《高等数学》极限与连续

§1. 数列的极限1. lim 0,,..||n n n x a N s t n N x a εε+→∞=⇔∀>∃∈>−< 时,成立2. 性质：收敛数列必有界、极限必唯一！§2. 函数的极限lim ()0,0,..|()|x f x A X s t x X f x A εε→∞=⇔∀>∃>>−<时,成立lim ()lim ()x x f x f x A →−∞→+∞⇔==00lim ()0,0,..|()|x x f x A s t x x f x A εδδε→=⇔∀>∃>−<−<时,成立00lim ()lim ()x x x x f x f x A −+→→=⇔=§3. 极限的性质极限的四则运算法则、复合运算法则、局部保号性§4. 无穷小与无穷大1. 定义：若lim ()x f x →=A ，则称x → 时()f x 为无穷小2. 性质：① 有限个无穷小的和（积）仍为无穷小；② 常数与无穷小的乘积仍为无穷小；③ 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小．3. 无穷小与无穷大的关系: 同一极限过程中，无穷小与无穷大互为倒数．4. 无穷小的比较：若α和β为自变量同一变化趋势下的无穷小量，① 若lim 0x αβ→= ，称α是比β高阶的无穷小，记为()αβ= ． ② 若lim x C αβ→= ，（），称0C ≠α和β为同阶无穷小． ③ 若lim 1x αβ→= ，称α和β为等价无穷小，记为α~β．5. 等价无穷小代换定理：若1αα∼，1ββ∼，则11limlim x x ααββ→→= ． 常用的等价无穷小结论：时，0x →sin x x ∼，arcsin x x ∼，tan x x ∼，arctan x x ∼， 1x e x −∼，ln(1)x x +∼，a x a x ln ~1−，21cos /2x x −∼，(1)1x x αα+−∼．§5. 极限的存在准则1. 夹逼准则：若，且()()()g x f x h x ≤≤lim ()lim ()x x g x h x A →→== ，则lim ()x f x A →=． 特别的：若，且n n n z x y ≤≤A z y n n n n ==∞→∞→lim lim ，则A x n n =∞→lim2. 单调有界收敛准则：若{}n x 单调增且有上界（或单调减且有下界），则lim n n x →∞必存在． 重要极限结论（1型）：∞()1lim 1()x x x e ϕϕ→⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠，其中lim ()x x ϕ→=∞§6. 连续函数及其性质1. 函数的连续性定义：若)()(lim 00x f x f x x =→，则()f x 在点连续． 0x 0lim 0x y Δ→⇔Δ=，其中)()(00x f x x f y −Δ+=Δ． 000lim ()()lim ()x x x x f x f x f x −+→→⇔==（即00()()()f x f x f x −+==）． 结论：初等函数在定义区间内连续！2. 间断点：如果在处不连续，则称在处间断.)(x f 0x )(x f 0x 间断的分类：第一类间断点：左、右极限都存在的间断点左、右极限 相等的为可去间断点；左、右极限不相等的为跳跃间断点；第二类间断点：左、右极限至少有一个不存在的间断点．注：分段函数在分段点处极限、连续性的讨论！3. 闭区间上连续函数的性质：最值定理：若()[,]f x C a b ∈，则()f x 在[,上一定能取得最值．]a b 介值定理：设()[,]f x C a b ∈，分别是,m M ()f x 在[,上的最值，若常数C 满足：，则至少存在一点]a b m C M <<(,)a b ξ∈，使()f C ξ=．零点定理：若()[,]f x C a b ∈，且()()0f a f b <，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ=． （常用于证明方程根的存在性）。

高等数学中的极限与连续性研究极限和连续性是高等数学中重要的概念，对于理解各种数学问题和应用具有重要意义。

本文将重点研究高等数学中的极限和连续性，以及这两个概念在实际问题中的应用。

1. 极限的概念和性质极限是数学分析的基础概念之一，它描述了函数在某一点附近的行为。

在研究极限时，我们通常关注函数在某一点无限接近于某个特定值的情况。

正式地说，对于给定函数f(x)和一点a，我们说函数f(x)在x趋近于a时，极限为L，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立。

极限具有一些重要的性质，如唯一性、有界性和保号性等。

其中唯一性指出，如果极限存在，则该极限是唯一的。

有界性和保号性则说明了在满足一定条件下，极限所在的区间中函数值是有界的。

2. 连续性的概念和充分条件连续性是函数论中的一个重要概念，它描述了函数在整个定义域上的行为。

对于函数f(x)，如果在其定义域的任意一点a处，极限lim(x→a) f(x)存在且等于f(a)，则称函数f(x)在点a处连续。

连续函数具有一些特性和充分条件。

例如，若函数f(x)在一个区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上有界且可达到最大值和最小值。

