有理数易错题(Word版 含答案)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．通过学习绝对值,我们知道 的几何意义是数轴上表示数 在数轴上的对应点与原点的距离,如：

表示

在数轴上的对应点到原点的距离. ,即

表示

、 在数轴上对应的两点之间的距离,类似的, ，即

表示 、

在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点

，

在数轴上分别表示数

、

，那么

，

之间的距离可表示为 .

请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：

（1）数轴上表示 和 的两点之间的距离是________；数轴上 、 两点的距离为 ，点

表示的数是 ，则点 表示的数是________.

（2）点 ， ， 在数轴上分别表示数 、 、 ,那么 到点 .点 的距离之和可表示为_ (用含绝对值的式子表示)；若 到点 .点 的距离之和有最小值，则 的取值范围是_ __.

（3） 的最小值为_ __.

【答案】 （1）2；1或7

（2）|x+1|+|x-2||-1≤x≤2

（3）3

【解析】【解答】解：（1）数轴上表示2和4的两点之间的距离是4-2=2；

数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是4，则点Q表示的数是4-3=1或4+3=7；（ 2 ）A到B的距离与A到C的距离之和，可表示为|x+1|+|x-2|，

∵|x-3|+|x+2|=7，当x＜-1时，|x+1|+|x-2|=2-x-x-1=1-2x无最小值，

当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=x+1+2-x=3，

当x＞2时，x+1+x-2=2x-1＞3，

故若A到点B、点C的距离之和有最小值，则x的取值范围是-1≤x≤2；（3）原式=|x-1|+|x-4|.

当1≤x≤4时，|x-1|+|x-4|有最小值为|4-1|=3

故答案为：（1）2，1或7；（2）|x+1|+|x-2|，-1≤x≤2；（3）3

【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的求法“数轴上两点间的距离即数轴上表示两个点的数的差的绝对值．”可求解；

（2）同理可求解；

（3）由（2）中求得的x的取值范围去绝对值，然后合并同类项即可求解.

2．如图，已知数轴上点 表示的数为 ， 是数轴上位于点 左侧一点，且AB=20，动点

从 点出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间t(t>0)秒．

（1）写出数轴上点 表示的数________；点 表示的数________（用含 的代数式表示）

（2）动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点 、 同时出发，问多少秒时 、 之间的距离恰好等于 ？

（3）动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 、 同时出发，问多少秒时 、 之间的距离恰好又等于 ？

（4）若 为 的中点， 为 的中点，在点 运动的过程中，线段 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请画出图形，并求出线段 的长．

【答案】 （1）；

（2）解：若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：

①点P、Q相遇之前，

由题意得3t+2+5t=20，解得t=2.25；

②点P、Q相遇之后，

由题意得3t-2+5t=20，解得t=2.75．

答：若点P、Q同时出发，2.25或2.75秒时P、Q之间的距离恰好等于2

（3）解：设点P运动x秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：

①点P、Q相遇之前，

则5x-3x=20-2，

解得：x=9；

②点P、Q相遇之后，

则5x-3x=20+2

解得：x=11．

答：若点P、Q同时出发，9或11秒时P、Q之间的距离恰好又等于2

（4）解：线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下：

①当点P在点A、B两点之间运动时：

MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB= ×20=10，

②当点P运动到点B的左侧时：

MN=MP-NP= AP- BP= （AP-BP） AB=10，

则线段MN的长度不发生变化，其值为10

【解析】【解答】（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=20，

∴点B表示的数是8-20=-12，

∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，

∴点P表示的数是8-5t．

故答案为-12，8-5t；

【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为8-20；点P表示的数为8-5t；（2）设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，列出方程求解即可；（3）设点P运动x秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，列出方程求解即可；（4）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．

3．如图，已知数轴上点A表示的数为-3，B是数轴上位于点A右侧一点，且AB=12.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为t秒.

（1）数轴上点B表示的数为________；点P表示的数为________（用含t的代数式表示）.

（2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动；点P、点Q同时出发，当点P与点Q重合后，点P马上改变方向，与点Q继续向点A方向匀速运动（点P、点Q在运动过程中，速度始终保持不变）；当点P到达A点时，P、Q停止运动.设运动时间为t秒.

①当点P与点Q重合时，求t的值，并求出此时点P表示的数.

②当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值.

