高三数学复习复数的概念与四则运算2018高考题汇总

【母题来源一】【2018高考新课标1理数】【母题原题】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.【命题意图】本类题通常主要考查导数的几何意义，切线方程的不同形式的求解.【问题概述】导数的几何意义蕴含着“逼近”和“以直代曲”的思想方法,对后面即将学习的利用导数研究函数的性质有至关重要的作用,同时导数的几何意义的应用即利用导数的几何意义求解曲线的切线方程问题是本课的重点和难点.【方法总结】有关切线方程的问题有以下四类题型：类型一：已知切点，求曲线的切线方程'f x，并代入点斜式方程即可.此类题较为简单，只须求出曲线的导数()类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决. 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法. 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解. 【经验分享】利用导数的几何意义求曲线的切线方程的问题的关键就是抓住切点,首先要分清题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”,(１)求曲线y ＝f(x)在0x x =处的切线方程可先求()0'f x ,再利用点斜式写出所求切线方程;(２)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标,求出切点坐标后再求切线方程．总之,求解切线问题的关键是切点坐标,无论是已知切线斜率还是切线经过某一点,切点坐标都是化解难点的关键所在.1．【山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟考试】若曲线的一条切线经过点，则此切线的斜率为（ ）A. B. C. 或 D. 或 【答案】C2．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷】已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为( )A. B. C. D.【答案】D点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．3．【山东2018届高三天成大联考第二次考试】曲线在点处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线,故切线方程为.故答案为：D.4．【安徽省宿州市2018届高三第三次教学质量检测】已知函数的导函数为，记，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：将原问题转化为切线斜率的问题，结合导数的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：绘制函数的图像如图所示，且，，由题意可知为函数在点M处切线的斜率，为函数在点处切线的斜率，为直线MN的斜率，数形结合可得：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查导数的定义及其应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．【山东省天成大联考2017-2018学年度高三第二次考试】曲线在点处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】B6．【广东省阳春市第一中学2018届高三第九次月考】如果曲线在点处的切线方程为，那么( )A. B. C. D. 在处不存在【答案】C【解析】分析：由题意结合导数的几何意义即可求得最终结果.详解：由导数的几何意义可知：表示函数在处切线的斜率，切线方程即，其斜率为，即.本题选择C选项.点睛：本题主要考查导函数研究函数的切线，导数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．【郑州外国语学校2018届高三第十五次调考】设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空.8．【山东省日照市2018届高三校际联考】已知（为自然对数的底数），，直线是与的公切线，则直线的方程为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】C点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 9．【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第三次模拟考试】己知曲线()3211332f x x x ax =-++上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数a 的取值范围为 （ ） A. 133,4⎛⎫⎪⎝⎭B. 133]4（，C. 13]4-∞（，D. 134-∞（，） 【答案】A【解析】由题意可知()23f x x x a =-+='，即有两个解，且12,x x 均大于零。

复数考纲要求1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ⇔a ＝c 且b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R. z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．i 的乘方具有周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. 2．(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.3．复数的模与共轭复数的关系 z ·z ＝|z |2＝|z |2. 4．两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小．2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足z ＋3i ＝a ＋a i ，若复数z 是纯虚数，则( ) A ．a ＝3 B ．a ＝0 C ．a ≠0 D ．a <0答案 B解析 由z ＋3i ＝a ＋a i ，得z ＝a ＋(a －3)i.又因为复数z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a －3≠0，解得a ＝0.3．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 2＋i解析 因为z ＝4＋3i1＋2i＝4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i.4．(2020·北京卷)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( ) A ．1＋2i B ．－2＋i C ．1－2i D ．－2－i答案 B解析 z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.5．(2019·全国Ⅲ卷改编)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B ．22C ． 2D ．2答案 C解析 法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝1＋i ，所以|z |＝ 2.法二 因为2i ＝(1＋i)2，所以由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，所以|z |＝ 2. 6．(2021·安庆一中月考)已知复数z ＝2i1－i3，则z 在复平面内对应的点所在的象限为第________象限． 答案 二 解析 ∵z ＝2i1－i3＝－1－i 21－i3＝－11－i＝－12－i 2， ∴z ＝－12＋i2对应的点⎝⎛⎭⎫－12，12位于第二象限．考点一 复数的相关概念1．(2020·浙江卷)已知a ∈R ，若a －1＋(a －2)i(i 为虚数单位)是实数，则a ＝( ) A ．1 B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 由题可知复数的虚部为a －2，若该复数为实数，则a －2＝0，即a ＝2.故选C. 2．(2019·全国Ⅱ卷)设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i答案 D解析 ∵z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i.故选D. 3．(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z |＝( ) A ．0 B ．1C ． 2D ．2答案 C解析 ∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝ 2.故选C.4．(2021·西安调研)下面关于复数z ＝－1＋i(其中i 为虚数单位)的结论正确的是( ) A.1z 对应的点在第一象限 B ．|z |<|z ＋1| C ．z 的虚部为i D ．z ＋z <0 答案 D解析∵z＝－1＋i，∴1z＝1－1＋i＝－1－i－1＋i－1－i＝－12－i2.则1z对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝2，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋z＝－2<0，故D正确．感悟升华 1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部．若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.3．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－b i，则z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|＝z·z，若z∈R，则z＝z.利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题．考点二复数的几何意义【例1】(1)(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则() A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2020·临沂质检)已知a1－i＝－1＋b i，其中a，b是实数，则复数a－b i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案(1)C(2)B解析(1)由已知条件，可设z＝x＋y i(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋y i－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.(2)由a1－i＝－1＋b i，得a ＝(－1＋b i)(1－i)＝(b －1)＋(b ＋1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝0，a ＝b －1，即a ＝－2，b ＝－1， ∴复数a －b i ＝－2＋i 在复平面内对应点(－2,1)，位于第二象限．感悟升华 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应Z (a ，b )一一对应OZ →＝(a ，b )．2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观．【训练1】 (1)若复数z ＝(2＋a i)(a －i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a ∈R ，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2，2) B ．(－2，0) C ．(0，2)D ．[0，2)(2)(2021·郑州模拟)已知复数z 1＝2－i2＋i 在复平面内对应的点为A ，复数z 2在复平面内对应的点为B ，若向量AB →与虚轴垂直，则z 2的虚部为________． 答案 (1)B (2)－45解析 (1)z ＝(2＋a i)(a －i)＝3a ＋(a 2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a <0，a 2－2<0，解得－2<a <0.(2)z 1＝2－i 2＋i ＝2－i 22＋i 2－i ＝35－45i ，所以A ⎝⎛⎭⎫35，－45， 设复数z 2对应的点B (x 0，y 0)，则AB →＝⎝⎛⎭⎫x 0－35，y 0＋45， 又向量AB →与虚轴垂直，∴y 0＋45＝0，故z 2的虚部y 0＝－45.考点三 复数的运算【例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0B ．1C ． 2D ．2(2)在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________． 答案 (1)D (2)－2解析 (1)法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2. 法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)| ＝|1＋i||－1＋i|＝2. 故选D. (2)依题意，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2，且z 2＝2＋i1－i ＝2＋i1＋i2＝1＋3i 2，所以z 2·z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ，故z 4＝3－i 1＋i＝3－i1－i2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.感悟升华 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度： (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．【训练2】 (1)(2020·新高考山东卷)2－i1＋2i＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 (1)D (2)2 3 解析 (1)2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.故选D.(2)法一 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝3－a ＋(1－b )i ，则⎩⎨⎧ |z 1|2＝a 2＋b 2＝4，|z 2|2＝3－a 2＋1－b 2＝4，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝4，3a ＋b ＝2.∴|z 1－z 2|2＝(2a －3)2＋(2b －1)2 ＝4(a 2＋b 2)－4(3a ＋b )＋4＝12. 因此|z 1－z 2|＝2 3.法二 设复数z 1，z 2对应的向量为a ，b ， 则复数z 1＋z 2，z 1－z 2对应向量为a ＋b ，a －b ， 依题意|a |＝|b |＝2，|a ＋b |＝2， 又因为|a ＋b |2＋|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2， 所以|a －b |2＝12，故|z 1－z 2|＝|a －b |＝2 3.法三 设z 1＋z 2＝z ＝3＋i ，则z 在复平面上对应的点为P (3，1)，所以|z 1＋z 2|＝|z |＝2，由平行四边形法则知OAPB 是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z 1－z 2|＝2×32×2＝2 3.A 级 基础巩固一、选择题1．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z ＝－3－2i ，故z 对应的点(－3，－2)位于第三象限． 2．(2020·全国Ⅲ卷)复数11－3i 的虚部是( ) A ．－310B ．－110C ．110D ．310答案 D解析 z ＝11－3i ＝1＋3i 1－3i 1＋3i ＝110＋310i ，虚部为310.故选D.3．(2020·全国Ⅱ卷)(1－i)4＝( ) A ．－4 B ．4C ．－4iD ．4i答案 A解析 (1－i)4＝(1－2i ＋i 2)2＝(－2i)2＝4i 2＝－4.4. (2021·全国大联考)如图，复数z 1，z 2在复平面上分别对应点A ，B ，则z 1·z 2＝( )A ．0B ．2＋iC ．－2－iD ．－1＋2i答案 C解析 由复数几何意义，知z 1＝－1＋2i ，z 2＝i ， ∴z 1·z 2＝i(－1＋2i)＝－2－i.5．设复数z 满足|z －3|＝2，z 在复平面内对应的点为M (a ，b )，则M 不可能为( ) A ．(2，3) B ．(3,2) C ．(5,0) D ．(4,1) 答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －3＝(a －3)＋b i ， ∴(a －3)2＋b 2＝4，验证点M (4,1)，不满足．6．(2021·河南部分重点高中联考)若复数a ＋|3－4i|2＋i (a ∈R)是纯虚数，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 B解析 a ＋|3－4i|2＋i ＝a ＋52－i2＋i 2－i ＝a ＋2－i 为纯虚数．则a ＋2＝0，解得a ＝－2.7．设2＋ii ＋1－2i ＝a ＋b i( a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则b －a i ＝( )A ．－52－32iB ．52－32iC.52＋32i D ．－52＋32i答案 A解析 因为2＋i i ＋1－2i ＝2＋i1－i i ＋11－i －2i ＝32－52i ＝a ＋b i ，所以a ＝32，b ＝－52，因此b －a i＝－52－32i.故选A.8.如图所示，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1·z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 由图知OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0,1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1·z 2＝1－2i ，所以复数z 1·z 2所对应的点为(1，－2)，该点在第四象限．二、填空题9．(2020·江苏卷)已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i)(2－i)的实部是________． 答案 3解析 z ＝(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，所以复数z 的实部为3.10．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．答案 －2＋i解析 因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i.11．已知复数z ＝1＋2i 1＋i ＋2i z ，则|z |等于________． 答案 22解析 由z ＝1＋2i 1＋i＋2i z 得z ＝1＋2i 1＋i 1－2i ＝1＋2i 3－i＝1＋2i 3＋i 3－i 3＋i ＝1＋7i 10， 故|z |＝11012＋72＝22. 12．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i 1＋i(a ∈R)的实部为－3，则|z |＝________，复数z 的共轭复数z ＝________.答案 5 －3＋4i解析 因为z ＝1－a i 1＋i ＝1－a i 1－i 1＋i 1－i ＝1－a －a ＋1i 2的实部为－3，所以1－a 2＝－3，解得a ＝7. 所以z ＝－3－4i ， 故|z |＝－32＋－42＝5，且共轭复数z ＝－3＋4i.B 级 能力提升13．(2020·南宁模拟)已知z ＝3－i 1－i (其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 的虚部是( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 A解析 ∵z ＝3－i 1－i ＝3－i 1＋i 1－i 1＋i＝4＋2i 2＝2＋i ， ∴z ＝2－i ，∴z 的虚部为－1.14．(2021·哈尔滨调研)已知z 的共轭复数是z ，且|z |＝z ＋1－2i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，因为|z |＝z ＋1－2i ，所以x 2＋y 2＝x －y i ＋1－2i ＝(x ＋1)－(y＋2)i ，所以⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝x ＋1，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2. 所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫32，－2，此点位于第四象限． 15.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎡⎦⎤1＋i 226＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 16．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 答案 3解析 因为|z －2|＝x －22＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.。

