17.2一元二次方程的解法——公式法(1)

这就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0且 b2-4ac ≥ 0）的求根公式。
有了以上的求根公式，要解一个一元二次
方程，只要把它整理为一般形式，确定出a、 b、c的值在b2-4ac ≥0的前提下，把a、b、c 的值代入求根公式，得到：
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤
课堂作业：
必做题：课本31页习题17.2 第4题（1）、（2）
选做题：第4题（3）、（4）
课外作业：基训17.2（三）
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
例 2、解方程：
（1）2x2+7x-4=0
（2） x 2 3 2 3 x
巩固练习
用公式法解下列方程： （1）x2-7x-18=0
（2）2x2-9x+8=0;
（3）9x2+6x+1=0; （4）16x2+8x=3.
小结：本节课你有哪些收获？
1、求根公式 : b b2 4ac
x 2a
移项配方，得
aa
x b b2 4ac
2a
2a
x b b2 4ac
即：
x2

b a
x



b 2a
2


c a

3、已知方程2X²+7X+c=0,方程的根为一个实
数，求c和x的值。
3、解：
a 2,b 7,c c
又b2 4ac 72 4 2 c 0
8c 49,即c 49
8
x1
x2
b 2a
7 22
7 4
通过本课时学习你有哪些 收获?
与同伴交流
作业：
1，课本p31习题17.2 第4题 2. 选做同步训练17.2（三）
b
b 4ac
x 2a
4a 2
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
特别提醒：
当b²4ac﹤0
时，方程有实 数根吗?
一元二次 方程的求 根公式
明确：
• 有了求根公式，要解一个一 元二次方程，只要先把它化 成一般形式，确定出a,b,c的 值，然后把a,b,c的值代入求 根公式，就可解出方程的根。 这种解一元二次方程的解法
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
x （- 2
3）
02
3
3
21
2
∴
x1 x2 3
b 4ac 0 结论：当 2
时，一元二次方程有
两个相等 的实数根.
例 3 解方程： x 21 3x 6
解： x 3x2 2 6x 6 3x2 7x 8 0
3x2 7x 8 0
--公式法
回顾与复习
一、用配方法解下列方程 2x²-12x+10=0
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系 数); 2.移项:把常数项移到方程的右边;

一元二次方程的解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 分别为已知常数且a ≠ 0。

解一元二次方程的过程从古至今一直是数学领域中的重要问题，本文将介绍一元二次方程的解法和相关概念。

1. 一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用多种方法，包括公式法、配方法和因式分解法等。

下面将介绍其中两种常用的解法。

1.1 公式法公式法是解一元二次方程的基本方法，根据求根公式可以得到一元二次方程的解。

求根公式如下所示：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / (2a)其中，√为平方根，±表示两个不同的解，分别是加号和减号形式。

对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0，只需将 a、b、c 的值代入公式中即可求得解。

1.2 配方法当一元二次方程无法直接使用公式法解时，可采用配方法进行处理。

配方法的基本思想是通过变换将方程转化为完全平方形式，进而求得解。

首先，对一元二次方程的二次项和一次项进行配方，使其变成一个完全平方形式。

例如，对于方程 x² + 6x + 9 = 0，可以通过将一次项的系数除以 2，然后再平方，得到新的完全平方形式 (x + 3)² = 0。

接下来，利用开平方的性质求解方程。

对于上述方程，解为x = -3。

2. 一元二次方程的解的特点一元二次方程的解的特点包括判别式、重根和虚根。

2.1 判别式判别式是一个与一元二次方程的系数相关的数值，可用于判断方程的解的情况。

判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ 表示判别式的值。

根据判别式的值与零的关系，可以分为以下三种情况：- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，也称为重根；- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但有两个虚根。

解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= B解
例 解下列方程
1、x2－3x－10=0
解：原方程可变形为 (x－5)(x+2)=0 x－5=0或x+2=0 ∴ x1=5 ,x2=-2
解题步骤演示
(默5)
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为
可以用分解因式的方法求解.这种用分解
因式解一元二次方程的方法称为因式分
解法. 提示:
1.用因式分解法的条件是:左边能分解， 右边等于零;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于 零,那么至少有一个因式等于零.”
9x2－25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0
3X+5=0 或 3x－5=0
x1
5 3
,
x2
5. 3
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)( 2 x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
简记歌诀： (默4)
右化零 两因式
左分解 各求解
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.

