其中 fi(x)aiTxdi.
多元函数的偏导数
定义(偏导数) 设函数 z f (x) 在点 x 的某邻域内极限
lim fx 1 ,...,x i x i,...x n fx 1 ,...,x i,...,x n ( 1 )
x i 0
x i
存在, 则称此极限为函数 z f (x) 在点 x 对第i个分量 xi
f x0 lim f x0 p f x0 lim f x0 te f x0
该函数在该点偏导数 z , z 必存在, 且有 x1 x2
d
z
z x1
x1
z x2
x2
即 l(A,B)T (z, z)T
x1 x2
称向量
l
(
z x1
,
z x2
)T是函数
z
=
f
(x1,
x2)
在点(x1,
x2)
的梯度。
fxxfxlTx
可微
lim
0(2) 二元
多元
x 0
x
多元函数的可微性
多元函数梯度的性质
设 f(x) 在定义域内有连续偏导数,即有连续梯度 f x ,则
梯度有以下两个重要性质:
性质1: 函数在某点的梯度不为零,则必与过该点的等值面垂 直。
性质2: 梯度方向是函数具有最大变化率的方向。
性质1的证明:过点 x 0 的等值面方程为:
fx 1 ,x 2 , x n r 0 ,r 0 fx 0 ( 6 )
x
多元函数的可微性
定理(可微必可导): 若 f ( x ) 在x0 处可微,则 f ( x ) 在该点处关 于各变量的一阶偏导数存在,且
lfxx10,fxx20, ,fxxn0T