6.3余角补角对顶角(2)

A．2个B．3个C．4个D．6个
A．20°B．40°C．50°D．60°
A．B．C．D．
A．B．C．D．
2、相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
【练习】
1（2006•河南）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）A．一定有一个锐角B．一定有一个钝角
C．一定有一个直角D．一定有一个不是钝角
3（2011•柳州）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）
A．∠2和∠3B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠1和∠2
4（2009•南平）如图，某同学在课桌上随意将一块三角板的直角叠放在直尺上，则∠1+∠2的度数是（）
A．45°B．60°C．90°D．180°。

余角、补角、对顶角（2）一、教学目标1、了解对顶角的定义2、3、能应用余角、补角、对顶角的性质进行简单推理说明二、教学重点、难点1、重点：对顶角的概念及其性质2、难点：运用性质推理说明三、教学过程1、复习余角、补角的定义及其性质余角：两角之和为90，则这两个角互余；其性质为同角的余角相等；补角：两角之和等于180，则这两个角互补；其性质为同角的补角相等。

2、新课引入：问题：直线AB和直线CD相交于点O，图中有哪些角？OBACD其中有互补的关系的角，那么∠AOD与∠BOC是什么关系呢？（1）定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角是对顶角。

如上图中的∠AOD与∠BOC，∠BOD与∠AOC是对顶角。

观察总结：两直线相交所成角，一种关系是互补，一种关系是对顶角（有公共边）。

例1 下图中，∠1与∠2是对顶角的有（）对例2 三条直线AB、CD、EF相交于点O，图中共有（）对对顶角。

EACFBDO（2）性质：对顶角相等OBDCA因为∠AOC+∠COB=∠BOD+∠COB=180,所以∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）例3 如图，直线a和直线b相交，（1）已知∠1=40，则∠2=___，∠3=___，∠4=___；（2）已知∠2+∠4=280，则∠1=___，∠2=___，∠3=___，∠4=___；（3）已知∠1 ：∠2 =2 ：7，则∠3=___，∠4=___。

4231例4 如图，直线AB,CD 相交于点O ，∠DOE=90°，∠AOC=72°，求∠BOE 的度数。

BECODA解：∵直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC=72° ∴∠BOD=∠AOC=72°（对顶角相等） 又∵∠DOE=90°∴∠BOE=∠DOE-∠BOD=90°- 72°=18°例5 如图，直线AB 和直线CD 相交于点O ，∠DOE=∠BOD ，OF 平分∠AOE ，∠AOC=30，试求∠EOF 的度数。

