重庆市南开中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 含解析

2015-2016学年重庆市南开中学高一(上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）

1．下列说法正确的是( )

A．﹣1∈N B．∈Q C．π∉R D．∅⊆Z

2．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5},B={x∈R｜x≥2}，如图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A．｛1｝ B．｛0，1} C．｛1，2｝ D．{0，1，2｝

3．给定映射f：（x，y）→(x+2y，2x﹣y），在映射f下(3,1)的原象为（ )

A．(1,3) B．(3,1） C．（1，1） D．

4．设a，b∈R，则“a+b＞2”是“a＞1且b＞1"的（ )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

5．已知函数y=，其定义域为（ ）

A．（﹣∞，1］ B．（﹣∞,2] C．（﹣∞,﹣2)∪（﹣2,1] D．［1，2)∪（2，+∞）

6．已知函数f(x+1）=3x+1，则f（x）的解析式为( )

A．f(x）=3﹣2x B．f（x)=2﹣3x C．f(x)=3x﹣2 D．f(x）=3x

7．已知y=f（x+1)是R上的偶函数，且f(2）=1,则f（0)=（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2

8．函数y=的单调递增区间是（ )

A．(﹣∞，1） B．（﹣2，1） C．（1,4） D．（1，+∞）

9．已知奇函数f（x）在（0，+∞)上的图象如图所示，则不等式的解集为（

)

A．(﹣3，﹣1）∪（0，1)∪（1，3） B．(﹣3，﹣1）∪（0，1）∪（3，+∞）

C．(﹣∞,﹣3）∪（﹣1，0）∪(3，+∞） D．(﹣∞,﹣3）∪（﹣1,0）∪（0，1）

10．已知函数f（x）=x2﹣2x,g（x)=ax+2(a＞0)，若对任意x1∈R,都存在x2∈［﹣2，+∞）,使得f（x1)＞g（x2），则实数a的取值范围是（ ）

A． B．（0，+∞) C． D．

11．已知集合A=｛x｜x2﹣2x﹣3＞0｝，B=｛x|ax2+bx+c≤0，a，b，c∈R，ac≠0｝，若A∩B=（3，4]，A∪B=R，则的最小值是( )

A．3 B． C．1 D．

12．设集合A={x｜1≤x≤6，x∈N}，对于A的每个非空子集,定义其“交替和"如下:把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{1，2，5}的“交替和”是5﹣2+1=4,{6，3｝的“交替和"就是6﹣3=3，｛3｝的“交替和”就是3）．则集合A的所有这些“交替和”的总和为( ） A．128 B．192 C．224 D．256

二、填空题：（本大题共4个小题,每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）

13．设函数f(x）=，则f（2018）=

．

14．计算: = ．

15．函数f（x）=2x﹣的值域为 ．

16．若函数f（x)=｜｜﹣a的图象与x轴恰有四个不同的交点，则实数a的取值范围为 ．

三、解答题：(本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）

17．已知集合A=，集合B=｛x|｜2x﹣1｜＜3}．

（1）分别求集合A、B；

（2）求(∁RA）∩B．

18．已知函数f(x)的定义域为（0，4）,函数g（x)=的定义域为集合A,集合B={x|a＜x＜2a﹣1}，若A∩B=B，求实数a的取值范围．

19．已知函数f（x）=．

(1）求函数f（x）在区间[0，2］上的最值； （2）若关于x的方程（x+1)f（x）﹣ax=0在区间（1,4)内有两个不等实根，求实数a的取值范围．

20．已知二次函数f（x）的图象过点(0，4)，对任意x满足f（3﹣x)=f（x），且有最小值．

(Ⅰ)求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x在[0,1］上的最小值g（t）．

21．已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f(x）+f（y）,当x＞0时，f(x)＜0,且f(1）=﹣2．

（Ⅰ）判断f(x）的奇偶性；

(Ⅱ）求f（x）在区间［﹣2，2］上的最大值；

（Ⅲ）若a≥0，解关于x的不等式f(ax2）﹣2f（x）＜f（ax）+4．

22．对于函数y=f（x）与常数a，b,若f（2x)=af（x）+b恒成立，则称(a，b）为函数f(x）的一个“P数对";设函数f（x）的定义域为R+，且f(1）=3．

