公式法(1)-
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一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—知识讲解(基础)【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,能熟练应用公式法解一元二次方程;2. 正确理解因式分解法的实质,熟练运用因式分解法解一元二次方程;3. 能应用根的判别式判断一元二次方程求根的情况,通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性,渗透分类的思想. 【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程,当时,.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“∆”来表示,即ac b 42-=∆①当时,原方程有两个不等的实数根;②当时,原方程有两个相等的实数根;③当时,原方程没有实数根.要点诠释:利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤:①把一元二次方程化为一般形式;②确定c b a .,的值;③计算ac b 42-的值;④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 3.一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中,(1)方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0; (2)方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0; (3)方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释:(1)逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围,但不能忽略二次项系数不为0这一条件; (2)若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.4.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤:①把一元二次方程化为一般形式; ②确定a 、b 、c 的值(要注意符号); ③求出的值;④若,则利用公式求出原方程的解;若,则原方程无实根.要点诠释:(1)虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解,但它往往并非最简单的,一定要注意方法的选择.(2)一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠,用配方法将其变形为:2224()24b b acx a a-+=. ①当240b ac ∆=->时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实根:21,24b b acx -±-=.② 当240b ac ∆=-=时,右端是零.因此,方程有两个相等的实根:1,22b x a=-. ③ 当240b ac ∆=-<时,右端是负数.因此,方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程右边化为0;(2)将方程左边分解为两个一次式的积;(3)令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法,公式法(平方差公式、完全平方公式),十字相乘法等. 要点诠释:(1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积;(2)用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0;(3)用分解因式法解一元二次方程的注意点:①必须将方程的右边化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程.(1) x 2+3x+1=0; (2)2241x x =-; (3) 2x 2+3x-1=0.【答案与解析】(1) a=1,b=3,c=1∴x==.∴x 1=,x 2=.(2)原方程化为一般形式,得22410x x -+=.∵2a =,4b =-,1c =,∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>.∴42221222x ±==±⨯,即1212x =+,2212x =-. (3) ∵a=2,b=3,c=﹣1∴b 2﹣4ac=17>0∴x= ∴x 1=,x 2=.【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定.用这种方法解一元二次方程的步骤是:(1)把方程化为一元二次方程的一般形式;(2)确定a ,b ,c 的值并计算24b ac -的值;(3)若24b ac -是非负数,用公式法求解. 举一反三:【变式】用公式法解方程: x 2﹣3x ﹣2=0. 【答案】解:∵a=1,b=﹣3,c=﹣2;∴b 2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣2)=9+8=17;∴x==,∴x 1=,x 2=.2.用公式法解下列方程: (1) 2x 2+x=2;(2) 3x 2﹣6x ﹣2=0;(3)(2015•黄陂区校级模拟)x 2﹣3x ﹣7=0.【思路点拨】针对具体的试题具体分析,不是一般式的先化成一般式,再写出a,b,c 的值,代入求值即可.【答案与解析】解:(1)∵2x 2+x ﹣2=0,∴a=2,b=1,c=﹣2,∴x===,∴x 1=,x 2=.(2) ∵a=3,b=﹣6,c=﹣2,∴b 2﹣4ac=36+24=60>0,∴x=, ∴x 1=,x 2=(3)∵a=1,b=﹣3,b=﹣7.∴b 2﹣4ac=9+28=37.x== ,解得 x 1=,x 2=.【总结升华】首先把每个方程化成一般形式,确定出a 、b 、c 的值,在240b ac -≥的前提下,代入求根公式可求出方程的根. 