第3讲 复 数[明考情]复数是高考必考题，以选择题形式出现，题目难度为低档，多数在第一题或第二题的位置.[知考向]1.复数的概念.2.复数的运算.3.复数的几何意义.考点一 复数的概念 要点重组 (1)复数：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部，i 为虚数单位.若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ).(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R ).(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R ).1.设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数z ＋1z的虚部是( ) A.12B.12iC.32D.32i 答案 A解析 因为z ＝1＋i ，所以z ＋1z ＝1＋i ＋11＋i＝1＋i ＋1－i 2＝32＋i 2，所以虚部为12，故选A. 2.(2017·全国Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |等于( )A.12B.22C. 2D.2 答案 C解析 方法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i 1＋i＝1＋i ， ∴|z |＝ 2.故选C.方法二 ∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，∴|z |＝ 2.故选C.3.设复数z 满足1＋z 1－z＝i ，则|z |等于( ) A.1 B. 2 C. 3D.2答案 A解析 由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，∴z ＝－1＋i 1＋i＝i ， ∴|z |＝|i|＝1.4.已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反过来(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i ，则a 2－b 2＝0，2ab ＝2，解得a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝－1，故“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件，故选A.5.(2016·江苏)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________.答案 5解析 z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z 的实部为5.6.复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 的取值范围是__________.答案 {m |m ≠6且m ≠－1}考点二 复数的运算 方法技巧 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.7.(2017·山东)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2等于( )A.－2iB.2iC.－2D.2 答案 A解析 方法一 ∵z ＝1＋i i ＝(1＋i )(－i )i (－i )＝1－i ， ∴z 2＝(1－i)2＝－2i.方法二 ∵(z i)2＝(1＋i)2，即－z 2＝2i ，∴z 2＝－2i.故选A.8.已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于( )A.3－4iB.3＋4iC.－3－4iD.－3＋4i答案 A解析 由题意得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25(3－4i )25＝3－4i ，故选A. 9.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则z i＋i·z 等于( ) A.－2B.－2iC.2D.2i答案 C解析 由题意知，z i ＋i·z ＝1＋i i＋i(1－i) ＝(1＋i )i i 2＋1＋i ＝1－i ＋1＋i ＝2，故选C. 10.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 答案 －1解析 1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝i 2＝－1. 11.已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i 1＋i(a ∈R )的虚部为－3，则|z |＝________. 答案 13解析 因为z ＝1－a i 1＋i＝(1－a i )(1－i )2＝1－a －(a ＋1)i 2＝1－a 2－a ＋12i ， 所以－a ＋12＝－3，解得a ＝5，所以z ＝－2－3i ， 所以|z |＝(－2)2＋(－3)2＝13.考点三 复数的几何意义 要点重组 (1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 一一对应平面向量OZ →.12.复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 A解析 因为复数z ＝i(1－2i)＝i －2i 2＝2＋i ，它在复平面内对应点的坐标为(2，1)，位于第一象限.13.设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( )A.－5B.5C.－4＋iD.－4－i 答案 A解析 由题意知，z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝－5，故选A.14.(2016·全国Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A.(－3，1)B.(－1，3)C.(1，＋∞)D.(－∞，－3) 答案 A解析 由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0， 解得－3<m <1，故选A.15.已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0171＋i，则复数z 在复平面内对应的点位于第_______象限. 答案 一解析 因为i 4n ＋k ＝i k (n ∈Z )，且i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0， 所以i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 017＝i ，所以z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2，对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，在第一象限. 16.如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝_________.答案 2解析 由题意知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，∴z 1＋z 2＝－2，∴|z 1＋z 2|＝2.1.设z 1，z 2∈C ，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1－z 2是虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 若虚数z 1，z 2的虚部相等，则z 1－z 2是实数，故充分性不成立；又若z 1，z 2全是实数，则z 1－z 2不是虚数，故必要性成立.故选B.2.设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝______. 答案 4解析 由题意得x 2(1＋i)＋y 5(1＋2i)＝510(1＋3i)， ∴(5x ＋2y )＋(5x ＋4y )i ＝5＋15i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5， ∴x ＋y ＝4. 解题秘籍 (1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确.(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.1.(2017·全国Ⅱ)3＋i 1＋i等于( ) A.1＋2i B.1－2iC.2＋i D.2－i答案 D解析 3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i. 2.复数z ＝1＋i 1－2i的虚部为( ) A.－15 B.15 C.－35 D.35答案 D解析 z ＝1＋i 1－2i ＝(1＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－15＋35i ， 所以其虚部为35.3.若复数z 满足z 1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i答案 A解析 ∵z 1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i. 4.设i 是虚数单位，则复数2i 1－i在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 B解析 2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i (i ＋1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知，－1＋i 在复平面内的对应点为(－1，1)，该点位于第二象限，故选B.5.(1＋i )3(1－i )2等于( ) A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i答案 D解析 由已知得(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )2＝2i (1＋i )－2i＝－1－i. 6.若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( )A.－1B.0C.1D.2答案 B解析 因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.7.z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( )A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i 答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.由z ＋z ＝2，得a ＝1，由(z －z )i ＝2，得b ＝－1，所以z ＝1－i ，故选D.8.“复数z ＝3＋a i i在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 D解析 由题意得z ＝a －3i ，若z 在复平面内对应的点在第三象限，则a ＜0，故选D.9.已知a ＞0，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a 等于( ) A.2 B. 3 C. 2D.1 答案 B解析 ⎪⎪⎪a ＋i i ＝⎪⎪⎪－a i ＋11＝(－a )2＋1＝2， 即a 2＝3.又∵a ＞0，∴a ＝ 3.10.已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是____________.答案 21解析 由题意知z ＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i ＋(2i)2＝21＋20i ，其实部为21.11.(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________. 答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 12.已知z ＝1＋i ，则2z－z 2的共轭复数是__________. 答案 1＋3i解析 ∵z ＝1＋i ，∴2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ， ∴2z －z 2的共轭复数是1＋3i.。

