2018-2019学年重庆市南开中学高一(上)期中数学试卷(解析版)

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2018-2019学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设集合A={-1，1，2}，集合B={x|x∈A且2-x∉A}，则B=（ ）

A. {−1} B. {2} C. {−1,2} D. {1,2}

2. 函数y= 𝑥(3−𝑥)+1 𝑥−1的定义域为（ ）

A. [0,3] B. [1,3] C. [3,+∞] D. (1,3]

3. 下列各组的两个函数为相等函数的是（ ）

A. 𝑓(𝑥)= 𝑥−1 𝑥+1，𝑔(𝑥)= (𝑥−1)(𝑥+1)

B. 𝑓(𝑥)=( 2𝑥−5)2，𝑔(𝑥)=2𝑥−5

C. 𝑓(𝑥)=1−𝑥𝑥2+1，𝑔(𝑥)=1+𝑥𝑥2+1

D. 𝑓(𝑥)=( 𝑥)4𝑥，𝑔(𝑥)=(𝑡 𝑡)2

4. 已知函数f（12x-1）=2x-1，且f（a）=5，则a=（

）

A. −12 B. 12 C. 2 D. 1

5. 函数y=3−𝑥2𝑥+1的图象为（

）

A.

B.

C. D.

6. 已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4-x+x，则f（-12）=（ ）

A. −1 B. 0 C. 1 D. 32

7. 函数f（x）=2x-3 𝑥+1，x∈（-34，3）的值域为（ ）

A. [−2,0) B. (−3,0) C. [−258,0) D. [−278,0)

8. 已知f（x）是奇函数且在R上的单调递减，若方程f（x2+1）+f（m-x）=0只有一个实数解，则实数m的值是（

）

A. −78 B. −34 C. 14 D. 18

9. 已知开口向上的二次函数f（x）对任意x∈R都满足f（3-x）=f（x），若f（x）在区间（a，2a-1）上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）

A. (−∞,54] B. (1,54] C. [−32,+∞) D. (−∞,2] 第2页，共15页 10. 已知f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，若f（x）对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都满足𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＞0，则不等式f（x+1）-f（2x-1）＜0的解集为（ ）

A. (0,2) B. (−2,+∞)

C. (−∞,0)∪(2,+∞) D. (−∞,−2)

11. 已知函数f（x）=2x2+（4-m）x+4-m，g（x）=mx若存在实数x，使得f（x）与g（x）均不是正数，则实数m的取值范围是（ ）

A. 𝑚≥4 B. −2≤𝑚≤4 C. 𝑚≥2 D. −3≤𝑚≤−1

12. 已知函数f（x）= 𝑥2−𝑥,𝑥<0−𝑥2+𝑥,𝑥≥0，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）-b2＜0恰有一个整数解，则实数a的最大值为（ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知f（x）= −2𝑥，𝑥≥01𝑥，𝑥＜0，则f（f（12））=______

14. 函数f（x）=x|x-2|的单调减区间为______．

15. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（-2）=0，若f（x）在（0，+∞）单调递减，则不等式（x+1）f（x-1）＞0的解集为______．

16. 已知函数f（x）对任意的实数x，y都满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（1）=12，则f（2）+f（-2）的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知集合A={x||x-1|≤2}，B={x|𝑥−1𝑥+3＞0}，C={x|2m-1≤x≤m+1}，其中m∈R．

（1）设全集为R，求A∩（∁RB）；

（2）若A∪B∪C=R，求实数m的取值范围．

18. （1）计算：1 2−1+（3-2 2）0-（94）-0.5+4( 2−𝜋)4．

（2）设a＞0，化简：3𝑎4 𝑎−3

𝑎43𝑎4；

（3）若x12+x−12= 6，求𝑥+𝑥−1−1𝑥2+𝑥−2−2的值．

第3页，共15页 19. 已知函数f（x）=𝑎𝑥+𝑏𝑥2+1是定义在[-2，2]上的奇函数，且f（12）=45．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求函数y=f（x）+4𝑥2+1的值域．

20. 已知集合A={x|x2+（2a-2）x-3a+4=0，a∈R}，B={x|x2-3x+2=0}，C={x|x2+x-6＜0}．

（1）若A∩B≠∅，求实数a的取值集合；

（2）若A⊆C，求实数a的取值范围．

21. 定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y）对所有的正数x、y都成立，f（2）=-1且当x＞1，f（x）＜0．

（1）求f（1）的值

（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性

（3）若关于x的不等式f（kx）-f（x2-kx+1）≥1在（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围

