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离散数学-图论-哈密顿图及其应⽤哈密顿图⼀、定义概念1.哈密顿通路设G=<V,E>为⼀图（⽆向图或有向图）.G中经过每个顶点⼀次且仅⼀次的通路称作哈密顿通路2.哈密顿回路G中经过每个顶点⼀次且仅⼀次的回路（通路基础上+回到起始点）称作哈密顿回路3.哈密顿图若G中存在哈密顿回路，则称它是哈密顿图4.定义详解：（1）存在哈密顿通路（回路）的图⼀定是连通图；（2）哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路；（3）若G中存在哈密顿回路，则它⼀定存在哈密顿通路，反之不真（看课本的话，是必要条件，⽽不是充分条件，故不可反推！）（4）只有哈密顿通路，⽆哈密顿回路的图不叫哈密顿图；即，哈密顿图是回路⼆、判定定理注意：⽬前还没有找到哈密顿图的简单的充要条件（1）设⽆向图G=<V,E>为哈密顿图，V1是V的任意真⼦集，则（注：n阶xx图指的是n个顶点，不要迷！）p(G-V1)<=|V1|其中，p(G-V1)为G中删除V1后的所得图的连通分⽀数⽬，|V1|为V1集合中包含的顶点个数。
【哈密顿图存在的必要条件】推论：有割点的图⼀定不是哈密顿图设v是图中的割点，则p(G-v)>=2,由上述定理知G不是哈密顿图（2）设G是n(n>=3)阶⽆向简单图，若对于G中的每⼀对不相邻的顶点u,v,均有d(u)+d(v)>=n-1则G中存在哈密顿通路。
⼜若d(u)+d(v)>=n则G中存在哈密顿回路，即G为哈密顿图。
【哈密顿图存在的充分条件，不是必要条件】其中d(u),d(v)分别代表顶点u,v的度数。
推论：设G是n(n>=3)阶⽆向简单图，若G的最⼩度>=n/2,则G是哈密顿图。
由推论知，对于完全图Kn,当n>=3时，是哈密顿图，完全⼆部图Kr,s当r==s>=2时是哈密顿图。
（3）在n(n>=2)阶有向图D=<V,E>中，如果略去所有有向边的⽅向，所得⽆向图中含⽣成⼦图Kn,则D中存在哈密顿通路。
离散数学图论作业5-哈密顿图
Problem1
下方所示各图是否拥有哈密顿通路？若有哈密顿通路，则求出这样一条通路。
若没有哈密顿通路，则论证为什么这样的通路不存在。
(1)(2)(3)
Problem2
对哪些m和n值来说，完全二部图K m,n具有哈密顿回路？
Problem3
证明：每当n是正整数时，就存在n阶格雷码，或者等价地证明：n>1的n维立方体(n-cube)Q，总是具有哈密顿回路。
[提示：用数学归纳法，证明如何从n−1阶格雷码产生n阶格雷码。
]
证明：下图所示的彼得森图没有哈密顿回路，但删除任意顶点v和所有与v关联的边，所获得的子图都有哈密顿回路。
Problem5
若简单图G满足V(G)≥3且δ(G)≥V(G)−1
，证明或反驳：
2
a)G一定存在哈密顿回路。
b)G一定存在哈密顿通路。
Problem6
底图是完全图的有向图称为竞赛图，试证明：
a)竞赛图一定含有哈密顿通路。
b)竞赛图含有哈密顿回路的充分必要条件是强连通。
Problem7
考虑在15天安排15门课程的考试（每天考1门课），使得同一位老师所任的任意两门课程考试不排在接连的两天中，试证明如果没有老师担任多于8门课程，则符合上述要求的考试安排总是可能的。
考虑M×N的网格，以其中的方格作为点集，任意两个点之间有边当且仅当对应的两个方格相邻，构成图G。
a)当N是偶数且M>1时，给出一种哈密顿回路的构造方法。
b)当N和M都是大于1的奇数时，证明此时G没有哈密顿回路。
定义4.3.1 经过图G 的每个顶点恰一次的路称为G 的Hamilton 路，简称为H 路。
经过图G 的每个顶点恰一次的圈称为G 的Hamilton 圈，简称为H 圈。
具有Hamilton 圈的图称为Hamilton 图，简称为H 图。
Hamilton 图的研究起源于一种十二面体上的游戏。
1857 年，爱尔兰著名数学家William Rowan Hamilton 爵士（他也是第一个给出复数的代数描述的人）制作了一种玩具，它是一个木制的正十二面体，在正十二面体的每个顶点上有一个木栓，并标有世界著名城市的名字。