高中数学《复数》高考真题汇总（详解）1.对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A.2z z y -= B.222z x y =+ C.2z z x -≥ D.z x y ≤+2.复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A.34i --B.34i -+C.34i -D.34i +3.复数z =1ii+在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.设a,b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则（ ） A.31,22a b == B.3,1a b == C.13,22a b == D.1,3a b ==5.已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为（ ） A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2 C. x=1，y=1 D. x=1，y=26.已知21i =-，则i(1)=（ ）i i C.i D.i 7.设i 为虚数单位，则51ii-=+（ ） A.-2-3i B.-2+3i C.2-3iD.2+3i8．已知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 9.在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i10. i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（ ）A.－1B.1C.i -D.i11. i 是虚数单位，复数31ii+-=（ ） A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i 12．i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（ ）A.1＋iB.5＋5iC.-5-5iD.-1－i 13.若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（ ）A ．4+2i B. 2+i C. 2+2i D.3 14. i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1D ．-115.复数3223ii+=-（ ） A.i B.i - C.12-13i D. 12+13i16.已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=（ ） A.-1 B.1 C.2 D.3 17. i 33i=+ （ ） A.13412- B.13412+ C.1326i + D.1326- 18.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1z i+的点是（ ）A.EB.FC.GD.H19.某程序框图如左图所示，若输出的S=57，则判断框内位（ ） A. k ＞4? B.k ＞5? C. k ＞6? D.k ＞7? 20.如果执行下图（左）的程序框图，输入6,4n m ==，那么输出的p 等于（ ）A.720B.360C.240D.12021.如果执行上图（右）的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于（ ） A.1m nC - B.1m nA - C.m n C D.mn A22.某程序框图如下图（左）所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ） A.k >4? B.k >5? C. k >6? D. k >7?23.【2010·天津文数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.3标准答案1.【答案】D【解析】可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错；B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错；C 项，y z z 2≥-，故C 错；D 项正确.本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题. 2.【答案】A【解析】本试题主要考查复数的运算.231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. 3.【答案】A【解析】本题考查复数的运算及几何意义.1i i +i i i 21212)1(+=-=，所以点（)21,21位于第一象限 4.【答案】A【解析】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力. 由121ii a bi +=++可得12()()i a b a b i +=-++，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A.5.【答案】D【解析】考查复数的乘法运算.可采用展开计算的方法，得2()(1)x i x i y -+-=，没有虚部，x=1,y=2. 6.【答案】B【解析】直接乘开，用21i =-代换即可.(1)i i =，选B. 7.【答案】C【解析】本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题. 8.【答案】B 9.【答案】C 10. 【答案】A【解析】由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－1. 11.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题.进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 12.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。

复 数1．复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；（3）乘法：z1〃z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：① n i (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模|Z|=22a b +, 且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

专题17 复数-高考题专项练习一、单选题1．（2018·全国高考真题（文）） A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据公式，可直接计算得(23)32i i i +=-+ 【解析】 ，故选D ．【名师点睛】复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错． 2．（2018·全国高考真题（理）） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 故选D ．3．（2019·全国高考真题（文））设，则= A ．2 B ． C ．D ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求． 【解析】因为，所以，所以，故选C ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．4．（2019·全国高考真题（理））设复数z 满足，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．22(1)1x y -+= C ．22(1)1y x +-= D ．22(+1)1y x +=【答案】C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【解析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22(1)1y x +-=．故选C ．【名师点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．5．（2020·浙江高考真题）已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a = A ．1 B ．–1 C ．2D ．–2【答案】C【解析】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，，故选C 6．（2020·全国高考真题（理））复数的虚部是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】利用复数的除法运算求出z 即可． 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数的虚部为．故选D ．【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题． 7．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4= A ．–4 B ．4 C ．–4i D ．4i【答案】A【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可． 【解析】．故选A ．【名师点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题． 8．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |= A ．0B ．1【答案】D【分析】由题意首先求得的值，然后计算其模即可． 【解析】由题意可得()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-．故．故选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题． 9．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则 A ．0 B ．1 C ． D ．2【答案】C【分析】先根据将化简，再根据向量的模的计算公式即可求出． 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 10．（2017·山东高考真题（文））已知i 是虚数单位，若复数z 满足，则= A ．-2i B ．2i C ．-2D ．2【答案】A【解析】由得22(i)(1i)z =+，即，所以，故选A ．【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．注意下面结论的灵活运用：（1）(1±i)2＝±2i ；（2）＝i ，＝－i ．11．（2017·全国高考真题（理））设有下面四个命题 ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则． 其中的真命题为 A ．B ．【答案】B【解析】令i(,)z a b a b R =+∈，则由2211i i a b z a b a b-==∈++R 得，所以，故正确；当时，因为22i 1z ==-∈R ，而知，故不正确； 当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B ．【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b R =+∈的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可．12．（2017·北京高考真题（文））若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A ．（–∞，1） B ．（–∞，–1） C ．（1，+∞） D ．（–1，+∞）【答案】B【解析】设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得，故选B ．【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量． 13．（2018·全国高考真题（文））设，则 A ． B ． C ．D ．【答案】C【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模． 【解析】()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+，则，故选C ． 【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．14．（2019·北京高考真题（理））已知复数z=2+i，则A．B．C．3D．5【答案】D【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得．【解析】因为z2i,z z(2i)(2i)5=+⋅=+-=故选D．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题．．15．（2018·浙江高考真题）若复数，其中i为虚数单位，则 =A．1+i B．1−iC．−1+i D．−1−i【答案】B【解析】22(1i)1i,1i1i(1i)(1i)z z+===+∴=---+，选B．【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目．从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一．16．（2019·全国高考真题（理））设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】先求出共轭复数再判断结果．【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．17．（2019·全国高考真题（文））设z=i(2+i)，则=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i【答案】D【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．【解析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以，选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．18．（2020·北京高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则． A ． B ． C ．D ．【答案】B【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果． 【解析】由题意得，．故选B ．【名师点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题．19．（2020·海南高考真题）= A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=，故选B. 20．（2020·海南高考真题） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i【答案】D【分析】根据复数除法法则进行计算． 【解析】，故选D.【名师点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题． 21．（2017·全国高考真题（理））复数等于 A ． B ． C ．D ． 【答案】D【解析】＝2－i ．故选D ．【名师点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数常考的还有几何意义，z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作．22．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，则 A ．1或 B ．或 C ．D ．【答案】A【解析】由,4z a z z =+⋅=得，所以，故选A ．【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此结合已知条件，求得的方程即可．23．（2017·全国高考真题（文））（2017新课标全国卷II （文）） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】由题意，故选B ．【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(+)i(,,,)ad bc a b c d R ∈． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b R ∈的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．24．（2017·全国高考真题（文））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限． 所以选C ．【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数i(,)a b a b +∈R 的实部为、虚部为、模为、对应的点为、共轭复数为25．（2017·全国高考真题（理））(2017高考新课标III ，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ． B ． C ． D ．2【答案】C【解析】由题意可得，由复数求模的法则可得，则．故选C ． 【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有： （1）1212z z z z ±=±；（2）1212z z z z ⨯=⨯；（3）； （4）；（5）；（6）．26．（2018·全国高考真题（理）） A ． B ． C ．D ． 【答案】D【分析】根据复数除法法则化简复数，即得结果．【解析】212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D ．【名师点睛】本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力． 二、填空题1．（2017·天津高考真题（文））已知，为虚数单位，若为实数，则的值为________． 【答案】-2 【解析】为实数， 则．【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数(,)z a bi a b R =+∈，当时，为虚数，当时，为实数，当0,0a b =≠时，为纯虚数． 2．（2019·江苏高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是________． 【答案】2【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值． 【解析】， 令得．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．3．（2017·上海高考真题）已知复数满足，则________． 【答案】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案． 【解析】由，得，设(,)z a bi a b R =+∈， 由得，即，解得， 所以，则．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．4．（2019·浙江高考真题）复数（为虚数单位），则________． 【答案】【分析】本题先计算，而后求其模．或直接利用模的性质计算． 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查．【解析】1|||1|2z i ===+． 5．（2018·天津高考真题（理））i 是虚数单位，复数________． 【答案】4–i【分析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果． 【解析】由复数的运算法则得．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．6．（2019·上海高考真题）设为虚数单位，，则的值为________． 【答案】【分析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．【解析】由365z i i -=+，得366z i =+，即 ，本题正确结果：【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 7．（2019·天津高考真题（文））是虚数单位，则的值为________． 【答案】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【解析】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-． 8．（2018·上海高考真题）已知复数满足()117i z i +=-（是虚数单位），则________． 【答案】5【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解析】由（1+i ）z=1﹣7i ，得()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，则|z|=5=．故答案为5．【名师点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 9．（2020·江苏高考真题）已知是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是________． 【答案】3【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值． 【解析】因为复数，所以2223z i i i i =-+-=+， 所以复数的实部为3．故答案为3．10．（2020·天津高考真题）是虚数单位，复数________． 【答案】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果．【解析】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-．故答案为． 11．（2020·全国高考真题（理））设复数，满足，，则=________． 【答案】【分析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果．方法二：设复数所对应的点为，12OP OZ OZ =+， 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算．【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=，，又，所以，，，2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-==．故答案为．方法二：如图所示，设复数所对应的点为，12OP OZ OZ =+，由已知，所以平行四边形为菱形，且都是正三角形，所以12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-= 所以．【名师点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题．方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解12．（2017·江苏高考真题）已知复数z=（1+i ）（1+2i ），其中i 是虚数单位，则z 的模是________．【答案】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解析】复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，所以|z |==【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．13．（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【分析】先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果． 【解析】因为，则12i 2i iz +==-，则的实部为． 【名师点睛】本题重点考查复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．三、双空题1．（2017·浙江高考真题）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则________，ab =________．【答案】5， 2【解析】由题意可得，则，解得，则225,2a b ab +==．【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为、虚部为、模为、对应点为（，）、共轭为等．。

