2010年北京海淀区高考一模试题：数学(理)

2010年北京海淀区高考一模试题：数学（理）一、选择题（共7小题；共35分）1. 一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为______A. B. C. D.2. 在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于______A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 在四边形中，，且，则四边形是 ______A. 矩形B. 菱形C. 直角梯形D. 等腰梯形4. 在平面直角坐标系中，点的直角坐标为．若以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以是______A. B. C. D.5. 已知等差数列，，，等比数列，，，则该等差数列的公差为______A. 或B. 或C.D.6. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是______A. B. C. D.7. 已知数列：，，，具有性质：对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：①数列，，具有性质；②数列，，，具有性质；③若数列具有性质，则；④若数列，，具有性质，则．其中真命题有______A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题（共2小题；共10分）8. 给定下列四个命题：① " "是" "的充分不必要条件；②若" "为真，则" "为真；③若，则；④若集合，则．其中为真命题的是______（填上所有正确命题的序号）．9. 在二项式的展开式中，的系数是，则实数的值为______．三、解答题（共5小题；共65分）10. 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在区域返券元；停在区域返券元；停在区域不返券．例如：消费元，可转动转盘次，所获得的返券金额是两次金额之和．（1）若某位顾客消费元，求返券金额不低于元的概率；（2）若某位顾客恰好消费元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）．求随机变量的分布列和数学期望．11. 如图，三棱柱中，侧面底面，，，且，为中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置．12. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于、两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．13. 已知函数其中为常数，且．（1）当时，求在上的值域；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．14. 已知数列满足：，为偶数为奇数（1）求的值；（2）设，试求数列的通项公式；（3）对于任意的正整数，试讨论与的大小关系．四、选择题（共1小题；共5分）15. 在同一坐标系中画出函数，，的图象，可能正确的是______A. B.C. D.五、填空题（共3小题；共15分）16. 某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这名同学中学习时间在小时内的人数为______．17. 已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是______．18. 在平面直角坐标系中，点集，，则（1）点集所表示的区域的面积为______；（2）点集所表示的区域的面积为______．六、解答题（共1小题；共13分）19. 已知函数的图象如图所示．（1）求，的值；（2）设，求函数的单调递增区间．答案第一部分1. A2. C3. B4. C5. C6. A7. B第二部分8. ①④9.第三部分10. （1）若返券金额不低于元，则指针落在或区域．因为所以消费元的顾客，返券金额不低于元的概率是．（2）由题意得，该顾客可转动转盘次．随机变量的可能值为，则所以，随机变量的分布列为：其数学期望11. （1）因为，且为的中点，所以．又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面．（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．由题意可知，，又，∴．所以得，，，，，，则有：，，．设平面的一个法向量为，则有令得，．所以．．因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以．（3）设，，即，得所以，得令 平面，得，即，得，即存在这样的点，为的中点．12. （1）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆两焦点坐标分别为，．所以所以，又，，故椭圆的方程为．（2）当直线轴，计算得到：，，，不符合题意．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，由，消去得显然成立，设，，则又圆的半径．所以化简，得，即，解得．所以，．故圆的方程为：．13. （1）当时，得令，即，解得，所以函数在上为增函数，据此，函数在上为增函数，而，，所以函数在上的值域为（2）由令，得即当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；若，即，易得函数在上为增函数，此时，，要使对恒成立，只需即可，所以有，即而，即，所以此时无解．若，即，易知函数在上为减函数，在上为增函数，要使对恒成立，只需，即，由和得．若，即，易得函数在上为减函数，此时，，要使对恒成立，只需即可，所以有，即，又因为，所以．综合上述，实数的取值范围是14. （1）∵，，，，∴；；．（2）由题设，对于任意的正整数，都有：∴．∴数列是以为首项，为公差的等差数列．（3）对于任意的正整数，当或时，；当时，；当时，证明如下：首先，由可知时，；其次，对于任意的正整数，时，；时所以，时，事实上，我们可以证明：对于任意正整数，（*）（证明见后），所以，此时，综上可知：结论得证．对于任意正整数，（*）的证明如下：①当（）时，，满足（*）式．②当时，，满足（*）式．③当时，于是，只须证明，如此递推，可归结为①或②的情形，于是（*）得证．第四部分15. D第五部分16.17.18. ；第六部分19. （1）由图象，得则由图象过点，得因为，所以（2）由（1）得从而当即时，函数单调递增．因此，函数的单调增区间为。

绝密 使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共140分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3} （2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线（6）a 、b 为非零向量。

“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+-为一次函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=xa 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞] (8)如图，正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PE ＦＱ的体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 （Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 （Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2010年北京各区一模数学试题复数、算法、集合、简易逻辑、推理与证明、平面几何平面几何1. （崇文·理·题3）已知PA 是O 的切线，切点为A ，2PA =，AC 是O 的直径，PC 交O 于点B ，30PAB ∠=，则O 的半径为 （ ）PAA ．1B ．2CD ．【解析】 C ；30,2tan30PAPCAPAB CA ∠=∠===2. （东城·理·题3）如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是（ ）A ．3B ．C ．2D OPCB A【解析】 B ；延长CP 交于圆上一点，得到一条圆的弦，易知P点为该弦的中点，有28PC PA PB=⋅=．3.（丰台·理·题9）在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，DE与AC交于点F，若AEF∆的面积是12cm，则CDF∆的面积是2cm．【解析】4；HGFEDCBA取CD的中点G，连结BG交AC于H，则∵BE DG∥且1122BE AB CD DG===，∴四边形BEDG为平行四边形∴AF FH HC==∴44DFC AEFS S==△△4.（海淀·理·题10）如图，AB为O的直径，且8AB=，P为OA的中点，过P作O的弦CD，且:3:4CP PD=，则弦CD的长度为．【解析】7；由8AB =得2,6AP PB ==．由已知和相交弦定理得:3:4CP PD AP PB CP PD ⋅=⋅⎧⎨=⎩，解得34CP PD =⎧⎨=⎩． 于是347CD CP PD =+=+=．【解析】【解析】94,5；22(26)164PC PA PB PC=⋅=⨯+=⇒=；连结OC，知OC PC⊥，于是5PO=，2239235CO OE OP PE=⋅⇒==+．BCO EPDA5.（宣武·理·题11）若,,A B C是O⊙上三点，PC切O⊙于点C，110,40ABC BCP∠=︒∠=︒，则AOB∠的大小为．【解析】60︒；如图，弦切角40PCB CAB∠=∠=︒，于是18030ACB CAB ABC∠=︒-∠-∠=︒，从而260AOB ACB∠=∠=︒．PO CBA6.（朝阳·理·题12）如图，圆O是ABC∆的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，3CD AB BC===，则BD的长为；AC的长为．ODCB【解析】 374,．()24CD DB DA DB AB BD BD =⋅=⋅+⇒=．又由DCB CAB ∠=∠知BCD ACD ∆≅∆．于是BC BD CDAC CD AD ==． 即33727BD AC AC CD ==⇒=．7. （西城·理·题12） 如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ．已知O 的半径为3，2PA =，则PC = ．OE = ．AD E OCB【解析】 94,5；22(26)164PC PA PB PC =⋅=⨯+=⇒=；连结OC ，知OC PC ⊥，于是5PO =，2239235CO OE OP PE =⋅⇒==+．BCOE PD A坐标系与参数方程1. （海淀·理·题4）在平面直角坐标系xOy 中，点P的直角坐标为(1,．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是（ ）A ．π1,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．4π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．4π2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】C ；易知2ρ==，()π2π3k k θ=-∈Z ．2. （朝阳·理·题9）已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心的直角坐标是 ；半径长为 ． 【解析】 ()1,0,1；由22cos ρρθ=，有222xy x+=，即圆的直角坐标方程为()2211x y -+=．于是圆心坐标为()1,0，半径为1．3. （崇文·理·题11）将参数方程12cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化成普通方程为 ． 【解析】 ()2214x y -+=；由12cos ,2sin x y θθ-==知()2214x y -+=．4. （石景山·理·题11）如图，已知PE 是圆O 的切线．直线PB 交圆O 于A 、B 两点，4PA =，12AB =，43AE =．则PE 的长为_____，ABE ∠的大小为________．POEBA【解析】 8，30︒；24(412)64PE PA PB =⋅=⨯+=，则8PE =；由222PEPA AE =+，可知90PAE ∠=︒，即90BAE ∠=︒，由3tan AE ABE AB∠==，得30ABE ∠=︒．5. （西城·理·题11）将极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为 ．【解析】2220x y x +-=；2222cos 2x y xρρθ=⇒+=．6. （东城·理·题12）圆的极坐标方程为sin 2cos ρθθ=+，将其化成直角坐标方程为 ，圆心的直角坐标为 ．【解析】 2215(1)()24x y -+-=，11,2⎛⎫⎪⎝⎭； 222sin 2cos 2x y y xρρθρθ=+⇒+=+．