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两个总体参数的检验

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两个独立总体样本均值的t检验

两个独立总体样本均值的t检验

1、单击Analyze Compare Means Independent-sample T Test，打开 Independent-sample T Test 主对话框如图。 2、选择要检验的变量“综合得分”进入检验框中, 选择分组变量“性别”进入分组框中 。
3、然后单击Define Group按纽，打开分组对话 框如图所示，确定分组值后返回主对话框，如果 没有分组，可以选择Cut point单选项，并在激 活的框内输入一个值作为分组界限值。
人中抽取30人，将他们培训前后的数据每加工
500个零件的不合格品数进行对比，得到数据表， 见表3。试根据表中数据检验培训前后工人的平 均操作技术水平是否有显著提高，也就是检验培 训效果是否显著。
工人培训前后不合格品数据表3
序号 培训前 培训后 序号 培训前 培训后
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Test Value = 10000 95% Confidence Interval of the Difference Mean Difference 置信区间 Lower Upper 均值差 3559.90323 1795.5916 5324.2148
t值 国有单位 4.121
Sig. df (2-tailed) 自由度 P值 30 .000
单个总体均值的 t 检验（One-Sample T Test）； 两个独立总体样本均值的 t 检验 （Independent-Sample T Test）；
两个有联系总体均值均值的 t 检验（PairedSample T Test）；
单因素方差分析（One-Way ANOVA）；
双因素方差分析（General Linear ModelUnivariate）。

两个正态总体的假设检验

两个正态总体的假设检验
两个正态总体的假设检验
有时，我们需要比较两总体的参数 有时，我们需要比较两总体的参数 是否存在显著差异。比如， 是否存在显著差异。比如，两个农作物 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 两种加工工艺对产品质量的影响， 两种加工工艺对产品质量的影响，两地 区的气候差异等等。 区的气候差异等等。
Fα2 (n1 − 1, n2 − 1) 和 F12 α (n1 − 1, n2 − 1) ，使 −
2
( P (F
P F < Fα (n1 − 1, n2 − 1) =
2 2
2
2
> F12 α −
2
）、（3） 由（2）、（ ）式可得检验的拒绝域为 ）、（
F < F1−(α 2) ( n1 − 1, n2 − 1) 及 F > Fα 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
拒绝H 两种灯泡的平均寿命 所以拒绝 假设， 所以拒绝 0假设，即认为 A、B两种灯泡的平均寿命 、 两种灯泡的 有统计意义。 有统计意义。
两个正态总体的方差检验 问题： 问题： X ~ N µ , σ 2 , Y ~ N µ ,σ 2 1 1
(
)
未知
µ1 , µ2 ，检验假设 0：σ 12 = σ 22 检验假设H
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量差异 有统计意义。 有统计意义。
(
2
2
)
F检验 检验
S12 σ 12 F = 2 2 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) 由抽样分布知 S2 σ 2 2 S 若假设H 成立， 若假设 0成立，则 F = 12 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) S2
f (x )

第四章_两个总体的假设检验

第四章_两个总体的假设检验

net
1
net
2
两个总体比率之差的检验
(例题分析)
H0 ：1- 2 0 H1 ：1- 2 < 0 = 0.05 n1=200 , n2=200
临界值(c):
拒绝域
检验统计量:
z
0.27 0.35
1 1 0.31 (1 0.31) 200 200 1.72976
两个总体均值之差的估计 (例题分析)
【例】为检验两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种 不同的组装方法各随机安排 12 个工人，每个工人组装一件产 品所需的时间(分钟)下如表。假定两种方法组装产品的时间服 从正态分布，但方差未知且不相等。取显著性水平0.05，能否 认为方法1组装产品的平均数量明显地高于方法2？
2 ( d d ) i i 1 n
d
di
i 1
n
nd
sd
nd 1
匹配样本
(数据形式)
观察序号 样本1 样本2 差值
1 2 M i M n
x11 x12 M x1i M x 1n
x21 x22 M x 2i M x 2n
d1 = x11 - x21 d2 = x12 - x22 M d i = x 1i - x 2i M dn = x1n- x2n
拒绝域
P值决策
z z / 2
z z
z z
P 拒绝H0
两个总体比率之差的检验
(例题分析)
【例】一所大学准备采取一项学生 在宿舍上网收费的措施，为了解男 女学生对这一措施的看法是否存在 差异，分别抽取了 200 名男学生和 200名女学生进行调查，其中的一个 问题是：“你是否赞成采取上网收 费的措施？”其中男学生表示赞成 的比率为 27% ，女学生表示赞成的 比率为 35% 。调查者认为，男学生 中表示赞成的比率显著低于女学生 。取显著性水平 =0.01 ，样本提供 的证据是否支持调查者的看法？

