),(123),(132)B.(12),(13),(23)C.(1),(123)D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的残剩类加群,那么,Z15的子群共有（）个.A.2B.4C.6D.85.下列聚集关于所给的运算不作成环的是（）A.整系数多项式全部Z［x］关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全部M n(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”：∀m, n∈Z, m n＝0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”：∀m, n∈Z, m n＝1二.填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上准确答案.错填.不填均无分.6.设“～”是聚集A的一个关系,假如“～”知足___________,则称“～”是A的一个等价关系.7.设(G,·)是一个群,那么,对于∀a,b∈G,则ab∈G也是G中的可逆元,并且(ab)－1＝___________.8.设σ＝(23)(35),τ＝(1243)(235)∈S5,那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的轮回置换之积).9.假如G是一个含有15个元素的群,那么,依据Lagrange定理知,对于∀a∈G,则元素a的阶只可能是___________.10.在3次对称群S3中,设H＝{(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群,则商群G/H中的元素(12)H＝___________.11.设Z6＝{［0］,［1］,［2］,［3］,［4］,［5］}是以6为模的残剩类环,则Z6中的所有零因子是___________.12.设R是一个无零因子的环,其特点n是一个有限数,那么,n是___________.13.设Z［x］是整系数多项式环,(x)是由多项式x生成的主幻想,则(x)＝________________________.14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a,b∈Z},个中i2＝－1,则Z［i］中的所有单位是______________________.15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的微小多项式是___________.三.解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）16.设Z为整数加群,Z m为以m为模的残剩类加群,ϕ是Z到Z m的一个映射,个中ϕ：k→［k］,∀k∈Z,验证：ϕ是Z到Z m的一个同态满射,并求ϕ的同态核Kerϕ.17.求以6为模的残剩类环Z6＝{［0］,［1］,［2］,［3］,［4］,［5］}的所有子环,并解释这些子环都是Z6的幻想.18.试解释独一分化环.主幻想环.欧氏环三者之间的关系,并举例解释独一分化环未必是主幻想环.四.证实题（本大题共3小题,第19.20小题各10分,第21小题5分,共25分）19.设G＝{a,b,c},G的代数运算“ ”由右边的运算表给出,证实：(G, )作成一个群.a b ca ab c20.设,Z c ,a 0c 0a I ,Z d ,c ,b ,a d c b a R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 已知R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环.证实：I 是R 的一个子环,但不是幻想.21.设(R,＋,·)是一个环,假如(R,＋)是一个轮回群,证实：R 是一个交流环.近世代数模仿试题一 参考答案一.单项选择题.1.C;2.D;3.B;4.C;5.D;二.填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分).1.()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--;2.单位元;3.交流环;4.整数环;5.变换群;6.同构;7.零.-a ;8.S=I 或S=R ;9.域;三.解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）1.解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：)8)(247)(1653(=σ)6)(57)(48)(123(=τ可知σ为奇置换,τ为偶置换. σ和τ可以写成如下对调的乘积：)27)(24)(16)(15)(13(=σ)57)(48)(12)(13(=τ2.解：设A 是随意率性方阵,令)(21A A B '+=,)(21A A C '-=,则B 是对称矩阵,而C 是否决称矩阵,且C B A +=.若令有11C B A +=,这里1B 和1C 分离为对称矩阵和否决称矩阵,则C C B B -=-11,而等式左边是对称矩阵,右边是否决称矩阵,于是双方必须都等于0,即：1B B =,1C C =,所以,表示法独一.3.答：（m M ,m +）不是群,因为m M 中有两个不同的单位元素0和m.四.证实题（本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分）1.对于G 中随意率性元x,y,因为e xy =2)(,所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x,从e x =2可得1-=x x ）.2.证实在F 里bb c a c c a b)0,,(11≠∈==--b R b a b a a b ab有意义,作F 的子集)0,,(≠∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-b R b a b a Q 所有-Q 显然是R 的一个商域 证毕. 近世代数模仿试题二 参考答案一.单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分).1.C;2.D;3.B;4.B;5.A;二.填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分).1.变换群;2.交流环;3.25;4.模n 乘余类加群;5.{2};6.一一映射;7.不都等于零的元;8.右单位元;9.消去律成立;10.交流环;三.解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）1.解：H 的3个右陪集为：{I,(1 2)},{(1 2 3 ),(1 3)},{(1 3 2 ),(2 3 )} H 的3个左陪集为：{I,(1 2)} ,{(1 2 3 ),(2 3)},{(1 3 2 ),(1 3 )}2.答：（E,•）不是群,因为（E,•）中无单位元.3.解办法一.辗转相除法.列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a ×b/17=11339.然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四.证实题（本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分）1.证实 设e 是群<G,*>的幺元.令x ＝a －1*b,则a*x ＝a*(a －1*b)＝(a*a －1)*b ＝e*b ＝b.所以,x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的解.若x '∈G 也是a*x ＝b 的解,则x '＝e*x '＝(a －1*a)*x '＝a －1*(a*x ')＝a －1*b ＝x.所以,x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的惟一解.2.轻易证实如许的关系是Z 上的一个等价关系,把如许界说的等价类聚集Z 记为Zm,每个整数a 地点的等价类记为[a]=｛x ∈Z;m ︱x –a ｝或者也可记为a ,称之为模m 残剩类.若m ︱a –b 也记为a ≡b(m).当m=2时,Z2仅含2个元：[0]与[1].