第三章函数的概念与性质【新教材】人教A版(2019)高中数学必修【解析版】

第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)考点1一次、二次函数模型的应用1.(2019·某某某某中学高一期中考试)一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社。

在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应该每天从报社买进报纸()。

A.215份B.350份C.400份D.520份答案：C解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,具体情况如下表:数量/份单价/元金额/元买进30x 2 60x卖出20x+10×250 3 60x+7500退回10(x-250) 0.8 8x-2000y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)。

∵y=8x+5500在[250,400]上是增函数,∴当x=400时,y取得最大值8700。

即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元。

故选C。

2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数:m=162-3x。

若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为()。

A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件答案：B解析：设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件。

3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000。

而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()。

A.2000双B.4000双C.6000双D.8000双答案：D解析：由5x +40000≤10x ,得x ≥8000,即至少日产手套8000双才不亏本。

3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．[基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。

2019新版高中数学人教A 版必修一 第1节 函数的概念及其表示一．知识点： 1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f: A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f(x)，x ∈A. 2．函数的定义域与值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域．如果自变量x =a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作y ＝f(a)或y|x ＝a .所有函数值构成的集合{y|y ＝f(x)，x ∈A}叫做这个函数的值域． 3．区间及表示设a ，b 是两个实数，而且a<b.（1） 满足不等式a≤x≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b]； （2） 满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b)； （3） 满足不等式a≤x<b 或a<x≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别 表示为[a ，b)，(a ，b]；（4）实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞) 二．考点突破 考点一：函数的概念例1：下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③2y x =；④y =.A ．4B ．3C ．2D ．1答案：C练习：下列图象中，表示函数关系y ＝f （x ）的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：根据函数的定义知，一个x 有唯一的y 对应，由图象可看出，只有选项D 的图象满足这一点．故选：D ． 作业：1.下列式子中能确定y 是x 的函数的是________． ①x 2＋y 2＝1；②y ＝x －2＋1－x ； ③y ＝12gx 2(g ＝9.8 m/s 2)；④y ＝x.解析：①中每一个x 对应两个y ，故①不是函数． ②中满足式子有意义的x 取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1－x≥0即x≤1且x≥2，∴为∅，故②也不是，而③④可以确定y 是x 的函数． 答案：③④考点二：函数的定义域 例2：求下列函数的定义域： (1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1； (3)y ＝(x －1)0＋2x ＋1. 解：(1)当且仅当x －2≠0，即x≠2时，函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x≥0，x －1≥0.解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0.解得x>－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}. 练习：求下列函数的定义域： (1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x|－x.解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x≤1，所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足 |x|－x≠0，即|x|≠x， ∴x<0.∴函数的定义域为{x|x<0}． 作业：2．求下列函数的定义域： (1)f(x)＝1x ＋1；(2)y ＝x 2－1＋1－x 2； (3)y ＝2x ＋3； (4)y ＝x ＋1x 2－1. 解：(1)要使函数有意义，即分式有意义，需x ＋1≠0，x≠－1.故函数的定义域为{x|x≠－1}．(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2≥1，x 2≤1.所以x 2＝1，从而函数的定义域为{x|x ＝±1}＝{1，－1}． (3)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x|x ∈R}．(4)因为当x 2－1≠0，即x≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以原函数的定义域是{x|x≠±1，x ∈R}．例3：已知函数y=f （x ）定义域是{x|-2≤x ≤3}，则y=f （2x ﹣1）的定义域是（ ） A ．{x|0≤x ≤52}B ．{x|-1≤x ≤4}C{x|12-≤x ≤2} D ． {x|-5≤x ≤5} 解：∵函数y=f （x ）定义域是-2≤x ≤3， ∴由﹣2≤2x ﹣1≤3， 解得﹣≤x ≤2，即函数的定义域为12≤x≤2，故选：C ．练习：已知函数y=f（x+1）的定义域是{x|-2≤x≤3}，则y=f（x2）的定义域是（）A．{x|-1≤x≤4} B．{x|0≤x≤16} C．{x|-2≤x≤2} D．{x|1≤x≤4} 解：∵函数y=f（x+1）的定义域是{x|-2≤x≤3}，即﹣2≤x≤3，∴﹣1≤x+1≤4，即函数y=f（x）的定义域为{x|-1≤x≤4}，由﹣1≤x2≤4，得﹣2≤x≤2．