举一反三:【变式】用公式法解下列方程: 2221x x +=; 【答案】解:移项,得22210x x +-=.∵ 2a =,2b =,1c =-,224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>,∴ 21213222x -±-±==⨯, ∴ 1132x --=,2132x -+=. 类型二、因式分解法解一元二次方程3.(凉山州模拟)解方程: (1)2x 2﹣3x ﹣2=0;(2)x (2x+3)﹣2x ﹣3=0.【思路点拨】(1)利用因式分解法解方程;(2)先变形得到x (2x+3)﹣(2x+3)=0,然后利用因式分解法解方程. 【答案与解析】解:(1)(2x+1)(x ﹣2)=0, 2x+1=0或x ﹣2=0, 所以x 1=﹣,x 2=2; (2)x (2x+3)﹣(2x+3)=0, (2x+3)(x ﹣1)=0, 2x+3=0或x ﹣1=0, 所以x 1=﹣,x 2=1.【总结升华】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了.4.解下列一元二次方程:(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4=0; (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-. 【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4=0,(2x+1+2)2=0. 即2(23)0x +=,∴ 1232x x ==-. (2) 移项,得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0,即(x-1)(x+2)=0,所以11x =,22x =-.【总结升华】解一元二次方程时,一定要先从整体上分析,选择适当的解法.如(1)可以用完全平方公式.用含未知数的整式去除方程两边时,很可能导致方程丢根,(2)容易丢掉x =1这个根. 举一反三:【变式】(泗洪县校级模拟)解方程:(1)2x 2﹣x ﹣1=0(2)(x ﹣2)2=6﹣3x .【答案】解:(1)2x 2﹣x ﹣1=0∴(2x+1)(x ﹣1)=0, ∴x ﹣1=0,2x+1=0,解得:x 1=1,x 2=﹣;(2)(x ﹣2)2=6﹣3x .方程变形得:(x ﹣2)2+3(x ﹣2)=0, ∴(x ﹣2)(x ﹣2+3)=0, ∴x ﹣2=0,x+1=0, 解得:x 1=2,x 2=﹣1.5.探究下表中的奥秘,并完成填空: 一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x2﹣2x+1=0 x1=1,x2=1 x2﹣2x+1=(x ﹣1)(x ﹣1) x2﹣3x+2=0 x1=1,x2=2 x2﹣3x+2=(x ﹣1)(x ﹣2) 3x2+x ﹣2=0x1=,x2=﹣1 3x2+x ﹣2=3(x ﹣)(x+1)2x2+5x+2=0x1=﹣,x2=﹣2 2x2+5x+2=2(x+)(x+2)4x2+13x+3=0 x1= ,x2= 4x2+13x+3=4(x+ )(x+ )将你发现的结论一般化,并写出来.【思路点拨】利用因式分解法,分别求出表中方程的解,总结规律,得出结论. 【答案与解析】填空:﹣,﹣3;4x2+13x+3=4(x+)(x+3).发现的一般结论为:若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2,则 ax2+bx+c=a (x ﹣x1)(x ﹣x2).【总结升华】考查学生综合分析能力,要根据求解的过程,得出一般的结论,解一元二次方程——因式分解法.一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—巩固练习(基础)【巩固练习】 一、选择题1.下列方程适合用因式方程解法解的是( ) A .x 2﹣3x+2=0 B .2x 2=x+4 C .(x ﹣1)(x+2)=70 D .x 2﹣11x ﹣10=02.方程(1)2x x -=的解是( )A .1x =-B .2x =-C .11x =-,22x =D .11x =,22x =- 3.一元二次方程2340x x +-=的解是( )A .11x =;24x =-B .11x =-;24x =C .11x =-;24x =-D .11x =;24x = 4.方程x 2-5x-6=0的两根为( )A .6和1B .6和-1C .2和3D .-2和3 5.方程(x-5)(x-6)=x-5的解是 ( )A .x =5B .x =5或x =6C .x =7D .x =5或x =76.(河北模拟)已知等腰△ABC 的两条边的长度是一元二次方程x 2﹣6x+8=0的两根,则△ABC 的周长是( )A .10B .8C .6D .8或10二、填空题7.(厦门)方程x 2+x =0的解是___ _____.8.方程(x-1)(x+2)(x-3)=0的根是_____ ___.9.请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____.10.若方程x 2-m =0的根为整数,则m 的值可以是_____ ___.(只填符合条件的一个即可) 11.已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=,则22x y +=________. 12.已知y =(x-5)(x+2).(1)当x 为 值时,y 的值为0; (2)当x 为 值时,y 的值为5.三、解答题13.(曲靖一模)解下列方程: (1)2x 2﹣5x+1=0 (2)(x+4)2=2(x+4)14. 用因式分解法解方程(1)x 2-6x-16=0. (2) (2x+1)2+3(2x+1)+2=0.15.(1)利用求根公式完成下表:(2)请观察上表,结合24b ac -的符号,归纳出一元二次方程的根的情况. (3)利用上面的结论解答下题.当m 取什么值时,关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2=0,①有两个不相等的实数根; ②有两个相等的实数根; ③没有实数根.【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ;【解析】解:根据分析可知A 、B 、D 适用公式法.