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立体几何证明及体积计算

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文档 立体几何常见证明方法与体积计算

1、线线平行

①利用相似三角形或平行四边形

②利用公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行

③线面平行线线平行

即////aaall

④面面平行线线平行

即baba//// ⑤垂直于同一平面的两条直线平行

即baba//

2、线线垂直

①两条直线所成角为90〔勾股定理〕；

②线面垂直线线垂直

即baba

③三垂线定理与其逆定理

三垂线定理：lAClBCAB

三垂线逆定理：lBClACAB

④两直线平行，其中一条垂直于第三条直线，如此另一条也垂直于这条直线。

3、线面平行

①定义：假如一条直线和一个平面没有公共点，如此它们平行；

②线线平行线面平行

假如平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，如此它与这个平面平行。

即////aabba

③面面平行线面平行

假如两平面平行，如此其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。 a

 

l word

文档 即////aa

4、线面垂直

①线线垂直线面垂直

假如一条直线垂直平面内两条相交．．．．直线，如此这条直线垂直这个平面。

即aOcbcbcaba,,

②面面垂直线面垂直

两平面垂直，其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线，如此这条直线垂直于另一个平面。

即alaal,,

③两平面平行，有一条直线垂直于垂直于其中一个平面，如此这条直线垂直于另一个平面。

即ll//

④两直线平行，其中一条直线垂直于这个平面，如此另一条直线也垂直于这个平面。

即baba//

5、面面平行

①线面平行面面平行

假如一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，如此这两个平面平行。

即//,//,//Obababa

②平行于同一平面的两个平面平行

即//////

③垂直于同一条直线的两个平面平行

即//ll

6、面面垂直

①依定义，二面角的平面角为90； ②aa

 l a

 

 a word

文档

练习：

1、设a,b,c是空间三条不同的直线，，，是空间三个不同的平面，给出如下四个命题：

①假如,ab，如此ab；②假如,，如此；

③假如,bb，如此；④假如c是b在内的射影，aac且，如此ab.

其中正确的个数是

A 1 B 2 C 3 D 4

m、n与平面、，如下命题正确的答案是 〔 〕

A．//,//nm且//，如此nm// B．//,nm且，如此nm

C．mnm,且，如此n D．nm,且，如此nm

3.m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，如此如下命题中正确的答案是〔 〕

A ．//,mnmn B． //,,//mnmn

C．,//mmnn D． ,,//,////mnmn

〔4〕一个正方体的所有顶点都在同一球面上，假如球的体积是4π3，如此正方体的外表积是

〔A〕8 〔B〕6 〔C〕4 〔D〕3

5．直线m,n和平面,满足,,amnm,如此( )

.An,//.nB或nnC.,//.nD或n

6．1.(2009年某某卷文)给定如下四个命题：

①假如一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②假如一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④假如两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④

7．设,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的答案是〔 〕A．假如,l，如此l B．假如//,//l，如此lword

文档 C．假如,//l，如此l D．假如//,l，如此l

5. 三视图

侧视与正视 高相等 正视与俯视长相等 侧视与俯视宽相等

1．如图，三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA底面ABC，其正〔主〕视图是边长为2的正方形，如此此三棱柱侧〔左〕视图的面积为〔 〕

A．3

B．32

C．22

2. 一个空间几何体的三视图如下列图，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，计算这个几何体的外表积是．

4 一个几何体的三视图如下列图，如此此几何体的体积是

〔A〕112 〔B〕80

〔C〕72 〔D〕64

立体几何证明

1、〔将线面平行转变为线线平行〕：如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.

〔Ⅱ〕求证：//PB平面AEC；

（１）

俯视图 4 4 正视图 侧视图 4 3 word 文档

5、〔将面面垂直转变为线面垂直〕如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PDABCD底面，点E在棱PB上.