6.3余角、补角、对顶角分层练习考察题型一余角、补角的概念1．下列图中，1∠和2∠互为邻补角的是()A．B．C．D．【详解】解：根据邻补角的定义可知：只有选项D中1∠互为邻补角．∠和2故本题选：D．2．A∠的补角为12512︒'，则它的余角为()A．5418︒'B．3512︒'D．以上都不对︒'C．3548【详解】解：18012512，∠=︒-︒'A︒-∠=︒-︒-︒'=︒'-︒=︒'．A∴∠的余角为9090(18012512)12512903512A故本题选：B．3．如果一个角的补角是这个角余角的2.5倍，那么这个角的度数是()A．30︒B．60︒C．90︒D．120︒【详解】解：设这个角的度数为x，则它的余角为：90x︒-，︒-，补角为：180x由题意可得：180 2.5(90)x x︒-=︒-，解得：30x=︒．故本题选：A．4．如图，90∠的大小为()∠=︒，则BOCAOC BODAOD∠=∠=︒，126A．36︒B．44︒C．54︒D．63︒【详解】解：90AOC ∠=︒ ，126AOD ∠=︒，36COD AOD AOC ∴∠=∠-∠=︒，90BOD ∠=︒ ，BOC BOD COD ∴∠=∠-∠9036=︒-︒54=︒．故本题选：C ．5．如果互补的两个角有一条公共边，那么这两个角的平分线所成的角是()A ．一定是直角B ．一定是锐角C ．锐角或钝角D ．直角或锐角【详解】解： 两角互补，∴两角之和为180度，如图，有两种情况：，∴互补的两个角的平分线所成的角可能为直角也可能为锐角．故本题选：D ．6．已知α∠是锐角，α∠与β∠互补，α∠与γ∠互余，则βγ∠-∠的度数为()A ．180︒B ．90︒C ．45︒D ．无法确定【详解】解：α∠ 是锐角，α∠与β∠互补，α∠与γ∠互余，180αβ∴∠+∠=︒，90αγ∠+∠=︒，180βα∴∠=︒-∠，90γα∠=︒-∠，180(90)90βγαα∴∠-∠=︒-∠-︒-∠=︒．故本题选：B ．7．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OB 平分DOE ∠，90EOF ∠=︒．若AOF α∠=，COF β∠=，则以下等式一定成立的是()A ．290a β+=︒B ．290a β+=︒C ．45a β+=︒D ．2180a β+=︒【详解】解：OB 平分DOE ∠，DOB EOB ∴∠=∠，又90EOF ∠=︒ ，180AOF EOF BOE ∠+∠+∠=︒，90AOF BOE ∴∠+∠=︒，AOF α∠= ，COF β∠=，90COE β∴∠=︒-，90BOE α∠=︒-，2180COE BOE COD ∠+∠=∠=︒ ，902(90)180βα∴︒-+︒-=︒，即290αβ+=︒．故本题选：A ．8．下列说法中，错误的是()A ．互余且相等的两个角各是45︒B ．一个角的余角一定小于这个角的补角C ．如果123∠+∠=∠，那么1∠的余角与2∠的余角的和等于3∠的余角D ．如果123∠+∠=∠，那么1∠的余角与2∠的余角的和等于3∠的补角【详解】解： 互余的两个角的和为90︒，∴互余且相等的两个角各是45︒，故A 正确；设一个角为α，则其余角为90α︒-，补角为180α︒-，∴180(90)90αα︒--︒-=︒，∴一个角的余角一定小于这个角的补角，故B 正确；1∠ 的余角和2∠的余角分别为901︒-∠，90︒-∠2，且123∠+∠=∠，901902180(12)1803∴︒-∠+︒-∠=︒-∠+∠=︒-∠，那么如果123∠+∠=∠，那么1∠的余角与2∠的余角的和等于3∠的补角，故C 错误，D 正确．故本题选：C ．9．如图，已知A ，O ，B 三点在同一直线上，且OC 平分BOD ∠，OE 平分AOD ∠，下列结论：①BOC ∠与AOE ∠互余；②BOE ∠与EOD ∠互补；③180AOD BOE EOD ∠+∠=∠+︒；④2AOC BOC EOD ∠-∠=∠．其中正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【详解】解：OC 平分BOD ∠，OE 平分AOD ∠，12BOC DOC BOD ∴∠=∠=∠，12AOE DOE AOD ∠=∠=∠，180BOC AOE ∠+∠=︒ ，90BOC AOE ∴∠+∠=︒，180BOE EOD ∠+∠=︒，BOC ∴∠与AOE ∠互余，BOE ∠与EOD ∠互补，故①②正确；180AOD BOE BOE AOE EOD EOD ∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+︒，故③正确；2AOC BOC AOC COD AOD EOD ∴∠-∠=∠-∠=∠=，故④正确．故本题选：D ．考察题型二余角、补角的性质1．下列结论：①互补且相等的两个角都是45︒；②同角的余角相等；③若123180∠+∠+∠=︒，则1∠，2∠，3∠互为补角；④锐角的补角是钝角；⑤锐角的补角比其余角大80︒．其中正确的个数为()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【详解】解：①互补且相等的两个角都是90︒，原说法错误；②同角的余角相等，原说法正确；③如果两个角的和等于180︒，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，顾互为补角是指两个角之间的关系，原说法错误；④锐角的补角是钝角，原说法正确；⑤锐角的补角比其余角大90︒，原说法错误；综上，正确的有2个，故A 正确．故本题选：A ．2．下列推理错误的是()A ．因为12180∠+∠=︒，13∠=∠，所以23180∠+∠=︒B ．因为1290∠+∠=︒，2390∠+∠=︒，所以13∠=∠C ．因为12180∠+∠=︒，23180∠+∠=︒，所以13∠=∠D ．因为1290∠+∠=︒，所以1245∠=∠=︒【详解】解：A ．A ．12180∠+∠=︒，13∠=∠，由等量代换可得：23180∠+∠=︒，正确；B ．1290∠+∠=︒，2390∠+∠=︒，由等角的余角相等可得：13∠=∠，正确；C ．12180∠+∠=︒，23180∠+∠=︒，由等角的补角相等可得：13∠=∠，正确；D ．1∠与2∠不一定相等，由1290∠+∠=︒，不能推出1245∠=∠=︒，故错误．故本题选：D ．3．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中α∠与β∠一定相等的是()A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【详解】解：图①，由“同角的余角相等”可得：αβ∠=∠；图②，135α∠=︒，120β∠=︒；图③，由“等角的补角相等”可得：αβ∠=∠；图④，1809090αβ∠+∠=︒-︒=︒，互余；综上，α∠与β∠一定相等的是图①和图③．故本题选：B ．4．如图，90AOB COD EOF ∠=∠=∠=︒，则1∠，2∠，3∠之间的数量关系为()A ．12390∠+∠+∠=︒B ．12390∠+∠-∠=︒C ．23190∠+∠-∠=︒D ．12390∠-∠+∠=︒【详解】解：390BOC DOB BOC ∠+∠=∠+∠=︒ ，3BOD ∴∠=∠，190EOD ∠+∠=︒ ，2190BOD ∴∠-∠+∠=︒，32190∴∠-∠+∠=︒，故本题选：D ．5．如图，已知12∠=∠，34∠=∠，1902BOD AOB ∠=∠=︒．下列判断：①射线OF 是BOE ∠的角平分线；②BOC ∠是DOE ∠的补角；③AOC ∠的余角只有COD ∠；④DOE ∠的余角有BOE ∠和COD ∠；⑤COD BOE ∠=∠．其中正确的有()A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【详解】解： 12∠=∠，∴射线OF 是BOE ∠的角平分线，故①说法正确；34∠=∠，BOC ∠是4∠的补角，∴BOC ∠是DOE ∠的补角，故②说法正确；34∠=∠，1902BOD AOB ∠=∠=︒，∴COD BOE ∠=∠，故⑤说法正确；AOC ∠的余角有COD ∠和BOE ∠，故③说法错误；DOE ∠的余角有BOE ∠和COD ∠，故④说法正确；综上，正确的有4个．故本题选：B ．6．如图，O 是直线AB 上一点，OE 平分AOB ∠，90COD ∠=︒．则图中互余的角、互补的角各有()对．A ．3，3B ．4，7C ．4，4D ．4，5【详解】解：OE 平分AOB ∠，90AOE BOE ∴∠=∠=︒，90COD ∠=︒，∴互余的角有AOC ∠和COE ∠，AOC ∠和BOD ∠，COE ∠和DOE ∠，DOE ∠和BOD ∠共4对， 由“等角的补角相等”可得：AOC ∠=DOE ∠，COE ∠=BOD ∠，∴互补的角有AOC ∠和BOC ∠，DOE ∠和BOC ∠，COE ∠和AOD ∠，BOD ∠和AOD ∠，AOE ∠和BOE ∠，AOE ∠和COD ∠，COD ∠和BOE ∠共7对．故本题选：B ．考察题型三对顶角1．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是()A ．同角的余角相等B ．同角的补角相等C ．等角的余角相等D ．等角的补角相等【详解】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等．故本题选：B ．2．如图，1∠和2∠是对顶角的是()A ．B ．C ．D ．【详解】解：A ．1∠与2∠的两边不是互为反向延长线，不是对顶角；B ．1∠与2∠没有公共顶点，且两边不是互为反向延长线，不是对顶角；C ．1∠与2∠的两边互为反向延长线，且有公共顶点，是对顶角；D ．1∠与2∠的两边不是互为反向延长线，不是对顶角．故本题选：C ．3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若AOD ∠减少2618'︒，则(BOC ∠)A ．减少2618'︒B ．增大15342'︒C ．不变D ．增大2618'︒【详解】解：由“两直线相交，对顶角相等”可知：AOD BOC ∠=∠，∴若AOD ∠减少2618'︒，则BOC ∠减少2618︒'．故本题选：A ．4．如图，已知直线AB 和CD 相交于点O ，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF ∠=︒，则BOD ∠的度数为()A ．22︒B ．34︒C ．56︒D ．72︒【详解】解：COE ∠ 是直角，34COF ∠=︒，903456EOF ∴∠=︒-︒=︒，OF 平分AOE ∠，56AOF EOF ∴∠=∠=︒，563422AOC ∴∠=︒-︒=︒，22BOD AOC ∴∠=∠=︒．故本题选：A ．5．如图，直线AB 、CD 、EF 相交，若15180∠+∠=︒，图中与1∠相等的角有()A．1个B．2个C．3个D．4个【详解】解：15180∠+∠=︒，∠+∠=︒，65180∴∠=∠，16∠=∠，68∴∠=∠，18又13，∠=∠∠相等的角有3个．∴图中与1故本题选：C．6．如图，直线AB、CD相交于点O，90∠=∠=︒．AOE COF（1）DOE∠的余角是（填写所有符合要求的角）．（2）若70∠的度数．∠=︒，求BOFDOE（3）若DOE BOD∠的度数．∠=∠，求EOC【详解】解：（1）90，AOE∠=︒∴∠=︒，90EOB∠互余，∴∠与DOBDOE∠=∠，AOC DOB∠互余，∴∠与EODAOC，∠=︒COF90∴∠=︒，DOF90∠余角，DOE∴∠与EOF∴DOE ∠的余角是BOD ∠、EOF ∠、AOC ∠，故本题答案为：BOD ∠、EOF ∠、AOC ∠；（2）70DOE ∠=︒ ，DOE ∠与DOB ∠互余，20DOB ∴∠=︒，2090110BOF BOD FOD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）90EOB ∠=︒ ，DOE BOD ∠=∠，45BOD ∴∠=︒，45AOC ∴∠=︒，9045135EOC ∴∠=︒+︒=︒．1．已知AOB ∠与BOC ∠互为补角，OD 平分BOC ∠．（1）如图①，若80AOB ∠=︒，则BOC ∠=︒，AOD ∠=︒；（2）如图②，若140AOB ∠=︒，求AOD ∠的度数；（3）若AOB n ∠=︒，直接写出AOD ∠的度数（用含n 的代数式表示），及相应的n 的取值范围．。

