2017-2018学年高中数学 选修2-1学业分层测评：第2章
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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．椭圆x29＋y216＝1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若| PF1|＝3，则PF2＝___________________________________________.
【解析】 方程x29＋y216＝1中，a＝4，则PF1＋PF2＝8，
∴PF2＝2a－PF1＝8－3＝5.
【答案】 5
2．椭圆x2m＋y24＝1的焦距为2，则m的值为________．
【解析】 ∵2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝3或5.
【答案】 3或5
3．设F1，F2是椭圆x2a2＋y225＝1(a>5)的两个焦点，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________. 【导学号：09390023】
【解析】 易知|F1F2|＝8＝2c，即c＝4，∴a2＝25＋16＝41，∴a＝41，因为弦AB过点F1，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝441.
【答案】 441
4．若方程x2m－y2m2－2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是________．
【解析】 ∵方程x2m－y2m2－2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，将方程改写为y22－m2＋x2m＝1，∴有 2－m2>m，m>0，
解得0 5．设P是椭圆x216＋y212＝1上一点，点P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是________三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”) 【解析】 不妨设PF1>PF2，由条件知PF1－PF2＝2，又PF1＋PF2＝2a＝8，解得PF1＝5，PF2＝3. 又∵F1F2＝2c＝216－12＝4，∴F1F22＋PF22＝PF21， 故△PF1F2是直角三角形． 【答案】 直角 6．设F1，F2是椭圆4x249＋y26＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为________． 【解析】 根据椭圆定义有 |PF1|∶|PF2|＝4∶3，|PF1|＋|PF2|＝7，因此|PF1|＝4，|PF2|＝3.又因为|F1F2|＝5，因此△PF1F2为直角三角形，S△PF1F2＝12×3×4＝6. 【答案】 6 7．过点(3，－5)且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________． 【解析】 椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝ 3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42， 解得a＝25. 由c2＝a2－b2，可得b2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1. 【答案】 y220＋x24＝1 8．椭圆x212＋y23＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________． 【解析】 设椭圆的另一焦点为F2，由条件可知PF2∥OM，∴PF2⊥x轴．设P点纵坐标为y，则由x212＋y23＝1，得y＝±32， ∴点M的纵坐标为±34. 【答案】 ±34 二、解答题 9．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→，若△PF1F2的面积为9，求b的值． 【解】 如图所示，PF1⊥PF2，F1F2＝2c， 根据椭圆的定义可知，PF1＋PF2＝2a， 在Rt△F1PF2中，PF21＋PF22＝4c2. 又S△PF1F2＝12PF1·PF2＝9，即PF1·PF2＝18. ∴(PF1＋PF2)2＝PF21＋PF22＋2PF1·PF2＝4c2＋36＝4a2， ∴4a2－4c2＝36，即a2－c2＝9，即b2＝9，∴b＝3. 10．求符合下列条件的参数的值或取值范围． (1)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆，求k的取值范围； (2)若椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点为(0，7)，求k的值． 【解】 (1)原方程可化为x22＋y22k＝1. ∵其表示焦点在x轴上的椭圆，∴ k>0，2k<2，解得k>1.故k的取值范围是k>1. (2)原方程可化为x21k2＋y28－k＝1. 由题意得 －8k>0，－8k>1k2，－8k－1k2＝7， 即 k<0，k<－18，k＝－1或k＝－17. 故k的值为－1或－17. [能力提升] 1．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sin A＋sin Csin B的值为________. 【导学号：09390024】 【解析】 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上，且半焦距c＝a2－b2＝25－9＝4,2a＝10. ∴A(－4,0)和C(4,0)是椭圆的左、右焦点． ∵点B在椭圆上， ∴|BA|＋|BC|＝2a＝10， ∴sin A＋sin Csin B＝2Rsin A＋2Rsin C2Rsin B ＝|BC|＋|BA||AC|＝108＝54(R为△ABC外接圆的半径)． 【答案】 54 2．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与x轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________． 【解析】 由题意知椭圆焦点在x轴上，设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)， 由已知条件得 2a＝5＋3， 2c2＝52－32，解得a＝4，c＝2，b2＝12. 故所求方程为x216＋y212＝1. 【答案】 x216＋y212＝1 3． “mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的________条件． 【解析】 由方程mx2＋ny2＝1，得x21m＋y21n＝1，所以要使方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆，则 1m>0，1n>0，m≠n，即m>0，n>0且m≠n.所以，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 【答案】 必要不充分 4．已知椭圆的标准方程为x225＋y2m2＝1(m>0)，焦距为6，求实数m的值． 【解】 ①当椭圆焦点在x轴上时， 由2c＝6，得c＝3. 由椭圆的标准方程为x225＋y2m2＝1(m>0)， 得a2＝25，b2＝m2， 所以m2＝25－9＝16. 因为m>0，所以m＝4. ②当椭圆焦点在y轴上时，由2c＝6，得c＝3. 由椭圆的标准方程为x225＋y2m2＝1(m>0)， 得a2＝m2，b2＝25， 所以m2＝25＋9＝34. 因为m>0，所以m＝34. 综上所述，实数m的值为4或34.