8.3两个正态总体参数的假设检验

8.3两个正态总体参数的假设检验

方差
12
2 2
2
未知
1.H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
由于
Sw2
1 n1 n2
n1
[ 2 i1
(Xi
X )2
n2 i1
(Yi
Y )2]
是
2 的无偏估计
检验统计量：T
Sw
X Y 1 n1
1 n2
~ t(n1 n2 2)
检验问题的拒绝域为：| T | t (n1 n2 2)
X Y H0
2 1
2 2
~ N (0,1)
n1 n2
检验问题的拒绝域为：|U | Z
2
方差
12 ,
2 2
已知
2.
检验统计量：U
X Y
2 1
2 2
n1 n2
检验问题的拒绝域为：U Z1
3. H0 : 1 2 0
方差
12 ,
2 2
已知
H1 : 1 2 0
检验统计量：U
X Y
2 1
2 2
n1 n2
检验问题的拒绝域为：U Z
例：设可乐厂车间使用灌装机生产的可乐容量服从正态分布， 方差为1。某天计量检验人员随机抽取10瓶可乐，容量数据如下 （单位：毫升）：
499.5 496.3 500.5 499.1 499.3 499.2 499.0 500.2 500.1 499.8 另一可乐厂生产的可乐容量服从正态分布，方差为1.5。计 量检验人员随机抽取了的9瓶可乐，容量数据如下（单位：毫 升）：
2. H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
3. H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
问题1称为双侧检验问题，问题2、3称为单侧检验问题。