另外，若函数f(x)和g(x)都在点a处连续，则它们的和、差、积和商都在点a处连续。

3. 极限和连续性在实际问题中的应用极限和连续性在实际问题中有广泛的应用。

举例来说，它们在物理学、工程学和经济学等领域中被广泛应用。

在物理学中，极限和连续性被应用于描述物质在空间中的运动轨迹。

例如，通过研究物体在一定时间内的位置变化，我们可以通过极限的概念计算出物体的瞬时速度和加速度。

在工程学中，极限和连续性被应用于解决各种设计问题。

例如，在结构设计中，通过研究材料的强度和极限载荷，工程师可以确定合适的结构尺寸和材料选择。

在经济学中，极限和连续性则常用于解决优化问题，如最大化利润和最小化成本。

第二章 极限与连续极限是高等数学中最主要的概念之一，也是研究微积分的重要工具，如导数、定积分、重积分等定义都需要用极限来定义，因此，掌握极限的思想和方法是学好微积分学的基本前提．第一节 极限的定义教学目的：1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

2.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

教学重难点：1.极限的概念和左极限与右极限概念及应用；2.无穷小及无穷小的比较；本节将在中学学习过的数列的极限的基础上学习函数的极限、极限性质、无穷小的定义及性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系．一、数列的极限定义 对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时)(∞→n ，n x 无限趋近于一个确定的常数A ， 则称A 为数列{}n x 的极限．记作=∞→n n x lim A 或 A x n →（n ∞→）． 亦称数列{}n x 收敛于A ；如果数列{}n x 没有极限，就称数列{}n x 是发散的．数列极限的运算法则为：如果∞→n lim =n x A , ∞→n lim =n y B ，那么 法则1 ∞→n lim (n x ±n y ) ∞→=n lim n x ±∞→n lim =n y A ±B ；法则2 ∞→n lim (nx n y ) ⋅=∞→n n x lim n n y ∞→lim AB =；法则3 ∞→n lim lim n n n Cx C x →∞==CA (C 是常数)； 法则4∞→n lim B A y x y x nn n n n n ==∞→∞→lim lim ()0≠B ． 以上法则1，法则2可以推广到有限个数列的和与积的情形．二、函数的极限1．当∞→x 时，函数)(x f 的极限定义 如果当x 的绝对值无限增大（即∞→x ）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记为 A x f x =∞→)(lim 或 当∞→x 时，A x f →)(． 如图1－5（b ）所示, 函数xx f 1)(=当x 的绝对值无限增大时, 函数xx f 1)(=的图象无限接近于x 轴．也就是，当∞→x 时，)(x f 无限地接近于常数零，即01lim=∞→xx ． 在上述定义中，自变量x 的绝对值无限增大指的是既取正值无限增大（记为+∞→x ），同时也取负值而绝对值无限增大（记为-∞→x ）．但有时自变量的变化趋势只能或只需取这两种变化的一种情形，为此有下面的定义：定义 如果当+∞→x (或-∞→x )时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当+∞→x (或-∞→x )时的极限，记为 lim ()x f x A →+∞=或当x →+∞时，()f x A →； lim ()x f x A →-∞=或当x →-∞时，()f x A →． 由图1－5（b ）可以看出，01lim=+∞→xx 及01lim =-∞→x x ，这两个极限与01lim =∞→x x 相等，都是0．由图1－11（b ）可以看出，2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ．由于当+∞→x 和-∞→x 时，函数x y arctan =不是无限趋近于同一个确定的常数，所以x x arctan lim ∞→不存在．由上面的讨论，我们得出下面的定理： 定理 A x f x =∞→)(lim 的充要条件是： )(lim x f x +∞→A x f x ==-∞→)(lim ．（证明略）2．当0x x →时，函数)(x f 的极限定义 设函数()y f x =在点0x 的某个近旁（点0x 本身可以除外）内有定义，如果当x 趋于0x （但0x x ≠）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为A x f xx =→)(lim 0或 当0x x →时，A x f →)(．例1 考察极限C x x 0lim → (C 为常数)和x xx 0lim →． 解 因为当0x x →时，)(x f 的值恒为C ，所以=→)(lim 0x f x x C C xx =→0lim ． 因为当0x x →时，()x ϕx=的值无限接近于x ，所以lim ()x x x ϕ→=00lim x x xx =→． 3．当0x x →时，)(x f 的左、右极限因为0x x →有左右两种趋势，而当x 仅从某一侧趋于0x 时，只需讨论函数的单边趋势，于是有下面的定义：定义 如果当x 从0x 左侧趋近0x （记为0x x -→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的左极限，记为 0lim ()x x f x A -→=．如果当x 从0x 右侧趋近0x （记为0x x +→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的右极限，记为 0lim ()x x f x A +→=定理 A x f xx =→)(lim 0的充要条件是： 0lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==． （证明略）例2 讨论函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩当0→x 时的极限．解 观察图2－1可知：0lim ()x f x -→1)1(lim 0-=-=-→x x ，0lim ()x f x +→1)1(lim 0=+=+→x x ．因此，当0→x 时，)(x f 的左右极限存在但不相等，由定理2知，极限 )(lim 0x f x →不存在． 例3 研究当x →0时, x x f =)(的极限．解 观察图2－2可知：⎩⎨⎧≥<-==0)(x x x x x x f 由于)(lim 0x f x -→0)(lim 0=-=-→x x ,=+→)(lim 0x f x 0lim 0=+→x x ．