∴y=f（x2）的定义域是{x|-2≤x≤2}．故选：C．作业：3. 已知函数y=f（x+1）定义域是{x|-2≤x≤1} ，则y=f（2x﹣1）的定义域（）A．{x|0≤x≤32} B．{x|-1≤x≤4} C．{x|-5≤x≤5} D．{x|-3≤x≤7}解：∵函数y=f（x+1）定义域是{x|-2≤x≤1}，∴-2≤x≤1，∴-1≤x+1≤2，∴-1≤2x﹣1≤2，∴0≤x≤3 2∴y=f（2x﹣1）的定义域为{x|0≤x≤32}．故答案为：A考点三：函数值例4：若f(x)＝1－x1＋x(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f[f(2)]．解：f(0)＝1－01＋0＝1；f(1)＝1－11＋1＝0；f(1－a)＝1－1－a1＋1－a＝a2－a(a≠2)；f[f(2)]＝1－f21＋f2＝1－1－21＋21＋1－21＋2＝2.练习: 设函数f(x)＝41－x，若f(a)＝2，则实数a＝________.解析：由题意知，f(a)＝41－a＝2，得a＝－1. 答案：－1作业：4.已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(2)]，g[f(2)]的值． 解：(1)f(2)＝11＋2＝13，g(2)＝22＋2＝6； (2)f[g(2)]＝f(6)＝11＋6＝17，g[f(2)]＝g(13)＝(13)2＋2＝199. 考点四：简单的求函数的值域 例5：求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1；(3)y ＝－x 2－2x ＋3(－1≤x≤2)； (4)y ＝1－x21＋x2.解：(1)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1，算得函数的值域为{3,5,7,9,11}． (2)∵x ≥0，∴x ＋1≥1，即函数的值域为[1，＋∞)．(3)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.∵－1≤x≤2，∴0≤x＋1≤3，∴0≤(x＋1)2≤9.∴－5≤－(x ＋1)2＋4≤4.∴函数的值域为[－5,4]．(4)∵y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，∴函数的定义域为R.∵x 2＋1≥1，∴0<21＋x2≤2.∴y ∈(－1,1]． ∴函数的值域为(－1,1]．练习：（1）已知函数y=2x+1，x ∈{x ∈Z|0≤x ＜3}，则该函数的值域为（ ） A ．{y|1≤y ＜7} B ．{y|1≤y ≤7} C ．{1，3，5，7} D ．{1，3，5} 解：函数y=2x+1，x ∈{x ∈Z|0≤x ＜3}={0，1，2}． 当x=0时，y=1，当x=1时，y=3，当x=2时，y=5． ∴函数的值域为{1，3，5}．故选D ．（2）函数y=x 2﹣4x+1，x ∈[1，5]的值域是（ ） A ．{y|1≤y ≤6} B ．{y|-3≤y ≤1}C ．{y|y ≥-3}D ．{y|-3≤y ≤6}解：对于函数f （x ）=x 2﹣4x+1，是开口向上的抛物线． 对称轴x=，所以函数在区间[1，5]上面是先减到最小值再递增的．所以在区间上的最小值为f （2）=﹣3．又f （1）=﹣2＜f （5）=6，，所以最大值为6．故选D ．作业：5.求下列函数的值域：(1)f(x)＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f(x)＝(x －1)2＋1，x ∈R ； (3)y ＝1－x 2，x ∈R ； (4)y ＝2x ＋1x，x≠0. 解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，∵f(－1)＝5， f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5， ∴这个函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域为R ，∵(x －1)2＋1≥1， ∴这个函数的值域为{y|y≥1}． (3)函数的定义域为R ，∵1－x 2≤1， ∴函数y ＝1－x 2的值域为{y|y≤1}． (4)y ＝2x ＋1x ＝2＋1x ，∵x≠0，∴1x≠0， ∴y ＝2＋1x ≠2，∴函数的值域为{y|y≠2}．考点五：判断两函数是否相等例6：下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x≠0)与y ＝1(x≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析：选C A 中两函数定义域不同，B 、D 中两函数对应法则不同，C 中定义域与对应法则都相同．练习：下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x|，g （x ）＝B ．f （x ）＝|x|，g （x ）＝（）2C ．f （x ）＝，g （x ）＝x+1D ．f （x ）＝，g （x ）＝解：要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，B 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为R ，后面函数的定义域为[0，+∞），C 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为{x|x ≠1}，后面函数的定义域为R ，D 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为[1，+∞），后面函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故选：A ． 作业：6. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．y ＝，y ＝（）2B ．y ＝|x|，y ＝C ．y ＝，y ＝x+1D ．y ＝x ，y ＝解：对于A ，y ＝＝|x|（x ∈R ），与y ＝＝t （t ≥0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B ，y ＝|x|（x ∈R ），与y ＝＝|t|（t ∈R ）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C ，y ＝＝x+1（x ≠1），与y ＝x+1（x ∈R ）的定义域不同，不是同一函数；对于D ，y ＝x （x ∈R ），与y ＝＝x （x ≠0）的定义域不同，不是同一函数．故选：B ．考点六：区间及其表示例7：集合{x|－12≤x<10，或x>11}用区间表示为________． 答案：[－12,10)∪(11，＋∞)练习：已知函数y ＝1－x 2x 2－3x －2，则其定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，－12)∪(－12，1)D ．(－∞，－12)∪(－12，1]解析：选D 要使式子1－x2x 2－3x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，2x 2－3x －2≠0即⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x≠2且x≠－12，所以x≤1且x≠－12，即该函数的定义域为(－∞，－12)∪(－12，1]，故选D.作业： 7. 函数y=+1的值域为（ ） A ．（0，+∞） B ．（1，+∞）C ．[0，+∞）D ．[1，+∞）解：函数y=+1，定义域为[1，+∞），当x=1时，函数y 取得最小值为1， 函数y=+1的值域为[1，+∞），故选D。