7. （东城·理·题12）圆的极坐标方程为sin 2cos ρθθ=+，将其化成直角坐标方程为 ，圆心的直角坐标为 ．【解析】 2215(1)()24x y -+-=，11,2⎛⎫⎪⎝⎭； 222sin 2cos 2x y y xρρθρθ=+⇒+=+．8. （宣武·理·题12）若直线:0l x =与曲线:x a C y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数，0a >）有两个公共点,A B ，且||2AB =，则实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ．【解析】22,4cos 20ρρθ-+=；曲线C ：22()2x a y -+=，点C 到l2a=，因此||22AB a =⇒=；222(2cos )(2sin )ρθθ-+=，即24cos 20ρρθ-+=．9. （丰台·理·题12）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11x y t =⎧⎨=+⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（参数[)0,2πθ∈），则圆心到直线l的距离是．直线方程为1y x =+，圆的方程为()2211x y -+=．于是圆心()1,0到直线10x y -+=．复数1. （海淀·理·题1）在复平面内，复数1ii z =-（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】C ；()()1i1i i 1i iz -==--=--，该复数对应的点位于第三象限．2. （丰台·理·题1）如果1i1i a z a -=+为纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．1-或1 【解析】 D ；设i z x =，0x ≠则1ii 1i a x a -=+()1i 0ax a x ⇔+-+=100ax a x +=⎧⇔⎨+=⎩11a x =⎧⇔⎨=-⎩或11a x =-⎧⎨=⎩．3. （石景山·理·题1）复数21i+等于（ ） A ．2i - B ．2i C ．1i -D ．1i +【解析】C ；22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-++-．4. （东城·理·题1）i 是虚数单位，若12ii(,)1i a b a b +=+∈+R ，则a b +的值是（ ）A ．12-B ．2- C ．2D ．12【解析】C ；12i (12i)(1i)3i1i (1i)(1i)2++-+==++-，于是31222a b +=+=． 5. （朝阳·理·题1）复数112ii ++等于 （ ） A ．12i + B ．12i - C ．12- D ．12 【解析】D ；计算容易有1i 11i 22+=+．6. （海淀·文·题1）在复平面内，复数()i 1i -（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解析】 A ；()i 1i 1i-=+，对应的点为()1,1位于第一象限．7. （丰台·文·题1）复数1i1i z -=+化简的结果等于（ ） A ．i - B ．i C ．2i - D ．2i 【解析】 A ；1i1i z -=+()()()21i 2i i 1i 1i 2--===-+-．8. （石景山·文·题1）复数21i+等于（ ） A ．2i - B ．2i C ．1i -D ．1i +【解析】C ；22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-++-．9. （东城·文·题1）计算复数1i1i-+的结果为（ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．1 【解析】 A ；21i (1i)i 1i 2--==-+． 10. （朝阳·文·题1）复数22(1)i i+等于 （ ） A ．2 B ．-2 C ．2i - D ．2i 【解析】 C ；()221221i ii i +==--． 11. （宣武·理·题3）若复数z 满足2i 1iz=+，则z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】B ；2i(1i)22iz =+=-+．12. （宣武·文·题4）设i 是虚数单位，则复数(1i)2i z =+⋅所对应的点落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】B ；22iz =-+．13. （西城·文·题9）i 是虚数单位，1i 1i+=+ ． 【解析】 11i22+；11i 1i i i 1i 22-++=+=+．14. （西城·理·题9）若(2i)i i a b -=+，其中,a b ∈R ，i 为虚数单位，则a b += ． 【解析】 3；2i i a b +=+1,2a b ⇒==． 15. （崇文·理·题9）如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________． 【解析】 1-；()()()()223i 1i 1mm m m i m ++=-++．于是有3101mm +=⇒=-．16. （崇文·文·题10）如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________． 【解析】 -1；()()()()223i 1i 1m m mm m i++=-++．于是有3101mm +=⇒=-．算法1. （丰台·文·题3）在右面的程序框图中，若5x =，则输出i 的值是（ ）x > 109i = i + 1NY 输出i结束x = 3x -2i = 0输入x开始A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】C ；51337109325→→→→，对应的4i =．2.（石景山·理·题4）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：2cm）为（）A．80B．60C．40D．20【解析】A；几何体如图，是正四棱锥，底边长8，侧面底边上的高为5，因此侧面积为1854802⨯⨯⨯=．3.（西城·理·题5）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．1321B．2113C．813D．138【解析】D；===<；1,2,320===<；，x y zx y z1,1,220．===>，故输出1388,13,2120x y z4.（东城·理·题5）如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为4，则判断框中应填入的条件是（）5A．4?T> T>B．4?T<C．3?D．3?T<【解析】B；循环一次得：12,1,2i T S ===；两次得：1123,2,263i T S ===+=；三次得：2134,3,3124i T S ===+=；四次得：3145,4,4205i T S ===+=，此时需要跳出循环，故填4?T <．5. （东城·文·题5）按如图所示的程序框图运算，若输入6x =，则输出k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】B ；6x =，0k =，13x =，1k =，27x =，2k =，55x =，3k =，111x =，4k =，111100x =>，跳出循环，输出4k =．6. （石景山·文·题6）已知程序框图如图所示，则该程序框图的 功能是（ ）A ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈N B ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈N C ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n *∈N D ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬的前11项和()n *∈N 【解析】注意n 和k 的步长分别是2和1．7. （西城·文·题6）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813 D ．138【解析】D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<；，8,13,2120x y z ===>，故输出138．8. （海淀·理科·题7） 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）第 7 题A ．1-B ．1C ．2D ．12【解析】A；∵()i==，∴对应的120100mod3a=-．9.（朝阳·文·题11）如图，下程序框图的程序执行后输出的结果是．【解析】55；将经过i次运行后的,n S值列表如下．于是55S=．10.（宣武·文·题12）执行如图程序框图，输出S的值等于．12题图【解析】20；运算顺序如下1,1,23,4,36,10,410,20,54A S i A S i A S i A S i===→===→===→===>，输出S，故20S=．11.（崇文·理·题12）（崇文·文·题12）某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为 ．【解析】13，21；依据程序框图画出运行n 次后,,M N i 的值．n1 2 3 i2 3 4 M2 5 13 N3 8 21 4次运行后43i =>，于是有13,21M N ==． 12. （丰台·理·题13）在右边的程序框图中，若输出i 的值是4，则输入x 的取值范围是 ．【解析】(]2,4；∵328228->⇔>，x xx x->⇔>，322810x x->⇔>x x->⇔>，324232104∴要使得刚好进行4次运算后输出的82x>，则有24x<≤．13.（朝阳·理·题13）右边程序框图的程序执行后输出的结果是．【解析】625；将经过i 次运行后的,n S 值列表如下．i1 2 3 4 5 ．．． m ．．．25 n3 5 7 9 11 21m + 51 S 14 9 16 25 2m 625 于是625S =．14. （海淀·文·题13） 已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________．结束输出 a i = i +1否是a = 1-1ai ≥ 20a = 2 , j = 1开始【解析】12；a = -1 , j = 3a = 12, j = 2a = 2 , j = 1∵()202mod 3i ==，∴对应的12a =．集合简易逻辑推理与证明1. （崇文·文·题1）已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合()UA B = （ ）A ．{}|14x x -≤≤B ．{}|23x x <≤C ． {}|23x x <≤D ．{}|14x x -<< 【解析】 D ；容易解得{3A x x x =>或者}0x <，{}26B x x =<<． 于是()UA B ={}23x x <≤．2. （西城·理·题1）设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是（ ）A ．P Q =B ．P Q R =C ．P Q D ．Q P 【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞．3. （宣武·理·题1）设集合20.3{|0},2P x x m =-=≤，则下列关系中正确的是（ ） A ．m P ⊂ B ．m P ∉ C ．{}m P ∈ D ．{}m P【解析】D ；{|0P x x =≤≤，0.3022m <=<<，故m P ∈，因此{}m P4. （崇文·理·题1）已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合()UA B =（ ）A ．{}|14x x -≤≤B ．{}|14x x -<<C ．{}|23x x <≤D ．{}|23x x <≤ 【解析】D ；容易解得{3A x x x =>或者}0x <，{}26B x x =<<． 于是()UA B ={}23x x <≤．5. （西城·文·题1）设集合{|1}P x x =>，{|(1)0}Q x x x =->，下列结论正确的是（ ）A ．P Q =B ．P Q R =C ．P QD ．Q P【解析】C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞．6. （宣武·文·题1）设集合{|4},sin 40A x x m ==︒≤，则下列关系中正确的是（ ） A ．m A ⊂ B ．m A ⊄ C ．{}m A ∈ D ．{}m A ∉【解析】D ；正确的表示法，m A ∈，{}m A，{}m A ∉．7. （东城·理·题2）设全集{33,}I x x x =-<<∈Z ，{1,2}A =，{2,1,2}B =--，则()IA B 等于（ ）A ．{1}B ．{1,2}C ．{2}D ．{0,1,2}【解析】D ；{2,1,0,1,2}I =--，{0,1}IB =，故(){0,1,2}I AB =．