初中数学63余角、补角、对顶角6.3《余角、补角、对顶角》学讲预案一、自主先学活动一：（走进课本）1．互为余角的概念：如果,这两个角叫做互为余角.简称互余.其中一个角叫做另一个角的余角.2．互为补角的概念：如果,这两个角叫做互为补角.简称互补.其中一个角叫做另一个角的补角.3．已知3组角：A 组 B组 C组（1）对A组中的每一个角，在B组中找出它的补角，并用线连接；（2）B组中有哪些角的余角在C组中？分别找出这些角，并用线连接.活动二：（走进课本）如图，如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，那么∠2与∠3相等吗？为什么？想一想1.如图，如果∠1与∠ 2互余，∠3与∠4互余，∠1 =∠3,那么∠2与∠4相等吗？为什么？2.如图，如果∠1与∠2互补，∠ 3与∠4互补，∠1 =∠ 3,那么∠2与∠4相等吗？为什么？结论：余角性质：.补角性质：.活动三：如图，∠AOB= ∠COD=90 °，则∠BOC 与∠AOD 有怎样的大小关系？为什么活动四：如图,∠AOC 和∠BOD 都是直角,如果∠AOB=140◦求∠DOC 的度数. 二、 合作助学1．一个角的补角的余角等于这个角的，求这个角的度数.三、 拓展导学2．若互余的两个角有一条公共边，则这两个角的角平分线所组成的角（） 、等于、小于、小于或等于、大于或等于四、 检测促学3．1.25度 = ________分; 123°角的补角是_________°.4．已知一个角的余角等于 ,则它的补角等于_____________｡5．若,则的余角为_____度,的补角为_____度.五、反思悟学6．如图，AOB 为一条直线，∠1＋∠2=90 º，∠COD 是直角（1）请写出图中相等的角，并说明理由； （2）请分别写出图中互余的角和互补的角. DCA BE O 1 2。