（Ⅰ）若(a，b)是f(x）的一个“P数对”,且f（2）=6，f（4）=9，求常数a，b的值；

（Ⅱ)若（﹣2，0)是f（x)的一个“P数对”，且当x∈[1,2)时f（x)=k﹣|2x﹣3｜，求k的值及f（x)在区间［1，2n）（n∈N＊)上的最大值与最小值．

2015—2016学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分,每小题只有一个选项符合要求）

1．下列说法正确的是（ )

A．﹣1∈N B．∈Q C．π∉R D．∅⊆Z

【考点】元素与集合关系的判断．

【专题】应用题；集合思想；分析法；集合．

【分析】根据常见集合和空集即可判断．

【解答】解：N为自然数集,Q为有理数集，R为实数集，Z为整数集，

所以：A,B，C错误，

因为空集是任何非空集合的子集,故D正确，

故选：D．

【点评】本题考查了常见的基本集合和空集的问题，属于基础题．

2．已知全集U=R，集合A={1，2，3,4，5｝,B=｛x∈R|x≥2｝，如图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A．{1｝ B．｛0，1｝ C．{1，2｝ D．{0，1，2}

【考点】Venn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算．

【专题】计算题．

【分析】先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合,再结合已知条件即可求解．

【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中,但不在集合B中．

又A={1，2，3,4，5｝,B={x∈R|x≥2｝，

则右图中阴影部分表示的集合是：{1}． 故选A．

【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．

3．给定映射f：(x,y）→（x+2y,2x﹣y），在映射f下（3，1）的原象为( ）

A．（1，3) B．（3，1） C．（1，1） D．

【考点】映射．

【专题】计算题．

【分析】由已知中:（x，y)在映射f的作用下的象是（x+2y，2x﹣y），设（3，1）的原象（a，b）,根据已知中映射的对应法则,我们可以构造一个关于a,b的方程组，解方程组即可求出答案．

【解答】解：∵(x,y）在映射f的作用下的象是（x+2y,2x﹣y）

设（3，1）的原象（a,b）

则 a+2b=3,2a﹣b=1

故a=1，b=1

故（3,1）的原象为（1，1)

故选C．

【点评】本题考查的知识点是映射,其中根据已知中映射的对应法则，设出原象的坐标，并构造出相应的方程（组)是解答本题的关键．

4．设a，b∈R，则“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的( ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】简易逻辑．

【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．

【解答】解：若a＞1且b＞1时，a+b＞2成立．

若a=0，b=3,满足a+b＞1，但a＞1且b＞1不成立，

∴“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的必要不充分条件． 故选：B

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的性质的判断，比较基础．

5．已知函数y=，其定义域为（ ）

A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2］ C．（﹣∞,﹣2)∪（﹣2，1] D．[1，2)∪（2，+∞）

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】根据二次个数的性质且分母不为0,求出函数的定义域即可．

【解答】解：由题意得：

,

解得：x≤1且x≠﹣2，

故选：C．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，是一道基础题．

6．已知函数f（x+1）=3x+1，则f(x)的解析式为（ ）

A．f（x)=3﹣2x B．f（x）=2﹣3x C．f（x）=3x﹣2 D．f（x）=3x

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【专题】函数思想；综合法;函数的性质及应用．

【分析】将f（x+1）的解析式变成f(x+1）=3（x+1）﹣2，这样便可得出f（x）的解析式．

【解答】解：f（x+1)=3x+1=3（x+1）﹣2；

∴f（x）=3x﹣2．

故选C．

【点评】考查函数解析式的概念，将f［g（x)]中的x变成g（x）从而求f（x）解析式的方法，还可用换元法求解析式．

7．已知y=f（x+1）是R上的偶函数，且f(2）=1，则f（0）=（ )

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【考点】函数奇偶性的性质．