游戏者用一条细线从一个顶点出发，设法沿着十二面体的棱找出一条路，通过每个城市恰好一次，最后回到出发点。
这个游戏当时称为Icosian 游戏，也称为周游世界游戏。
将正十二面体从一个面剖开并铺展到平面上得到的图形如下图所示，称为十二面体图。
周游世界游戏用图论术语来说就是判断十二面体图是否Hamilton 图，并设法找出其Hamilton 圈。
其中一条Hamilton 圈如图中粗边所示。
十二面体图是H 图判断一个图是否Hamilton 图与判断一个图是否Euler 图似乎很相似，然而二者却有本质的不同。
目前为止尚没有找到判别一个图是否是Hamilton 图的有效充要条件。
这是图论和计算机科学中未解决的重要难题之一。
本节给出一些经典的充分条件和必要条件。
一、必要条件定理4.3.1 设G 是二部图，若G 是H 图，则G 必有偶数个顶点。
证明：设G = (X, Y ) ，由于G 的边全在X 和Y 之间，因此如果G 有Hamilton 圈C，则G的所有顶点全在C 上，且必定是X 的点和Y 的点交替在C 上出现，因此G 必有偶数个顶点。
证毕。
这个定理给出了一个二部图不是Hamilton 图的简单判断条件：如果一个二部图有奇数个顶点，则它必定不是Hamilton 图。
例如，下列Herschel 图是二部图，但有奇数个顶点，故不是H 图。
3.3.2 哈密尔顿图哈密尔顿（W．Hamilton）于1859 Array年提出了确定一个图是否有一条生成路或生成圈的问题。
这个问题是从哈密尔顿发明的一个数学游戏引出的。
1859年哈密尔顿发明了一种游戏，并作为一个玩具以25个金币卖给了一个玩具商。
这个玩具是用12个正五边形的面做成的一个正12面体，这个12面体共20个顶点，并以世界上20个著名城市名命名，要求游戏者沿着这个12面体的棱，走遍每个城市一次且仅一次，最后回到出发点。
他把这个游戏称之为“周游世界”游戏。
这个问题归结为求上图的一个哈密顿圈。
按图中的编号顺序走，显然会成功。
定义1 设G是无向图，则称经过每个结点一次且仅一次的通路为哈密尔顿通路。
如果哈密尔顿通路是回路，则称其为哈密尔顿回路。
具有哈密尔顿回路的G，称为哈密尔顿图。
确定一个图是否为哈密顿图的问题称为哈密顿回路问题。
由定义可知：（1）具有哈密尔顿通路的图是连通的；（2）哈密尔顿通路是初级通路；（3）哈密尔顿回路是初级回路。
对于有向图可类似定义。
定义2 设D是有向图，则称经过每个结点一次且仅一次的有向通路为有向哈密尔顿通路。
如果有向哈密尔顿通路是有向回路，则称其为有向哈密尔顿回路。
具有有向哈密尔顿回路的D，称为有向哈密尔顿图。
由有向哈密尔顿图的定义可知：（1）具有有向哈密尔顿通路的图是单向连通的；（2）有向哈密尔顿通路是初级有向通路；（3）有向哈密尔顿回路是初级有向回路。
例1 下面的图形中，哪个没有哈密尔顿通路？哪个有哈密尔顿通路但无哈密尔顿回路？哪个是哈密尔顿图？a a a（1） （2） （3）解 （1）中有哈密尔顿回路，例如 abcdea ，（1）是哈密尔顿图； （2）中无哈密尔顿通路；（3）中有哈密尔顿通路，例如 badce ，无哈密尔顿回路，不是哈密尔顿图。
例2 判断下面所示的有向图中，哪个没有有向哈密尔顿通路？哪个有有向哈密尔顿通路但无有向哈密尔顿回路？哪个是有向哈密尔顿图？3 3v 3v 5v44(1) (2) (3)解 (1)中有向哈密尔顿通路，例如4231v v v v . 但无有向哈密尔顿回路． (2)中有有向哈密尔顿回路，例如13421v v v v v ，所以，(2)是有向哈密尔顿图． (3)有有向哈密尔顿通路，如12543v v v v v . 但无有向哈密尔顿回路．虽然哈密尔顿回路问题与欧拉回路问题在形式上极为相似，但是，到目前为止，人们还没有找到哈密尔顿图（或有向哈密尔顿图）的充分必要条件．下面仅就无向图，给出判断哈密尔顿通路和哈密尔顿图的一些充分条件和必要条件．定理 （1）设n （>2）阶简单图G 的每一对不邻接的结点度数之和都大于或等于n-1，则G 中存在哈密尔顿通路．（2）设n （>3）阶简单图G 的每一对不邻接的结点度数之和都大于或等于n ，则G 中存在哈密尔顿回路，即G 是哈密尔顿图。