七年级数学教学案2022-8-6 第（）份课题： 6.3余角、补角、对顶角（2）课型：新授主备：肖从平审核人：七年级数学组编号：班级学生姓名: 学号【学习目标】1、在具体情境中理解对顶角，知道对顶角相等；2、进一步感受数学知识在实际生活中的应用，感悟使用互为余角、互为补角、对顶角的性质来解决问题.【重点难点】重点：理解对顶角难点：使用互为对顶角的性质来解决问题一、【学前预习反馈】1、以下各组角中，∠1与∠2是对顶角的为（）A B C D2、下面各图中的∠1与∠2是对顶角的是（）A B C D3、如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）A、∠2和∠3B、∠1和∠3C、∠1和∠4D、∠1和∠2日期教师评价家长签名2二、【新知探究】 1、自主探究：（1）通过小孔O,两条光线AA’、BB’形成了哪些角？ （2）定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

（3）画出∠AOB 的对顶角。

2、典型例题：例1、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，∠AOE=25°。

你能说出图中哪些角的度数？例2、如图，AB 、CD 相交于点O,∠DOE=90°， ∠AOC=72°.求∠BOE 的度数.OC D B A E OB DC EAO / BA A /三、【课堂检测】1、如图，直线AC 、DE 相交于点O ，OE 是∠AOB 的平分线，∠COD=50°， 试求∠AOB 的度数.2、如图，直线AB 、EF 相交于点D ，∠ADC=90°。

（1）∠1的对顶角是 ；∠2的余角有 。

（2）若∠1与∠2的度数之比为1:4，求∠BDF 的度数。

3、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，且∠AOD +∠BOC=220°， 则∠AOC 为多少度？为什么？四、【课后巩固】1、如图直线AB ，CD 相交于O 点，若∠1=30°，则∠2，∠3的度数分别为（ ） A 、120°，60° B 、130°，50° C 、140°，40° D 、150°，30°O A BC D EA CD12 E B F OA D CB2、以下说法准确的是（）A、有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角B、两条直线相交，任意两个角都是对顶角C、两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角D、两角的两边分别在同一直线上，这两个角互为对顶角3、如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE=70°，则∠BOD的度数是（）A、20°B、30°C、35°D、40°4、如图，直线AB、EF相交于点D，∠ADC=900。