专题1 复数的概念与运算-2018年高考全国1卷文科数学真题分析及相似模拟题集训【母题原题1】【2018新课标1，文2】设，则( )A. B. C. D.【答案】C【名师点睛】该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得结果，属于简单题目.【母题原题2】【2017新课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)【答案】C【解析】∵i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,∴(1+i)2=2i为纯虚数,故选C.【考点】复数的运算与性质.【名师点睛】(1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．【母题原题3】【2016新课标1，文2】设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3【答案】A【解析】由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.∵(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高.考查的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.【命题意图】 高考对本部分内容的考查主要体现在以下几个方面：1.理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件；2．了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示；3.会进行复数代数形式的四则运算；4.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.【命题规律】 从近三年高考情况来看，本部分内容为高考的必考内容，尤其是复数的概念、复数相等，复数的四则运算以及共轭复数，复数的乘、除运算是高考考查的重点内容，一般为选择题或填空题，难度不大，解题时要正确把握复数概念及准确运用复数的四则运算法则进行求解.【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下三步：第一步：构造（求出）未知复数 设(,)z a bi a b R =+∈，根据具体的要求设定,a b （或求出,a b ）； 第二步：借助复数四则运算，求出需求结果 由z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bdc 2＋d 2＋（bc －ad ）c 2＋d 2i(c 2＋d 2≠0)；z 1·z 2＝(a ＋b i )·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 等求出需求的结果；第三步：关注易错点，检验 ①共轭复数：a ＋b i(a ，b ∈R )与c ＋d i(c ，d ∈R )互为共轭复数⇔a ＝c ，b ＝－d ；②|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.【方法总结】 1．复数的相关概念(1)对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当且仅当b ＝0时，是实数；当b ≠0时，是虚数；当a ＝0且b ≠0时，是纯虚数．(2)复数相等：如果a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ；a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0.(3)共轭复数：a ＋b i(a ，b ∈R )与c ＋d i(c ，d ∈R )互为共轭复数⇔a ＝c ，b ＝－d . 2．复数的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )．3.常用结论 (1)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，n ∈N *.(2)(1±i)2＝±2i ，(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2. 4．复数的几何意义(1)复数加法的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则； (2)复数减法的几何意义：复数减法即向量的减法，满足三角形法则． 5．复数的模向量OZ →的长度叫作复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 6．模的运算性质(1)|z |2＝|z －|2＝z ·z －； (2)|z 1·z 2|＝|z 1||z 2|； (3)1122||||z z z z. 模拟题1．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟】若复数， 则( )A. 1B.C.D. 3【答案】C点睛：本题考查了复数的综合运算、共轭复数和复数模的定义与应用，属于简单题。

高三数学复数试题1.复数的共轭复数等于（）【答案】C【解析】依题意可得.故选C.【考点】复数的运算.2.已知复数，则的共轭复数是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵＝＝，∴，故选A．【考点】1、复数的运算；2、共轭复数．3.设z=1–i（i是虚数单位），则复数＋i2的虚部是A．1B．－1C．i D．－i【答案】A【解析】根据复数的四则运算可得：＋i2= i,∴虚部是1.【考点】复数的概念与四则运算.4.定义一种运算如下:=x1y2-x2y1,则复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是.【答案】-1-(-1)i【解析】由定义知,z=(+i)i-(-i)×(-1)=-1+(-1)i,故=-1-(-1)i.5.若a＋bi＝ (i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝()A．－2B．－1C．1D．2【答案】A【解析】因为a＋bi＝＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－26.若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】设,,,复数的坐标，故选D.【考点】复数运算与几何意义7.已知复数，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】【解析】，其实部为－1，虚部为0.选D.【考点】复数的基本运算及概念.8.复数的虚部为 ( )A．2B．C．D．【答案】B【解析】由复数的定义知其虚部为，选B.【考点】1.复数的定义；2.复数的计算.9.复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，虚部为-1.【考点】复数的概念和运算.10.已知复数（其中是虚数单位），则_________.【答案】.【解析】.【考点】复数的四则运算11.关于复数，下列说法中正确的是（）A．在复平面内复数对应的点在第一象限B．复数的共轭复数C．若复数为纯虚数，则D．设为复数的实部和虚部，则点在以原点为圆心，半径为1的圆上【答案】C【解析】由题可知，对应的点为（-1,1）为第二象限，故A错；，故B错；若为纯虚数，则，故选C；为（-1,1），在半径为的圆上，故D 错.【考点】复数的运算与性质12.=（）A．-8B．8C．D．【答案】A【解析】.故选A.【考点】复数运算13.复数的模为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B【考点】本题考查复数的运算。

例1（1）（2017天津理9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2ia -+为实数，则a 的值为 . (2)计算：3（1＋i ）2i －1＝________； (3)计算(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________； `(4)计算：－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 018＝________． 【解题技巧】无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.变式1.（2017全国1卷理科3）设有下面四个命题：1:p 若复数z 满足1z ∈R，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（ ）.A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p解析1:p 设i z a b =+，则2211i i a b z a b a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1p 正确； 2:p 若z 1=-2，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确.故选B.变式2．（2015广东理2）若复数()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -解析 因为()i 32i 23i z =-=+，所以23i z =-．故选A ．变式3．复数z 满足()()25z i i --=，则z 为.A -2-2i .B -2+2i .C 2-2i D 2+2i解析 令(),R,R z a bi a b =+∈∈，则()()()()212z i i a b i i --=+--⎡⎤⎣⎦[]2(1)12b a i b a =--+-+ 5=，所以()210,21 5.b a a b --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩解得22a b =⎧⎨=⎩，所以22z i =+.故选D .例2．（2016全国乙理2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.解析 由()1i 1i x y +=+，得1x y ==，所以i 1i x y +=+=故选B.【解题技巧】若复数i z x y =+，则=z 变式1 已知35(,)44ππθ∈，则复数(cos sin )(sin cos )z i θθθθ=++-在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解法二：，π）π（π）π（π，π，π，π24,234)4543(∈-∈+∈θθθ， 则0)4sin(2sin cos <+=+πθθθ，0)4sin(2cos sin >-=-πθθθ，故 )cos (sin )sin (cos θθθθ-++=i z 在复平面上对应的点在第二象限，故选B 。