8. （石景山·文·题2）已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．,2x x ∀∈R ≤B ．,2x x ∃∈<RC ．,2x x ∀∈-R ≤D ．,2x x ∃∈<-R【解析】B ；全称命题的否定是存在性命题，将∀改为∃，然后否定结论．9. （东城·文·题2）设集合{1,2,4,6}A =，{2,3,5}B =，则韦恩图中阴影部分表示的集合（ ）A ．{2}B ．{3,5}C ．{1,4,6}D ．{3,5,7,8}【解析】B ；阴影部分表示{3,5}UAB =．10. （丰台·理·题2） 设集合[)1{|(),0,}2xM y y x ==∈+∞，(]2{|log ,0,1}N y y x x ==∈，则集合M N 是（ ）A ．[)(,0)1,-∞+∞B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．(,0)(0,1)-∞ 【解析】 C ；(]0,1M =，(],0N =-∞，因此(],1MN =-∞．11. （石景山·理·题2）已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．,2x x ∀∈R ≤B ．,2x x ∃∈<RC ．,2x x ∀∈-R ≤D ．,2x x ∃∈<-R【解析】 B ；全称命题的否定是存在性命题，将∀改为∃，然后否定结论．12. （朝阳·文·题2）命题:0p x ∀>，都有sin 1x -≥，则 （ ）A ．:0p x ⌝∃>，使得sin 1x <-B ．:0p x ⌝∀> ，使得sin 1x <-C ．:0p x ⌝∃>，使得sin 1x >-D ．:0p x ⌝∀>，使得sin 1x -≥【解析】 A ；由命题的否定容易做出判断．13. （海淀·文·题7）给出下列四个命题：①若集合A 、B 满足A B A =，则A B ⊆；②给定命题,p q ，若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真； ③设,,a b m ∈R ，若a b <，则22am bm <；④若直线1:10l ax y ++=与直线2:10l x y -+=垂直，则1a =． 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 B ；命题①和④正确．14. （丰台·文·题7）若集合{}0,1,2P =，10(,),,20x y Q x y x y P x y ⎧⎫-+>⎧⎪⎪=∈⎨⎨⎬--<⎩⎪⎪⎩⎭，则Q 中元素的个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【解析】 B ；(){},|12,,Q x y x y x y P =-<-<∈， 由{}0,1,2P =得x y -的取值只可能是0和1． ∴()()()()(){}0,0,1,1,2,2,1,0,2,1Q =，含有5个元素．15. （崇文·文·题8）如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 例如[]3.273=，[]0.60=．那么“[][]x y =”是“1x y -<”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 A ；由[][][][]1,1x x x y y y <+<+≤≤．于是有[][]()[][]1111x y x y x y -=+<-<+-=-则1x y -<．不妨设33,24x y ==，于是3331424x y -=-=<．但是[][]1,0.x y ==16. （东城·文·题9）已知命题3:(1,),log 0p x x ∀∈+∞>，则p 为 ． 【解析】 030(1,),log 0x x ∃∈+∞≤；全称命题的否定为存在命题．17. （宣武·文·题10）命题“任意常数列都是等比数列”的否定形式是 ．【解析】 存在一个常数列不是等比数列；全称命题的否定是存在性命题．18. （海淀·理·题11）给定下列四个命题：① “π6x =”是“1sin 2x =”的充分不必要条件； ② 若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真；③ 若a b <，则22am bm <；④ 若集合A B A =，则A B ⊆． 其中为真命题的是 （填上所有正确命题的序号）． 【解析】 ①，④；19. （海淀·理·题14）在平面直角坐标系中，点集(){}22,|1A x y x y =+≤， {(,)|4,0,340}B x y x y x y =-≤≥≥，则 ⑴点集(){}1111(,)3,1,,P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；⑵点集{}12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 ． 【解析】 π；18π+．；⑴如左图所示，点集P 是以()3,1为圆心1为半径的圆，其表示区域的面积为π； ⑵如右图所示，点集Q 是由三段圆弧以及连结它们的三条切线段围成的区域，其面积为()1π433451π18π2OPQ OABP PCDQ OFEQ S S S S ++++=⨯⨯+++⨯+=+△．20. （海淀·文·题14） 在平面直角坐标系中，点集(){}22,|1A x y x y =+≤， (){},|11,11B x y x y =--≤≤≤≤，则⑴点集(){}1111(,)3,1,,P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；⑵点集{}12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为．【解析】π，12π+；⑴如左图所示，点集P是以()3,1为圆心1为半径的圆，其表示区域的面积为π；⑵如右图所示，点集Q是由四段圆弧以及连结它们的四条切线段围成的区域，其面积为+．12π。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若集合=-====-P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{( )A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( )A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－23．设复数=+=+-=2121arg ,2321,1z z i z i z 则( )A ．π1213B ．π127 C ．π125 D ．－π1254．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是( ) A ．54 B ．45 C ．43 D ．345．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+>+b a byax y b x a 与的曲线大致是( )正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径xyxy xyxyOOOOABCD6．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是( )A ．C A sin sin <B ．C A cos cos <C ．tgC tgA <D ．ctgC ctgA <7．椭圆ϕϕϕ(sin 3,cos 54⎩⎨⎧=+=y x 为参数）的焦点坐标为( ) A ．（0，0），（0，－8） B ．（0，0），（－8，0）C ．（0，0），（0，8）D ．（0，0），（8，0）8．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度 数为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．0°9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A ．42B ．30C ．20D ．1210．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在11．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于( )A ．8B ．2C ．－4D ．－812．在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为3032,0,0=+==y x y x ，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是( ) A ．95B ．91C ．88D ．752003年普通高等学校春季招生考试A B CDEFG H JL数 学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 题 号 二 三总 分 17 18 19 20 21 22 分 数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水 面高度恰好升高r ，则=rR14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压 结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据 的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）8815．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by ax 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是16．若存在常数0>p ，使得函数 =)()(px f x f 满足)(),)(2(x f R x p px f 则∈-的一个正周期为三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解不等式：.1)1(log)2(log 21221-->--x x x18．（本小题满分12分）rr↑↓（1）（2）xyOPF 1F已知函数)(,2cos 4sin 5cos6)(24x f xx x x f 求-+=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点， EF ∩BD=G .（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； （Ⅱ）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （Ⅲ）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V .ABCD EFGB 1C 1D 1A 120．（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈. （Ⅰ）证明}{n a 是等比数列； （Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.ABCO 1O 222．（本小题满分13分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线1l相切，点C在l上.x:-=（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A，B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．332 14．（140）（85） 15．32 16．2p 注：填2p 的正整数倍中的任何一个都正确.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.解：原不等式变形为)22(log)2(log21221->--x x x .所以，原不等式3230,203,01,0)1)(2(22201,02222<<⇔⎩⎨⎧<<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x .故原不等式的解集为}32|{<<x x .18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得.所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(4)(sin 5)(cos 6)(24x x x x f ---+-=-)(),(2cos 4sin 5cos624x f x f xx x 所以=-+=是偶函数.当xx x x f Z k k x 2cos 4sin 5cos6)(,,4224-+=∈+≠时ππ1c o s 32c o s )1c o s 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）证法一： 连结AC.∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形，∴AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，故EF ∥AC ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. 