17.2.2一元二次方程的解法-公式法一. 选择题1. 用公式法解一元二次方程2x 2+3x=1时，化方程为一般式当中的a 、b 、c ，依次为( )A.2,-3,1B.2,3,-1C.-2,-3,-1D. -2,3,12. 利用求根公式求方程5x 2+0.5=6x 的根时，其中a=5，则b 、c 的值分别是（ ）A.0.5,6B. 6,0.5C. -6,0.5D.-6,-0.53. 以x = ） A.x 2+bc+c=0 B.x 2+bx-c=0C.x 2-bx+c=0D.x 2-bx-c=04. 用公式法解方程x 2-4x-1=0，其中b 2-4ac 的值是( )A.16B.24C.8D.45. 用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值，对于方程-4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是( )A.a=-4,b=5,c=3B. a=-4,b=-5,c=3C a=4,b=5,c=3 D. a=4,b=-5,c=-3二.填空题1. 写出方程x 2+x-1=0的一个正根 .2. 方程x 2-5x+2=0的解是 .3. 一元二次方程3x 2-4x-2=0的解是 .4. 一元二次方程260x +-=的解是 .5. 210-=-的解是 .三.解答题1. 用公式法解方程：2x(x-3)=x 2-12. 用公式法解方程：220x -+=3. 用公式法解方程2x2-6x+3=0，并求根的近似值.4. 已知实数a、b满足条件a2-7a+2=0，b2-7b+2=0,求ab的值？参考答案一.1.B 2C .3.D 4.B 5.B 二.11,2-.2. 12x x ==3.4. 12x ==5. 12x x == 三 1.解：方程整理为x 2-6x+1=0，a=1,b=-6,c=1,212641132x x x ∆--⨯⨯∴=±∴=+=-＝（）＝，333 2.解：1,2,a b c ==-=21241210,2x x x ∆--⨯⨯∴=∴==＝（＝18-8=10，3.解：2x 2-6x+3=0,a=2,b=-6,c=3, 221212464234.940.44.b ac x x x x x ---⨯⨯∴=∴==∴≈≈-＝（）＝60，，。

2a
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0
4a2 0 当 b2 4ac 0 时
2
b
b 4ac
x 2a
4a 2
即 x b b2 4ac
2a
2a
b b2 4ac x
2a
特别提醒
一元二次方程的 求根公式
b b2 4ac x
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
解： 化简为一般式：x2 2 3 x 3 0 这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） 0 2 3
x
3
21
2
即 ： x1 x2 3
b b2 4ac x
；
出版社，1 第二阶段：根据设计说明书进行编码 电机系统仿真。特别是输入和输出特性。109 图形学基本原理 ③ 第四节 衡量学习是否达到目标的标准： 车间动力电气平面布线图 接地技术 杨兴华.清华大学出版社， 陈坚， 使学生初次接触生产实际，掌握PID控制原理和作用；簇 能 力要求：1）能够根据形体实物正确绘制形体的三面投影图。6 25 代表了未来仪器的发展方向，75 指导教师根据电机拖动的运动控制方式出题，掌握 2.3）通过习题、课外作业等，1)执行器气开/气关的形式及其选择原则 1.通过实验巩固和验证所学理论，重点与难点：过程控制专业词 汇和阅读 （2）谢存禧、张铁，第六节 5 第三节 教学目的： 按其幅频特性可分为低通、高通、带通

一元二次方程的解法------公式法学习目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．一、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）b 2-4ac ≥0 ，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 解：移项，得：ax 2+bx=_________二次项系数化为1，得x 2+b a x=___________ 配方，得：x 2+b a x+（ ）2=-c a +（ ）2 即（x+2ba ）2=________________∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方，得：x+2ba =±___________________ 即x=______________∴x 1= ______________ ， x 2=_________________.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2a（2）这个式子叫做__________________________.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫__________．（4）由求根公式可知，一元二次方程若有实根，有_________个实数根．（5）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（6）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、应用新知：1、用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）4x1)1x (22=--2、解方程 (1) 04722=--t t （2）210x x -+=三、总结归纳：用公式法解一元二次方程的步骤：1、化为 ，2、确定 ，3、计算 的值，当 时，带入求根公式求解，当 时，此方程无解。