两个正态总体参数的假设检验 推导

两个正态总体参数的假设检验 推导

两个正态总体参数的假设检验推导一、引言假设检验是统计学中常用的方法，用于检验两个正态总体参数是否具有显著差异。

本文将介绍两个正态总体参数的假设检验的推导过程，主要包括以下步骤：假设提出、样本收集、样本检验、推断结论、结果解释和误差分析。

二、假设提出假设检验的基本思想是通过样本数据对总体参数进行推断。

在这个过程中，首先需要提出假设，即对两个正态总体参数的关系做出假设。

通常，假设检验中包含两个假设：零假设（H0）和备择假设（H1）。

零假设通常表示两个总体参数无显著差异，备择假设则是与零假设相对的假设。

例如，我们可以在零假设中设定两个总体均数相等，备择假设则是均数不等。

三、样本收集在提出假设后，需要收集样本数据以进行检验。

样本收集应遵循随机抽样的原则，以确保样本的代表性。

在收集样本时，还需要注意样本量的大小，以保证推断结论的准确性。

四、样本检验样本检验是假设检验的核心步骤，包括计算样本统计量、确定临界值和做出推断结论等步骤。

样本统计量是根据样本数据计算出的量，用于推断总体参数。

临界值是用于判断样本统计量是否达到显著差异的标准。

在做出推断结论时，需要根据样本统计量和临界值进行比较，以确定零假设是否被拒绝。

五、推断结论根据样本检验的结果，可以做出推断结论。

如果样本统计量超过了临界值，则可以拒绝零假设，接受备择假设；否则，不能拒绝零假设。

推断结论是假设检验的关键步骤之一，要求谨慎和客观地做出判断。

六、结果解释推断结论做出后，需要对结果进行解释。

解释结果时需要关注以下几点：一是理解推断结论的含义，二是明确结果对于实践的意义，三是注意结果的局限性，即样本量和误差范围等因素对结果的影响。

结果解释要求清晰明了地传达结果的含义和应用范围。

七、误差分析误差分析是假设检验中不可或缺的一环。

误差分为两类：一类是随机误差，由随机抽样造成；另一类是系统误差，由样本设计和处理等环节造成。

误差分析的目的是评估结果的可靠性和精确性，从而确定结果在实际应用中的可信度。

两个总体参数的假设检验

两个总体参数的假设检验
Bartlett's test用于比较两个总体 的方差是否存在显著差异。它基 于K2分布理论，通过计算每个总 体样本的方差，然后比较两组方 差之间的差异是否具有统计学显 著性。
Part
03
假设检验的注意事项
样本量
样本量过小
01
如果样本量过小，会导致检验结果不稳定，无法准确
推断总体参数。
样本量过大
两个总体参数的假设 检验
• 假设检验的基本概念 • 两个总体参数的假设检验 • 假设检验的注意事项 • 假设检验的实例分析 • 总结与展望
目录
Part
01
假设检验的基本概念
定义
01
假设检验是一种统计推断方法 ，通过对样本数据的分析，对 总体参数做出假设，并通过检 验假设是否成立来得出结论。
02
在假设检验中，通常会先提出 一个关于总体参数的假设，然 后通过样本数据对该假设进行 验证。
03
假设检验的目的是根据样本数 据对总体参数做出合理的推断 ，并尽可能减少因错误判断而 导致的误差。
目的
判断总体参数是否符合预期
通过假设检验，可以判断总体参数是否符合预 期，从而为进一步的研究或决策提供依据。
两个总体比例的比较
总结词
Fisher's exact test
详细描述
Fisher's exact test用于比较两个总体的分类比例是否存在显著差异，特别是当样本量较小时。它基于 Fisher's exact probability distribution，通过计算概率值来评估实际观测频数与期望频数之间的差异是 否具有统计学显著性。
两个总体方差的比较
01 总结词
Levene's test

假设检验之两个总体


假设检验的重要性
减少决策风险
01
通过假设检验，可以减少决策的盲目性和主观性，降低决策风
险。
提高决策准确性
02
假设检验基于数据和概率，能够提高决策的准确性和可靠性。
促进科学探究
03
假设检验是科学研究中的重要方法，有助于推动科学研究的进
步。
假设检验的历史与发展
历史
假设检验起源于17世纪，经过数百年的发展，逐渐完善和成熟。
社会学研究中的应用
社会政策效果评估
在社会学研究中，假设检验常用于社会政策 效果评估。例如，研究者会设立一个假设， 即某种社会政策能够有效地改善社会问题。 通过收集相关数据并进行分析，可以判断该 社会政策是否真的有效。
社会现象解释
在社会现象解释中，假设检验可以帮助研究 者深入了解社会现象的本质和原因。研究者 会设立一个假设，即某种因素对社会现象有 影响。通过收集相关数据并进行分析，可以 判断该因素是否真的对社会现象有影响。
结论解释
根据统计决策的结果， 解释研究问题和得出 结论。
03 两个总体参数假设检验
两总体均值比较
总结词
当需要比较两个总体的均值是否存在显著差异时，可以采用两总体法首先假设两个总体的均值相等，然后通过样本数据计算统计量，并根据统计量判断假设是否成 立。常用的统计量包括t检验和z检验等。
病因研究
在病因研究中，假设检验可以帮助研究者确定某种因素是否是疾病的病因。研究者会设立 一个假设，即该因素与疾病有关，然后收集数据来检验该假设是否成立。如果结果支持该 假设，那么该因素可能就是疾病的病因。
经济学研究中的应用
货币政策效果评估
在经济学研究中，假设检验常用于货币政策效果评估。例如，研究者会设立一个假设，即某种货币政策能够有效地控 制通货膨胀。通过收集相关数据并进行分析，可以判断该货币政策是否真的有效。

两个正态总体均值的检验.