所以当x 0→时，)(x f 的左, 右极限都存在且相等．由定理2知x →0时, x x f =)(的极限存在，且等于0．三、无穷小量实际问题中，常有极限为零的变量．例如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．对于这样的变量，有下面的定义：1．无穷小量的定义定义 极限为零的变量称为无穷小量，简称为无穷小． 如果0lim ()0x x x α→=，则变量()x α是0x x →时的无穷小，如果lim ()0x x β→∞=，则称()x β是x →∞时的无穷小，类似的还有0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞等情形下的无穷小．根据定义可知，无穷小是一种变化状态，而不是一个量的大小，无论多么小的一个数都不是无穷小，只有零是唯一的一个可作为无穷小的常数，无穷小是有极限变量中最简单而最重要的一类，在数学史上，很多数学家都致力于“无穷小分析”．2．无穷小量的性质定理 有限个无穷小的代数和为无穷小．（证明略）注意，无穷个无穷小之和未必是无穷小，如n →∞时，21n ，22n ，2nn 都是无穷小，但是222212(1)2n n n n n n n +++⋅⋅⋅+=，当n →∞时2(1)122n n n +→，所以不是无穷小．定理 有界函数与无穷小的积为无穷小． （证明略） 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. （证明略）图2－1图2－2推论2 有限个无穷小的积为无穷小．（证明略） 例4 求极限01lim sin x x x→． 解 因为x 是当0→x 时的无穷小，而x1sin 是一个有界函数，所以1lim sin0x x x→=． 3．函数极限与无穷小的关系 设A x f xx =→)(lim 0，即0x x →时()f x 无限接近于常数A ，有()f x A -就接近于零，即()f x A -是0x x →时的无穷小，若记()()x f x A α=-，于是有 定理 3 （极限与无穷小的关系）A x f xx =→)(lim 0的充分必要条件是()()f x A x α=+，其中()x α是0x x →的无穷小．例如11x x +→当()x →∞时，有111x x x +=+，其中1x就是()x →∞时的无穷小．四、 无穷大量 1．无穷大的定义定义 6 若当0x x →（x →∞）时，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大.函数()f x 当0x x →（或x →∞）时为无穷大，它的极限是不存在的，但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限为无穷大”，并记为lim ()x x f x →=∞ 或 lim ()x f x →∞=∞． 例如，当0→x 时，x1是一个无穷大，又例如， 当x →+∞时，x e 是一个无穷大．注意，说一个函数()f x 是无穷大，必须指明自变量x 的变化趋向；无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数．2．无穷大与无穷小的关系我们知道，当2x →时，2x -是无穷小，12x -是无穷大；当x →∞时，x 是无穷大，1x是无穷小．一般地，在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1x f 是无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且)(x f 0≠，则)(1x f 是无穷大． 利用这个关系，可以求一些函数的极限．例5 求极限13lim1-+→x x x ． 解 因为031lim1=+-→x x x ，由无穷大与无穷小的关系，所以∞=-+→13lim 1x x x ．五、无穷小量比较 由无穷小的性质，我们知道两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但两个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当0x →时， x 2、2x 、x sin 均为无穷小，而02lim 20=→x x x ，∞=→202lim x x x ，1sin lim 0=→xx x ．两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度．一般地，对于两个无穷小之比有下面定义：定义 设α和β都是同一过程的两个无穷小量，即lim 0α=，lim 0β=，1．若lim0αβ=，则称α是β的高阶无穷小量；记作()o αβ=，此时也称β是α的低阶无穷小量．2．若lim 0C αβ=≠，则称α与β是同阶的无穷小量．记作()O αβ=．3．若lim 1αβ=，则称α与β是等价无穷小量．记作βα~．例16 当1x →时，比较无穷小1x -与31x -的阶． 解 由于 0)1(lim 1=-→x x ，0)1(lim 31=-→x x ，且 3111limx x x --→3111lim 21=++=→x x x ， 所以当1x →时，1x -与31x -是同阶无穷小．例17 当0→x 时，证明x cos 1-与22x 等价．解 由于 0)cos 1(lim 0=-→x x ，02lim20=→x x ，且=-→2cos 1lim 20xx x 122sin 2lim 220=→x xx ．所以，当0→x 时，x cos 1-与22x 为等价无穷小．习题训练1．利用函数图像，观察函数的变化趋势，并写出其极限： （1）21limx x →∞； （2）lim 2x x →-∞； （3）1lim ()10x x →+∞； （4）1lim(2)x x→∞+；（5）2lim(45)x x →-； （6）2lim sin x x π→． 2．设2,1()1,1x x f x x ⎧≥-=⎨<-⎩，作出它的图象，求出当1-→x 时，()f x 的左极限、右极限，并判断当1-→x 时，()f x 的极限是否存在？3．设1()1x f x x -=-，求(10)f -和 (10)f +，并判断()f x 在1→x 时的极限是否存在？4．设21()1x f x x-=-，求0lim ()x f x →，1lim ()x f x →． 5．下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？无穷大？ （1）31y x = ； （2）211y x=+；（3） ln y x =；（4）y =6．求下列函数的极限：（1） sin limx x x →∞； （2）01lim cos x x x→； （3） 1lim1x xx →-； （4）32222lim (2)x x x x →+-．第二节 极限的运算教学目的：1.掌握极限的性质及四则运算法则;2.掌握利用两个重要极限求极限的方法。