• 2．推理与证明 • 推理与证明是新课标新增内容，但其内容及其思想方法在 统编教材中都有体现．历年来，高考中都有大量的推理与证 明的题目出现，主要考察的形式有：
• (1)给定命题的证明问题．证明方法主要有综合法、分析 法、数学归纳法、反证法．
• (2)类比型问题．这种题型是新课标创新要求的体现，最 常见的是二维问题与三维问题的类比，同结构问题的类比( 比如圆锥曲线内的类比问题、数列内的类比问题等)，较少 对照不同结构的类比问题．
• 1．复数 • (1)复数的运算是本章的重点，复数的几何意义及运算是 主要考查的内容．从题型上看，多以选择题、填空题出现．
• (2)预计2011年高考仍会以选择题、填空题出现，重点考 查复数的基本概念、复数相等及代数形式的几何意义，也可 能与向量结合，考查加、减运算的几何意义，或者以复数代 数运算为载体命制创新题，但总体上难度不大．
• [解析] 设z1＝x＋yi，z2＝－1＋bi，由复数相等 • －1＋bi＝x＋yi－i(x－yi)＝(x－y)＋(y－x)i⇒b＝y－x＝－ (x－y)＝1 • [答案] 1
应)．即复数z＝a＋bi(a，b∈R)← 一一对→应 Z(a，b)
复平面内的点
← 一一→ 对应平面向量O→Z. •
(3)复数的模：向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈ R)的模，记作 |z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2＝r＝|O→Z|.(r≥0)
4．熟练掌握并能灵活运用以下结论 (1)a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)． (2)复数 z 是实数的充要条件：(a，b∈R) z＝a＋bi∈R⇔b＝0⇔z＝ z ⇔z2≥0⇔z2＝|z|2⇔z 对应的
，解得 m＝0，或 m＝2.

复数的概念与四则运算【母题原题1】 复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果. 详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.【母题原题2】 已知a ，b ∈R ， 2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ______，ab=________.【答案】 5 2【解析】由题意可得22234a b abi i -+=+，则223{ 2a b ab -==，解得224{ 1a b ==，则225,2a b ab +==．【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b a ， b ）、共轭为a bi -等．【命题意图】考查对复数概念的理解、复数四则运算法则，考查复数的基础知识的掌握和基本的运算能力. 【命题规律】主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数模的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算居多．【答题模板】以2018年高考题为例，解答此类题目，一般考虑如下三步： 第一步：计算化简.即利用复数的四则运算法则，将所给复数化简； 第二步：明确复数的实部、虚部.第三步：写出共轭复数.根据共轭复数的概念，写出共轭复数. 【方法总结】1.处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法． 2. 复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1.除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 3. 对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ，22()(),(,,.)+++-=∈++，a bi ac bd bc ad ia b c d R c di c d.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi4.2i 1=-中的负号易忽略. 1． 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】，所以共轭复数是 ，故选 .2．【2018届云南省玉溪市适应性训练】设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（ ）A.B.C.D.【答案】A2． 已知（﹣1+3i ）（2﹣i ）=4+3i （其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数），则z 的虚部为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. i D. ﹣i【答案】A【解析】分析：根据复数除法得，再得z，根据复数概念得结果.详解：因为（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i，所以因此，虚部为1,选A.3．已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据已知求复数z，再求复数z的虚部得解.详解：由题得所以复数z的虚部为.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的虚部概念，意在考查复数的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)复数a+bi的实部是a,虚部是b，不是bi.5 已知i是虚数范围，若复数z满足411iz=-+，则•z z=（）A. 4B. 5C. 6D. 8 【答案】B【解析】由411iz=-+，得41121z ii=-=+-，则25z z z⋅==，故选B．6.若复数（是虚数单位），则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由复数乘法求得，再由共轭复数定义得结论.详解：由题意，∴，故选D.7.在复平面内，复数满足则对应的点为于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出对应的点的坐标即可.详解：由，得，，则对应的点的坐标为，位于第二象限，故选B.8.已知复数,是它的共轭复数,则（）A. B. C. D.【答案】A本题选择A选项.9.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B10．复数的虚部为，的共轭复数．【答案】，．【解析】试题分析：∵，∴虚部为，共轭复数．10.若复数满足（为虚数单位），则__________；__________．【答案】. .11.设复数52zi=-（其中i为虚数单位），则复数z的实部为__________ ，虚部为__________．【答案】 2 1【解析】()()()5252 222iz ii i i+===+ --+所以复数z的实部为2，虚部为1.。