间有什么关系?
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
(1)(2)的结论 适合于(3)吗?
(4) x2 共同点：
px
(
p 2
)2=(
x
p
2 )2
适用于(4)吗?
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方. 右边:所填常数等于一次项系数的一半.
x2 6x 4 0
想一想如何x2解 6方x移程项x42 6x 4 0? 两边加上32,使左边配成 完全平方式
解一元二次方程的基本思路
降次
二次方程
一次方程
把原方程变为(x+h)2＝k的形式 (其中h、k是常数）。
当k≥0时，两边同时开平方，这 样原方程就转化为两个一元一次方程。
当k<0时，原方程的解又如何？
例题讲解
例题1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解： x2 6x 7
x2 6x 9 7 9
x2 6x 32 4 32
左边写成完全平方的形式
(x 3)2 5
开平方
变成了(x+h)2=k 的形式
x3 5
x3 5,x3 5 得: x1 3 5, x2 3 5
以上解法中,为什么在方程 x2 6x 4
两边加9?加其他数行吗?
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式, 然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法.
作业
• 1，课本p31习题17.2 第2题 • 2. 同步训练17.2（二）
拓展：
把方程x2-3x+p=0配方得到
1
(x+m)2=
2
(1)求常数p,m的值； (2)求方程的解。
2.用配方法说明：不论k取何实 数，多项式k2－3k＋5的值必定 大于零.

一元二次方程的解法 公式法
第1页，共30页。
知识回顾
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 二次项系数化1，移项，配方，变形，开平方， 求解，定根
2、用配方法解下例方程
（1）2x2 7x 2 0
（2）2x2 4x 5 0
用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦， 能否研究出一种更好的方法？
1. 3
第23页，共30页。
一、由配方法解一般的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
(b2 4ac 0)
第24页，共30页。
二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c (整系数
,a为正的） 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，并判断是否大于,等于
x1
1,
x2
2 3
.
第19页，共30页。
随堂 练习
2.用公式法解下列方程：
(1)2x2-x-1=0
解: a 2,b 1,c 1 b2 4ac 1 8 9 0
x 1 9 13 22 4
x1
1,
x2
1. 2
(2)x2+1.5=-3x
解 : x2 3x 1.5 0 a 1,b 3,c 1.5 b2 4ac 9 6 3 0
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解方程x2+4x=2
解：移项，得 x2+4x-2=0
这里的a、b、c的 值是什么？
a= 1，b= 4，c = -2.
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24. 0

一般地，对于一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
如果b2 4ac 0，那么方程的两个根为
x b b2 4ac 2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式； 这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
用公式法解下列一元二次方程：
(1)2x2 7x 4 0
解：（1） a 2,b 7, c 4,
b2 4ac 72 4 2(4) 81 0
x 7 81 -7 9
22
4
1 x1 2 , x2 -4.
运用公式法解一元二次方程的的解步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；
（2）求出的 b2 4ac 值；
（3）若 b2 4ac 0，把a、b、c及 b2 4ac的值代
x2 b x c 0 aa
x2 b x c
a
a
x2 b x ( b )2 c ( b )2 a 2a a 2a
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
开方
x b b2 4ac b2 4ac 0
2a
4a2
x 10 3
解得
x b b2 4ac 2a
知识要点
2x2 12x 2 0
并模仿解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0
2x2 12x 2 0
x2 6x 1 0
x2 6x 1
x2 6x 9 19
(x 3)2 10 x 3 10
步骤
两边同 除以a 移项
两边同时 加上 ( b )2
2a
整理
ax2 bx c 0(a 0)
这个公式叫做一元二次方程的求根公式； 这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
(备选)选择恰当的方法解下列方程：

17.2 一元二次方程的解法（公式法）教学内容：求根公式法解一元二次方程学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；3.经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力；4.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。

学习重点：求根公式的推导和公式法的应用学习难点：一元二次方程求根公式的推导教学过程（一） 创设情境，导入新课：前面我们己学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种比配方法更简单，更直接的方法？ 大家一定想，那么这节课我们一同来研究。

教师：下面我们先用配方法解下列一元二次方程学生：（每组一题，每组派一名同学板演）1．22x -4x-1=0 2. 2x +1.5=-3x完成后小组内进行交流，并进行反馈矫正。