证法二：∵BE=BF ，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF ⊥BD. 又 EF ⊥D 1D∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. （Ⅱ）在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H.∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ，∴点D 1到平面B 1EF 的距离d=D 1H.解法一：在Rt △D 1HB 1中，D 1H=D 1B 1·sin ∠D 1B 1H. ∵422221111=⋅==B A B D ，,174144sin sin 2211111=+==∠=∠GB B B GB B H B D∴.17171617441=⋅==H D d 解法二：∵△D 1HB 1～△B 1BG ， ∴GB B D BB H D 11111=，∴.1717161442221211=+===GB B B H D d解法三：连结D 1G ，则三角形D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1面积的一半， 即21112121B B H D G B =⋅⋅， .1717161211===∴GB BB H D d（Ⅲ）EF B EF B D EFD B S d V V V 1111131∆--⋅⋅===.31617221171631=⋅⋅⋅⋅=20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为50503000)150)(503000100()(⨯-----=x x x x f ，整理得307050)4050(5012100016250)(22+--=-+-=x x xx f BO n-1O nACABCDEFG B 1C 1D 1A 1B 1BG DD 1HB 1BG DD 1H所以，当x =4050时，)(x f 最大，最大值为307050)4050(=f ，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分. （Ⅰ）证明：记r n 为圆O n 的半径，则,633021l tg l r =︒=.2130sin 11=︒=+---nn n n r r r r所以,12),2(3122111lra n r r n n ππ==≥=-于是91)(211==--n n n n r r a a 故}{n a 成等比数列.（Ⅱ）解：因为),()91(11N n a a n n ∈=-所以.323911)(lim 2121l a a a a nn π=-=+++∞→22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为x y 42=.（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=xy x y x y 4)1(3)1(32由消y 得.3,31,03103212===+-x x x x 解得所以A 点坐标为)332,31(，B 点坐标为（3，32-），.3162||21=++=x x AB假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++222222)316()32()131(,)316()32()13(y y 由①－②得,)332()34()32(42222-+=++y y.9314-=y 解得但9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.① ② )332,31()32,3(-xy 42=l32-332xyA OB P(1,0)-1因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形， 由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 得， 即当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，故32≠y . 又2222334928)332()311(||y y y AC +-=-+--=，22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9256)316(||22==AB .当222||||||AB AC BC +>，即9256334928342822++->++y y y y ，即CAB y ∠>,392时为钝角.当222||||||AB BC AC +>，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即CBA y ∠-<时3310为钝角.又222||||||BC AC AB +>，即2234283349289256y y y y ++++->，即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二：以AB 为直径的圆的方程为222)38()332()35(=++-y x . 圆心)332,35(-到直线1:-=x l 的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G )332,1(--.当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G点不重合，且A ，B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 过点A 且与AB 垂直的直线方程为9321).31(33332=-=-=-y x x y 得令.过点B 且与AB 垂直的直线方程为)3(3332-=+x y . 令33101-=-=y x 得.又由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 解得，所以，当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是).32(9323310≠>-<y y y 或。

2010年北京市海淀区高三一模数 学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1至2页，第II 卷2至4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡及答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束，将本试卷、答题卡、答题纸一并交回。

第I 卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中。

选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数z=(1-i)（i 是虚数单位）对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在同一坐标系中画出函数log ,,x a y x y a y x a ===+的图像，可能正确的是3．在四边形ABCD 中，,AB D C =且0AC AD = ，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3)-。

若以圆点O 为极点，x 轴半轴为极轴建立坐标系，则点P 的极坐标可以是A ．(1,)3π-B ．4(2,)3π C ．(2,)3π-D ．4(2,)3π-5．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三 棱柱的左视图的面积为 A ．63 B ．8C ．83D ．126．已知等差数列1，,a b ，等比数列3，2,5a b ++，则该 等差数列的公差为 A ．3或3- B ．3或1- C ．3D ．3-7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是A ．1-B ．1C ．2D ．128．已知数列1212:,,...,(...,3)n n A a a a a a a a n ≤<<<≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题： ①数列0，1，3具有性质P ； ②数列0，2，4，6具有性质P ； ③若数列A 具有性质P ，则10a =；④若数列123,,a a a 123(0)a a a ≤<<具有性质P ，则1322a a a += 其中真命题有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了 100名学生，统计他们每天平均学习时间，绘成 频率分布直方图（如图）。

海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 测 评数 学2010.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．21-的倒数是 A. 2 B.2- C.21 D.21- 2．2010年2月12日至28日，温哥华冬奥会官方网站的浏览量为275 000 000人次. 将 275 000 000用科学记数法表示为A. 72.7510⨯ B.727.510⨯ C. 82.7510⨯ D.90.27510⨯ 3．右图是某几何体的三视图，则这个几何体是A . 圆柱B . 正方体C . 球D . 圆锥4．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为A . 5B .6C . 7D . 85．一个布袋中有4个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，1个红球．从袋中任意摸出1个球是白球的概率是 A ．43 B ．41 C ．32 D ．31 6． 四名运动员参加了射击预选赛，他们成绩的平均环数x 及其方差2s 如表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，那么应选A ．甲B ．乙C．丙 D ．丁7．把代数式322363x x y xy-+分解因式，结果正确的是A．(3)(3)x x y x y+-B．223(2)x x xy y-+ C．2(3)x x y+D．23()x x y-8. 如图,点E、F是以线段BC为公共弦的两条圆弧的中点，6BC=. 点A、D分别为线段EF、BC上的动点. 连接AB、AD，设BD x=，22AB AD y-=，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象是A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．函数13-=xy的自变量x的取值范围是．10．如图, O的半径为2，点A为O上一点，OD⊥弦BC于点D，1OD=,则BAC∠=________︒．11．若代数式26x x b-+可化为2()1x a--，则b a-的值是．12. 如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△211B D C的面积为1S，△322B D C的面积为2S，…，△1n n nB D C+的面积为nS，则2S= ；nS=____ （用含n的式子表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）130112cos301)()2-︒+-．14．解方程：23233xx x+=-+．15. 如图, △OAB和△C O D均为等腰直角三角形，90AOB COD∠=∠=︒, 连接AC、BD.求证: AC BD=.A16． 已知：2310x x +=，求代数式2(2)(10)5x x x -++-的值.17. 已知：如图，一次函数y x m =+与反比例函数y =的图象在第一象限的交点为(1)A n ，．（1）求m 与n 的值；（2）设一次函数的图像与x 轴交于点B ，连接OA ，求BAO ∠的度数．18. 列方程（组）解应用题：2009年12月联合国气候会议在哥本哈根召开．从某地到哥本哈根，若乘飞机需要3小时，若乘汽车需要9小时．这两种交通工具平均每小时二氧化碳的排放量之和为70千克，飞机全程二氧化碳的排放总量比汽车的多54千克，分别求飞机和汽车平均每小时二氧化碳的排放量．四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分） 19．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90DCB ，BD AC ⊥于点O ，4,2==BC DC ，求AD 的长.20. 已知：如图，O 为ABC ∆的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .（1） 求证：DA 为O 的切线；（2） 若1BD =，1tan 2BAD ∠=，求O 的半径. 21. 2009年秋季以来，我国西南地区遭受了严重的旱情,某校学生会自发组织了“保护水资源从我做起”的活动. 同学们采取问卷调查的方式，随机调查了本校150名同学家庭月人均用水量和节水措施情况.以下是根据调查结果做出的统计图的一部分.图1 图2请根据以上信息解答问题： （1）补全图1和图2；（2）如果全校学生家庭总人数约为3000人，根据这150名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家庭月用水总量.22．