什么叫余角、补角？它们的性质是什么？难易度：★★★★关键词：角答案：（1）余角：如果两个角的和等于90°(直角），就说这两个角互为余角。

即其中一个角是另一个角的余角。

（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。

即其中一个角是另一个角的补角。

(3）性质：等角的补角相等。

等角的余角相等。

（4）余角和补角计算的应用,常常与等式的性质、等量代换相关联。

注意：余角（补角)与这两个角的位置没有关系。

不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义,则它们就具备相应的关系。

【举一反三】典例：已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．思路引导：主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°,互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．利用题中“一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°"作为相等关系列方程求解即可．设这个角是x，则(180°-x)—3（90°-x）=10°，解得x=50°．故答案为50°．标准答案:50°尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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第 1 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可6.3 第1课时 余角和补角知识点 1 余角、补角的概念1．2017·广东已知∠A ＝70°，则∠A 的补角为( )A ．110°B ．70°C ．30°D ．20°2．下列选项中，能与30°角互补的是( )图6－3－13．如图6－3－2，点O 在直线AB 上，若∠1＝40°，则∠2的度数是( )图6－3－2A ．50°B ．60°C ．140°D ．150°4. 如果一个角是36°，那么( )A ．它的余角是64°B ．它的补角是64°C ．它的余角是144°D ．它的补角是144°5．现有下列说法：①锐角的余角是锐角；②钝角没有余角；③直角的补角是直角；④两个锐角互余．其中正确说法的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．16．52°34′的余角是__________，补角是__________．7．若一个锐角的余角与这个角相等，则这个角等于________°.8．已知∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，如果∠1＝63°，那么∠3＝________°.9．一个角的补角比它的余角的4倍少15°，求这个角的度数．第 2 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可知识点 2 余角、补角的性质10．若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则________＝________，理由是__________________________________；若∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，∠1＝∠3，则________＝________，理由是_________________________________________________．11．若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，∠1＝50°，则∠3等于( )A ．50°B ．130°C ．40°D ．140°12.如图6－3－3所示，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若∠AOC ＝65°，则∠BOD 等于( )图6－3－3A ．45°B ．55° C．60° D ．65°13．下列说法错误的是( )A ．若两角互余，则这两角均为锐角B ．若两角相等，则它们的补角也相等C ．互为余角的两个角的补角相等D ．两个钝角不能互补14．如图6－3－4，已知∠BOC ＝90°，∠DOA ＝90°，∠1＝50°，求∠2的度数．第 3 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可图6－3－415．如图6－3－5所示，点A ，O ，E 在一条直线上，从点O 引射线OB ，OC ，OD ，∠AOC ＝∠COE ＝∠BOD ＝90°，那么图中互补的角有哪几对？图6－3－516．如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角是它的补角的( )A ．2倍 B.12 C ．5倍 D.1517．已知：如图6－3－6，∠AOB ＝∠COD ＝90°，则∠1与∠2的关系是( )图6－3－6A ．互余B ．互补第 4 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可C ．相等D ．无法确定18．如图6－3－7，O 为直线AB 上一点，∠AOC ＝α，∠BOC ＝β，则β的余角可表示为( )图6－3－7A.12(α＋β)B.12α C.12(α－β) D.12β 19．如图6－3－8，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若∠AOD ＝150°，则∠BOC ＝________°.图6－3－8 20．如图6－3－9，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．(1)若∠DOB 与∠DOA 的度数之比是2∶11，求∠BOC 的度数；(2)若叠合所成的∠BOC ＝n °(0＜n ＜90)，则∠DOA 的补角的度数与∠BOC 的度数之比是多少？图6－3－921．如图6－3－10，O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC.(1)写出与∠AOE互补的角；(2)若∠AOD＝36°，求∠DOE的度数；(3)当∠AOD＝x°时，请直接写出∠DOE的度数．图6－3－1022．如图6－3－11，已知O为直线AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON＝40°.(1)∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；(2)试求∠AOC与∠AOB的度数．第 5 页共9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可图6－3－11第 6 页共9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可第 7 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可详解详析1．A 2.D 3.C4．D [解析] 如果一个角是36°，那么它的余角是90°－36°＝54°，补角是180°－36°＝144°.故选D.5．B6．37°26′ 127°26′ [解析] 90°－52°34′＝37°26′，180°－52°34′＝127°26′.7．458．153 [解析] 因为∠1和∠2互余，所以∠1＋∠2＝90°.又因为∠1＝63°，所以∠2＝27°.因为∠2和∠3互补，所以∠2＋∠3＝180°，即27°＋∠3＝180°，所以∠3＝153°.9．解：设这个角为x °，由题意得180°－x °＝4(90°－x °)－15°，解得x ＝55.即这个角的度数为55°.10．∠2 ∠3 同角的余角相等 ∠2 ∠4等角的补角相等11．A12．D [解析] ∵∠AOC 和∠BOD 都是∠BOC 的余角，∴∠AOC ＝∠BOD .∵∠AOC ＝65°，∴∠BOD ＝65°.故选D.13．C [解析] 若两角互余，则这两角均为锐角，选项A 正确；若两角相等，则它们的补角也相等，选项B 正确；30°与60°的角互余，30°角的补角是150°，60°角的补角是120°，则互为余角的两个角的补角不一定相等，选项C 错误；两个钝角不能互补，选项D 正确．14．解：因为∠AOD ＝90°，所以∠1＋∠BOD ＝90°.因为∠BOC ＝90°，所以∠2＋∠BOD ＝90°.根据同角的余角相等，可得∠2＝∠1＝50°.15．解：∠AOD 与∠DOE 互补，∠BOC 与∠DOE 互补，∠BOE 与∠AOB 互补，∠DOC 与∠AOB 互补，∠AOC 与∠BOD 互补，∠AOC 与∠COE 互补，∠BOD 与∠COE 互补．16．B [解析] 设这个角为α，它的余角为β，它的补角为γ，则α＝2β，∵α＋β＝90°，∴α＋12α＝90°，∴α＝60°.∵α＋γ＝180°，∴γ＝120°，∴α＝12γ.故选B.第 8 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可17．B18．C [解析] 由邻补角的定义，得α＋β＝180°，两边都除以2，得12(α＋β)＝90°，β的余角是12(α＋β)－β＝12(α－β)．故选C. 19．30[解析] ∵∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠AOD ＝150°，∴∠BOC ＝∠AOB ＋∠COD －∠AOD ＝90°＋90°－150°＝30°.20．解：(1)设∠DOB ＝2x ，则∠DOA ＝11x .因为∠AOB ＝∠COD ＝90°，所以∠AOC ＝∠DOB ＝2x ，∠BOC ＝7x .又因为∠DOA ＝∠AOB ＋∠COD －∠BOC ＝180°－∠BOC ，可得方程11x ＝180°－7x ，解得x ＝10°，所以∠BOC ＝70°.(2)因为∠DOA ＝∠AOB ＋∠COD －∠BOC ＝180°－∠BOC ，所以∠DOA 与∠BOC 互补，则∠DOA 的补角的度数是n °，则∠DOA 的补角的度数与∠BOC 的度数之比是1∶1.21．解：(1)∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOE ＝∠COE .∵∠AOE ＋∠BOE ＝180°，∴∠AOE ＋∠COE ＝180°，∴与∠AOE 互补的角是∠BOE ，∠COE .(2)∵OD ，OE 分别平分∠AOC ，∠BOC ，第 9 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可∴∠COD ＝∠AOD ＝36°，∠COE ＝∠BOE ＝12∠BOC ，∠AOC ＝2×36°＝72°， ∴∠BOC ＝180°－72°＝108°，∴∠COE ＝12∠BOC ＝54°， ∴∠DOE ＝∠COD ＋∠COE ＝90°.(3)当∠AOD ＝x °时，∠DOE ＝90°.22．解：(1)∠COD ＝∠AOB .理由：因为∠AOC 与∠AOB 互补，所以∠AOC ＋∠AOB ＝180°.又因为∠AOC ＋∠COD ＝180°，所以∠COD ＝∠AOB .(2)因为OM 和ON 分别是∠AOC 和∠AOB 的平分线，所以∠AOM ＝12∠AOC ，∠AON ＝12∠AOB ， 所以∠MON ＝∠AOM －∠AON ＝12∠AOC －12∠AOB ＝12(∠AOC －∠AOB )＝12∠BOC . 因为∠MON ＝40°，所以∠BOC ＝80°，所以∠COD ＋∠AOB ＝180°－80°＝100°.又因为∠AOB ＝∠COD ，所以∠AOB ＝∠COD ＝50°，所以∠AOC ＝180°－∠COD ＝130°.。