第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数20()(31)f x x =+-的定义域是（ ） A .1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .1,13⎛⎫⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,,133⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知函数1(2),()(3)(2),x f x f x x =+⎪⎩≥＜则(1)(9)f f +等于（ ）A .2-B .7-C .27D .73.函数111y x -=+-的图像是下列图像中的（ ）ABCD4.若函数y ax =与by x=-在(0,)+∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是（ ） A .增函数B .减函数C .先增后减D .先减后增5.函数2()(2)1f x ax a x =+++是偶函数，则函数的单调递增区间为（ ） A .[0,)+∞B .(,0]-∞C .(,)-∞+∞D .[1,)+∞6.函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则m 的取值范围是（ ）A .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x --＜，则（ ）A .(3)(2)(1)f f f -＜＜B .(1)(2)(3)f f f -＜＜C .(2)(1)(3)f f f -＜＜D .(3)(1)(2)f f f -＜＜8.若函数,1,()(23)1,1ax f x x a x x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩＞≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭B .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦D .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.设函数()f x 满足对任意的,m n （,m n 为正数）都有()()()f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，则(2)(3)(2020)(1)(2)(2019)f f f f f f +++等于（ ）A .2 020B .2 019C .4 038D .4 04010.在函数([1,1])y x x =∈-的图像上有一点(,)P t t ，此函数图象与x 轴、直线1x =-及x t =围成图形的面积为S （如图的阴影部分所示），则S 与t 的函数关系的图象可表示为（ ）ABCD11.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x --＜的解集为（ ）A .(2,0)(2,)-+∞B .(2,0)(0,2)-C .(,2)(2,)-∞-+∞D .(,2)(0,2)-∞-12.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意()1212,[1,)x x x x ∈+∞≠都有()()21210f x f x x x --＞，若(1)(2)f a f a -≥，则实数a 的取值范围是（ ）A .[1,1]-B .(,1]-∞-C .[1,)+∞D .(,1][1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.设函数0()1,02x x f x x =⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩≥＜则((4))f f -=________.14.若函数2(1)2()1a x a f x x a -+-=+-为奇函数，则实数a =________. 15.设函数2()24f x x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[6,2]-，则m n +的取值范围是________.16.已知函数29,3,()6,3,x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩≥＜则不等式()22(34)f x x f x --＜的解集是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞. （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞＞恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）讨论函数的单调性.（只写出结论即可）18.[12分]设函数2()23,f x x x a x =--+∈R .（1）小鹏同学认为，无论a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由. （2）若()f x 是偶函数，求a 的值.（3）在（2）的情况下，画出()y f x =的图象并指出其单调递增区间。