极限与连续๑▪数列有界的充要条件是数列既有上界又有下界.▪数列极限存在与否、极限是什么，与数列前面的有限项无关，只与后面的无穷多项有关.若改变数列有限项，不影响数列的极限.▪数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一.若 limn→∞x n=a，则limn→∞x n+1=a2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3)保号性：若limn→∞x n=a，limn→∞y n=b，且a>b，则存在正整数N，当n>N时，恒有x n>y n.若limn→∞x n=a，且a>b(或a<b)，则存在正整数N，当n>N时，有x n>b(或x n<b)若limn→∞x n=a，且a>0(或a<0)，则存在正整数N，当n>N时，有x n>0(或x n<0)▪函数极限limx→x0f(x)=A的充要条件是limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)=A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关.即limx→x0f(x)存在⇌limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)▪函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当x→x0（或x→∞）时有极限，则其极限惟一.2)局部有界性3)局部保号性▪极限运算法则：设limf(x)=A,limg(x)=B,则1)lim[f(x)±g(x)]=A±B2)lim[f(x)g(x)]=AB3)当B≠0时，lim f(x)g(x)= A B4)lim[cf(x)]=climf(x) (c为常数) 5）lim[f(x)]k= [limf(x)]k(k为常数)▪当a0≠0, b0≠0时，有limx→∞a0x m+a1x m−1+⋯+a mb0x m+b1x m−1+⋯+b m={a0b0当n=m时0 当 n>m时∞ 当n<m时▪复合函数运算法则：limx→x0f[φ(x)]=limu→u0f(u)▪数列的夹逼准则：设有3个数列{x n}{y n}{z n},满足条件：1）y n≤x n≤z n（n=1,2,…）；2）limn→∞y n=limn→∞z n=a，则数列{x n}收敛，且limn→∞x n=a▪函数的夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x 0的某去心邻域内有定义，且满足条件：1）g(x) ≤f(x) ≤h(x);2) lim x→x 0g(x)=A, lim x→x 0h (x )=A . 则极限lim x→x 0f (x )存在且等于A. ▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.▪重要极限Ⅰ：lim x→0 sinx x =1▪重要极限Ⅱ：lim x→∞(1+1x )x =e , lim x→0(1+x )1x =e ▪无穷小的性质：1)有限个无穷小的代数和为无穷小.2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小.3)常量与无穷小的乘积为无穷小.4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小.5)有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A 的充要条件是f(x)=A+α(x). 其中α(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.▪无穷小的比较：设α=α(x) ，β=β(x)都是自变量同一变化过程中的无穷小.1.若lim βα=c (c ≠0,是常数)，则称β与α是同阶无穷小. 2.若lim βα=1，则称β与α是等价无穷小，记作β~α. 3.若lim βα=0，则称β与α是高阶无穷小，记作β=o(α)4.若lim βαk =c(c ≠0,k 是正整数), 则称β与α是k 阶无穷小.5.α~β的充要条件为α-β是α(或β)的高阶无穷小,即β−α=o (α)或β=α+o(α)6.α,β, α′,β′,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且 α~α′,β~β′,lim β′α′存在，则有lim βα= lim β′α′▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能]x →0时，x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ e x −1;1-cosx~x 22；(1+x )a -1~ax (a ≠0) ;a x -1~xlna (a >0,a ≠1);√1+x n - 1~ x n▪无穷大：函数无穷大 ⇀↚无界 x ⟶x 0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；x ⟶x 0时，若f(x)为无穷小，且在x 0的某去心邻域内f(x) ≠0, 则1f(x)为无穷大.[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]▪连续：函数在点x0处连续的充要条件是f(x)在x0处既左连续又右连续，且在x0有定义.即：lim x→x0−f(x)=limx→x0+f(x)=f(x0)▪间断点：x0是f(x)的间断点，f(x)在x0点处的左右极限都存在为第一类间断点. f(x)在x0点处左右极限至少有一个不存在，则x0是f(x)的第二类间断点.第一类间断点中{可去间断点：左右极限相等跳跃间断点：左右极限不相等第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.▪初等函数：连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.如果f(x)是初等函数，x0是其定义区间内的点，则limx→x0f(x)=f(x0).最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) ≠f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数μ，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)= μ.零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)∙f(b)<0)，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。