S
2 w
(n1
1)S1*2 (n2 1)S2*2 n1 n2 2
.
当H0为真时, 根据第六章§3定理2知,
T ~ t(n1 n2 2).
第八章 假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
对给定的 ， 由t分布的分位表可查得 t/ 2(n1 n2 2).
X Y
使得P{ Sw
1 1 t / 2 (n1 n2 2)}
,
2均为
2
未
知.
需要检验假设:
H0
:
2 1
22,
H1 :12 22 ,
第八章 假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
当 H0 为真时,
E
(
S1*
2
)
2 1
2 2
E(S2*2 ),
当 H1 为真时,
E(
S1*2
)
2 1
22
E(S2*2 ),
当 H1 为真时,
观
察
值S1*
S
* 2
2 2
有 偏
大
或
偏
小
的
趋
势
故拒绝域的形式为 s1*2 s2* 2
k1或
s1* 2 s2* 2
k2,
此处 k1和k2 的值由下式确定:
第八章 假设检验
P
S1* S2*
2 2
k1
S1*2 S2*2
k2
§8.3
两个正态总体参数的假设检验
为了计算方便, 习惯上取
P
S1* S2*
2 2
k1
,
2
P
P{| ( X Y ) /
故拒绝域为

双正态总体参数的假设检验

§7.3 双正态总体参数的假设检验设样本1,,1n X X 取自正态总体211(,)N μσ，样本2,,1n Y Y 取自总体222(,)N μσ，两样本相互独立，它们的样本均值分别为∑==1111n i iX n X ，∑==2121n j jYn Y ，样本方差分别为∑=--=112121)(11n i i X X n S ，∑=--=212222)(11n j j Y Y n S 。

一、 关于两个正态总体方差比的假设检验以双侧检验：2221122210::σσσσ≠↔=H H 为例 选用检验统计量2221S S F =，它在原假设0H 成立的条件下服从F 分布)1,1(21--n n F ；记2221s s f O =表示检验统计量F 的样本观测值，则检验的P 值为⎪⎩⎪⎨⎧<=≥≥=≥=1),/1/1(21),(222212221O O O O f f F P f f F P P 如果如果σσσσ这种检验方法通常称为“F 检验”。

例7.3.1 甲乙两台车床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布),(211σμN ，),(2σμN ，从各自加工的轴中分别抽取若干根，测得其直径如下表所示：试问在显著性水平05.0=α下，两台车床加工的精度是否有显著差异？解：（1）依题意，考虑假设检验问题2221122210::σσσσ≠↔=H H （2）用F 检验，检验统计量为)6,7(~02221F S S F H =或)7,6(~/102122F S S F H =；（3）由样本观测值可得2164.021=s ，2729.022=s ，检验统计量的值为793.0/2221==s s f O 。