第三章 函数的概念与性质章节复习一、本章知识结构二、本章重难点概念知识点1、函数及三要素（定义域、对应法则、值域） 一、函数的概念2、区间一般区间、特殊区间、 端点大小关系、开闭区间 1、函数概念中强调三性：“任意性”、“存在性”、“唯一性”； 2、定义域、值域的结果写成集合或区间形式； 3、对应关系包括一对一、多对一。

一、判断对应法则或图象是否是一个函数（非空性、任意性x 、唯一确定性y ）二、判断两个函数是否是相同函数（定义域、对应法则） 三、求函数定义域(写成集合或区间形式)3、分段函数概念、表示方式、定义域、值域、图象4、复合函数（定义域、值域） 二、函数的表示法5、函数的单调性、单调区间 1、三种表示方法：解析法、列表法、图像法； 2、列表法表示的函数图象是一些孤立的点，函数图象呈现形式主要有2种：连续的曲线或孤立的点； 3、画函数图象方法：描点法（列表、描点、连线）6、函数的最大值、最小值7、函数的奇偶性8、幂函数（概念、图象、性质）三、题型1、求一般函数的定义域(写成集合或区间形式)函数类型定义域举例①整式函数R f(x)=x2+2x+3②分式函数分母不为0 f(x)=1 2x+3③偶次根式函数根号中式子≥0f(x)=√x2+2x−3④奇次根式函数R f(x)=√x2+2x+33⑤绝对值函数R f(x)=|x2+2x+3|⑥0次幂函数底数不为0 f(x)=(x2+2x−3)0⑦对数函数真数大于0 f(x)=log2(2x−3)⑧实际问题考虑实际意义正方形周长公式f(x)=4x(x>0)多个使函数有意义的条件用花括号连接，写成不等式组。

2、求复合函数的定义域①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域；③已知f(g(x))的定义域，求f(g(x))的定义域；④已知f(g(x))的定义域，求F(x)=f(g(x))+f(ℎ(x))的定义域关键：定义域是指自变量x的值相同对应法则f下的整体变量取值范围相同（空间不变原理）3、求简单函数的值域(写成集合或区间形式)函数类型定义域值域一次函数R R二次函数Ra>0时，[4ac−b24a,+∞)a<0时，(-∞,4ac−b24a]配方、画图、找最高点和最低点反比例函数(−∞,0)∪(0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)分式函数分母不为0 配凑法（利用基本不等式求解）4、求函数的解析式①待定系数法②换元法/配凑法③方程组法/消元法 ④赋值法最后一定要考虑定义域，定义域不是R 一定要写出来5、函数单调性的判断、证明及应用 单调递增单调递减函数f(x)在区间D 上为增函数，x 1,x 2∈D ，且x 1≠x 2，则函数f(x)在区间D 上为减函数，x 1,x 2∈D ，且x 1≠x 2，则① x 1<x 2⟺f (x 1)<f(x 2) ① x 1<x 2⟺f (x 1)>f(x 2) ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]>0 ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]<0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1) ④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1) 即x 与f(x)的变化趋势相同， 自变量增量与函数值增量同号。

