欧拉图和哈密顿图是离散数学中的两个重要的图论概念。
它们分别研究了图中的路径问题，对于解决一些实际问题具有很大的应用价值。
欧拉图是指一个无向图中存在一条路径，经过图中的每条边一次且仅一次，这条路径称为欧拉路径。
如果这个路径的起点和终点重合，则称为欧拉回路。
而对于有向图，存在一条路径，使得经过每一个有向边恰好一次，称为欧拉有向路径，如果该路径起点和终点相同，则称为欧拉有向回路。
1722年，瑞士数学家欧拉首次提出了这个概念，并证明了一系列欧拉图的性质。
欧拉图的性质是其路径的存在性。
既然有了这个概念，那如何判断一个图是不是欧拉图就是一个非常重要的问题。
根据欧拉图的定义，我们可以发现，图中的每个节点的度数都应该是偶数，否则该节点无法成为路径中的中间节点。
因此，一个图是欧拉图的充分必要条件是该图中每个节点的度数都是偶数。
哈密顿图是指一个图中存在一条路径，经过图中的每个顶点一次且仅一次，这条路径称为哈密顿路径。
如果这个路径的起点和终点重合，则称为哈密顿回路。
哈密顿图的概念由19世纪初英国数学家哈密顿引入，其研究对象是关于骑士巡游问题。
与欧拉图不同的是，哈密顿路径并没有一个十分明显的判定条件。
唯一已知的是某些图是哈密顿图，比如完全图和圈图。
至于一般的图是否存在哈密顿路径，目前尚无通用的判定方法。
这也是全世界许多数学家所面临的一个著名且具有挑战性的开放问题，被命名为“哈密顿路径问题”。
欧拉图和哈密顿图在实际问题中具有广泛的应用。
欧拉图的应用包括电子电路和网络的设计，路线规划等。
而哈密顿图的应用更多地涉及路径的优化问题，比如旅行商问题。
在实际应用中，我们常常需要通过对欧拉图和哈密顿图的研究，来寻找最优解或者设计最佳路径。
总的来说，离散数学中的欧拉图和哈密顿图是两个重要的图论概念，它们研究的是图中的路径问题。
欧拉图的判定条件相对明确，而哈密顿图的判定则是一个尚未完全解答的开放问题。
这两个概念在实际中具有广泛的应用，对于解决一些路径优化问题具有重要的参考价值。
