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第六节 空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。
故其一般方程为：⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点),,(0000z y x M 和它的一方向向量},,{p n m =s ，设直线上任一点为),,(z y x M ，那么M M 0与s 平行，由平行的坐标表示式有：pz z n y y m x x 000-=-=- 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。
（写时参照书上注释）如设t pz z n y y m x x =-=-=-000 就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
例1：用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x ．解：在直线上任取一点),,(000z y x ，取10=x ⎩⎨⎧=--=++⇒063020000z y z y ，解得2,000-==z y ，即直线上点坐标)2,0,1(-．因所求直线与两平面的法向量都垂直，取}3,1,4{--=⨯=21n n s ，对称式方程为：321041-+=--=-z y x 参数方程： ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz t y tx 3241．例2： 一直线过点)4,3,2(-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程．解：因为直线和y 轴垂直相交，所以交点为)0,3,0(-B ，于是→==}4,0,2{BA s ，所求直线方程：440322-=+=-z y x 三、两直线的夹角： 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。