近世代数模仿试题三 参考答案一.单项选择题1.C;2.C;3.D;4.D;5.A;二.填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上准确答案.错填.不填均无分.1.独一.独一;2.a ;3.2;4.24;5.;6.相等;7.商群;8.特点;9.n m ;三.解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）1.解 在学群论前我们没有一般的办法,只能用列举法.用笔在纸上画一下,用诟谇两种珠子,分类进行盘算：例如,全白只1种,四白一黑1种,三白二黑2种,…等等,可得总共8种.2.证由上题子环的充分必要前提,要证对随意率性a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2： 因为S1,S2是A 的子环,故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ,因而a-b, ab ∈S1∩S2 ,所以S1∩S2是子环.S1+S2不必定是子环.在矩阵环中很轻易找到反例：3.解： 1．)56)(1243(=στ,)16524(1=στ-;2．两个都是偶置换.四.证实题（本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分）1.证实：假定μ是R 的一个幻想而μ不是零幻想,那么a 0≠∈μ,由幻想的界说μ∈=-11a a ,因而R 的随意率性元μ∈•=1b b 这就是说μ=R,证毕.2.证必要性：将b 代入即可得. 充分性：应用联合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e, ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e, 所以b=a-1.近 世 代 数 试 卷一.断定题（下列命题你以为准确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分）1.设A 与B 都长短空聚集,那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且. （ ）2.设A .B .D 都长短空聚集,则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算.（ ）3.只如果f A 到A 的一一映射,那么必有独一的逆映射1-f . （ ）4.假如轮回群()a G =中生成元a 的阶是无穷的,则G 与整数加群同构. （ ）5.假如群G 的子群H 是轮回群,那么G 也是轮回群. （ ）6.群G 的子群H 是不变子群的充要前提为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,. （ ）7.假如环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠. （ ）8.若环R 知足左消去律,那么R 必定没有右零因子. （ ）9.)(x F 中知足前提0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的微小多项式. （ ）10.若域E 的特点是无穷大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整数环,()p 是由素数p 生成的主幻想. （ ）二.单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个准确答案,并将其号码写在题干后面的括号内.答案选错或未作选择者,该题无分.每小题1分,共10分）1.设n A A A ,,,21 和D 都长短空聚集,而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射,那么（ ） ①聚集D A A A n ,,,,21 中两两都不雷同;②n A A A ,,,21 的次序不能更换; ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不雷同; ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不独一.2.指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上,abba b a +=; ②在有理数集Q 上,ab b a = ;③在正实数集+R 上,b a b a ln = ;④在聚集{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= .3.设 是整数集Z 上的二元运算,个中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者）,那么 在Z 中（ ）①不合适交流律;②不合适联合律;③消失单位元;④每个元都有逆元.4.设() ,G 为群,个中G 是实数集,而乘法k b a b a ++= :,这里k 为G 中固定的常数.那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分离是（ ）①0和x -; ②1和0; ③k 和k x 2-; ④k -和)2(k x +-. 5.设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12,那么=x （ ） ①11--a bc ; ②11--a c ; ③11--bc a ; ④ca b 1-.6.设H 是群G 的子群,且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,.假如6,那么G 的阶=G （ ） ①6; ②24; ③10; ④12.7.设21:G G f →是一个群同态映射,那么下列错误的命题是（ ）①f 的同态核是1G 的不变子群; ②2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群;③1G 的子群的象是2G 的子群; ④1G 的不变子群的象是2G 的不变子群. 8.设21:R R f →是环同态满射,b a f =)(,那么下列错误的结论为（ ） ①若a 是零元,则b 是零元; ②若a 是单位元,则b 是单位元; ③若a 不是零因子,则b 不是零因子;④若2R 是不交流的,则1R 不交流.9.下列准确的命题是（ ）①欧氏环必定是独一分化环; ②主幻想环必是欧氏环; ③独一分化环必是主幻想环; ④独一分化环必是欧氏环. 10.若I 是域F 的有限扩域,E 是I 的有限扩域,那么（ ） ①()()()F I I E I E :::=; ②()()()I E F I E F :::=; ③()()()I F F E F I :::=; ④()()()F I I E F E :::=.三.填空题（将准确的内容填在各题干涉备的横线上,内容填错或未填者,该空无分.每空1分,共10分）1.设聚集{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B .2.假如f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f 1.3.设聚集A 有一个分类,个中i A 与j A 是A 的两个类,假如j i A A ≠,那么=j i A A .4.设群G 中元素a 的阶为m ,假如e a n =,那么m 与n 消失整除关系为.5.凯莱定理说：任一个子群都统一个同构.6.给出一个5-轮回置换)31425(=π,那么=-1π.7.若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主幻想,那么I 中的元素可以表达为.8.若R 是一个有单位元的交流环,I 是R 的一个幻想,那么I R 是一个域当且仅当I 是. 9.整环I 的一个元p 叫做一个素元,假如.10.若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域,假如.四.改错题（请鄙人列命题中你以为错误的地方划线,并将准确的内容写在准备的横线上面.指出错误1分,更正错误2分.每小题3分,共15分）1.假如一个聚集A 的代数运算 同时合适消去律和分派律,那么在n a a a 21里,元的次序可以失落换.2.有限群的另一界说：一个有乘法的有限非空聚集G 作成一个群,假如知足G 对于乘法关闭;联合律成立.