典型题型
题型一：直接考查勾股定理
例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．
⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长
⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长
分析：直接应用勾股定理222a b c +=
解：⑴10AB =
⑵8BC =
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.
⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为
分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解
解：
⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB
⋅=
= D
B A C
⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =
⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得
60ab =1302S ab ∴==2cm
例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长
2
1
D
C
B
A
分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来
解：作DE AB ⊥于E ，
12∠=∠，90C ∠=︒
∴ 1.5DE CD ==
在BDE ∆中
90,2BED BE ∠=︒=
Rt ACD Rt AED ∆≅∆
AC AE ∴=
在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒
222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=
例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
答案：6
题型三：实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m
A
B C D E
分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m
在Rt ADE ∆
中，由勾股定理得10AD ==
答案：10m
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =
解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==
∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516
a =，222
b
c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形
例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形
理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =
222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =
证明：
D C
B A
AD 为中线，5BD DC ∴==cm
在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=