第二章第二章 极限与连续极限与连续一、本章提要 1.基本概念函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点，第二类间断点. .2.基本公式 (1) 1sin lim0=®口口口，(2) e )11(lim 0=+®口口口(口代表同一变量代表同一变量).). 3.基本方法⑴ 利用函数的连续性求极限；利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限；利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限；利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限；利用无穷小替换定理求极限；⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求¥¥形式的极限；形式的极限；⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. .4.定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. .二、要点解析问题1 如果如果如果 A x f x x =®)(lim 0存在，那么函数)(x f 在点0x 处是否一定有定义处是否一定有定义? ?解析 A x f x x =®)(lim 0存在与)(x f 在0x 处是否有定义无关．例如1sin lim0=®xxx ，而)(x f =xx sin 在0=x 处无定义；又如0lim 20=®x x ，而2)(x x f =在0=x 处有定义处有定义..所以，)(lim 0x f x x ®存在，不一定有)(x f 在0x 点有定义点有定义. .问题2 若若A x f x g x x =×®)()(lim 0存在，那么)(lim 0x g x x ®和)(lim 0x f x x ®是否一定存在？是否一定有)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®？解析 )(lim 0x g x x x x ®·A x f =)(存在，并不能保证)(lim 0x g x x x x ®与)(lim 0x f x xx x ®均存在均存在..例如0lim 1lim 020==®®x x x x x ，而x x 1lim 0®不存在不存在..又因为只有在)(lim 0x g x x ®与)(lim 0x f x x ®均存在的条件下，才有)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®,所以)(lim 0x g x x ®·)(x f 存在，不能保证)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®．问题3 +¥=®xx 1e lim 是否正确，为什么是否正确，为什么? ?解析 不正确不正确..尽管+¥=+®xx 10e lim ，而0e1lim elim e lim 101010===---®-®®xx xx xx .这说明这说明,,0®x 时，x1e 不是无穷大不是无穷大. .三、例题精解 例1 求下列极限求下列极限求下列极限: :(1) ))(cos sin (lim tan 2224πx x x x x ++®；(2) 1)1232(lim +¥®++x x x x ；(3) 3111limxxx --®；(4) )1sin sin (lim 0xx x x x ++®； (5) )2sin(lim x x x -++¥®；(6) xx x x1sin53lim 2-¥®. 解 (1)(1)由于讨论函数由于讨论函数xx x x x f tan222)(cos sin )(++=在4π=x 处有定义，而且在4π=x 处连续，所以有处连续，所以有 ])(cos sin [lim tan 2224πx x x x x ++®4πtan222)4π(cos )4π(sin )4π(++=222)22()22(16π++= 116π2+=． (2)123lim()21x x x x +®¥++1212lim()21x x x x +®¥++=+ 12lim(1)21x x x +®¥=++ （这是¥1型，设法将其化为口口）口（11lim +¥®）11221lim(1)12x x x ++®¥=++2121)2111(lim )2111(lim ++×++=¥®+¥®x x x x x212121)]2111(lim [)2111(lim ++++=¥®+¥®+x x x x x211e ×=e =．(3) 311lim 1x xx®-- （这是（这是00型未定式）23323331(1)(1)1()lim (1)1()(1)x x x x x x x x x ®éù-+++ëû=éù-+++ëû2331(1)1()lim (1)(1)x x x x x x ®éù-++ëû=-+ （分子、分母均含非零因子1-x ） 23311()lim 1x x x x®++=+ 32=． (4))1s i ns i n(l i m 0x x x x x ++®x x x x x x 1sin lim sin lim 00++®®+= 01+=1=．