第三章函数的概念与性质单元测试题1．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[1，2)D ．[1，2)∪(2，＋∞)2．函数y ＝x 2＋1的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞) 3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，则f (6)的值为( )A ．15B ．7C ．31D ．17 4．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a ，2a ]上的偶函数，则该函数的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2－x －3，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．186．已知函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．5B ．4C ．3D ．27．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x )>f (2x －3)的解集是( ) A ．(－∞，3) B ．(3，＋∞) C ．(0,3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32 ，3 8．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元9．一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是( )A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数有两个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7 D．这个函数在其定义域内有最小值是－7 10．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则a的值为() A．0 B．1或2C．1 D．211．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，则()A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)12. 函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题：①f(0)＝0；②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．413. 已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________． 14．设函数f (x )＝x 2＋（a ＋1）x ＋ax为奇函数，则实数a ＝________．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜4，3x ，x ≥4，若f (a )＜－3，则a 的取值范围是________．16.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f x －f－xx<0的解集为.17．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x >1，3－2a x －1，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 .18．具有性质f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．19. 已知函数f (x )＝2x －a x ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3.(1)求实数a 的值；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明．20.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2]，4x，x ∈（2，4].(1)在图中画出函数f (x )的大致图象； (2)写出函数f (x )的最大值和单调递减区间．21.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－x －1.(1)求f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间．22.已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围．23.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2xx－1.求：(1)f(x)的解析式；(2)f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．24.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝x＋mx2＋nx＋1.(1)求m，n的值；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上为增函数；(3)若f(x)≤a3对x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13恒成立，求a的取值范围．。