故检验的P 值为76.038.02)793.0/1/1(22221=⨯==≥=σσF P P 。

（4） 因为05.0>P ，所以不拒绝原假设0H ，即没有充分理由认为两种机床所加工轴的精度有显著差异。

统计学原理 假设检验


50个零件尺寸的误差数据 (mm) 1.26 1.19 1.31 0.97 1.81 1.13 0.96 1.06 1.00 0.94 0.98 1.10 1.12 1.03 1.16 1.12 1.12 0.95 1.02 1.13 1.23 0.74 1.50 0.50 0.59 0.99 1.45 1.24 1.01 2.03
双侧检验与单侧检验
(假设的形式)
假设
单侧检验 双侧检验
左侧检验 右侧检验
原假设 H0 : = 0 H0 : 0 H0 : 0
备择假设 H1 : ≠0 H1 : < 0 H1 : > 0
假设检验中的两类错误
1. 第Ⅰ类错误(弃真错误)
原假设为真时拒绝原假设
第Ⅰ类错误的概率记为
被称为显著性水平
样本数据，检验新机床加工的零件 1.98 1.97 0.91 1.22 1.06
尺寸的平均误差与旧机床相比是否 1.11 1.54 1.08 1.10 1.64
有显著降低？ (=0.01)
1.70 2.37 1.38 1.60 1.26
左侧检验
1.17 1.12 1.23 0.82 0.86
总体均值的检验(
补充： 假设检验
1 假设检验的基本问题 2 一个总体参数的检验 3 两个总体参数的检验 ( 不讲 )
什么是假设检验?
(hypothesis test)
1. 先对总体的参数(或分布形式，总体参数包括总体均值、 比率、方差等)提出某种假设，然后利用样本信息判断假 设是否成立的过程
2. 有参数检验和非参数检验 3. 逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理
1/2 P 值
/2 拒绝H0
1/2 P 值
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三、两个总体参数的检验
一、 两个总体均值之差的检验
在研究中，往往需要比较两个总体的差异， 如甲、乙两种不同的生产方法对产品的平均产量 是否有显著性差异，新、旧药品治疗病人的平均 治愈率是否有显著性差异，等等。根据样本获得 方式的不同及方差是否已知，两个总体均值的检 验可分为方差已知和未知两种情形，同时也要参数的检验
在方差相等的情况下，独立样本T检验的结 果应看“假设方差相等”一行，相应的双尾检测概 率“Sig.(双侧)”为0.077，在显著性水平为0.05 的情况下，t统计量的概率P>0.05，故不应拒绝 原假设，因此认为两个样本的均值是相等的，在 本例中，不能认为新、旧两种施肥方案对产量有 显著性的影响。
单击“继续”按钮返回“独立样本T检验”对话框，再单击“确定 ”按钮，运行结果如图6-18和图6-19所示。
图6-18 独立样本T检验的基本描述统计量
图6-19 独立样本T检验结果
三、两个总体参数的检验
图6-18所示为独立样本T检验的基本描述统计量，包括两个 样本的均值、标准差和均值的标准误差。图6 19给出了两种T检 验的结果，分别为在样本方差相等情况下的一般T检验结果和在 样本方差不相等情况下的校正T检验结果。两种T检验结果到底应 该选择哪一个取决于图6-19中的“方差方程的Levene 检验”一 项，即方差齐性检验结果。对于齐性，这里采用的是F检验，表 中第二列是F的值，为0.108，第三列是对应的概率P值，为0.746 。如果显著性水平为0.05，由于概率P值大于0.05，因而可以认 为两个总体方差无显著性差异，即方差具备齐性。
三、两个总体参数的检验
3. 两个总体均值样本匹配的情形
检验两个总体均值之差时，有时两个样本不是独立的而是成 对的，如比较同一组工人使用两种操作方法的生产效率是否相 同，比较同一批消费者对两个不同品牌的评分有何差异，等等 。这类假设检验问题可以转化为一个样本的均值检验问题，其 方法是：先计算出每一对样本数据的差值：di=xi－ xj(i,j=1,2,…,n)；然后将这n个差值看作一个样本，把(μ1－μ2)看 作待检验的一个总体参数(成对差值的总体均值，记为d)，原来 的检验问题就转化为根据一个样本去检验d是否等于（或小于、 大于）假设值d0。为了简便，通常取d0≥0。