阅读：如图1，在ABC ∆和DEF ∆中，90ABC DEF ∠=∠=︒,,AB DE a ==BC EF b == ()b a <,B 、C 、D 、 E 四点都在直线m 上，点B 与点D 重合.连接AE 、FC ，我们可以借助于ACE S ∆和FCE S ∆的大小关系证明不等式：222a b ab +>（0b a >>）.证明过程如下:∵,,.BC b BE a EC b a ===-∴11(),22ACE S EC AB b a a ∆=⋅=- 11().22FCE S EC FE b a b ∆=⋅=-∵0b a >>,∴FCE S ACE S ∆∆>. 即a ab b a b )(21)(21->-. ∴22b ab ab a ->-. ∴222a b ab +>. 解决下列问题：（1）现将△DEF 沿直线m 向右平移，设()BD k b a =-,E图1F图2且01k ≤≤.如图2,当BD EC =时, k = .利用此图,仿照上述方法,证明不等式：222a b ab +>（0b a >>）.（2）用四个与ABC ∆全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个．．示意图，并简要说明理由.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，且c 为正整数. （1）求c 的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中,抛物线24y x x c =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C . 点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC 的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为(),m n ,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围.24. 点P 为抛物线222y x mx m =-+(m 为常数，0m >)上任一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90︒后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），点Q 为点P 旋转后的对应点.（1）当2m =，点P 横坐标为4时，求Q 点的坐标； （2）设点(,)Q a b ，用含m 、b 的代数式表示a ； （3) 如图，点Q 在第一象限内, 点D 在x 轴的正半轴上，点C为OD 的中点，QO 平分AQC ∠，2AQ QC =，当QD m =时，求m 的值.25.已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==,ABO DCO =∠∠. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.图1 图2(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠，则PMN △的形状是________________，此时ADBC=________； (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算ADBC的值（用含α的式子表示）； (3) 在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.海淀区九年级第二学期期中测评数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 130112cos301)()2-︒+-.解： 原式=212+-----------------------------------4分 1.---------------------------------5分 14．解方程：23233x x x +=-+. 解：去分母，得 22(3)3(3)2(9)x x x x ++-=-． ---------------------------------1分去括号，得222639218x x x x ++-=-． ---------------------------------2分 解得 1x =-． ---------------------------------4分 经检验，1x =-是原方程的解．∴ 原方程的解是1x =-． ---------------------------------5分 15．证明：∵ 90,AOB COD ∠=∠=︒∴ .AOC BOD ∠=∠---------------------------------1分 ∵ △OAB 与△COD 均为等腰三角形，∴ ,.OA OB OC OD ==---------------------------------3分 在△AOC 和△BOD 中，,,,AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AOC ≌△BOD .---------------------------------4分 ∴ AC BD =.---------------------------------5分16．解： 原式=5104422-+++-x x x x ---------------------------------2分 =1622-+x x .---------------------------------3分 当2310x x +=时，原式=1)3(22-+x x ---------------------------------4分 191102=-⨯=.---------------------------------5分17．解：（1）∵点(1,)A n 在双曲线y =上，∴n =分又∵(1A 在直线y m =+上，∴ m =.---------------------------------2分 （2）过点A 作AM ⊥x 轴于点M . ∵ 直线33233+=x y 与x 轴交于点B ，∴033x +=.解得 2x =-.∴ 点B 的坐标为-20（，）.∴ 2=OB .---------------------------------3分∵点A 的坐标为， ∴1,3==OM AM .在Rt △AOM 中，︒=∠90AMO , ∴tan 3==∠OMAMAOM . ∴︒=∠60AOM .---------------------------------4分由勾股定理，得 2=OA . ∴.OA OB = ∴BAO OBA ∠=∠. ∴︒=∠=∠3021AOM BAO .---------------------------------5分 18．解：设乘飞机和坐汽车每小时的二氧化碳排放量分别是x 千克和y 千克. ………1分依题意，得70,3954.x y x y +=⎧⎨-=⎩---------------------------------2分解得57,13.x y =⎧⎨=⎩----------------------------4分答: 飞机和汽车每小时的二氧化碳排放量分别是57千克和13千克. ………5分 四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分） 19．解法一：过点D 作//DE AC 交BC 的延长线于点E .---------------------------------1分∴ BDE BOC ∠=∠. ∵ AC BD ⊥于点O , ∴ 90BOC ∠=︒.∴ 90BDE ∠=︒. ---------------2分 ∵ //AD BC ，∴ 四边形ACED 为平行四边形. ---------------3分 ∴ AD CE =.∵ 90,90BDE DCB ∠=︒∠=︒，∴ 2DC BC CE =⋅.-------------------------------4分 ∵ 2,4DC BC ==， ∴ 1CE =.∴ 1AD =.---------------------------------5分 解法二： //AD BC ，∴ 180ADC DCB ∠+∠= .又 90DCB ∠=，∴ 90ADC ∠= . --------------------------------------------1分AC BD ⊥于点O , ∴ 90BOC ∠= .∴ 90DBC ACB ∠+∠= . 90ACB ACD ∠+∠= .∴ DBC ACD ∠=∠.------------------------------------------2分∴ ACD DBC ∠=∠tan tan .---------------------------------------------3分在Rt △BCD 中，tan CDDBC BC ∠=.在Rt △ACD 中，tan ADACD CD∠=.∴CD ADBC CD=.------------------------------------------4分 4BC =,2CD =，∴ 1AD =. ---------------------------------------------5分20. （1）证明：连接AO . ---------------------------------1分∵ AO BO =，∴ 23∠=∠. ∵ BA CBF ∠平分， ∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ .∴ DB ∥AO .--------------------------2分 ∵ AD DB ⊥, ∴ 90BDA ∠=︒. ∴ 90DAO ∠=︒. ∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线. ---------------------------------3分 （2） ∵ AD DB ⊥,1BD =，1tan 2BAD ∠=， ∴ 2AD =.由勾股定理，得AB = --------------------------------4分∴sin 45∠=.∵ BC 是⊙O 直径， ∴ ︒=∠90BAC . ∴ 290C ∠+∠=︒.又∵ 4190∠+∠=︒, 21∠=∠, ∴ 4C ∠=∠. 在Rt △ABC 中，sin AB BC C ==sin 4AB∠=5. ∴ O 的半径为52.-------------------------5分 21. 解：(1)50-------------------------2分--------------------------4分(2) 全体学生家庭月人均用水量为1505164323502421103000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯--------------------------5分9040=（吨）.答：全校学生家庭月用水量约为 9040吨.--------------------------6分22．（1）12k =；--------------------------1分 证明：连接AD 、BF .可得1()2BD b a =-.∴ ()()11112224ABD S BD AB b a a a b a ∆=⋅=⨯⨯-⋅=-， ()()11112224FBD S BD FE b a b b b a ∆=⋅=⨯⨯-⋅=-.∵ 0>>a b ，∴ FBD ABD S S ∆∆<， 即()14a b a -()14b b a <-. ∴ ab b a ab -<-22.∴ ab b a 222>+.--------------------------2分 （2）答案不唯一，图1分，理由1分. 举例：如图，理由： 延长BA 、FE 交于点I . ∵ 0>>a b ，∴ IBCE ABCD S S >矩形矩形， 即 )()(a b a a b b ->-. ∴ 22a ab ab b ->-.∴ ab b a 222>+.--------------------------4分 举例：如图，理由：四个直角三角形的面积和11422S a b ab =⨯⋅=， 大正方形的面积222S a b =+. ∵ 0>>a b ， ∴ 21S S >.∴ ab b a 222>+.--------------------------4分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）∵关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，∴ △=0416≥-c .∴ .4≤c -----------------------1分 又∵ c 为正整数，∴ 4,3,2,1=c . ------------------- 2分 （2）∵ 方程两根均为整数，∴ 4,3=c .---------------3分又∵ 抛物线与x 轴交于A 、B 两点， ∴ 3=c .∴ 抛物线的解析式为243y x x =-+.--------------4分∴ 抛物线的对称轴为2x =.∵ 四边形OBPC 为直角梯形，且90COB ∠=︒， ∴ PC ∥BO .∵ P 点在对称轴上，∴ 2=PC .--------------5分（3）02≤<-m 或42≤<m .----------- 7分（写对一个给1分）24. 