〔Ⅰ〕求证：平面AECPDB平面；

9、如图，在长方体1111DCBAABCD中，aADAA1，aAB2，E、F分别为11CD、11DA的中点．

〔Ⅰ〕求证：DE平面BCE；

〔Ⅱ〕求证：//AF平面BDE．

A B D C 1A 1B 1C 1D E

F word 文档 10、如下列图，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，,,,2,BAADCDADCDABPA底面ABCD，E为PC的中点。PA＝AD＝AB＝1。

〔1〕证明：PADEB平面；

〔2〕证明：BEPDC平面；

〔3〕求三棱锥B-PDC的体积V。

11如下列图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E、F分别为1DD、DB的中点．

〔Ⅰ〕求证：EF//平面11ABCD；

〔Ⅱ〕求证：1EFBC；

〔Ⅲ〕求三棱锥EFCBV1的体积．

12如图，四棱锥P—ABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．

(I) 求证：平面PDC平面PAD；

(II) 求证：BE//平面PAD．

立体几何大题中有关体积的求法 CDBFED1C1B1AA1A B C D E P word

文档 角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大根本问题。以下是求体积的一些常用方法与有关问题。一公式法 1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，如此它的体积为．

2.〔2011某某卷文9〕如图，某几何体的正视图〔主视图〕，侧视图〔左视图〕和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，如此该几何体的体积为〔 〕．

A．43 B．4 C．23 D．2

练习

3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为

6和4的平行四边形，如此该几何体的体积为___________.

4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的外表积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为▲

二、转换法

当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量〔底面积或高〕不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进展计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．

5例 在边长为a的正方体1111ABCDABCD中，MNP，，分别是棱11111ABADAA，，上的点，且满足11112AMAB，112ANND，1134APAA〔如图1〕，试求三棱锥1AMNP的体积．

6练习〔2013年高考某某卷〔文〕〕如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB//CD

,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.求点B1 到平面EA1C1 的距离

三、割补法

分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规如此的几何体的体积以与求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．

7例三棱锥ABCP，其中4PA,2PCPB,

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高考数学立体几何专题：等体积法

高考数学立体几何专题：等体积法

高考数学立体几何专题：等体积法

一、引言

在高考数学中，立体几何是一门重要的学科，它考察了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。其中，等体积法是一种常用的方法，它在解决立体几何问题中具有重要的作用。本文将详细介绍等体积法的基本原理和应用，并通过实例来展示其用法。

二等体积法的基本原理

等体积法的基本原理是：对于同一个体积，可以将其分解为不同的几何形状，并且这些几何形状的体积相等。在立体几何中，常见的几何形状有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。这些形状的体积可以通过其高度、底面积和高度的乘积等参数来计算。

三等体积法的应用

等体积法在解决立体几何问题中具有广泛的应用。下面我们将通过几个例子来展示其用法：

1、求几何体的表面积和体积

例1：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的表面积和体积。

解：该长方体的表面积为2(ab+bc+ac)，体积为abc。

2、判断两个几何体是否体积相等

例2：给定两个几何体，判断它们是否体积相等。

解：根据等体积法，我们可以分别计算两个几何体的体积，如果两个体积相等，则两个几何体体积相等；否则，两个几何体体积不相等。

3、求几何体的重心位置

例3：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的重心位置。

解：根据等体积法，我们可以将该长方体分成两个小的长方体，它们的重心位置与原长方体的重心位置相同。因此，我们只需要找到这两个小长方体的重心位置即可。

四、结论

等体积法是一种常用的方法，在解决立体几何问题中具有重要的作用。它可以帮助我们计算几何体的表面积和体积，判断两个几何体是否体积相等，以及求几何体的重心位置等。在实际应用中，我们需要灵活运用等体积法来解决各种不同的问题。

在数学的世界里，立体几何是一门研究空间几何形状、大小、位置关系的科学。它不仅在数学领域中占据着重要的地位，同时也是高考数学中的重要考点之一。本文将针对高考数学立体几何专题进行深入探讨，帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。

立体几何体积表面积题型总结

立体几何体积表面积题型总结

立体几何体积表面积题型总结

全文共四篇示例，供读者参考

第一篇示例：

立体几何体积和表面积是几何学中非常重要的概念，它们广泛应用于日常生活和各种工程领域。在考试中，经常会出现与立体几何体积和表面积相关的题型，考查学生的综合能力和解题技巧。本文将对关于立体几何体积表面积题型进行总结，希望能帮助读者更好地掌握相关知识。