第 54 课时课题：余角、补角、对顶角（2）【学习目标】1.在具体情境中理解对顶角，知道对顶角相等；2．经历观察、操作、说理、交流的过程，进一步发展空间观点，学习有条理的表达数学问题；3.会使用互为余角、互为补角、对顶角的性质来解决问题.【学习重点、难点】使用互为余角、互为补角、对顶角的性质来解决问题.【学习过程】 一、课前预习1.通过小孔O,两条光线AA ’、BB ’形成了哪些角？它们分别有什么位置关系.2.两根木条中间用铁钉固定起来，但可转动。

试着转不同的角度，比较两木条所成的角的度数。

你能发现什么？二、课堂检测 1. 图中的∠1与∠2是对顶角的是（ ）。

2.如图，∠BOE=900，其中对顶角的是________________。

互为余角的是_______________，互为补角的是_______________3.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OC 是∠AOE 的平分线，∠DOB=460，求∠COE 、∠BOE 的度数。

，∠ADC=900。

（1）∠1的对顶角是______；∠2的余角有___________。

（2）若∠1与∠2的度数之比为1：4，求∠BDF 的度数。

三、作业布置1.如图，直线AB 和CD 相交于O ，那么图中DOE ∠与COA ∠的关系是（ ） A 、对顶角 B 、相等 C 、互余 D 、互补A DC B O B CD 12 F E A D2.下面4个命题中准确的是（ ）A 、相等的两个角是对顶角B 、和等于90 º的两个角互为余角C 、假如∠1+∠2+∠3 =180º，那么∠1，∠2，∠3互为补角D 、一个角的补角一定大于这个角3.如图，直线AB 、CD 相交于O ，且∠AOC ＋ ∠BOD=120 º，求∠AOC 的度数。

C BOA D 4.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，∠DOE=30 º，求∠AOC 的度数。