解：（1）当m =2时，2)2(-=x y ，则(2,0)G ，(4,4)P . --------------------1分如图，连接QG 、PG ,过点Q 作QF x ⊥轴于F ,过点P 作PE x ⊥轴于E . 依题意,可得△GQF ≌△PGE .则2,4,FQ EG FG EP ==== ∴ 2=FO .∴ ()2,2-Q . ------------------2分（2）用含,m b 的代数式表示a ：2b m a -=. ------4分 （3）如图，延长QC 到点E ，使CQ CE =,连接OE . ∵ C 为OD 中点,∴ CD OC =. ∵ QCD ECO ∠=∠, ∴ △ECO ≌△QCD .∴ m DQ OE ==. ------------------5分 ∵ QC AQ 2=, ∴ QE AQ =. ∵ QO 平分AQC ∠, ∴ 21∠=∠.∴ △AQO ≌△EQO . ------------------6分∴ m EO AO ==.∴ ()m A ,0.------------------7分 ∵ ()m A ,0在新的图象上, ∴ 20m m -=.∴ 11=m ，02=m （舍）.∴ 1m =. ------------------8分25. 解：(1)等边三角形，1；(每空1分) ------------------------2分（2）证明：连接BM 、CN .由题意，得BM OA ⊥，CN OD ⊥,α-︒=∠=∠90COD AOB . ∵ A 、O 、C 三点在同一直线上， ∴ B 、O 、D 三点在同一直线上.∴ 90BMC CNB ==∠∠. ∵ P 为BC 中点，∴ 在Rt △BMC 中，BC PM 21=.在Rt △BNC 中，BC PN 21=.∴ PN PM =.---------------------------3分∴ B 、C 、N 、M 四点都在以P 为圆心，12BC 为半径的圆上. ∴ 2MPN MBN =∠∠.又∵ α=∠=∠ABO MBN 21， ∴ MPN ABO =∠∠.∴ PMN BAO △∽△. ----------------------------------4分∴ BAAOPM MN =. 由题意，12MN AD =，又BC PM 21=.∴ PM MNBC AD =.------------------------------------5分 ∴ AD AOBC BA=. 在Rt BMA △中，αsin =ABAM. ∵ AM AO 2=，∴2sin AOBAα=.∴αsin 2=BC AD.------------------------------6分 （3）52.--------------------------------7分(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)。

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理科） 2010.1一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1． 函数1(0)y x x x=+>的值域为A ．[)2,+∞B ．(2,)+∞C ．(0,)+∞D ．(][),22,-∞-+∞2．如图，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为A． B ．6 C．D ．33．已知双曲线2213y x -=，那么它的焦点到渐近线的距离为A ．1BC ．3D ．44．已知,m n 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是A ．//,//m βαβB ．,m βαβ⊥⊥C ．,,m n n m αα⊥⊥⊄D ．m 上有不同的两个点到α的距离相等5．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为A ．16 B ．15C ．13D ．256．如图，向量-a b 等于 A ．1224--e e B ．1242--e e C ．123-e eD ．123-+e e7．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有 A ．72种 B ．54种 C ．36种 D ．18种8．点P 在曲线C ：2214x y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线l ：4x =于B 点，满足PA PB =或PA AB =，则称点P 为“H 点”，那么下列结论正确的是 A ．曲线.C .上的所有点都是“H 点” B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点” C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点”D ．曲线C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点”第II 卷（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．若直线l 的参数方程为1 23x t t y t =+⎧⎨=-⎩，（为参数），，则直线l 的斜率为_______________.10．阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为1， 则输入的实数x 值为________________.11．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为__________________.12．设关于x 的不等式2*2()x x nx n -<∈N 的解集中整数的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S 的值为_______________________.13．在区间[0,2]上任取两个数,a b ，那么函数22()f x x ax b =++无零点的概率为_________.正视图侧视图俯视图14．考虑以下数列{}n a ，*n N ∈：① 21n a n n =++；② 21n a n =+；③ ln 1n na n =+. 其中满足性质“对任意正整数n ，212n nn a a a +++≤都成立”的数列有 （写出满足条件的所有序号）；若数列{}n a 满足上述性质，且11a =，2058a =，则10a 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c C π=，5b =，ABC ∆的面积为（Ⅰ）求a ，c 的值； （Ⅱ）求sin()6A π+的值.16．（本小题满分13分）某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：（Ⅰ）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分；（Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.17． （本小题满分13分）已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱第一空得分情况第二空得分情况BC ，AD 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面PFB ； （Ⅱ）已知二面角P -BF -CP -ABCD 的体积.18.（本小题满分13分）已知函数2()1x af x x +=+（其中a R ∈）.（Ⅰ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线为12y x b =+，求实数,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19．（本小题满分14分）已知抛物线:W 2y ax =经过点A (2,1)，过A 作倾斜角互补的两条不同直线12,l l . （Ⅰ）求抛物线W 的方程及准线方程； （Ⅱ）当直线1l 与抛物线W 相切时，求直线2l 与抛物线W 所围成封闭区域的面积；（Ⅲ）设直线12,l l 分别交抛物线W 于B ，C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC 的方程.20．（本小题满分14分）给定项数为m *(,3)m N m ∈≥的数列{}n a ，其中{0,1}i a ∈(1,2,,)i m = .若存在一个正整数(21)k k m ≤≤-，若数列{}n a 中存在连续的k 项和该数列中另一个连续的k 项恰好按次序对应相等，则称数列{}n a 是“k 阶可重复数列”，例如数列{}n a0,1,1,0,1,1,0.ABECPD F因为1234,,,a a a a 与4567,,,a a a a 按次序对应相等，所以数列{}n a 是“4阶可重复数列”. （Ⅰ）分别判断下列数列①{}:0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0.n b ②{}:1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1.n c 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若数为m 的数列{}n a 一定是 “3阶可重复数列”，则m 的最小值是多少？说明理由； （III ）假设数列{}n a 不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且41a ，求数列{}n a 的最后一项m a 的值.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2010．1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．3- 10．34 11．2412π+ 12．10100 13．3414．②③;28 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，3C π=，5b =，因为 1s i n 2ABC S ab C ∆= ，即 115s i n23a π⋅ ， ………………..1分 解得 8a = .………………..3分由余弦定理可得:2642580cos493c π=+-=, ………………..5分所以 7c =. ………………..7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）有4925641cos 707A +-==,………………..9分由于A 是三角形的内角，易知 sin A = ………………..10分所以 s i n ()s i nc o sc o s s i n666A A A πππ+=+ ………………..11分1172=+⨯1314= . ………………..13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为x ，则由表中数据可得: 01983802069823023.011000x ⨯+⨯+⨯+⨯== ，……………….4分 据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分.……………….5分（Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，……………….7分记“第一空答对”为事件A ，“第二空答对”为事件B ，则“第一空答错”为事件A ， “第二空答错”为事件B .若要第一空得分不低于第二空得分，则A 发生或A 与B 同时发生，……………….9分 故有： ()()0.80.20.70.94P A P A B +⋅=+⨯= .……………….12分 答：该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94. ……………….13分17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为E ，F 分别为正方形ABCD 的两边BC ，AD 的中点，所以BE FD ∥,所以，BEDF 为平行四边形,……………….2分 得//ED FB ，……………….3分 又因为FB ⊂平面PFB ，且ED ⊄平面PFB ,……………….4分 所以DE ∥平面PFB .……………….5分（Ⅱ）如图，以D 为原点，射线DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设PD =a , 可得如下点的坐标：P (0,0,a ),F (1,0,0),B (2,2,0) 则有：(1,0,),(1,2,0),PF a FB =-=因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m ， 设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则可得=0PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩n n即+2=0 x a zx y-=⎧⎨⎩令x=1,得11,2z ya==-，所以11(1,,)2a=-n. ……………….9分由已知，二面角P-BF-C:1cos<,>||||⋅===m nm nm n, ……………….10分解得a =2. ……………….11分因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为182433P ABCDV-=⨯⨯=. ……………….13分18.