最新课程标准：在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题.知识点几类常见函数模型名称解析式条件一次函数模型y＝kx＋b k≠0反比例函数模型y＝错误!＋b k≠0二次函数模型一般式：y＝ax２＋bx＋c顶点式：y＝a错误!２＋错误!a≠0幂函数模型y＝ax n＋b a≠0，n≠１错误!建立函数模型解决实际问题的基本思路[教材解难]建立函数模型应把握的三个关口（１）事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．（２）文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系．（３）数理关：在构建数学模型的过程中，利用已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题．[基础自测]１．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的关系式为y＝５x＋４000，而手套出厂价格为每副１0元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（）Ａ．２00副Ｂ．４00副Ｃ．600副Ｄ．800副解析：利润z＝１0x—y＝１0x—（５x＋４000）≥0．解得x≥800．答案：D２．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选Ｃ．答案：C３．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L１＝５．06x—0．１５x２和L２＝２x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售１５辆车，则能获得的最大利润为（）Ａ．４５．606万元Ｂ．４５．6万元Ｃ．４５．５6万元Ｄ．４５．５１万元解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售（１５—x）辆，总利润S＝L１＋L２，则总利润S＝５．06x—0．１５x２＋２（１５—x）＝—0．１５x２＋３．06x＋３0＝—0．１５（x—１0．２）２＋0．１５×１0．２２＋３0（0≤x≤１５且x∈N），所以当x＝１0时，S max＝４５．6（万元）．答案：B４．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝错误!其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．解析：令y＝60，若４x＝60，则x＝１５>１0，不合题意；若２x＋１0＝60，则x＝２５，满足题意；若１．５x＝60，则x＝４0<１00，不合题意．故拟录用人数为２５人．答案：２５题型一一次、二次函数模型[经典例题]例１某商人将进货单价为8元的某种商品按１0元一个销售时，每天可卖出１00个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨１元，销售量就减少１0个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．【解析】设每个提价x元（x≥0，x∈N），利润为y元．每天销售总额为（１0＋x）（１00—１0x）元，进货总额＝8（１00—１0x）元，显然１00—１0x>0，即x<１0，则y＝（１0＋x）（１00—１0x）—8（１00—１0x）＝（２＋x）（１00—１0x）＝—１0（x—４）２＋３60（0≤x<１0，x∈N）．当x＝４时，y取得最大值，此时销售单价应为１４元，最大利润为３60元．答：当售价定为１４元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为３60元.可根据实际问题建立二次函数模型解析式．方法归纳１．利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点：（１）待定系数法是求一次函数解析式的常用方法．（２）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．２．二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．跟踪训练１某列火车从北京西站开往石家庄，全程２77 km.火车出发１0 min开出１３km，之后以１２0 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京２h时火车行驶的路程．解析：因为火车匀速行驶的总时间为（２77—１３）÷１２0＝错误!（h），所以0≤t≤错误!.因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为１２0t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s＝１３＋１２0t错误!.离开北京２h时火车匀速行驶的时间为２—错误!＝错误!（h），此时火车行驶的路程s＝１３＋１２0×错误!＝２３３（km）．求出火车匀速行驶的总时间，可得定义域，再建立总路程关于时间的函数模型．题型二分段函数[教材P9４例２]例２一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的关系如图所示，（１）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（２）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为２00４km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．【解析】（１）阴影部分的面积为５0×１＋80×１＋90×１＋7５×１＋6５×１＝３60．阴影部分的面积表示汽车在这５h内行驶的路程为３60 km.（２）根据题图，有s＝错误!这个函数的图象如下图所示．当时间t在[0,５]内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应．根据题图，在时间段[0,１），[１,２），[２,３），[３,４），[４,５]内行驶的平均速率分别为５0 km/h，80 km/h,90 km/h，7５km/h，6５km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述．教材反思（１）分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键．（２）若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法．跟踪训练２为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有５0辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日１１５元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过１元，租不出的自行车就增加３辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（日净收入＝一日出租自行车的总收入—管理费用）．（１）求函数y＝f（x）的解析式及其定义域．（２）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？解析：（１）当x≤6时，y＝５0x—１１５，令５0x—１１５>0，解得x>２．３．因为x∈N*，所以x≥３，所以３≤x≤6，x∈N*.当x>6时，y＝[５0—３（x—6）]x—１１５．令[５0—３（x—6）]x—１１５>0，得３x２—68x＋１１５<0．解得２≤x≤２0，又x∈N*，所以6<x≤２0，x∈N*，故y＝错误!定义域为{x|３≤x≤２0，x∈N*}．（２）对于y＝５0x—１１５（３≤x≤6，x∈N*），显然当x＝6时，y max＝１8５，对于y＝—３x２＋68x—１１５＝—３错误!２＋错误!（6<x≤２0，x∈N*）．当x＝１１时，y max＝２70，因为２70>１8５，所以当每辆自行车的日租金定为１１元时，才能使日净收入最多．（１）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出分段函数，注意实际问题中自变量的取值范围．（２）利用一次函数的单调性及二次函数的性质分别求分段函数各段上的最大值，取其最大的即可．一、选择题１．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f（t）的图象如图所示，则杯子的形状是（）解析：从题图中看出，在时间段[0，t１]，[t１，t２]内水面高度是匀速上升的，在[0，t]上升慢，在[t１，t２]上升快，故选Ａ．１答案：A２．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为２000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0．8元，普通车存车费是每辆一次0．５元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（）Ａ．y＝0．３x＋800（0≤x≤２000，x∈N*）Ｂ．y＝0．３x＋１600（0≤x≤２000，x∈N*）Ｃ．y＝—0．３x＋800（0≤x≤２000，x∈N*）Ｄ．y＝—0．３x＋１600（0≤x≤２000，x∈N*）解析：由题意知，变速车存车数为（２000—x）辆次，则总收入y＝0．５x＋（２000—x）×0．8＝0．５x＋１600—0．8 x＝—0．３x＋１600（0≤x≤２000，x∈N*）．答案：D３．某类产品按工艺共分１0个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加２元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产３件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是（）Ａ．7 Ｂ．8Ｃ．9 Ｄ．１0解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为：y＝[8＋２（k—１）][60—３（k—１）]＝—6k２＋１08k＋３78（１≤k≤１0），配方可得y＝—6（k—9）２＋86４，∴当k＝9时，获得利润最大．答案：C４．已知A，B两地相距１５0千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B 地，在B地停留１小时后再以５0千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t（时）的函数解析式是（）Ａ．x＝60tＢ．x＝60t＋５0tＣ．x＝错误!Ｄ．x＝错误!解析：显然出发、停留、返回三个过程中行走速度是不同的，故应分三段表示函数，选Ｄ．答案：D二、填空题５．某电脑公司的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为４00万元，占全年经营总收入的４0%.该公司预计经营总收入要达到１690万元，且计划从到，每年经营总收入的年增长率相同，预计经营总收入为________万元．解析：设年增长率为x，则有错误!×（１＋x）２＝１690，１＋x＝错误!，因此预计经营总收入为错误!×错误!＝１３00（万元）．答案：１３006．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝错误!x２＋２x＋２0（万元）．一万件售价为２0万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．解析：利润L（x）＝２0x—C（x）＝—错误!（x—１8）２＋１４２，当x＝１8时，L（x）有最大值．答案：１87．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f（x）＝错误!（A，c为常数）．已知工人组装第４件产品用时３0分钟，组装第A件产品用时１５分钟，那么c和A的值分别是____________．解析：由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为错误!＝１５，故组装第４件产品所需时间为错误!＝３0，解得c＝60，将c＝60代入错误!＝１５得A＝１6．答案：60 １6三、解答题8．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：（１）求y与x的函数解析式；（２）要使该游乐场每天的盈利额超过１000元，每天至少卖出多少张门票？解析：（１）由图象知，可设y＝kx＋b，x∈[0,２00]时，过点（0，—１000）和（２00,１000），解得k＝１0，b＝—１000，从而y＝１0x—１000；x∈（２00,３00]时，过点（２00,５00）和（３00,２000），解得k＝１５，b＝—２５00，从而y＝１５x—２５00，所以y＝错误!（２）每天的盈利额超过１000元，则x∈（２00,３00]，由１５x—２５00>１000得，x>错误!，故每天至少需要卖出２３４张门票．9．某公司生产一种电子仪器的固定成本为２0 000元，每生产一台仪器需增加投入１00元，已知总收益满足函数：R（x）＝错误!其中x是仪器的月产量．（１）将利润表示为月产量的函数f（x）；（２）当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润）解析：（１）设月产量为x台，则总成本为２0 000＋１00x，从而f（x）＝错误!（２）当0≤x≤４00时，f（x）＝—错误!（x—３00）２＋２５000．∴当x＝３00时，f（x）的最大值为２５000；当x>４00时，f（x）＝60 000—１00x是减函数，f（x）<60 000—１00×４00＝２0 000<２５000．∴当x＝３00时，f（x）的最大值为２５000，即每月生产３00台仪器时，利润最大，最大利润为２５000元．[尖子生题库]１0．某租赁公司拥有汽车１00辆，当每辆车的月租金为３000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加５0元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费１５0元，未租出的车辆每月需要维护费５0元．（１）当每辆车的月租金定为３600元时，能租出多少辆车？（２）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解析：（１）租金增加了600元，所以未租出的车有１２辆，一共租出了88辆．（２）设每辆车的月租金为x元（x≥３000），租赁公司的月收益为y元，则y＝x错误!—错误!×５0—错误!×１５0＝—错误!＋１6２x—２１000＝—错误!（x—４0５0）２＋３07 0５0，当x＝４0５0时，y max＝３07 0５0．所以每辆车的月租金定为４0５0元时，租赁公司的月收益最大为３07 0５0元．。