复数的概念及四则运算一，考纲要求1理解复数的基本概念2理解复数相等的充要条件3了解负数的代表形式及其几何意义4会进行复数，代数形式的是的运算5了解复数代数形式的加减运算的几何意义二，命题趋势1从近几年的高考试题中看，复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点，通常分两种题型，机选择题和填空题，你是考啥付出的概念，如纯虚数，两个复数相等，2是考查复数代数形式的加减乘除4则运算等基础知识2，预测2014高考题扔将会有考查复数的概念，包括实部与虚部，虚数以纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点进行问题考纲三维解读一，考纲要求1，了解平行线切割定理，会证直角三角形摄影定律2会证明圆周角定理，圆的切线判定定理及性质定理3会正相交玄定理，圆内接四边形的性质定理和判定定理切割线定理4了解平行线投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影，会证平面与圆柱的底面截是椭圆5.了解下面的定理定理:在空间中取直线L为轴,直线L与L相交于o点，加角为a，n常见离散型随机变量的分布列，均值与方差高岗解读一，考纲要求1理解区有无个值得离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2，理解局有限购值的离散型随机变量的均值方差的概念，统计简单离散型随机变量的均值，方差并能解决一切实际问题二，命题趋势1以应用题为背景命题，是近年来高考的热点，今后仍然将会保持这个热度2，随机变量在各地高考试题中有选择题也有填空题但更多的是解答题3，考生在复习其实应牢固掌握求随机变量分布列的步骤，运用分布列求概率，另外概念要弄清楚计算要准确文字要表达清楚和规范4预计2014年高考中对于概率分布列和期望方差三位一体的考察人是重点和热点5古典概型与几何概型一，考纲要求1，理解古典概型及其概率计算公式2，会用列举法，计算一些随机事件所含的基本事件概率极事件发生的事件数3，了解随机数的意义，运用模拟方法估计概率4，了解几何概型的意义二，命题趋势1，你古典概型的定义为重点，结合其中两大特点，考察古典概型的问题2，主要是你现实生活为背景，机和主席为载体，重在考查几何概型的概率的求法，主要是以选择题填空题为主，其中长度与面积有关的几何概型为最重要3预测2014年高考对本节知识的考察会延续以往命题的特点注定形式多样选择题填空题解答题都有可能出现二项分布及其运用，正态分布考纲要求1了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题2，利用实际问题的直方图了解正态分布曲线的特点及所表示的意义二，命题趋势1预计2014年高考可能会对独立事件的概率，n次独立重复试验的概率，二项分布及根据正态曲线的基本性质进行相关量的计算重点考察，正态分布可能会选择提填空题形式来考察，简答题人将会是保持中等难度，分值约为12分左右！分类加法计数原理与分步乘法计算原理排列与组合考纲要求1理解分类加法计数原理和分步乘法技术员2会用分类加法计数原理和分步乘法技术员你解决一些简单的实际问题3理解排列组合的概念4能利用技术原理推导排列式公式组合是公5能解决简单的实际问题二，命题趋势1技术原理在中学数学中形式比较独特，1其他数学知识截然不同，不均内容抽象解法灵活，而且解题过程中极易出现重复或遗漏的错误，纵观近几年的高考对本节内容考量比较稳定试题难度起伏不大，主要以选择题填空题的形式出现2，排列组合是高中数学中独立较强的一部分也是密切联系实际的一部分是高考的必考内容，每年都有一到两题英语排列组合有关的试题，填空题选择题，高考考察排列组合的基础知识，思维能力，多数试题与教材习题的难度相当，也有个别难度较大！3预测2014年高考对本节的考察认为排列组合与两个计数原理结合命题这些知识点二项式定理一，考纲要求1能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题二，命题趋势1，二项式定理是高考重点考察的内容之一，主要以选择题填空题的形式出现多数试题难度与课本中习题的难度相当2，预测2014年高考对本节的考量求散开是中某一项或某一项的系数，求某些项的系数和韩求字母中项的，字母值等随机事件概率一，考纲要求1，了解随机事件发生的不确定性和冯丽的稳定性了解概率的意义了解频率与概率的区别2了解两个互斥事件的概率，加法公式二，一概率的意义和性质为重点结合实际多角度考量，概率问题2结合现实生活代理的性质对护士实践一队实践的考察成为新的热点随机事件1，一般的，我们把条件S下，一定会发生的事件叫做，相对于S条件下的必然事件2在S条件下,一定不会发生的，事件叫做相对条件S下的不可能事件3S条件下,可能发生也不可能不发生的事件叫做相对S条件下的随机事件必然条件一不可能事件反映的就是，在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象2频率和概率1频率:在相同条件下重复，n次试验，观察某1事件a是否出现，称n次试验中事件a出现的频次m为事件，a的频数那么事件a出现的频率，频率的范围为0到1对于给定的随机事件如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在某个常数上，我们把这个常数系为，概率频率和概率有本质的区别，不可混为一谈，频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，他是平陆的科学抽象，运用库车事件的概率的加法公式解决实际问题，实质上是把复杂的事件概率问题转化为简单事件的概率问题，在转化过程中必须依据1定的划分标准，将复杂事件划分为若干个简单的护车事件的和3球简单互斥事件的概率的一般方法，直接法和间接法解决随机事件的概率问题，还有以下几点内容照成失分，在备考时要高度关注:1不判断事件是否彼此互称，盲目套用概率加法公式到错误2坚决护栅与对立事件问题时，由于对事件的库存已对你关机不清楚，不能正确判断护腿对立事件关系而致错五考题剖析对于考题7，1，读懂说给表格确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值2根据频率的计算公式计算3计算选择不同的路径，在允许的时间内赶到火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径4，解答本题时由两点内容容易造成失分:一，不能将概率问题转化为频率来进行估计二，在解答第3问时，不能正确的把所求事件转化为几个互斥事件和，导致计算错误古典概型1基本事件:一次试验中所有可能的结果都是随机事件，之类随机事件称为基本事件基本事件的特点1，男人和两个基本事件都是互斥的！2任何事件都可以表示成基本事件的和二，古典概率模型1试验中所有可能出现的基本事件只有有限个2每个基本事件出现的可能性相等我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型简称古典概型古典概型是一种特殊的概率模型及特征是:1有限性，在1次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有线个不同的基本事件2，等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的几何概型如果每个事件发生的概率值与构成该事件区域的长度面积和体积成正比，折成这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型注意:几何概型的两个特点:无限性，及在一次试验中基本事件的个数可以是无限的，均等性，每一个基本事件发生的可能是均等的2几何概型的概率计算公式3几何概型的特点a试验中所有可能出现的结果有无限个b每个基本事件出现的可能性相等4,5点概型与几何概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，弹古典概型要求基本事件由有限个，几何概型要求基本事件有无限多个3简单古典概型的概率1略2基本事件个数的确定方法1列举法，此法适合与基本事件较少的古典概型2，列表法，直发适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可以看成是坐标法3，树状图法，树状图式进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及比较复杂问题中基本事件数的探究6与面积体积有关的几何概型1，与面积有关的几何概型问题如果是按的结果所构成的区域几个度量可以用面积表示，则其概率的计算公式为: 2，与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为: 3解题方法及步骤1般利用图形辅助解题，1分析题目找出区域边界，2建立空间模型，根据空间模型和边界画图，分清g或G，分别计算其度量4，规律方法a怕你乱说求概率模型的类型是关键，和判断的主要依据是试验结果的有限性和无限性b对于几何概型问题，根据题意列出条件，找出试验的全部结果构成的区域及所求事件构成的区域是解题的关键,这时常常与线性规划问题联系在一起5,解决几何概型问题时还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注a不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误b基本事件对应的区域预测把握不准导致错误c利用几何概型的概率公式，忽视验证事件是否等可能性导致错误d对1些实际问题提炼不出4有放回抽样和无放回抽样的概率1有放回抽样和无，放回抽样的对比在古典概型的概率中涉及两种不同的抽取方式，以摸球违例，假设袋内有n个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种么求方法A有放回每次摸出1只后仍放回袋中然后再摸1只,这种摸球的方法属于有放回的抽样,显然对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复，而且摸球可无限的进行下去B,无放回每次摸出的1只后，不放回原袋中，在剩下的球中在摸1只，这种么求方法属于无放回的抽样，谢楠，对于无放回的抽样每次摸出的球不会重复出现，摸球只能进行有限次。

专题一 复数的有关概念及运算原题【原题1】【2018新课标卷II,理1】A.B.C.D.【答案】D点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 【原题2】【2017课标II ，理1】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D 【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。

【考点】 复数的除法【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。

除法实际上是分母实数化的过程。

在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化。

【原题3】【2016新课标卷II,理1】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ). A.()31-，B.()13-，C.()1+∞，D.()3-∞-，【答案】A【解析】 由题意知，30m +>，10m -<，所以31m -<<.故选A ．原题揭秘【命题意图】 高考对本部分内容的考查以运算能力为主,重点考查复数的四则运算以及复数的有关概念及复数的几何意义。

【命题规律】复数问题每年必考，多以小题的形式出现，而且是必拿分题，高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是单纯的复数运算求解题；一种是考查复数的几何意义以及有关概念。

【答题模板】解答本类题目,以2018年试题为例,一般考虑如下三步： 第一步：首先观察复数的形式.；第二步：分母实数化（分子分母同时乘以分母的共轭复数） 第三步：得结论． 【方法总结】1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 相似模拟题集训1．【2018）A. B. C. 1 D. 2【答案】C2．【2018)的共轭复数象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B点所在的象限．则的共轭复数对应的点在第二象限.故选B.3．【2018）A. D.【答案】A，A．4的坐标为A. C. D.【答案】CC.5．【福建省三明市2018届高三下学期质量检查测试】（是虚数单位，，（ ）A.C. 0D. 2【答案】A6．．【江西省赣州市2018年高三（5月）适应性考试-】复数（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：利用复数的运算法则，求得z 详解：根据题中所给的条件，，故选A.7．【2018黑龙江齐齐哈尔一模】设a R ∈，若()2a i i -（i 为虚数单位）为正实数，则复数2a i +的共轭复数为（ ）A. 22i +B. 12i -C. 12i +D. 12i -- 【答案】B【解析】()()()22212ai 21a i i a i a a i -=--=+-,又其为正实数∴220{10a a >-=，∴1a = ∴复数12i +的共轭复数为12i -故选：B8．【2018河南林州一中调研】已知复数满足()1z +=，则z （ ）A.344+B. 322-C. 322+D. 344- 【答案】A【解析】134z -====+ ，选A. 9．【福建省南平市2018为虚数单位，复数，） A. 1B.C. 2D. 4【答案】C10．【2018）A. 2B. C. 1D.【答案】B，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得.。