交流律成立.3.设I 和S 是环R 的幻想且R S I ⊆⊆,假如I 是R 的最大幻想,那么0≠S .4.独一分化环I 的两个元a 和b 不必定会有最大公因子,若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子,那么必有'd d =.5.α叫做域F 的一个代数元,假如消失F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα .五.盘算题（共15分,每小题分标在小题后） 1.给出下列四个四元置换⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ构成的群G ,试写出G 的乘法表,并且求出G 的单位元及14131211,,,----ππππ和G 的所有子群. 2.设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的残剩类环,且[]x Z x g x f 6)(),(∈.假如[][][]253)(3++=x x x f .[][][]354)(2++=x x x g ,盘算)()(x g x f +.)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数.六.证实题（每小题10分,共40分）1.设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =,又设a 的阶m a =,b 的阶n b =,并且1),(=n m ,证实：ab 的阶mn ab =.2.设R 为实数集,0,,≠∈∀a R b a ,令R x b ax x R R f b a ∈∀+→,,:),( ,将R 的所有如许的变换构成一个聚集{}0,,),(≠∈∀=a R b a f G b a ,试证实：对于变换通俗的乘法,G 作成一个群.3.设1I 和2I 为环R 的两个幻想,试证21I I 和{}2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的幻想.4.设R 是有限可交流的环且含有单位元1,证实：R 中的非零元不是可逆元就是零因子. 近世代数试卷参考解答一.断定题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10××√√×√√√××二.单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②④③④①②④③①④三.填空题1.()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--.2.a .3.φ.4.n m .5.变换群.6.()13524.7.R y x ay x i i i i ∈∑,,.8.一个最大幻想.9.p 既不是零元,也不是单位,且q 只有平常因子. 10.E 的每一个元都是F 上的一个代数元. 四.改错题1.假如一个聚集A 的代数运算 同时合适消去律和分派律,那么在n a a a 21里,元的次序可以失落换.联合律与交流律2.有限群的另一界说：一个有乘法的有限非空聚集G 作成一个群,假如知足G 对于乘法关闭;联合律成立.交流律成立.消去律成立3.设I 和S 是环R 的幻想且R S I ⊆⊆,假如I 是R 的最大幻想,那么0≠S .S=I 或S=R4.独一分化环I 的两个元a 和b 不必定会有最大公因子,若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子,那么必有d=d ′.必定有最大公因子;d 和d ′只能差一个单位因子5.α叫做域F 的一个代数元,假如消失F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα .不都等于零的元测验题三、填空题（42分）1.设聚集M 与M 分离有代数运算 与 ,且M M ~,则当 时, 也知足联合律;当 时, 也知足交流律.2.对群中随意率性元素1)(,,-ab b a 有=;3.设群G 中元素a 的阶是n,n|m 则m a =;4.设a 是随意率性一个轮回群,若∞=||a ,则a 与同构;若n a =||, 则a 与同构;5.设G=a 为6阶轮回群,则G 的生成元有;子群有;6.n 次对称群n S 的阶是;置换)24)(1378(=τ的阶是;7.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2314432114324321βα，,则=αβ; 8.设)25)(136()235)(14(==τσ，,则=-1στσ; 9.设H 是有限群G 的一个子群,则|G|=; 10.随意率性一个群都统一个同构. 二.证实题（24）1、 设G 为n 阶有限群,证实：G 中每个元素都知足方程e x n =.2、 论述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要前提,并证实群G 的随意率性两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群.3、 证实:假如群G 中每个元素都知足方程e x =2,则G 必为交流群. 三.解答题（34）1、 论述群的界说并按群的界说验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群.2.写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H=｛（1）,（23）｝的所有左陪集和所有右陪集.基本测试参考答案：一、 填空题1.知足联合律; 知足交流律;2.11--a b ;3.e;4.整数加群;n 次单位根群;5.5,a a ;{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ; 6.n!;47.⎪⎪⎭⎫⎝⎛23144321 8.(456)(32) 9.|H|:(G:H) 10.（双射）变换群; 二.证实题1.已知||n G =,|a|=k,则 k|n令n=kq,则e a a a q k kq n ===)( 即G 中每个元素都知足方程e x n =2.充要前提：H a H a H ab H b a ∈⇒∈∈⇒∈-1;,,; 证实：已知H.K 为G 的子群,令Q 为H 与K 的交 设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,, H 是G 的子群,有H ab ∈K 是G 的子群,有K ab ∈Q ab ∈∴Ha K a H a H a ∈∈∈∈∀-11，可知由定理且，则综上所述,H 也是G 的子群. 3.证：baa b ab ab a a a a a a a Gab G b a =====⋅=⋅∈∈∀-----111121)(;,由消元法得G 是交流群. 三.解答题1.解：设G 是一个非空聚集, 是它的一个代数运算,假如知足以下前提： （1）联合律成立,即对G 中随意率性元素)()(,,c b a c b a c b a =，有 （2）G 中有元素e,它对G 中每个元素a a e a = ，都有 （3）对G 中每个元素e a a a G a =-- 11,，使中有元素在 则G 对代数运算 作成一个群.对随意率性整数a,b,显然a+b+4由a,b 独一肯定,故 为G 的代数运算. （a b ） c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8 a (b c)=a+b+c+8即（a b ） c= a (b c)知足联合律∀a 均有（-4） a=-4+a+4=a故-4为G 的左单位元. （-8-a ） a=-8-a+a+4=-4 故-8-a 是a 的左逆元.2.解：6||3=S 其子群的阶数只能是1,2,3,6 1阶子群｛（1）｝2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝ 3阶子群｛（1）（123）（132）｝ 6阶子群3S左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H （12）H=｛（12）（123）｝=（123）H （13）H=｛（13）（132）｝=（132）H 右陪集：H （1）=｛（1）（23）｝=H （23） H （13）=｛（13）（23）｝=H （123） H （12）=｛（12）（132）｝=H （132）。