高中数学人教A版（2019）必修一第三章函数概念与性质一、单选题1..若，则的定义域为（）A. B. C. D.2.下列函数既是定义域上的偶函数，又是上增函数的是（）A. B. C. D.3.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，且，则的值为（）A. B. 0 C. 4 D. 24.已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（）A. B. C. D.5.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.8..设函数=ln（+1），则使得＞（-1）的的取值范围是（）A. （-∞，1）B. （C. （-∞，）∪（1，＋∞）D. （）二、多选题9.下列函数表示相同函数的是（）A. B.C. D.10..已知函数，若存在，使得成立，则（）A. B.C. D.11..已知函数（指不超过的最大整数），下列说法正确的是（）A. B. 为增函数 C. 为奇函数 D. 的值域为12.已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围可以是（）A. B. C. D.三、填空题13.已知，则函数的值域为________．14.设函数在上满足，在上对任意实数都有成立，又，则的解是________.15.已知函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x，有f(1-x)=f(1+x)，当x≤1时，，则不等式的解集为________.16.已知函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是________．四、解答题17.已知函数且是奇函数．（1）求的值；（2）令函数，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．18.已知函数．（1）当是偶函数时，求a的值并求函数的值域．（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．19..函数是定义在上的奇函数，且．（1）.确定的解析式；（2）.判断在上的单调性，并用定义证明；（3）.解不等式．20.已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，．（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．21.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，(万元).当年产量不小于千件时，(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？22..已知为R上的奇函数．（1）.求实数a的值：（2）.，．若对任意的，总存在，使得成立，求实数b的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】由题意，解得且．故答案为：D．【分析】结合函数定义域的求法：分母不为零，真数大于零零即可得到关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。