【答案】 （1）9；-3+2t

（2）解：①根据题意，得：（1+2）t=12，

解得：t=4，

∴-3+2t=-3+2×4=5，

答：当t=4时，点P与点Q重合，此时点P表示的数为5；

②P与Q重合前：

当2AP=PQ时，有2t+4t+t=12，解得t= ；

当AP=2PQ时，有2t+t+t=12，解得t=3；

P与Q重合后：

当AP=2PQ时，有2（8-t）=2（t-4），解得t=6；

当2AP=PQ时，有4（8-t）=t-4，解得t= ；

综上所述，当t= 秒或3秒或6秒或 秒时，点P是线段AQ的三等分点

【解析】【解答】解：（1）由题意知，点B表示的数是-3+12=9，点P表示的数是-3+2t，

故答案为：9，-3+2t；

【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于两坐标之差的绝对值可求得点B所表示的数；根据路程=速度×时间可得点P运动的距离，再根据平移的点的坐标的性质可得点P表示的数；

（2）①由题意可列方程求解；②分两种情况讨论求解：

P与Q重合前：

当2AP=PQ时，可得关于t的方程求解；

当AP=2PQ时，可得关于t的方程求解；

P与Q重合后：

当AP=2PQ时，可得关于t的方程求解；

当2AP=PQ时，可得关于t的方程求解。

4．阅读填空，并完成问题：“绝对值”一节学习后，数学老师对同学们的学习进行了拓展.数学老师向同学们提出了这样的问题：“在数轴上，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.那么，如果用P（a）表示数轴上的点P表示有理数a，Q（b）表示数轴上的点Q表示有理数b，那么点P与点Q的距离是多少？”

（1）聪明的小明经过思考回答说：这个问题应该有两种情况.一种是点P和点Q在原点的两侧，此时点P与点Q的距离是a和b的绝对值的和，即∣a∣＋∣b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离为∣－3∣＋∣－5∣=________；

另一种是点P和点Q在原点的同侧，此时点P与点Q的距离的a和b中，较大的绝对值减去较小的绝对值，即∣a∣－∣b∣或∣b∣－∣a∣.例如：点A（－3）与点B（－5）的距离为∣－5∣－∣－3∣=________；

你认为小明的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M（ ）与N（ ）之间和点C（－2）与D（－7）之间的距离. ________

（2）小颖在听了小明的方法后，提出了不同的方法，小颖说：我们可以不考虑点P和点Q所在的位置，无论点P与点Q的位置如何，它们之间的距离就是数a与b的差的绝对值，即∣a－b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离就是∣－3－5∣=________；点A（－3）与点B（－5）的距离就是∣（－3）－（－5）∣= ________；你认为小颖的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M（ ）与N（ ）之间和点C（－1.5）与D（－3.5）之间的距离.________

【答案】 （1）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为

点C与点D之间的距离为

（2）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为 点C与点的之间的距离为

【解析】【分析】（1）数轴上的点，原点两侧两点之间的距离即点到原点绝对值的相加之和。原点同侧两点之间的距离即绝对值大的减去绝对值小的。

（2）根据数轴上两点之间距离的意义，小颖说的也有意义。列出等式代数求值即可。

5．已知数轴上A，B两点对应的有理数分别是 ，15，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发相向而行，甲的速度是3个单位/秒，乙的速度是6个单位/秒

（1）当乙到达A处时，求甲所在位置对应的数；

（2）当电子蚂蚁运行 秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是多少？（用含 的式子表示）

（3）当电子蚂蚁运行 （ ）秒后，甲，乙相距多少个单位？（用含 的式子表示）

【答案】 （1）解：乙到达A处时所用的时间是 （秒），

此时甲移动了 个单位，

所以甲所在位置对应的数是

（2）解：∵甲的速度是3个单位/秒，乙的速度是6个单位/秒，

∴移动 秒后，甲所在位置对应的数是： ，

乙所在位置对应的数是

（3）解：由（2）知，运行 秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是

，

，

当 时， ， ，

所以，运行 （ ）秒后，甲，乙间的距离是：

个单位

【解析】【分析】（1）根据有理数的减法算出AB的长度，再根据路程除以速度等于时间算出乙到达A处时所用的时间，接着利用速度乘以时间算出甲移动的距离，用甲移动的距离减去其离开原点的距离即可算出其即可得出答案；

（2）根据移动的方向，用甲移动的距离减去其距离原点的距离即可得出移动 秒后，甲所在位置对应的数 ；用乙距离原点的距离减去其移动的距离即可得出移动 秒后，乙所在位置对应的数 ；

（3） 由（2）知，运行 秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是 ， ， 当

时 甲已经移动到原点右边了，乙也移动到原点左边了，即 ，

， 根据两点间的距离公式即可算出它们之间的距离.