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数形结合思想方法在高中数学教学中的运用一、数形结合思想方法的概念数形结合思想方法是指将数学中的抽象概念与具体图形相结合，使抽象概念更加形象化和具体化，从而帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
这种方法通过将数学问题转化为几何问题，突出了问题的形象性和直观性，使学生更容易理解和掌握数学内容。
二、数形结合思想方法的运用1. 代数表达与几何图形在代数学习中，常常涉及到各种方程、函数及其图像。
教师可以引导学生通过绘制函数图像的方法，帮助学生更好地理解代数表达式的意义。
对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，教师可以通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到a、b、c对函数图像的影响，从而加深对函数的理解和运用。
2. 数列与平面几何在数列的学习中，常常涉及到数列的通项公式和求和公式。
通过将数列的通项公式和求和公式与平面几何结合起来，可以帮助学生更好地理解数列的规律和性质。
教师可以通过绘制数列的图形，让学生直观地感受到数列的增减规律及其和的变化规律，从而加深对数列的理解和掌握。
3. 解析几何与代数方程在解析几何的学习中，常常涉及到直线、圆、抛物线等几何图形的方程式。
教师可以通过将几何图形的方程式与代数方程结合起来，帮助学生更直观地理解几何图形的性质和方程的意义。
教师可以通过分析直线方程和圆的方程的关系，让学生理解方程式与几何图形的联系，从而加深对解析几何的理解和运用。
2. 培养学生的几何直观能力学生在数学学习中往往更倾向于代数计算，而对几何图形的理解和运用能力相对较弱。
数形结合思想方法可以帮助学生培养几何直观能力，提高他们对几何图形的理解和运用水平。
3. 提高学生的数学思维能力数形结合思想方法可以激发学生的求知欲，培养他们的数学思维能力。
通过将数学问题转化为几何问题，学生能够更主动地思考和解决问题，提高他们的数学思维能力。
2. 拓展教学手段和方法数形结合思想方法为教师提供了新的教学手段和方法，丰富了教学内容和形式，提高了教学的多样性和趣味性，能够激发学生的学习兴趣。
河南省新野县第三高级中学2014-2015学年高二上学期第四次月考数学（理）试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 下列命题中的假命题是 （ ） A. 02,1>∈∀-x R x B. 2tan ,=∈∃x R xC. 1lg ,<∈∃x R xD. ()01,2>-∈∀*x Nx2. 不等式3260-->x y 表示的区域在直线3260--=x y 的( )A ．右上方B ．右下方C ．左上方D ．左下方 3．若不等式28210++<ax ax 的解集是{71}-<<-x x ，那么a 的值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 不等式3529x ≤-<的解集是 ( ) A. ()(),27,-∞-+∞ B. []1,4 C. [][]2,14,7- D. (][)2,14,7-5.“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ( ) A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件6. 设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双 曲线的渐近线方程为 ( )A. 340x y ±=B. 350x y ±=C. 430x y ±=D. 540x y ±= 7. 数列{}n a 是公差不为零的等差数列，并且1385,,a a a 是等比数列{}n b 的相邻三项，若 52=b ，则n b 等于（ ）A. 1)35(5-⋅nB. 1)35(3-⋅nC.1)53(3-⋅nD. 1)53(5-⋅n8. 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴 上方的部分相交于点A ，AK l ⊥,垂足为K ，则AKF △的面积是A. 4 B ．．．89. 已知ABC ∆中C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c若a c ==75A ∠=o，则b =( )A. 2 B ．4＋．4—10.已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于 A. 3 B. 4 C. 23 D. 2411.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则213b a +的最小值为 （ ）A．3B．3C ．2D ．1 12.已知椭圆()2211x y m m +=>和双曲线()2210x y n n-=>有相同的焦点12,,F F P 是 它们的一个交点，则12F PF ∆的形状是 （ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 随,m n 的变化而变化 第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，则11y x --的最小值为___________；14.两个正数a 、b 的等差中项是25，一个等比中项是6，且,b a >则双曲线12222=-by ax 的离子心率e 等于___________；15.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值___________；16.点P 在椭圆22143x y +=上运动，Q 、R 分别在两圆22(1)1x y ++=和22(1)1x y -+= 上运动，则PQ PR +的最小值为 。
浅谈数形结合的思想在高中数学中的应用【内容摘要】：数形结合的思想是高考数学试题中的基本方法之一，数形结合的思想是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是可以使代数问题几何化，几何问题代数化，从而在解题过程中化难为易，化繁为简，提高解题效率。
【关键词】：数形结合直观形象解题一、数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。
数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观的说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。
实际上就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化。
在解析几何中，我们充分强调了用代数方法解决几何问题的解析法，它解决了许多紧靠图形无法精确讨论的问题，显示“数”的巨大威力。
同时我们也看到许多问题若从“形”的角度去思考，可以找到直观、简捷的解题方案，这充分展现了“形”的无穷魅力。
二、运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则1、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。
有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。
2、双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。
3、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合。
具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。
数形结合的思想方法(1)---讲解篇一、知识要点概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。
因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
二、解题方法指导1．转换数与形的三条途径：①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。
③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
高中数学思想方法8篇高中数学思想方法精选8篇高中数学思想方法1第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的`转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点高中数学思想方法21、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