在解立体几何体积表面积题型时，首先需要了解各种常见几何体的体积和表面积公式。下面是一些常见几何体的体积和表面积公式：

1. 立方体：

- 体积公式：V = a³ （a为边长）

- 表面积公式：S = 6a²

了解以上公式是解立体几何体积表面积题目的基础，接下来需要根据具体题目的要求灵活运用这些公式。在解题过程中，可以遵循以下一般步骤：

1. 画图：根据题目绘制准确的图形，有助于理清思路和分析问题。

2. 确定参数：明确各个参数的含义，包括边长、半径、高等。 3. 应用公式：根据具体题目要求，选择合适的体积和表面积公式进行计算。

4. 计算验证：将得到的具体数值代入公式进行计算，并进行验证。

5. 总结解法：总结解题过程，确保计算结果正确且符合题目要求。

在解题过程中，有一些常见的考点和技巧也是需要注意的，下面列举一些常见的题型及解题技巧：

1. 混合体积问题：有时题目会涉及到多种几何体的组合，需要将各个部分的体积分别计算，然后相加得到总体积。

2. 变换题型：有些题目需要根据给定条件进行变换，例如将一个正方体切割成若干小正方体，需要注意每个小正方体的边长与体积的关系。

3. 边长、半径的关系：根据题目给定的条件，需灵活利用边长、半径之间的关系来求解问题。

4. 知己知彼：要根据具体题目的特点选择合适的解题方法，不要死记硬背，要有灵活应对的能力。

立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)

立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)

立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)

立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法

知识点梳理

1.柱、锥、台和球的侧面积和体积

圆柱：侧面积为$S_\text{侧}=2\pi rh$，体积为$V=\pi

r^2h$

圆锥：侧面积为$S_\text{侧}=\pi rl$，体积为$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$

圆台：侧面积为$S_\text{侧}=\pi(r_1+r_2)l$，体积为$V=\frac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$

直棱柱、正棱锥、正棱台、球的表面积和体积公式不再赘述。

2.几何体的表面积

直棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和。

圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和。

一公式法

例1.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为。

解：因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，所以有以下两种情况：

①：2是下底面的周长，4是三棱柱的高，此时下底面的边长为$\frac{2}{\sqrt{3}}$，所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，面积为$S=2\sqrt{3}$。

②：4是下底面的周长，2是三棱柱的高，此时下底面的边长为$\sqrt{3}$，所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，面积为$S=2\sqrt{3}$。

所以正三棱柱的体积为$\frac{4}{3}\sqrt{3}$。

例2.如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）。

解：由题意可知此几何体是一个四棱锥，由图可知底面两条对角线的长分别为2和3，底面边长为2，所以底面菱形的面积为$S=\frac{3}{2}$，侧棱为$\sqrt{2^2+3^2}= \sqrt{13}$，则棱锥的高$h=\sqrt{3^2-(\frac{\sqrt{13}}{2})^2}=\frac{\sqrt{35}}{2}$。

推导立体几何中的体积计算公式

推导立体几何中的体积计算公式

推导立体几何中的体积计算公式

在立体几何中，计算物体的体积是一项重要的任务。通过推导几何体的体积计算公式，我们可以更方便地计算各种形状的物体的体积。本文将以几何体的不同形状为例，推导出它们的体积计算公式。

一、长方体的体积计算公式

长方体是最简单的几何体之一，它的形状类似于一个长方形的立体延伸。假设长方体的长、宽、高分别为L、W和H，那么它的体积V可以通过以下公式计算得出：

V = L × W × H

这个公式可以很容易地推导出来。我们可以将长方体划分为若干个小立方体，每个小立方体的边长为1。那么长方体的体积就等于这些小立方体的体积之和。由于长方体的长、宽、高都是整数，所以小立方体的个数就等于L × W × H，体积也就等于L × W × H。

二、正方体的体积计算公式

正方体是一种特殊的长方体，它的长、宽和高都相等。假设正方体的边长为a，那么它的体积V可以通过以下公式计算得出：

V = a × a × a = a³

这个公式也可以通过类似的推导得出。我们可以将正方体划分为若干个小立方体，每个小立方体的边长为1。那么正方体的体积就等于这些小立方体的体积之和。由于正方体的边长为a，小立方体的个数就等于a × a × a，体积也就等于a³。

三、圆柱体的体积计算公式 圆柱体是一个底面为圆形的立体。假设圆柱体的底面半径为r，高度为h，那么它的体积V可以通过以下公式计算得出：

V = π × r² × h

这个公式的推导稍微复杂一些。我们可以将圆柱体划分为若干个薄片，每个薄片的底面积为π × r²，厚度为h。那么圆柱体的体积就等于这些薄片的体积之和。由于薄片的个数等于圆柱体的高度h，所以体积也就等于π × r² × h。

四、球体的体积计算公式

球体是一个完全由曲面构成的立体，它的所有点到一个固定点的距离都相等。假设球体的半径为R，那么它的体积V可以通过以下公式计算得出：

V = (4/3) × π × R³