22. 已知a≥3，函数F（x）=min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}，其中min（p，q）= 𝑞,𝑝>𝑞𝑝,𝑝≤𝑞

（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围

（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）

（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）

第4页，共15页 答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：集合B={x|x∈A且2-x∉A}，集合A={-1，1，2}，

当x=-1时，可得2-（-1）=3∉A；

当x=1时，可得2-1=1∈A；

当x=2时，可得2-2=0∉A；

∴B={-1，2}；

故选：C．

根据元素与集合的关系进行判断

本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．

2.【答案】D

【解析】

解：由题意得：，

解得：1＜x≤3，

故选：D．

根据二次函数的性质得到函数的定义域即可．

本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．

3.【答案】D

【解析】

解：A.的定义域为{x|x≥1}，的定义域为{x|x≤-1，或x≥1}，

定义域不同，两函数不相等；

B.的定义域为，g（x）=2x-5的定义域为R，定义域不同，不相等；

C.，解析式不同，不相等；

D.的定义域为（0，+∞），的定义域为（0，+∞），

定义域和解析式都相同，相等．

故选：D． 第5页，共15页 通过求函数的定义域，可看出选项A，B两选项函数的定义域不同，两函数不相等，而选项C的两函数解析式不同，也不相等，只能选D．

考查函数的定义，判断两函数相等的方法：看定义域和解析式是否都相同．

4.【答案】B

【解析】

解：根据题意，函数f（x-1）=2x-1，

令t=x-1，则x=2（t+1），

则f（t）=4（t+1）-1=4t+3，

若f（a）=5，即4a+3=5，解可得a=；

故选：B．

根据题意，先由换元法求出函数的解析式，结合函数的解析式可得若f（a）=5，即4a+3=5，解可得a的值，即可得答案．

本题考查函数的解析式的计算，注意先求出函数的解析式，属于基础题．

5.【答案】B

【解析】

解：函数y===+；

可得x，

∵≠0，

∴y

结合反比例函数的图象，可得x时，函数图象单调性递减；

故选：B．

分离常数，结合反比例函数的图象可得答案；

本题考查了函数图象变换，是基础题．

6.【答案】A

【解析】 第6页，共15页 解：根据题意，当x＞0时，f（x）=4-x+x，

则f（）=+=1，

又由函数为奇函数，

则f（-）=-f（）=-1；

故选：A．

根据题意，由函数的解析式可得f（）的值，又由函数的奇偶性可得f（-）=-f（），进而可得答案．

本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数的求值，属于基础题．

7.【答案】C

【解析】

解：令；

∵；

∴；

∴x=t2-1；

∴；

∴时，f（x）取最小值；t=2时，f（x）取最大值0；

∴f（x）的值域为：．

故选：C．

可令，根据x的范围，可求出，并求出x=t2-1，原函数变成y=2（t2-1）-3t，配方即可求出该函数的最值，从而得出f（x）的值域．

考查函数值域的概念及求法，换元法求函数的值域，不等式的性质，以及配方求二次函数值域的方法．

8.【答案】B

【解析】

解：∵f（x）是奇函数，

∴由f（x2+1）+f（m-x）=0，得f（x2+1）=-f（m-x）=f（x-m），

又f（x）在R上的单调递减， 第7页，共15页 ∴x2+1=x-m，即x2-x+m+1=0．

则△=（-1）2-4（m+1）=0，解得m=-．

故选：B．

由已知函数的奇偶性与单调性把方程f（x2+1）+f（m-x）=0只有一个实数解转化为方程x2-x+m+1=0只有一个实数解，再由判别式等于0求得m值．

本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是基础题．

9.【答案】A

【解析】

解：由题意函数的对称轴是x=，图象开口向上，

若f（x）在区间（a，2a-1）上单调递减，

则只需≥2a-1，解得：a≤，

故选：A．

求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．

本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．

10.【答案】C

【解析】

解：根据题意，f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，

则f（x+1）-f（2x-1）＜0⇒f（|x+1|）＜f（|2x-1|），

若f（x）对仸意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都满足＞0，

则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，

则f（|x+1|）＜f（|2x-1|）⇒|x+1|＜|2x-1|，

变形可得：（x+1）2＜（2x-1）2，

解可得：x＜0或x＞2，

即不等式的解集为（-∞，0）∪（2，+∞）；

故选：C．

根据题意，由函数为偶函数可得f（x+1）-f（2x-1）＜0⇒f（|x+1|）＜f（|2x-1|），进