河南省新野县第三高级中学2014-2015学年高二数学上学期第四次周考试题〔时间：120分钟，总分为：150分〕一、选择题〔本大题共12小题，每一小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1．命题“假设A ⊆B ，如此A ＝B 〞与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．4B ．0C ．2D ．32．在△ABC 中，假设a ＝2， b ＝2，A ＝π4，如此B 等于( ) A.π12B.π6C.π6或56π D.π12或1112π 3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，如此cos A 的值是( )A ．－14B.14C ．－23D.234．x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，如此lg x lg y 的最大值是( )A ．4B ．2C ．1 D.145 .设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，如此目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．26. 在ABC ∆中，3B π∠=，三边长a ，b ，c 成等差数列，且6ac =，如此b 的值是 〔 〕A B D7．数列{a n }的通项式902+=n n a n ，如此数列{a n }中的最大项是〔 〕 A 、第9项 B 、第10项和第9项C 、第10项D 、第9项和第8项8．等差数列{}n a 中，有011011<+a a ，且该数列的前n 项和n S 有最大值，如此使得0n S > 成立的n 的最大值为( )A ．11B ．20C ． 19D ．21 9 设x ，y 都是正数，且21x y ，如此11x y的最小值是( )AB C 232D 32210.数列{a n }的首项为1，{b n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)如此n a 〔 〕A ．21nB ．2nC ．121nD ．22n11.假设两个等差数列n a ，n b 的前n 项的和为n A ，n B .且4555nn A n B n ，如此135135b b a a ++= 〔 〕A.97B.78C.2019D.87 12 平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.假设在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，如此=mA.2-B.1-C.1D. 4二、填空题〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上〕13．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，如此a 、b 、c 的大小顺序是________．14．不等式20x ax b --<的解集为〔2，3〕，如此不等式210bx ax -->的解集为___________________.15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，如此第100个括号内的数为________. 16．在三角形ABC 中，假设角AB C 、、所对的三边a 、b 、c 成等差数列，如此如下结论中正确的答案是____________.〔把所有正确结论的序号都填上〕①b 2≥ac； ②b c a 211≤+； ③2222c a b +≤； ④(0,]3B π∈ 三、解答题〔本大题共6小题，70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．〔本小题10分〕设命题p ：22310x x -+≤，命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，假设命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18 〔本小题12分〕△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，cos sin ab Cc B 〔1〕求B ；〔2〕假设2b，求△ABC 面积的最大值。
第5讲 数形结合思想在解题中的使用一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数和形之间的对应关系，通过数和形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性和灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常和以下内容有关：①实数和数轴上的点的对应关系；②函数和图象的对应关系；③曲线和方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高测试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法使用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
2014—2015学年新野三高高三第四次阶段性考试数学试题（理）命题人： 时间：2014.12.10一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集为R ，集合A={}，B={}，A ∩（C R B ）=A ．[0，2)B ．[0，2]C ．(1，2)D ．(1，2]2．若复数满足，则A ．B ．C ．2D ． 3．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ）4.已知是两条不同的直线，是一个平面，且∥，则下列命题正确的是( )（A ）若∥，则∥ （B ）若∥，则∥（C ）若，则 （D ）若，则5.设为公差不为零的等差数列的前项和，若，则（ ）A BC DA.15B.17C.19D.216. 平面向量与的夹角为60°，则（ ） A ． B. C.4 D.127.函数sin(),0,02y x πωϕωϕ=+><<（）在一个周期内的图象如图所示， A ，B 在y 轴上，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( ) A ．ω＝2，φ＝π3 B ．ω＝2，φ＝π6 C ．ω＝12，φ＝π3 D ．ω＝12，φ＝π6 8．一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以平面为投影面的正视图的面积为A ．B ．C ．D ．9.函数的部分图象为10.三棱锥S —ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°.②直线SB ⊥平面ABC ；③平面SBC ⊥平面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a . 其中正确的个数是（ ）．A.1B.2C.3D.411已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH:HB =1:2，AB ⊥平面，H 为垂足，截球O 所得截面的面积为，则球O 的表面积为A ．B ．4C ．D ．12.设，若函数在区间上有三个零点，则实数a 的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知在正方体中，点E 是棱的中点，则直线AE 与平面所成角的正切值是 .14．己知x>0，y>0，且，则x+y 的最大值是______.15. 设满足约束条件22002x x y e y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，则所在平面区域的面积为___________.16已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设131,log n n n b c a ==18（本小题满分12分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为S ＝accosB（1）若c ＝2a ，求角A ，B ，C 的大小；（2)若a ＝2，且，求边c 的取值范围．19（本小题满分12分）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA 1=4，点D 在棱AB 上．(1) 若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD ；（2）当时，求二面角的余弦值．20（本小题满分12分）己知向量23sin ,1,cos ,cos 444x x x m n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎭⎝⎭，记. (I)若，求的值；( II)在锐角ABC 申，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足((2)cos cos a c B b C -=, 求函数的取值范围．21（本小题满分12分）如图，设四棱锥的底面为菱形，且∠，，。