需要注意，01sin lim 0=+®x x x 是由于x 为+®0x 时的无穷小量，x 1sin ≤1，即x 1si n 为有界函数，所以x x1sin为+®0x 时的无穷小时的无穷小.. (5)lim sin(2)x x x ®+¥+-sin lim (2)x x x ®+¥=+- ( (函数符号与极限符号交换函数符号与极限符号交换函数符号与极限符号交换)) (2)(2)sin lim2x x x x x x x®¥+-++=++（分子有理化）2sin lim2x x x®+¥=++0s i n = 0=． (6)235lim1sinx x x x®¥-(35)lim11(sin )x x xx x ®¥-= （适当变形） lim (35)11lim (sin )x x x x x x®¥®¥-= （利用商的极限公式）105lim (3)111lim (sin )x xx x x ®¥®-= （利用重要极限1sin lim 0=®口口口）3=例2 设ïîïíì<+>=,0,,0,1sin )(22x x a x x x x f 问a 为何值时)(lim 0x f x ®存在，并求此极限值存在，并求此极限值. . 解解 对于分段函数，对于分段函数，讨论分段点处的极限讨论分段点处的极限..由于函数在分段点两边的解析式不同，所以，一般先求它的左、右极限一般先求它的左、右极限. .01sin lim )(lim 200==++®®xx x f x x ，a x a x f x x =+=--®®)(lim )(lim 20．为使为使)(lim 0x f x ®存在，必须即),(lim )(lim 0x f x f x x -+®®=0=a . 因此，因此，0=a 时，)(lim0x f x ®存在且0)(lim 0=®x f x ． 例3 设ïïîïïíì<--³+=,0,,0,2cos )(x x x a a x x x x f 问当a 为何值时，0=x 是)(x f 的间断点? ? 是什么间断点是什么间断点是什么间断点? ?解0lim ()lim x x a a xf x x--®®--=0()()lim ()x a a x a a x x a a x -®--+-=+- 0lim ()x x x a a x -®=+-01limx a a x -®=+-12a=，212cos lim )(lim 0=+=++®®x x x f x x ，当ax f x f x x 2121)(lim )(lim 0¹¹-+®®，即，亦即1¹a 时，0=x 是)(x f 的间断点；由于a 为大于0的实数，故)0()0(-+f f 与均存在，只是)0()0(-+¹f f ，故0=x 为)(x f 的跳跃间断点的跳跃间断点. .例 4 已知已知 011lim 2=÷÷øöççèæ--++¥®b ax x x x ，求b a ,的值的值. . 解 因为因为 )11(lim 2b ax x x x --++¥®2(1)()1lim1x a x a b x bx ®¥--++-=+0=，由有理函数的极限知，上式成立，必须有2x 和x 的系数等于0,0,即即îíì=+=-01b a a ，于是1,1-==b a .四、练习题⒈ 判断正误⑴ 若函数)(x f 在0x 处极限存在，则)(x f 在0x 处连续处连续. ( . ( . ( ×× ) 解析 函数在一点连续，函数在一点连续，函数在一点连续，要求函数在该点极限存在，要求函数在该点极限存在，要求函数在该点极限存在，且极限值等于该点函数值．且极限值等于该点函数值．且极限值等于该点函数值．如函数如函数îíì=¹=,0,1,0,)(x x x x f 0lim )(lim 00==®®x x f x x ，即函数)(x f 在0=x 处极限存在；但1)0(0)(lim 0=¹=®f x f x ，所以函数îíì=¹=0,1,0,)(x x x x f 在0=x 处不连续．处不连续． ⑵分段函数必有间断点⑵分段函数必有间断点. ( . ( . ( ×× )解析 分段函数不一定有间断点．如函数îíì<-³=0,,0,)(x x x x x f 是分段函数，()0lim )(lim 0=-=--®®x x f x x ，0lim )(lim 0==++®®x x f x x ，所以0)(lim 0=®x f x ；又因为0)0(=f ，即)0()(lim 0f x f x =®，所以函数)(x f 在0=x 处连续，无间断点．处连续，无间断点．⑶x 3tan 与x 3sin 是0®x 时的等价无穷小时的等价无穷小. ( . ( . ( √√ ) 解析 13cos 1lim3sin 3tan lim 00==®®xxx x x ，由等价无穷小的定义，x 3tan 与x 3sin 是0®x 时的等价无穷小．的等价无穷小．⑷无界函数不一定是无穷大量⑷无界函数不一定是无穷大量. ( . ( . ( √√ ) 解析 无穷大必无界，但反之不真．如函数无穷大必无界，但反之不真．如函数x x x f cos )(=，当¥®x 时是无界函数；但若取2ππ2+=n x ，¥®x （¥®n ）时0cos )(==x x x f ，不是无穷大量．，不是无穷大量． 2.选择题⑴下列极限存在的是⑴下列极限存在的是( B ) ( B )(A) xx 4lim ¥®; (B) 131lim 33-+¥®x x x ; (C)x x ln lim 0+®; (D) 11sin lim 1-®x x . 解析 (A)04lim =-¥®x x ，+¥=+¥®x x 4lim ， 所以所以xx 4lim ¥®不存在；不存在；(B)311311lim 131lim 3333=-+=-+¥®¥®x x x x x x ，极限存在；，极限存在；(C)-¥=+®x x ln lim 0，所以x x ln lim 0+®不存在；不存在； (D)1®x 时，01®-x ，¥®-11x ，所以，所以11sinlim 1-®x x 不存在．