《7.2 复数的四则运算》复习教案 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义学 习 目 标核 心 素 养1.掌握复数代数形式的加减运算法则．(重点)2．了解复数代数形式的加减运算的几何意义．(易错点)1.通过复数代数形式的加减运算的几何意义，培养数学直观的素养．2．借助复数代数形式的加减运算提升数学运算的素养.【自主预习】1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则 ①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. (2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加减法的几何意义如图所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．思考：类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是什么？[提示] |z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．1．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2＝( ) A ．8i B ．6 C ．6＋8iD ．6－8iB [z 1＋z 2＝3＋4i ＋3－4i ＝(3＋3)＋(4－4)i ＝6.] 2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－iA [(1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A.]3．已知向量OZ →1对应的复数为2－3i ，向量OZ →2对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为 ．1－i [Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]【合作探究】复数代数形式的加、减运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ；(2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z .[解] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i ＝1＋i.(2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ， 所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2， 解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.复数代数形式的加、减法运算技巧复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．1．(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝ .(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝ .(1)－2－i (2)2 [(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎨⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ， 所以|z 1＋z 2|＝ 2.]复数代数形式加减运算的几何意义【例2】 (1)复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.则|z 1－z 2|＝ .(2)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 对应复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求①AO →所表示的复数，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③对角线OB →所表示的复数及OB →的长度．(1)2 [由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝ 2.](2)[解] ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③对角线OB →＝OA →＋OC →，它所对应的复数z ＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, |OB →|＝12＋62＝37.1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．2．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．[解] 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2) ＝(x －1，y －2)． BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)． ∵AD →＝BC →，∴⎩⎨⎧x －1＝1，y －2＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.复数模的最值问题[1．满足|z |＝1的所有复数z 对应的点组成什么图形？[提示] 满足|z |＝1的所有复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．2．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点组成什么图形？[提示] ∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．【例3】 (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．(1)A [设复数－i ，i ，－1－i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋i|＋|z －i|＝2, |Z 1Z 2|＝2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|＝1.所以|z ＋i ＋1|min ＝1.](2)[解] 如图所示， |OM →|＝(－3)2＋(－1)2＝2. 所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.1．若本例题(2)条件改为“设复数z 满足|z －3－4i|＝1”，求|z |的最大值． [解] 因为|z －3－4i|＝1，所以复数z 所对应点在以C (3,4)为圆心，半径为1的圆上， 由几何性质得|z |的最大值是 32＋42＋1＝6.2．若本例题(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值．[解] 因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z －2－2i|的最小值为|OP |－1＝22－1.|z 1－z 2|表示复平面内z 1，z 2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．3．|z －z 0|表示复数z 和z 0所对应的点的距离，当|z －z 0|＝r (r ＞0)时，复数z 对应的点的轨迹是以z 0对应的点为圆心，半径为r 的圆．【课堂达标练习】 1．判断正误(1) 复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．( ) (2)复数与复数相加减后结果为复数．( )(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝ .5 [|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.]3．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝ .－1 [z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.]4．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离．[解] 向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2. ∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i. ∴A ，B 两点间的距离为|－8－2i|＝(－8)2＋(－2)2＝217.《7.2.1复数的加、减运算及其几何意义》课后作业[合格基础练]一、选择题1．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A.75 B ．－115 C ．－185D ．5 B [(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝(－3a －2b )＋(b －a )i ＝3－5i ，所以⎩⎨⎧－3a －2b ＝3，b －a ＝－5，解得a ＝75，b ＝－185，故有a ＋b ＝－115.]2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－4 B [z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.]3．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1D [z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.]4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2iD [依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，即CD →对应的复数为4－2i.故选D.]5．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5B [设z ＝x ＋y i ，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.]二、填空题6．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝ .3 [由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以⎩⎨⎧a 2－2a －3＝0，a 2－1≠0，解得a ＝3.]7．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →对应的复数为 ．4－4i [BC →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →)，对应的复数为3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.]8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝ . －1＋10i [∵z 1＋z 2＝5－6i ，∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ，∴⎩⎨⎧x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.] 三、解答题 9．计算：(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)； (2)4－(5＋12i)－i ；(3)若z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，求复数z .[解] (1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i ＝3＋7i.(2)4－(5＋12i)－i ＝(4－5)＋(－12－1)i ＝－1－13i.(3)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，所以(x ＋y i)－(－3＋5i)＝－2＋6i ，即(x ＋3)＋(y －5)i ＝－2＋6i ，因此⎩⎨⎧x ＋3＝－2，y －5＝6，解得⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝11，于是z ＝－5＋11i.法二：由z －(－3＋5i)＝－2＋6i 可得z ＝－2＋6i ＋(－3＋5i)，所以z ＝(－2－3)＋(6＋5)i ＝－5＋11i.10．在复平面内，A ，B ，C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB ，AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．[解] 如图所示.AC →对应复数z 3－z 1， AB →对应复数z 2－z 1，AD →对应复数z 4－z 1.由复数加减运算的几何意义，得AD →＝AB →＋AC →，∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD 的长为|AD →|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.[等级过关练]1．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )A [由图可知z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－1＋i ，则复数z ＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)，故选A.]2．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0 B ．1 C.22 D.12C [由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离，即为22.]3．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝ . 76－4i [设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则⎩⎨⎧a ＝a 2＋b 2－3，b ＝－4，所以⎩⎨⎧a ＝76，b ＝－4，所以z ＝76－4i.]4．若复平面上的▱ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，则DA →对应的复数是 ．－1－7i [设AC 与BD 交于点O ，则有DA →＝DO →＋OA →＝12DB →＋12CA →＝－12(AC →＋BD →)．于是DA →对应的复数为－12[(6＋8i)＋(－4＋6i)]＝－1－7i.]5．设z 为复数，且|z |＝|z ＋1|＝1，求|z －1|的值． [解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋1＝(a ＋1)＋b i ，又|z |＝|z ＋1|＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，a 2＋b 2＋2a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b 2＝34，故|z －1|＝|(a ＋b i)－1|＝|(a －1)＋b i|＝(a －1)2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＋34＝ 3.7.2.2 复数的乘、除运算对加法的分配律．(易混点)3．了解共轭复数的概念．(难点)学运算的素养.【自主预习】1．复数的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3思考2：|z|2＝z2，正确吗？[提示]不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1. 2．复数代数形式的除法法则(a＋b i)÷(c＋d i)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(a，b，c，d∈R，且c＋d i≠0)1．复数(3＋2i)i等于( )A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i B[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B.]2．已知i 是虚数单位，则3＋i1－i＝( ) A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i D [3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i 2＝1＋2i.]【合作探究】复数代数形式的乘法运算【例1】 (1)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(2)计算：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； ②(3＋4i)(3－4i)； ③(1＋i)2.(1)B [z ＝(1－i)(a ＋i)＝(a ＋1)＋(1－a )i ，因为对应的点在第二象限，所以⎩⎨⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1 ，故选B.](2)[解] ①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i.②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25. ③(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.1．两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2(a ，b ∈R )；(2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )； (3)(1±i)2＝±2i.1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)(2)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． (1)C (2)5 [(1)A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数．C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数．D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数． 故选C.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ， 所以z 的实部是5.]复数代数形式的除法运算【例2】 (1)3＋i1＋i＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋iD ．2－i(2)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(1)D (2)A [(1)3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.(2)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.]1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i.2.(1)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)计算：⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8. (1)B [由复数的几何意义知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 1z 2＝－2－ii＝－1＋2i ，对应的点在第二象限．](2)解：法一：⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i －2i 4＝(－1)4＝1. 法二：因为1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i2＝i ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＝i 8＝1. 复数运算的综合问题[1．若z＝z，则z是什么数？这个性质有什么作用？[提示]z＝z⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．2．若z≠0且z＋z＝0，则z是什么数？这个性质有什么作用？[提示]z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．3．三个实数|z|，|z|，z·z具有怎样的关系？[提示]设z＝a＋b i，则z＝a－b i，所以|z|＝a2＋b2，|z|＝a2＋(－b)2＝a2＋b2，z·z＝(a＋b i)(a－b i)＝a2－(b i)2＝a2＋b2，所以|z|2＝|z|2＝z·z.【例3】(1)已知复数z＝3＋i(1－3i)2，z是z的共轭复数，则z·z等于( )A.14B.12C．1 D．2(2)已知复数z满足|z|＝5，且(1－2i)z是实数，求z.[思路探究]可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解．(1)A[法一：∵z＝3＋i(1－3i)2＝－3i2＋i(1－3i)2＝i(1－3i)(1－3i)2＝i1－3i＝i(1＋3i)4＝－34＋i4，∴z＝－34－i4，∴z·z＝14.法二：∵z＝3＋i (1－3i)2，∴|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋i (1－3i )2＝|3＋i||(1－3i )2|＝24＝12， ∴z ·z ＝14.](2)[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1－2i)z ＝(1－2i)(a ＋b i)＝(a ＋2b )＋(b －2a )i.又因为(1－2i)z 是实数，所以b －2a ＝0，即b ＝2a ，又|z |＝5，所以a 2＋b 2＝5.解得a ＝±1，b ＝±2.所以z ＝1＋2i 或－1－2i ，所以z ＝1－2i 或－1＋2i ，即z ＝±(1－2i)．1．在题设(1)条件不变的情况下，求z z.[解] 由例题(1)的解析可知z ＝－34＋i 4，z ＝－34－i 4，z ·z ＝14，∴z z＝z 2z ·z＝⎝⎛⎭⎪⎫－34＋i 4214＝12－32i.2．把题设(2)的条件“(1－2i)z 是实数”换成“(1－2i)z 是纯虚数”，求z .[解] 设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，由例题(2)的解可知a ＝－2b ，由|z |＝a 2＋b 2＝5b 2＝5，得b ＝1，a ＝－2；或 b ＝－1，a ＝2.所以z ＝－2－i ，或z ＝2＋i.1．由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．2．注意共轭复数的简单性质的运用．1．复数代数形式的乘法运算类似于多项式的乘法，同时注意i2＝－1的应用.2．复数代数形式的除法运算采用了分母实数化的思想，即应用z·z＝|z|2解题．3．记住几个常用结论：(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．(2)(1±i)2＝±2i.(3)若z＝z⇔z是实数；若z＋z＝0，则z是纯虚数；z·z＝|z|2＝|z|2.【课堂达标练习】1．判断正误(1)实数不存在共轭复数．( )(2)两个共轭复数的差为纯虚数．( )(3)若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.( )[答案](1)×(2)√(3)×2．已知复数z＝2－i，则z·z的值为( )A．5 B. 5 C．3 D. 3A[z·z＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5.]3．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )A．1 B．2 C. 2 D. 3C[因为z(1＋i)＝2i，所以z＝2i1＋i＝2i(1－i)2＝1＋i，故|z|＝12＋12＝2.]4．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋b i)，z2＝a＋2i1－i，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值．[解]z1＝(－1＋i)(1＋b i)＝－1－b i＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i, z2＝a ＋2i 1－i＝(a ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a ＋a i ＋2i －22＝a －22＋a ＋22i.由于z 1和z 2互为共轭复数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝－b －1，a ＋22＝－(1－b )，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.《7.2.2复数的乘除运算》课后作业[合格基础练]一、选择题 1.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－iD [(1＋i )3(1－i )2＝2i (1＋i )－2i＝－1－i ，选D.]2．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋iC [z －1＝1＋i i ＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C.]3．在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12i ，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．]4．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A．－4 B．－45C．4 D.45D[∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝53－4i＝5(3＋4i)(3－4i)(3＋4i)＝35＋45i.故z的虚部为45，选D.]5．设复数z的共轭复数是z，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z－2是实数，则实数t等于( )A.34B.43C．－43D．－34A[∵z2＝t＋i，∴z－2＝t－i.z 1·z－2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，又∵z1·z2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝34 .]二、填空题6．i为虚数单位，若复数z＝1＋2i2－i，z的共轭复数为z，则z·z＝ .1 [∵z＝1＋2i2－i＝(1＋2i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝5i5＝i，∴z＝－i，∴z·z＝1.]7．已知a＋2ii＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝ .1[∵a＋2ii＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋b i，∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.]8．设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝ .5[∵z1(1－i)＝3－i，∴z1＝3－i1－i＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2＋i，∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，∴z2＝z1＝2－i，∴|z2|＝ 5.]三、解答题 9．已知复数z ＝52－i. (1)求z 的实部与虚部；(2)若z 2＋m z ＋n ＝1－i(m ，n ∈R ，z 是z 的共轭复数)，求m 和n 的值． [解] (1)z ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5(2＋i )5＝2＋i ，所以z 的实部为2，虚部为1.(2)把z ＝2＋i 代入z 2＋m z ＋n ＝1－i ， 得(2＋i)2＋m (2－i)＋n ＝1－i ， 所以⎩⎨⎧2m ＋n ＋3＝1，4－m ＝－1.解得m ＝5，n ＝－12.10．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎨⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1，∴z ＝2＋i.∴zz＝2＋i 2－i ＝(2＋i )2(2－i )(2＋i )＝3＋4i 5＝35＋45i.[等级过关练]1．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－iA [∵z 1＝2＋i ，z 1与z 2关于虚轴对称，∴z 2＝－2＋i ， ∴z 1z 2＝－1－4＝－5，故选A.]2．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22D [A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．]3．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ．83 [z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825 ＝(3a －8)＋(4a ＋6)i 25，∴⎩⎨⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.]4．设x ，y 为实数，且x 1－i＋y 1－2i＝51－3i，则x ＋y ＝ . 4 [x 1－i＋y 1－2i ＝51－3i可化为， x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝5(1＋3i )10，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋25y i ＝12＋32i ，由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 5＝12，x 2＋25y ＝32.∴⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4.]5．设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1＜ω＜2，(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z，证明u 为纯虚数． [解] (1)因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.因为ω是实数且y ≠0， 所以y －y x 2＋y2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1. 此时ω＝2x . 因为－1＜ω＜2， 所以－1＜2x ＜2， 从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.(2)证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， 由(1)知，x 2＋y 2＝1， ∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋x i. 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y 1＋x≠0，所以u为纯虚数.。