（本小题满分13分）解：由2()1x af xx+=+，可得222()(1)x x af xx+-'=+. ……………….2分（Ⅰ）因为函数()f x在点(1,(1))f处的切线为12y x b=+，得:1(1)21(1)2ff b⎧'=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……………….4分解得112ab=⎧⎪⎨=⎪⎩……………….5分（Ⅱ）令()0f x'>，得220x x a+->…①……………….6分当440a∆=+≤，即1a≤-时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数()f x的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞. ……………….8分当440a∆=+>，即1a>-时，不等式①的解为1x>-+1x<-……………….10分又因为1x≠-，所以此时函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-和(1)-+∞，单调递减区间为(11)--和(1,1--..……………….12分所以，当1a ≤-时，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞；当1a >-时，函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-和(1)-+∞，单调递减区间为(11)--和(1,1--..……………….13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由于A (2,1)在抛物线2y ax =上， 所以 14a =，即14a =. ……………….2分 故所求抛物线的方程为214y x =，其准线方程为1y =-. ……………….3分（Ⅱ）当直线1l 与抛物线相切时，由21x y ='=，可知直线1l 的斜率为1，其倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为135︒，故直线2l 的斜率为1-，所以2l 的方程为3y x =-+ …….4分 将其代入抛物线的方程214y x =，得 24120x x +-=, 解得 122,6x x ==-, …….5分 所以直线2l 与抛物线所围成封闭区域的面积为:2222266611(3)d d (3)d 44x x x x x x x ----+-=-+-⎰⎰⎰ ……………….6分 223611(3)212x x x -=-+-643=……………….8分（Ⅲ）不妨设直线AB 的方程为1(2) (0)y k x k -=->，……………….9分由21(2)14y k x y x -=-⎧⎪⎨=⎪⎩ 得24840x kx k -+-=, ……………….10分易知该方程有一个根为2，所以另一个根为42k -， 所以点B 的坐标为2(42,441)k k k --+, 同理可得C 点坐标为2(42,441)k k k --++,……………….11分所以||BC=, ……………….12分线段BC 的中点为2(2,41)k -+，因为以BC 为直径的圆与准线1y =-相切，所以 241(1)2k +--=,由于0k >， 解得 k =. …………….13分此时，点B 的坐标为2,3-，点C 的坐标为(2,3-+，直线BC 1=-，所以，BC 的方程为(3[2)]y x --=--，即10x y +-=. …….14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）记数列①为{}n b ，因为23456,,,,b b b b b 与678910,,,,b b b b b 按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;记数列②为{}n c ，因为12345,,,,c c c c c 、23456,,,,c c c c c 、34567,,,,c c c c c 、45678,,,,c c c c c 、 56789,,,,c c c c c 、678910,,,,c c c c c 没有完全相同的，所以{}n c 不是“5阶可重复数列”.……………….3分（Ⅱ）因为数列{}n a 的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有328=种不同的情形.若m ＝11，则数列{}n a 中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{}n a 一定是“3阶可重复数列”；若m ＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则310m ≤<时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{}n a .所以，要使数列{}n a 一定是“3阶可重复数列”，则m 的最小值是11. ……………….8分 （III ）由于数列{}n a 在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{}n a 的末项m a 后再添加一项01或，则存在i j ≠，使得1234,,,,i i i i i a a a a a ++++与321,,,,0m m m m a a a a ---按次序对应相等，或1234,,,,j j j j j a a a a a ++++与321,,,,1m m m m a a a a ---按次序对应相等，11 如果1234,,,a a a a 与321,,,m m m m a a a a ---不能按次序对应相等，那么必有2,4i j m ≤≤-，i j ≠，使得123,,,i i i i a a a a +++、123,,,j j j j a a a a +++与321,,,m m m m a a a a ---按次序对应相等.此时考虑11,i j a a --和4m a -，其中必有两个相同，这就导致数列{}n a 中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{}n a 是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{}n a 不是“5阶可重复数列”矛盾！所以1234,,,a a a a 与321,,,m m m m a a a a ---按次序对应相等，从而4 1.m a a == ……………….14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

2010海淀高三数学期末试题海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理科）2010.1一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1． 函数1(0)y x x x=+>的值域为 A ．[)2,+∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,)+∞ D ．(][),22,-∞-+∞2．如图，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为A ．62B ．6C ．32D ．33．已知双曲线2213y x -=，那么它的焦点到渐近线的距离为A ．1B 3C ．3D ．44．已知,m n 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是A ．//,//m βαβB ．,m βαβ⊥⊥ABC OA ．曲线.C .上的所有点都是“H 点”B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点” C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点”D ．曲线C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点”第II 卷（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．若直线l 的参数方程为1 23x t t y t =+⎧⎨=-⎩，（为参数），，则直线l 的斜率为_______________.10输出的y 值为18， 则输入的实数x 值为________________.11．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何 体的表面积为__________________.开始x >221y x =- 结束输出y 是 否 输入x12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭正视图侧视图俯视图122311223112．设关于x 的不等式2*2()xx nx n -<∈N 的解集中整数的个数为na ，数列{}na 的前n 项和为nS ，则100S 的值为_______________________. 13．在区间[0,2]上任取两个数,a b ，那么函数22()f x x ax b =++无零点的概率为_________.14．考虑以下数列{}na ，*n N ∈：① 21n a n n =++；② 21n a n =+；③ ln 1n n a n =+. 其中满足性质“对任意正整数n ，212n n n a a a +++≤都成立”的数列有 （写出满足条件的所有序号）；若数列{}na 满足上述性质，且11a =，2058a=，则10a 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c C π=，5b =，ABC∆的面积为103.（Ⅰ）求a ，c 的值； （Ⅱ）求sin()6A π+的值. 16．（本小题满分13分）某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：（Ⅰ）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分；（Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.第一空得分情况 第二空得分情况 得分 0 3 得分 02人数 198 802 人数 698 30217．（本小题满分13分）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点.（Ⅰ）求证：DE∥平面PFB；（Ⅱ）已知二面角P-BF-C6，求四棱锥P-ABCD的体积.18.（本小题满分13分）已知函数2()1x af xx+=+（其中a R∈）.（Ⅰ）若函数()f x在点(1,(1))f处的切线为12y x b=+，求实数,a b的值；A BECPDF（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19．（本小题满分14分）已知抛物线:W 2y ax =经过点A (2,1)，过A 作倾斜角互补的两条不同直线12,l l .（Ⅰ）求抛物线W 的方程及准线方程；（Ⅱ）当直线1l 与抛物线W 相切时，求直线2l 与抛物线W 所围成封闭区域的面积；（Ⅲ）设直线12,l l 分别交抛物线W 于B ，C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC 的方程.20．（本小题满分14分）给定项数为m *(,3)m N m ∈≥的数列{}na ，其中{0,1}i a ∈(1,2,,)i m =.若存在一个正整数(21)k k m ≤≤-，若数列{}na 中存在连续的k 项和该数列中另一个连续的k 项恰好按次序对应相等，则称数列{}na 是“k 阶可重复数列”，例如数列{}na0,1,1,0,1,1,0.因为1234,,,a a a a 与4567,,,a a a a 按次序对应相等，所以数列{}na 是“4阶可重复数列”.（Ⅰ）分别判断下列数列①{}:0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0.nb②{}:1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1.nc是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若数为m的数列{}na一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；（III）假设数列{}na不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项ma后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且41a ，求数列{}n a的最后一项m a的值.。