近世代数模拟试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 群的定义中，下列哪一项不是必要的？A. 封闭性B. 单位元存在性C. 逆元存在性D. 交换律2. 对于一个环，以下哪项是正确的？A. 必须有加法单位元B. 必须有乘法单位元C. 必须满足交换律D. 必须满足分配律3. 以下哪个选项正确描述了域的特征？A. 域中的每个元素都有逆元素B. 域中的每个元素都有加法逆元素C. 域中的乘法是交换的D. 域中的乘法是结合的4. 如果一个群G的所有元素的阶都是有限的，那么G被称为：A. 阿贝尔群B. 循环群C. 有限群D. 正规子群5. 以下哪个选项是群的同态映射？A. 恒等映射B. 逆映射C. 任意映射D. 单位元映射二、填空题（每空1分，共10分）1. 一个群G的拉格朗日定理指出，如果H是G的一个子群，那么|H|整除______。

2. 环R中的元素a被称为______，如果对于R中的每个元素b，都有ab=ba。

3. 一个环R被称为______，如果它的乘法满足交换律。

4. 一个环R的雅可比恒等式是a^2(b+c)=ab^2+ac^2，这表明R是一个______。

5. 一个群G的正规子群N，如果它满足G/N是一个阿贝尔群，那么N 被称为G的______。

三、简答题（每题10分，共20分）1. 解释什么是群的同构，并给出一个例子。

2. 描述环的整环和域的区别。

四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：如果一个群G的阶是素数p，那么G是循环群。

2. 证明：如果一个环R有单位元且每个非零元素都是可逆的，那么R是一个域。

五、应用题（每题15分，共30分）1. 已知群G={1, a, b, c}，其中a^2=b^2=c^2=1，且ab=c，ba=c。

确定G是否为阿贝尔群，并找出所有可能的群结构。

2. 考虑环Z_6，其中Z_6是由模6的整数组成的环。

证明Z_6不是域，并找出它的所有单位元素。

注意：请根据所学知识，认真审题，仔细作答。

近世代数1一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。