第32课 复数[最新考纲]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )一一对应平面向量OZ →＝(a ，b )． 3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图32-1所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ ＝OZ 1＋OZ 2，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.图32-11．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2.(教材改编)如图32-2，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是________．图32-2B [共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.] 4．(2016·北京高考改编)复数1＋2i2－i＝________. i [法一：1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i5＝i.法二：1＋2i 2－i ＝i (1＋2i )i (2－i )＝i (1＋2i )2i ＋1＝i.] 5．(2015·江苏高考)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为______． 5 [∵z 2＝3＋4i ，∴|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝32＋42＝5，∴|z |＝ 5.](2016·全国卷Ⅲ改编)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝________. i [因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4iz z －1＝4i4＝i.](2)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． －2 [由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.][规律方法] 1.解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解．[变式训练1] (1)已知i 为虚数单位，复数z ＝i2＋i的虚部为________. 【导学号：62172171】(2)(2017·泰州中学高三摸底考试)已知复数z 满足(1＋i)·z ＝－i ，则z －的模为________．(1)25 (2)22 [(1)复数z ＝i 2＋i ＝i (2－i )(2＋i )(2－i )＝1＋2i 5＝15＋25i ，则其虚部为25.(2)(1＋i)·z ＝－i ⇒z ＝－i 1＋i＝－i －12⇒z －＝i －12⇒|z －|＝22.(2)(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．(1)2－i (2)2 [(1)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i. (2)∵(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，∴1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，∴ab ＝2.][规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．[变式训练2] (1)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________. (2)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________. (1)－1－i (2)1＋i [(1)由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＝i 8＋i 1 009＝1＋i 4×252＋1＝1＋i.]点在第四象限，则实数m 的取值范围是________．(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝________. 【导学号：62172172】(1)(－3,1) (2)－5 [(1)由题意知⎩⎨⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．(2)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)，即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.][规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[变式训练3] 定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i －i ，2i ＝0的复数z 对应的点在第________象限．二 [由题意得z ×2i －(1＋i)(－i)＝0，所以z ＝(1＋i )(－i )2i ＝－12－12i ，则z ＝－12＋12i 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，位于第二象限．][思想与方法]1．复数分类的关键是抓住z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的虚部：当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，且b ≠0时，z 为纯虚数．2．复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．[易错与防范]1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．两个虚数不能比较大小．3．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，应注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．课时分层训练(三十二)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)1．(2017·苏州模拟)设复数z i ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则z ＝________. 2－i [由z i ＝1＋2i 得z ＝1＋2i i ＝(1＋2i )i －1＝i －2－1＝2－i.]2．(2017·苏锡常镇二模)已知(a －i)2＝2i ，其中i 是虚数单位，那么实数a ＝________. 【导学号：62172173】－1 [由(a －i)2＝2i 得a 2－1－2a i ＝2i ，故⎩⎨⎧a 2－1＝0，－2a ＝2，即a ＝－1.] 3．(2017·无锡模拟)若复数z 满足(2－i)z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则|z |＝________.5 [由(2－i)z ＝4＋3i ，得|(2－i)z |＝|4＋3i|， 即5|z |＝5，∴|z |＝ 5.]4．(2016·全国卷Ⅰ改编)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝________.－3 [(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3.]5．(2016·全国卷Ⅰ改编)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝________.2 [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2.]6．(2017·泰州期末)如图32-3，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.图32-3－2－i [由图可知，z 1＝－1＋2i ， ∴z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)·i ＝－i －2.] 7．(2017·南京模拟)设3＋i1＋i＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________.1 [∵3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i.又由a ＋b i ＝2－i 可知 ，a ＝2，b ＝－1， ∴a ＋b ＝2－1＝1.]8．(2017·苏州模拟)复数z ＝a i1＋2i (a <0)，其中i 为虚数单位，|z |＝5，则a的值为________. 【导学号：62172174】－5 [∵z ＝a i1＋2i ，且|z |＝5，∴|a |5＝5，∴a ＝－5.]9．若z ＝4＋3i ，则z|z |＝________.45－35i [∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i.]10．已知复数z ＝1＋2i1－i ，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝________.0 [z ＝1＋2i 1－i ＝1＋2i (1＋i )2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝1×(1－z 2 020)1－z ＝1－i 2 0201－i ＝1－i 4×5051－i＝0.] 11．已知a ∈R ，若1＋a i 2－i 为实数，则a ＝________.－12 [1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a 5i.∵1＋a i 2－i为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.] 12．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________.【导学号：62172175】3 [∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.]B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是________．(填序号)①z 21＝z 2； ②|z 1|＝|z 2|；③z 31－z 32＝1；④z 1，z 2互为共轭复数．③ [依题意，注意到z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此①正确；注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此②正确；注意到z 1＝－12－32i ＝z 2，因此④正确；注意到z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，③错误．]2．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n(n ∈N ＋)，则集合{f (n )}中元素的个数为________． 3 [f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…， ∴集合中共有3个元素．]3．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．3或6 [∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3， 解得m ＝6或m ＝3.]4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i ，则z 1·z 2＝________.12＋32i [z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i ＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i.]。