第 1 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可第2课时 对顶角知识点 对顶角的概念及性质1．下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的是( )图6－3－122．下列说法中，正确的是( ) A ．有公共顶点，并且相等的角是对顶角B ．如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角C ．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角D ．有的对顶角不相等3. 如图6－3－13所示，AB 与CD 相交于点O ，∠AOD ＋∠BOC ＝280°，则∠AOC 的度数为( )图6－3－13A ．40°B ．60°C ．120°D ．140°4．如图6－3－14，三条直线l 1，l 2，l 3相交于点E ，则∠1＋∠2＋∠3等于( )第 2 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可图6－3－14A ．90°B ．120°C ．180°D ．360°5. 如图6－3－15，直线AB 与CD 相交于点O ，已知∠AOD ＝120°，则∠BOC 的补角是________°.图6－3－156. 若两个角是对顶角且互补，则这两个角都是________角．7．教材复习题第6题变式如图6－3－16，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 是∠AOD 的平分线，∠COB ＝140°，则∠DOE ＝________°.图6－3－168．如图6－3－17，AB ，CD 相交于点O ，∠DOE ＝90°，∠AOC ＝72°.求∠BOE 的度数．图6－3－17第 3 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可9．如图6－3－18，AB ，CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE ，若∠DOE ＝60°，求∠AOC 的度数．图6－3－1810．如图6－3－19，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOE ＝12∠EOC ，∠AOD ＝2∠BOD ，求∠AOE 的度数．图6－3－19第 4 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可11．如图6－3－20，直线AB ，CD 相交于点O ，已知∠AOC ＝70°，OE 把∠BOD 分成两部分，且∠BOE ∶∠EOD ＝2∶3，求∠AOE 的度数．图6－3－2012．如图6－3－21所示，直线AB ，CD 交于点O ，且∠BOC＝80°，OE 平分∠BOC ，OF 为OE 的反向延长线．(1)求∠2和∠3的度数；(2)OF 平分∠AOD 吗？请说明理由．图6－3－2113．如图6－3－22所示，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOD＝2∶1.(1)求∠DOE的度数；(2)求∠AOF的度数．图6－3－2214．2016·苏州期末如图6－3－23，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.(1)若∠AOC＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；(2)若OF平分∠COE，∠AOE＝150°，求∠FOE的度数．第 5 页共9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可第 6 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可图6－3－2315．观察图6－3－24，寻找对顶角(不含平角)：图6－3－24(1)如图①，图中共有________对对顶角； (2)如图②，图中共有________对对顶角； (3)如图③，图中共有________对对顶角；(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________对对顶角；(5)若有2018条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？第 7 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可1．D [解析] 根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，A ，B ，C 都不是由两条直线相交构成的图形，错误；D 是由两条直线相交构成的图形，正确．故选D.2．B3．A [解析] 因为∠AOD 与∠BOC 是对顶角，所以∠AOD ＝∠BOC .又因为∠AOD ＋∠BOC ＝280°，所以∠AOD ＝∠BOC ＝140°.因为∠AOD 与∠AOC 互补，所以∠AOC ＝180°－140°＝40°.故选A.4．C5．60 [解析] 因为∠AOD 与∠BOC 为对顶角，所以∠AOD ＝∠BOC ＝120°，故∠BOC 的补角为180°－120°＝60°.6．直 [解析] 因为两个角是对顶角，所以这两个角相等．因为这两个角互补，所以它们的度数之和为180°，所以这两个角都是90°，都是直角．7．70 [解析] ∵∠COB ＝140°，∴∠AOD ＝140°，∵OE 是∠AOD 的平分线， ∴∠DOE ＝∠AOE ＝70°.8．解：因为∠BOD 与∠AOC 是对顶角，∠AOC ＝72°，所以∠BOD ＝∠AOC ＝72°.因为∠DOE ＝90°，所以∠BOE ＝∠DOE －∠BOD ＝90°－72°＝18°.9．解：∵OB 平分∠DOE ，∠DOE ＝60°，∴∠BOD ＝12∠DOE ＝12×60°＝30°，∴∠AOC＝∠BOD ＝30°.10．解：设∠AOE ＝x ， 则∠EOC ＝2∠AOE ＝2x ，故∠BOD ＝∠AOC ＝∠AOE ＋∠EOC ＝3x ， 所以∠AOD ＝2∠BOD ＝6x . 又因为∠AOD ＋∠BOD ＝180°， 所以6x ＋3x ＝180°.故x ＝20°. 所以∠AOE 的度数为20°. 11．解：因为∠AOC ＝70°，第 8 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可所以∠BOD ＝∠AOC ＝70°. 因为∠BOE ∶∠EOD ＝2∶3， 所以∠BOE ＝25×70°＝28°，所以∠AOE ＝180°－28°＝152°.12．解：(1)因为∠BOC ＝80°，OE 平分∠BOC ，所以∠1＝∠COE ＝40°.根据对顶角相等，可得∠3＝∠COE ＝40°.根据平角的定义，可得∠2＝180°－40°－40°＝100°.(2)OF 平分∠AOD .理由：根据对顶角相等，可得∠AOF ＝∠1＝40°.又因为∠3＝40°，所以OF 平分∠AOD .13． 解：(1)∵∠AOD ∶∠BOD ＝2∶1，∠AOD ＋∠BOD ＝180°， ∴∠BOD ＝13×180°＝60°.∵OE 平分∠BOD ，∴∠DOE ＝12∠BOD ＝12×60°＝30°.(2)∠COE ＝∠COD －∠DOE ＝180°－30°＝150°. ∵OF 平分∠COE ，∴∠COF ＝12∠COE ＝12×150°＝75°.∵∠AOC ＝∠BOD ＝60°(对顶角相等)， ∴∠AOF ＝∠AOC ＋∠COF ＝60°＋75°＝135°. 14．解：(1)∵∠AOC ＝68°，∴∠BOD ＝68°. ∵OE 平分∠BOD ， ∴∠BOE ＝∠DOE ＝34°. ∵∠DOF ＝90°，∴∠EOF ＝∠DOF －∠DOE ＝90°－34°＝56°.第 9 页 共 9 页为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可(2)∵OE 平分∠BOD ， ∴∠BOE ＝∠DOE .∵∠BOE ＋∠AOE ＝180°，∠COE ＋∠DOE ＝180°， ∴∠COE ＝∠AOE ＝150°. ∵OF 平分∠COE ，∴∠FOE ＝12∠COE ＝12×150°＝75°.15．解：(1)如图①，图中共有1×2＝2(对)对顶角． (2)如图②，图中共有2×3＝6(对)对顶角． (3)如图③，图中共有3×4＝12(对)对顶角．(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系， 若有n 条直线相交于一点，则可形成n (n －1)对对顶角．(5)若有2018条直线相交于一点，则可形成(2018－1)×2018＝4070306(对)对顶角．。