学生:总结用配方法解一元二次方程的步骤教师板书：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为2)(m x =n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．教师：通过以上四个方程的求解，你能试着猜想一下上述问题的求解的一般规律吗？学生：独立思考（二）新知探索教师：作进一步引导，如果每一个一元二次方程都通过配方法解，那么计算就较繁杂，针对于一般的一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0） 能否也用配方法导出一般求解模式呢？动手试一试。

学生：动手亲自解方程02=++c bx ax （a ≠0）找一名同学板演。

教师：巡视，作个别点评，辅导。

教师：现在我们大家共同观察黑板上的探索过程02=++c bx ax （a ≠0）bx ax +2=-c移项：2x +b a x=-ca将二次项的系数化为1：2x +x a b 2+2)(a b =-c a +2)2(a b 即2)(a b x +=2244b ac a - 配方：开平方运算思考：有条件限制吗？学生: 有 当2244b aca -≥0时,才可以开平方 教师：在什么2244b aca -才能大于或等于0？学生：（思考、回答）因为a ≠0所以４a2 ＞0，如果使2244b aca -≥0，那么只有ac b 42-≥0教师：如果 ac b 42-<0 时，可以进行开平方运算吗？学生：不可以，因为负数没有平方根教师：同学们推导的都很好，那么我们来总结一下，在用配方法解02=++c bx ax （a ≠0）时，需注意什么？学生：畅所欲言 --------发挥学生的主动性归纳总结：对于02=++c bx ax （a ≠0），当 ac b 42-≥ 0 时，在这里我们把称为一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一元二次方程。

六、词语点将（据意写词）。
1．看望；访问。 （ ） 2．互相商量解决彼此间相关的问题。 （ ）
3．竭力保持庄重。 （ ） 4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。 （ ）
5．弯弯曲曲地延伸的样子。 （ ） 七、对号入座（选词填空）。
冷静 寂静 幽静 恬静 安静
１．蒙娜丽莎脸上流露出（ ）的微笑。
2．贝多芬在一条（ ）的小路上散步。 3．同学们（ ）地坐在教室里。
∴x1＝
5 4
，x2＝－1.
∴
4
x
2－x－5＝4
x－ 5 4
x＋1
.
总结
利用公式法因式分解的理论依据：若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则方程可化成 a(x－x1)(x－x2)＝0(a≠0)的形式，因此ax2＋bx＋c＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，所以利用公式法进行代数式 ax2＋bx＋c(a≠0)的因式分解时，可以先构造一元二 次方程ax2＋bx＋c＝0，然后求出一元二次方程的两 解，再代入a(x－x1)(x－x2)(a≠0)完成因式分解．
∴b2－4ac＝(－3m)2－4×1×(2m2－mn－n2)
＝m2＋4mn＋4n2＝(m＋2n)2≥0，
∴ x＝ 3m m＋2n2 ＝ 3m m＋2n ，
2
2
∴x1＝2m＋n，x2＝m－n.
总结
解含字母系数的一元二次方程与解一般的一元 二次方程一样，先将方程化成一般形式，然后利用 公式法求出方程的解．
___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她 的人。

《一元二次方程的解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在使学生能够：1. 熟练掌握一元二次方程的标准形式；2. 理解一元二次方程的解法原理；3. 学会使用开平方法解一元二次方程；4. 培养学生的逻辑思维能力和解题能力。

二、作业内容本节作业内容主要围绕一元二次方程的解法展开，具体包括以下方面：1. 练习题。

选取具有代表性的练习题，让学生在解题过程中熟悉一元二次方程的解法步骤和解题思路。

题目应涵盖不同类型的一元二次方程，如标准形式和非标准形式的方程，使学生能够全面掌握。

2. 开平方法讲解。

详细介绍开平方法的基本原理和操作步骤，使学生明白开平方法在解一元二次方程中的应用。

可以结合实例进行讲解，使学生更容易理解和掌握。

3. 开放性问题探讨。

设置一些与一元二次方程相关的开放性问题，引导学生进行思考和探讨。

例如，可以让学生探讨不同解法之间的优劣，或让学生自行设计一道一元二次方程的解题题目并解答。

这样不仅可以培养学生的创新思维，还可以加深学生对一元二次方程的理解。

4. 注意事项。

提醒学生在解题过程中注意的问题，如保证方程的标准形式、开平方的准确性等。

同时，还要注意培养学生的良好学习习惯，如独立完成作业、及时检查答案等。

三、作业要求本节作业要求学生：1. 独立完成作业，不得抄袭他人答案；2. 按照作业步骤和要求进行答题；3. 注重解题思路的梳理和总结；4. 及时检查答案并改正错误；5. 如有疑问或困难，可向老师或同学请教。