2010年北京崇文区高考一模试题：数学（理科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是 A ．P Q = B ．P Q R =C ．P QÜD ．Q PÜ2．函数sin cos y x x =+的最小值和最小正周期分别是A ．2πB ．2,2π-C ．πD ．2,π- 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，246a a +=则5S 等于A ．10B ．12C ．15D ．304．甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A ．1321B ．2113C ．813D ．1386．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为A ．12B ．16C ．24D ．327．已知平面区域1,||1,{(,)0,,{(,)0,1,y x y x x y y M x y y x ≤+⎧⎫≤-+⎧⎫⎪⎪Ω=≥=⎨⎬⎨⎬≥⎩⎭⎪⎪≤⎩⎭，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为A ．14B ．13C ．12D ．238．如图，平面α⊥平面β，αβ =直线l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2010．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．30 10．7 11．①，④ 12．1 13．12(,)35 14．π；18π+.三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可知πππ=-=)42(4T ,22==Tπω， ………………2分又由1)2(=πf 得，1)sin(=+ϕπ，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=-πϕ<||2πϕ-=∴， ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x x x f 2cos )22sin()(-=-=π………………6分因为()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π=---=1sin 42x =………………9分 所以，24222k x k ππππ-≤≤+，即(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈.……………12分 故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.……………13分16．（本小题满分13分）解：设指针落在A ,B ,C 区域分别记为事件A ,B ,C .则111(),(),()632P A P B P C ===. ………………3分（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.111()()632P P A P B ∴=+=+=………………6分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12.（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量X的可能值为0，30，60，90，120. ………………7分111(0);224111(30)2;23311115(60)2;263318111(90)2;369111(120).6636P XP XP XP XP X==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯=………………10分………………12分其数学期望115110306090120404318936EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为11A A AC=，且O为AC的中点，所以1AO AC⊥. ………………1分又由题意可知，平面11AA C C⊥平面ABC，交线为AC，且1AO⊂平面11AA C C，所以1AO⊥平面ABC. ………………4分（Ⅱ）如图，以O为原点，1,,OB OC OA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.由题意可知，112,A A AC AC===又,AB BC AB BC=⊥1,1,2OB AC∴==所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)O A A C C B-则有：11(0,1,(0,1(1,1,0).AC AA AB===………………6分设平面1AA B的一个法向量为(,,)x y z=n，则有110000AA y x y AB ⎧⎧⋅==⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =，得1,x z =-=所以(1,1,=-n . ………………7分111cos ,|||A C A C A C ⋅<>==n n |n ………………9分因为直线1A C 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1A C所成锐角互余，所以sin θ=………………10分 （Ⅲ）设0001(,,),,E x y z BE BC λ==………………11分即000(1,,)(1x y z λ-=-，得00012x y z λλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩所以(1,2),E λλ=-得(1,2),OE λλ=-………………12分 令//OE 平面1A AB ，得=0OE ⋅n ，………………13分即120,λλλ-++-=得1,2λ=即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点.………………14分18.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln ,f x x x =-得1()1,f x x '=-………………2分令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在(1,)+∞上为增函数， 据此，函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，………………4分而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e,e ]上的值域为2[e 1,e 2]--………………6分（Ⅱ）由()1,a f x x '=+令()0f x '=，得10,ax+=即,x a =-当(0,)x a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)a -上单调递减；当(,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增； ……………7分 若1e a ≤-≤，即e 1a -≤≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e )e 1f ≤-即可，所以有2e 2e 1a +≤-，即2e e 12a -+-≤而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解.………………8分若2e e a <-<，即2e e a ->>-，易知函数()f x 在[e,]a -上为减函数，在2[,e ]a -上为增函数， 要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f ≤-⎧⎨≤-⎩，即21e e 12a a ≤-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩， 由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>得22e e 1e 2a -+--<≤.………………10分若2e a -≥，即2e a ≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为减函数，此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需(e)e 1f ≤-即可， 所以有e e 1a +≤-，即1a ≤-，又因为2e a ≤-，所以2e a ≤-.……………12分 综合上述，实数a 的取值范围是2e e 1(,]2-+--∞.……………13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ..……………1分532422a ∴=+=..……………3分2,a ∴=又1c = 2413b =-=，……………4分故椭圆的方程为22143x y +=. .……………5分（Ⅱ）当直线l x ⊥轴，计算得到：33(1,),(1,)22A B ---，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意..……………6分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得 2222(34)84120k x k x k +++-=， .……………7分 显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212228412,,3434k k x x x x k k-+=-⋅=++ .……………8分又||AB ==即2212(1)||34k AB k +==+， .……………9分 又圆2F的半径r ==.……………10分所以22221112(1)12|||2234347AF Bk k S AB r k k ∆+==⨯==++ 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得1k =±所以，r ==.……………12分故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=. .……………13分（Ⅱ）另解：设直线l 的方程为 1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得 22(43)690t y ty +--=，0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,,4343t y y y y t t+=⋅=-++ ……………8分所以12||y y -===.……………9分又圆2F的半径为r ==，.……………10分所以212121221||||||2437AF BS F F y y y y t ∆=⋅⋅-=-==+，解得21t =，所以r ==……………12分故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=. .……………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 10a =，21121a a =+=，31222a a =+=，42123a a =+=， ∴ 52325a a =+=；63125a a =+=；73428a a =+=. ………………3分 （Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n ，都有：12121111221222n n n n n n n a a b b +--++++===+， ∴ 112n n b b +-=.∴ 数列{}n b 是以1211102a b -==为首项，12为公差的等差数列. ∴ 12n n b -=. …………………………………………………………7分 （Ⅲ）对于任意的正整数k ，当2n k =或1,3n =时，1n n a a +<； 当41n k =+时，1n n a a +=；当43n k =+时，1n n a a +>. ……………………………………8分 证明如下：首先，由12340,1,2,3a a a a ====可知1,3n =时，1n n a a +<； 其次，对于任意的正整数k ，2n k =时，()()122112120n n k k k k a a a a a k a k ++-=-=+-++=-<；…………………9分41n k =+时，14142n n k k a a a a +++-=-()()()()2212212121222222122120k k k k k k k a a k a a k a k a ++=++-+=+-=++-++=所以，1n n a a +=.…………………10分43n k =+时，14344n n k k a a a a +++-=-()()()()()21222122112221221222121221241k k k k k k k k k a a k a a k k a a k a a ++++++=++-+=++-=++++-+=+-+事实上，我们可以证明：对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）（证明见后），所以，此时，1n n a a +>. 综上可知：结论得证.…………………12分对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）的证明如下： 1）当2k m =（*m ∈N ）时，()()12212212120k k m m m m k a a m a a m a m a m +++-=+-=++-++=>， 满足（＊）式。