不存在． ⑵已知615lim =-+¥®x ax x ,则常数=a ( C ).(A) 1(A) 1；； (B) 5 (B) 5 ；； (C) 6 (C) 6 ；； (D) -1.解析611515lim ==-+=-+¥®a xx a x ax x ，所以，所以6=a ． ⑶xx f 12)(=在0=x 处 ( C ).(A) (A) 有定义；有定义；有定义； (B) (B) 极限存在；极限存在；极限存在； (C) (C) 左极限存在；左极限存在；左极限存在； (D) (D) 右极限存在右极限存在右极限存在. . 解析 因xx f 12)(=，在0=x 处无定义，处无定义，02lim )(lim 1==--®®xx x x f ，即xx f 12)(=在0=x 处左极限存在，处左极限存在，+¥==++®®x x x x f 102lim )(lim ，即xx f 12)(=在0=x 处右极限不存在，处右极限不存在，由极限存在的充要条件，可知函数xx f 12)(=在0=x 处的极限不存在．处的极限不存在． ⑷当⑷当+¥<<x 0时，xx f 1)(=( D ).(A) (A)有最大值与最小值有最大值与最小值有最大值与最小值; ; (B)(B)有最大值无最小值有最大值无最小值有最大值无最小值; ;(C)(C)无最大值有最小值无最大值有最小值无最大值有最小值; ; (D)(D)无最大值无最小值无最大值无最小值无最大值无最小值. . 解析 xx f 1)(=在()+¥,0上是连续函数，图形如下：上是连续函数，图形如下：所以当+¥<<x 0时，xx f 1)(=无最大值与最小值．无最大值与最小值． 3.填空题Oyxx1(1) (1)已知已知b a ,为常数，3122lim2=-++¥®x bx ax x ，则=a 0 0 ，，=b 6 6 ；； 解 ¥®x 时极限值存在且值为3，则分子、分母x 的最高次幂应相同，所以0=a ，那么那么 32122lim 122lim 122lim 2==-+=-+=-++¥®¥®¥®b xx b x bx x bx ax x x x ，所以6=b ．(2)23)(2+-=x x x f 的连续区间是(][)¥+¥-,21, ；解 由0232³+-x x ，知函数)(x f 的定义区间为(][)¥+¥-,21, ．又因为初等函数在其定义区间上连续，所以23)(2+-=x x x f 的连续区间是(][)¥+¥-,21, ．(3)0=x 是xx x f sin )(=的 可去可去可去 间断点间断点间断点; ;解 0=x 时，函数xx x f sin )(=无定义，但1sin lim0=®xxx ，极限存在，所以0=x 是xx x f sin )(=的可去间断点．的可去间断点．(4)(4)若若a x x =¥®)(lim j (a 为常数为常数))，则=j ¥®)(elim x x ae．解 由复合函数求极限的方法，ax x x x e eelim )(lim )(==j j ¥®¥®．4.解答题⑴ qq q q sin cos 1lim 0-®； 解一 qq q q sin cos 1lim 0-®2cos2sin 22sin 2lim 2q q q qq ®=2cos2122sinlim 0qqqq ×=®2cos 21lim 10q q ®×=21=．解二 无穷小量的等价代换，由于无穷小量的等价代换，由于0®q 时，2~cos 1,~sin 2q q q q -，所以所以 q q q q sin cos1lim 0-®q q q q ×=®2lim 2021= ．⑵ 设x x f ln )(=，求，求 1)(lim1-®x x f x ； 解由无穷小量的等价代换，1®x 即01®-x 时，()[]1~11ln ln )(--+==x x x x f ，所以所以 111lim 1ln lim 1)(lim 111=--=-=-®®®x x x x x x f x x x ．⑶ x xx sin e lim -+¥®；解 +¥®x 时，x-e 是无穷小量，x sin 是有界变量．是有界变量． 因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以 0sin e lim =-+¥®x xx ．⑷ 设îíì>-£=,1,56,1,)(x x x x x f 试讨论)(x f 在1=x 处的连续性，写出)(x f 的连续区间；解 1lim )(lim 11==--®®x x f x x ，()156lim )(lim 11=-=++®®x x f x x ，所以1)(lim 1=®x f x ．且1)1(=f ，即)1()(lim 1f x f x =®，所以函数)(x f 在1=x 处连续．处连续．又因为当1£x 时函数x x f =)(连续，当1>x 时函数56)(-=x x f 也连续，也连续，所以函数所以函数)(x f 的连续区间为()¥+¥-,．⑸ 设ïïîïïíì>=<=,0,sin ,0,1,0,e )(xx x x x x f x求)(lim ),(lim 00x f x f x x +-®®,并问)(x f 在0=x 处是否连续；处是否连续；e 1xe 1e 11=--xxe 1e 1e 1111=-=---++xx xxe 1e 11+-=xx 的跳跃间断点．的跳跃间断点． xx 2sin )1ln(lim0+；212lim 2sin )1ln(lim00=+x x x x ．。