初中数学认识余角、补角、对顶角精讲精练【考点精讲】1. 互为余角与互为补角（1）概念：若，则称、互为余角；若则称、互为补角。

（2）记法的余角记作；的补角记作。

2. 余角（补角）的性质同角或等角的余（补）角相等。

3. 对顶角：如下图中，我们把叫做对顶角，也是对顶角。

OADBC4. 对顶角的性质：对顶角相等。

【典例精析】例题1 如图所示，O是直线AB上的一点，，平分，平分，则图中互为补角的对数有（）A. 6对B. 7对C. 8对D. 9对思路导航：是直线AB上的一点，，又，，平分，，，，。

答案：互补的角有：，，，，，共8对。

答案选C。

点评：本题涉及互补的角较多，根据题意计算有关角的度数，再根据互为补角的定义，按照一定的顺序来写，做到既不重复又不遗漏。

例题2 一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的，请你求出这个角的度数。

思路导航：可以直接设元（题中问什么就设什么，直接求出结果），也可以间接设元（先求出这个角，再求出它的余角），然后列方程求解。

答案：设这个角的度数为，则它的补角、余角分别为，（），根据题意得，解得，所以这个角的度数为60度。

点评：有关余角和补角的计算题目，常设未知数，根据题意列方程求解。

所设的未知数不同，所得到的方程也不同。

例题3 如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线。

D（1）求∠2和∠3的度数；（2）OF平分∠AOD吗？为什么？思路导航：（1）根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得∠3的度数；（2）根据OF分得∠AOD的两部分角的度数即可说明。

答案：（1）∵∠BOC+∠2=180°，∠BOC=80°，∴∠2=180°－80°=100°；∵OE是∠BOC的角平分线，∴∠1=40°。

∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠3=180°－∠1－∠2=180°－40°－100°=40°。

苏科版数学七年级上册6.3 余角、补角、对顶角教说课稿一. 教材分析苏科版数学七年级上册6.3节主要介绍了余角、补角和对顶角的概念及其性质。

本节内容是学生学习初中数学的基础知识，对于培养学生的逻辑思维和空间想象能力具有重要意义。

教材通过具体的例子和直观的图形，引导学生探究和发现余角、补角和对顶角的性质，从而提高学生的数学素养。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了实数、几何图形的的基本知识，具备了一定的逻辑思维和空间想象能力。

但他们对余角、补角和对顶角的概念及性质可能还比较陌生，因此需要在教学过程中给予耐心引导和讲解。

此外，学生可能对数学证明的方法和技巧还不够熟练，需要在教学过程中加强训练。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生了解余角、补角和对顶角的概念，掌握它们的性质，能运用它们解决一些简单的数学问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的逻辑思维和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、合作交流的良好学习习惯。

四. 说教学重难点1.教学重点：余角、补角和对顶角的概念及其性质。

2.教学难点：对顶角的性质证明，以及如何运用余角和补角解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、小组合作学习法、实践操作法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的实例，引导学生发现并思考余角、补角和对顶角的概念。

2.探究新知：学生分组讨论，观察图形，发现余角、补角和对顶角的性质。

教师引导学生用数学语言表达和证明这些性质。

3.巩固新知：教师提出一些练习题，让学生运用余角和补角的知识解决问题，加深对知识的理解和运用。

4.拓展延伸：引导学生思考余角和补角在实际生活中的应用，提出一些实际问题，让学生尝试解决。

5.课堂小结：教师引导学生总结本节课所学内容，梳理知识点。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出余角、补角和对顶角的概念及性质。

课题：6.3余角、补角、对顶角（2）课型：新授 主备： 备课组长： 教研组长：班级 姓名 学号【学习目标】能够识别对顶角，并能理解对顶角的性质 【重点难点】理解对顶角概念并掌握对顶角性质的应用 【温故知新】（1）若两个角的和是 ，则这两个角互为余角； （2）若两个角的和是 ，则这两个角互为补角(3)如图（下左），∠AOC 、∠BOD 都是直角，则∠1和∠2的大小关系是 ，理由： 。

（4）如图（下右），直线AB 、CD 相交于点O. ∠1和∠3的大小关系是 ，理由： 。

结论：如图（上右）中的∠1和∠3就是对顶角，它们不仅相等，而且还具有特殊的位置关系：角的两边分别互为 。

尝试练习：1、下列4个图中，哪个图中的∠1和∠2是对顶角？并说明理由。

一批时间 二批时间 教师评价家长签字21DCBAOBDCA32122221111【变式训练】1、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，∠AOE=25°，你能求出图中哪些角的度数？2、如图，直线AB 、CD 相交于点O ， OC 是∠AOE 的平分线，∠AOE=92 ，求∠3、∠4的度数。

3、找找规律——数对顶角对 对 对 对若有n 条直线相交于点O ，那么有 对对顶角AC B ODE【随堂检测】1．如图，∠1和∠2是对顶角的图形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下面说法中，正确的是（ ） A ．相等的两个角是对顶角 B ．有公共顶点的两个角是对顶角C ．如果∠1+∠2+∠3 =180º，那么∠1，∠2，∠3互为补角D ．对顶角的角平分线在同一条直线3．有下列命题：①同角或等角的补角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角．正确命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图（下左），直线AB 、CD 、EF 相交于点O 。

（1）图中共有______对对顶角，它们分别是___________________________。