四、作业评价本节作业的评价标准包括：1. 正确性：答案是否正确，是否符合题目要求；2. 完整性：解题步骤是否完整，是否详细；3. 思路清晰度：解题思路是否清晰，是否有条理；4. 创新性：在解题过程中是否有新的想法或方法；5. 态度：是否独立完成作业，是否有良好的学习习惯。

五、作业反馈本节作业完成后，老师将对学生的作业进行批改和评价，并给予针对性的反馈和建议。

对于出现的问题和错误，老师将进行详细的讲解和指导，帮助学生改正错误并加深对一元二次方程的理解。

17.2一元二次方程的解法——公式法一、教学目标：知识与技能：1、会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。

2、通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。

过程与方法：让学生经历一元二次方程的求根公式的探索过程，体会公式法与配方法的内在联系，学会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。

情感教育：渗透化归思想,领悟配方法，感受数学的内在美.二、学习重点：会用公式法解简单的一元二次方程，渗化归的数学思想方法.。

学习难点：由配方法导出一元二次方程的求根公式三、教学过程：（一） 情景设计1、我们学习了一元二次方程的两种解法是什么？直接开平方法：（x －a ）2=b （b≥0）配方法：（提问步骤）2、 解下列一元二次方程:(1)x 2+4x+2=0 ; (2)3x 2+4x+7=0.（二）合作探究 得出结论如何用配方法解一般形式的一元一次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)解：ax 2+bx=-cx 2+b a x= - c ax 2+ b a x+ （2b a ）2= - c a + （2b a）2 (x+2b a)2= 2244b ac a -x+2b a= ±2ax= -2b a∴x 1=2b a -+ x 2=2b a- 得出结论：一般的，对于一元二次方程a χ²+b χ+c=0（a ≠0），当b²-4ac ≥0时，它的根是：x= =2b a-± （b²-4ac ≥0） 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。

观察、记忆求根公式用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

（三）新知运用 解决问题例1：用公式法解方程 x 2-7x-18=0.解：∵a=1 b=-7 c=-18∴b²-4ac=49+72=121＞0∴x==72=7112± ∴方程的解是x 1=9 x 2=-2练习：用公式法解下列方程：（1）2x 2-9x+8=0 （2）9x 2+6x+1=0 （3）16x 2+8x=3.要求学生先找出a ，b ，c ，对b ²-4ac 进行验证，然后代入公式，熟练后可简化步骤归纳总结用公式法解一元二次方程的一般步骤.1、把方程化成一般形式，并写出 a 、b 、c 的值。

17.2 一元二次方程及其解法（一）教案【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、特殊的一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定例题1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)； (2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得， 所以． 其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． (2)整理原方程，得，所以 ． 其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③ 2102y =；④215402x x -+=； ⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x -+=不是整式方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定例题2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为． 举一反三：【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-； （2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.类型三、一元二次方程的解（根）例题3. 若0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．【思路点拨】根据一元二次方程解的性质，直接求出m 的值，根据若是一元二次方程时，注意二次项系数不为0，再利用根的判别式求出即可．【答案与解析】解：∵0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解， ∴2280m m +-=∴24m m ==-或①当20m -≠∴4m =-∴原方程为：2630x x -+= 2490b ac =-=>∴此方程有两个不相等的根．2630x x -+=()3210x x --=解得：00.5x =或②当2m =∴30x =∴0x =【总结】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练记忆根的判别式公式是解决问题的关键．类型四、用直接开平方法解一元二次方程例题4.解方程（1）3x2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x2=24，x2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-．(2)原方程可化为(4-3n)2=64，所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．【答案】解：4（x+3）2=25（x﹣2）2，开方得：2（x+3）=±5（x﹣2），解得：，．类型五、因式分解法解一元二次方程例题5．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0．【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．【总结】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．例题6．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即2(23)0x +=， ∴ 1232x x ==-． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式.用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根．举一反三：【变式】()()()21 85860;x x +-++= （2）3(21)42x x x +=+ 【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X 1=-6,x 2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0 1212,23x x =-=.。