高等数学中的极限与连续引言：在高等数学中，极限与连续是两个重要的概念。

它们不仅在数学理论中具有重要地位，也在实际应用中发挥着重要作用。

本文将从理论和实际应用两个方面，探讨高等数学中的极限与连续。

一、极限的概念及性质1. 极限的定义极限是数列和函数的重要概念，它描述了数列或函数在某一点或无穷远处的趋势。

极限的定义是：对于给定的数列或函数，当自变量趋于某一特定值时，函数值或数列的项逐渐接近某一确定值。

这一定义为我们研究数学问题提供了基础。

2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、复合函数的极限等。

这些性质使得我们能够更方便地进行数学推导和计算。

同时，了解极限的性质也有助于我们理解数学理论的深层次含义。

二、连续的概念及性质1. 连续的定义连续是函数的基本性质之一，它描述了函数在某一点的平滑性和无间断性。

连续的定义是：对于给定的函数，如果在某一点的函数值等于该点的极限值，那么该函数在该点是连续的。

连续的概念在实际应用中具有广泛的应用，如物理学、经济学等领域。

2. 连续的性质连续具有一些重要的性质，如连续函数的四则运算、连续函数的复合等。

这些性质使得我们能够更方便地进行函数的分析和计算。

同时，了解连续的性质也有助于我们理解函数的特性和行为。

三、极限与连续的应用1. 极限在微积分中的应用极限在微积分中具有重要的应用价值。

通过研究函数的极限，我们可以求解函数的导数和积分，进而解决实际问题。

例如，在物理学中，我们可以通过求解物体的速度函数的导数，得到物体的加速度；在经济学中，我们可以通过求解生产函数的边际产出函数的导数，得到边际产出率。

这些应用使得极限成为微积分的重要基础。

2. 连续在实际问题中的应用连续在实际问题中也具有广泛的应用。

例如，在工程学中，我们可以通过研究连续函数的性质，分析物体的运动轨迹、控制系统的稳定性等问题；在金融学中，我们可以通过研究连续函数的性质，分析股票价格的波动、投资组合的收益率等问题。

《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。

是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。

一，极限的概念从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。

通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。

这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。

二，极限的运算技巧我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。

现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。

我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。

这基本上时可以直接套用的。

1，连续函数的极限这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。

2，不定型我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。

那么下面详细说明一些注意点以及技巧。

第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。

等价代换的公式主要有六个：需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。

此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：等等。

特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。