哈密尔顿图的判定及应用论文哈密尔顿图的判定及应用论文引导语：哈密尔顿图的研究是图论中不可或缺的一部分，这个问题的研究已经应用到了各个领域。
合理的利用哈密尔顿图的结论，不仅可以节约大量的时间，更可以降低发展的成本。
因此很多学者致力于哈密尔顿图的问题研究，也得到了很多了不起的突破。
1 引言在查阅了大量资料后，可以发现哈密尔顿图在数学理论研究和现实应用中都具有重要的地位。
哈密尔顿图的研究解决了大量的问题，但是还是有很多的问题还未得到解决。
其中较为著名的就是关于货郎担问题的解决方案，至今还没有很好的答案。
本文在综合了各种哈密尔顿图的判定方法之后，尝试用多种方法去解决货郎担问题，在比较后，找到一种相对较好的方法，也为将来的继续研究提供研究方向。
1.1 哈密尔顿图的起源哈密尔顿(Hamilton)是一位出生在爱尔兰的天文学家和数学家. 他的一生是很丰富多彩的，自从他发现“四元数”后，他又发现了另一种称之为“The Icosian Calculus”的代数系统，这个系统包含有乘法和加法的运算算子，但是乘法并不满换律(即xy-yx这个规律)。
他发现的这个代数系统是和正则12 面体有关的。
于是在1859 年他提出下列周游世界的游戏:在正十二面体的二十个顶点上依次标记伦敦、巴黎、莫斯科、华盛顿、北京、东京等世界著名大城市; 正十二面体的棱( 边) 表示连接这些城市的路线。
问: 能否在图中做一次旅行,从顶点到顶点, 沿着边行走, 经过每个城市恰好一次之后再回到出发点?曾经有很多人不断追寻这个游戏的答案。
可以应用拓扑的思想，将这正十二面体“拉平”将会得到一个和它同构的平面图(如图1-1)，这样进行就可以将这个游戏转化为：要求必须沿着正十二面体的棱，怎样才能走完正则十二面体上的所有顶点，而且最后又回到起点的问题。
图1-1：哈密尔顿周游世界图从此人们将这类图称作哈密尔顿图，哈密尔顿图的研究也开始慢慢建立起来。
1.2 研究背景和意义哈密尔顿图是图论的重要的一部分，随着数学和科学技术的蓬勃发展，它的应用已经渗透到自然科学、社会科学的各个领域。
图论中的哈密顿图与欧拉图图论是数学的一个分支，研究图的性质及其应用。
在图论中，哈密顿图和欧拉图是两个重要的概念。
本文将介绍哈密顿图和欧拉图的定义、性质和应用，并探讨它们在现实生活中的实际应用。
一、哈密顿图的定义与性质哈密顿图是指一种包含了图中所有顶点的路径的图。
具体来说，哈密顿图是一个简单图，其中任意两个不同的顶点之间都存在一条路径，使得该路径经过图中的每个顶点且不重复。
哈密顿图具有以下的性质：1. 哈密顿图是一个连通图，即图中的每两个顶点之间都存在通路。
2. 图中每个顶点都是度数大于等于2的点，即每个顶点都至少连接着两条边。
二、欧拉图的定义与性质欧拉图是指一种可以通过图中每条边恰好一次的路径来穿越图的图。
具体来说，欧拉图是一个简单图，其中经过图中每条边且路径不重复的路径称为欧拉路径，而形成闭合回路的欧拉路径称为欧拉回路。
欧拉图具有以下的性质：1. 每个顶点的度数都是偶数，即每个顶点都连接着偶数条边。
2. 欧拉图中至少有两个连通分量，即图中有至少两个不同的部分可以从一部分通过路径到达另一部分。
三、哈密顿图与欧拉图的应用哈密顿图和欧拉图在实际生活中有广泛的应用，下面将分别介绍它们的应用领域。
1. 哈密顿图的应用：哈密顿图在旅行商问题中有着重要的应用。
旅行商问题是指一个旅行商要依次拜访若干个城市，然后返回起始城市，而要求找到一条最短的路径使得每个城市都被访问一次。
哈密顿图可以解决这个问题，通过寻找一条哈密顿路径来确定最短的路径。
2. 欧拉图的应用：欧拉图在电路设计和网络规划中发挥着重要的作用。
在电路设计中，欧拉图可以帮助我们确定如何安排电线的布线以最大程度地减少电线的长度和复杂度。
在网络规划中，欧拉图可以用于确定如何正确地连接不同的网络节点以实现高效的信息传输。
四、结论哈密顿图和欧拉图是图论中的两个重要概念。
哈密顿图是一种包含了图中所有顶点的路径的图，而欧拉图是一种可以通过图中每条边恰好一次的路径来穿越图的图。