而C 可化简为x 2+x ﹣72=0,即(x+9)(x ﹣8)=0, 所以C 适合用因式分解法来解题.故选C .2.【答案】C ;【解析】整理得x 2-x-2=0,∴ (x-2)(x+1)=0. 3.【答案】A ;【解析】可分解为(x-1)(x+4)=0 4.【答案】B ;【解析】要设法找到两个数a ,b ,使它们的和a+b =-5,积ab =-6, ∴ (x+1)(x-6)=0,∴ x+1=0或x-6=0. ∴ x 1=-1,x 2=6. 5.【答案】D ;【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5),应移项后用因式分解法求解.即(x-5)(x-6)-(x-5)0.∴ (x-5)(x-6-1)=0,∴ 15x =,27x =6.【答案】A ;【解析】解:x 2﹣6x+8=0,∴(x ﹣2)(x ﹣4)=0, ∴x 1=2,x 2=4.由三角形的三边关系可得:(两边之和大于第三边), ∴腰长是4,底边是2, 所以周长是:4+4+2=10. 故选:A .二、填空题 7.【答案】x 1=0,x 2=-1.【解析】可提公因式x ,得x(x+1)=0. ∴ x =0或x+1=0,∴ x 1=0,x 2=-1.8.【答案】x 1=1,x 2=-2,x 3=3.【解析】由x-1=0或x+2=0或x-3=0求解. 9.【答案】2320x x -+=;【解析】逆用因式分解解方程的方法,两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)=0,然后整理可得答案. 10.【答案】4;【解析】 m 应是一个整数的平方,此题可填的数字很多. 11.【答案】2;【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2=0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)=0又由x ,y 为实数,∴ x 2+y 2>0,∴ x 2+y 2=2. 12.【答案】 (1) x =5或x =-2;(2) 3692x +=或3692x -=. 【解析】(1)当y =0时(x-5)(x+2)=0,∴ x-5=0或x+2=0, ∴ x =5或x =-2.(2)当y =5时(x-5)(x+2)=5,∴ 23150x x --=,3941(15)3692x ±-⨯⨯-±==,∴ 3692x +=或3692x -=. 三、解答题13. 【解析】解:(1)∵a=2,b=﹣5,c=1,∴△=25﹣4×2×1=17>0, 则x=;(2)∵(x+4)2﹣2(x+4)=0,∴(x+4)(x+2)=0, 则x+4=0或x+2=0, 解得:x=﹣4或x=﹣2. 14. 【解析】(1)(x-8)(x+2)=0,∴ x-8=0或x+2=0, ∴ 18x =,22x =-.(2)设y =2x+1,则原方程化为y 2+3y+2=0,∴ (y+1)(y+2)=0,∴ y+1=0或y+2=0, ∴ y =-1或y =-2.当1y =-时,211x +=-,1x =-; 当2y =-时,212x +=-,32x =-.∴ 原方程的解为11x =-,232x =-. 15.【解析】 (1)(2)①当240b ac ->时,方程有两个不相等的实数根; ②当240b ac -=时,方程有两个相等的实数根; ③当240b ac -<时,方程没有实数根. (3)242015b ac m -=-,①当原方程有两个不相等的实数根时,2420150b ac m -=->,即34m >且m ≠2; ②当原方程有两个相等的实数根时,2420150b ac m -=-=,即34m =; ③当原方程没有实数根时,2420150b ac m -=-<,即34m <.。
一元二次方程的解法——公式法1.公式法:一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)的求根公式 ,利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
问题:求根公式是怎样得来的呢?如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0),能否用上面配方法的步骤求出它们的两根??已知ax 2+bx+c=0(a ≠0)且b 2-4ac ≥0,试推导它的两个根x 1x 2=2b a- 解:移项,得:ax 2+bx=-c 二次项系数化为1,得x 2+b a x=-c a配方,得:x 2+b a x+(2b a )2=-c a +(2b a )2 即(x+2b a )2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0直接开平方,得:x+2b a =±即∴x 1=2b a -x 2=2b a- 由上可知,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0,当b-4ac ≥0时,•将a 、b 、c 代入式子 (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.2.一元二次方程的判别公式:关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)的根的判别式为①240b ac -≥ <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根,1x =,2x =; ②240b ac -= <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根,122b x x a-==; ③240b ac -< <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根;3.一元二次方程跟与系数的关系 一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系:, (也称韦达定理)。
4. 用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为:①把方程化成一般形式,进而确定a ,b ,c 的值(注意符号);②求出判别式的值,判断根的情况; ③在的前提下,把a 、b 、c 的值代入公式进行计算,求出方程的根。