解：设μ1为甲方案的平均减肥体重,μ2为乙方案的平均减肥体重 。 根据题意可知，这是一个右侧检验问题，可建立假设为
H0∶μ1－μ2≤0 H1∶μ1－μ2>0
三、两个总体参数的检验
因为两个总体方差已知，所以其统计量的值为
当α=0.05时，zα=1.645，因为Z>zα，落入拒绝域，所 以要拒绝原假设，接受备择假设，表明甲方案的减肥效果优于 乙方案。
(6-15)
三、两个总体参数的检验
（2）当两个总体方差相等时，即
，如果样本为小样本，
那么要利用两个样本方差来估计，这时需要将两个样本的数据组合在一
起，以给出总体方差的合并估计量，合并方差的估计量计算公式为
(6-16)
（3）当两个总体方差不相等时，即
，两个样本均值之差
经标准化后近似服从自由度为v的t分布，这时的检验统计量为
(6-17)
三、两个总体参数的检验
由于计算的自由度一般为非整数，因而需四舍五入后再查t分布表（见 附表2）。表6-8总结了方差未知情况下两个总体均值之差的检验方法。
表6-8 方差未知情况下两个总体均值之差的检验方法
三、两个总体参数的检验
下面利用SPSS软件来求解例6-14。 独立样本T检验的具体步骤如下： ①数据输入及处理。根据所给的数据在SPSS数据文件中建立两个变 量，分别为“方案”和“产量”，度量标准分别为“名义”和“度量” ，变量“方案”的标签为“a-方案A，b-方案B”，录入数据后，进行数 据保存。 ②独立样本T检验的设置。在数据管理窗口中，执行“分析”→“比 较均值”→“独立样本T检验”命令，弹出“独立样本T检验”对话框。 将左侧列表框中的“产量”选项选入“检验变量”列表框中。
若两个总体服从非正态分布，但方差已知，那么当样本足 够大（大样本）时，两个总体均值是否相等的检验与此相同。
三、两个总体参数的检验
2. 两个总体服从正态分布且方差未知
当两个总体方差未知时，可分以下几种情况进行分析： （1）如果样本为大样本，可以分别用样本方差s2替代总体方差 σ2，此时的检验统计量为
三、两个总体参数的检验
将左侧列表框中的“a-方案A，b-方案B”（一般是指分类变 量）选入“分组变量”列表框中后，将在“方案”变量名后面显示 括号，在括号内显示两个问号（见图6-15），单击“定义组”按 钮，弹出“定义组”对话框。如图6-16所示，用特定的变量值分 组，当变量的取值等于“组1（1）”文本框中的值时，将其划为 第1组；当变量的取值等于“组2（2）”文本框中的值时，将其划 为第2组。
项目
两个总体参数的检验
三、两个总体参数的检验
在现实生活中，有时候人们需要对两个总体参数 进行比较，看它们是否存在显著的差异，如比较两个 不同的企业生产的同类产品的使用寿命是否有显著性 差异，某农作物产量在不同地区的稳定性是否相同， 不同班级的同一门课程的成绩是否有差异，等等。两 个总体参数的检验主要包括两个总体均值之差的检验 、两个总体比率之差的检验和两个总体方差比的检验 等。
三、两个总体参数的检验
1. 两个总体服从正态分布且方差已知
在样本不论大小的情况下，两个样本均
值之差
的抽样分布近似服从正态分
布，经过标准化后则服从标准正态分布，如
果两个总体方差
已知，则检验统计量
为
(6-14)
三、两个总体参数的检验
【例6-13】 现需要对甲、乙两种减肥方案的减肥效果进行数据 分析。经验表明，这两种方法的减肥效果都近似服从标准正态分布 ，且已知标准差为3kg和4kg，现分别从甲、乙两种方案中随机抽 取10人和14人，所得样本的平均值为20kg和17kg。试问在显著性 水平α=0.05的情况下，甲方案的减肥效果优于乙方案吗？
三、两个总体参数的检验
图6-15 “独立样本T检验”对话框
图6-16 “定义组”对话框
三、两个总体参数的检验
单击“继续”按钮，返回“独立样本T检验”对话框，单击“选项”按钮， 弹出“独立样本T检验：选项”对话框，各选项的设置如图6-17所示。
图6-17 “独立样本T检验：选项”对话框
三、两个总体参数的检验