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u( x, y)0 f1 ( y). ,两边对x积分，
v( x, y)0 f 2 ( x). ,两边对y积分，
v u xy 0, (a) x y
代入第三式
第二章
平面应力问题和平面应变问题
形变与位移的关系
分开变量，
df1 ( y ) df 2 ( x) ( ). dy dx (b)
xy yx .
(c)
第二章
平面应力问题和平面应变问题
对平衡微分方程的说明： σ
σ x yx f x 0. x y
y
说明
(a)
(b)
y
xy x
f y 0.
⑴ 代表A中所有点的平衡条件，
因位（x, y）∈A； ⑵ 适用的条件--连续性，小变形；
思考题 1.试证明微分体绕z轴的平均转动分量是
1 v u ( ). 2 x y
2.当应变为常量时， x a, y b, xy c,
试求出对应的位移分量。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
定义
§2－4
物理方程
物理方程(Physical equations)－－表示（微分 体上）应力和形变之间的物理关系。 即为广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law)：
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
简化为平面应力问题：
（1）两板面上无面力和约束作用，故
σ , τ
z
zx
, τ zy z δ 0
2
由于薄板很薄，应力是连续变化的， 又无z向外力，可认为：
σ , τ
z
zx
, τ zy 0, (在V中)
故只有平面应力 σ x , σ y , xy 存在。
－－表示物体绕原点的刚体转动。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
结论 形变确定，则与形变有关的位移可以 确定，而与形变无关的刚体位移 uo , vo , (Rigid-body displacements)则未定。 －－须通过边界上的约束条件来确
定 uo , vo , 。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
§2-1
平面应力问题和平面应变问题
任何弹性体都是三维物体，所以任何一 个弹性力学问题都是空间问题。弹性力学空 间问题，物体所占区域中每一点处可以定义 3个位移分量、6个应变分量、6 个应力分量, 共15个未知量，都是 f x, y, z 的函数。 弹性力学平面问题共有应力、应变和 位移8个未知函数，且均为 f x, y 。
将得出什么结果？
第二章
平面应力问题和平面应变问题
定义
§2－3
几何方程
刚体位移
几何方程(Geometrical equations)─表 示任一点的微分线段上形变与位移之间 的关系。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
定义
通过点P(x,y)作两正坐标向的微分 线段 PA dx, PB dy, 变形前位臵： P, A, B, 变形后位臵： P, A, B －－各点的位臵如图。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
假定
应用基本假定：⑴连续性；⑵小变形。
当 很小时，
sin cos 1 tan .
3
3!
2
, 1,
2!
第二章
平面应力问题和平面应变问题
假定
由位移求形变：
PA 线应变 PA 转角
同理，
u (u dx) u u x x . dx x
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平衡条件
F 0,
x
σ x (σ x d x)d y1 σ x d y1 x yx ( yx d y )d x1 yx d x1 f x d xd y10. y
其中一阶微量抵消，并除以 d x d y 得：
σ x yx f x 0. x y (a)
所以弹力的平衡条件是严格的，并 且是精确的。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
V
h
dx
理力（ V ）
材力（
V hd xb ）
dx dy
弹力（ dV d xd y1 ）
第二章
平面应力问题和平面应变问题
思考题 1.试检查，同一方程中的各项，其量纲
必然相同（可用来检验方程的正确性）。
2.将条件 Mc0 ,改为对某一角点的 M 0 ，将得出什么结果？ 3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，
Fy0 ，同理可得：
σ y y xy x f y 0. (b)
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平衡条件
Mc0, 得
xy yx 1 1 xy d x yx d y, 2 x 2 y
当 d x, d y 0 时，得切应力互等定理,
⑶ 应力不能直接求出； ⑷ 对两类平面问题的方程相同。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
说明
⑸比较:
理论力学考虑整体 V 的平衡（只决定整
体的运动状态）。
材料力学考虑有限体 V 的平衡（近似）。
弹性力学考虑微分体 dV 的平衡（精确）。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
说明
当 dV 均平衡时，保证 V ， V 平衡； 反之则不然。
因为几何方程第三式对任意的（x，y）
均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左，
右均应=常数 ，由此解出 f1 , f 2 。可得
u uo y ,
v vo x .
(c)
第二章
平面应力问题和平面应变问题
形变与位移的关系
物理意义：
u 0, v 0 －－表示x，y向的刚体平移，
平面应力
如：
弧形闸门闸墩
计算简图：
F
深梁
计算简图：
fy
fy
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
例题1：试分析AB薄层中的应力状态。
因表面无任何面力，
即：f
x
0, f
y
0
B
故表面上，有：
σ ,
z
z
zx
, zy 0.
, zy 0.
A
在近表面很薄一层内：
σ ,
zx
故接近平面应力问题。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
（2）由于截面形状、体力、面力及约束沿
z 向均不变，故应力、应变和位移均为
f x, y 。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
所以归纳为平面应变问题： a.应变中只有平面应变分量 ε x , ε y , γ xy 存在； b.且仅为 f x, y 。
第一节
平面应力问题和平面应变问题
第二节
第三节 第四节 第五节 第六节
平衡微分方程
几何方程 物理方程 平面问题中一点的应力状态 边界条件 刚体位移
第二章
平面应力问题和平面应变问题
第七节 第八节 第九节 第十节
圣维南原理及其应用 按位移求解平面问题 按应力求解平面问题 常应力情况下的简化 相容方程 应力函数
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向 不变，故应力 σ x , σ y , xy 仅为 f x, y 。 所以归纳为平面应力问题： a.应力中只有平面应力 σ x , σ y , xy 存在； b.且仅为 f x, y 。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
例如： 挡土墙 o 隧道 o x x
yHale Waihona Puke y第二章平面应力问题和平面应变问题
平面应变
例题2：试分析薄板中的应变状态。
z 0, 本题中： zx , zy 0
zx , zy 0.
故只有 ε x , ε y , γ xy ，
ox
z
且仅为 f x, y 。
胡克其他科学贡献很多。他用显微镜观察软木结构中的“微孔”或“
细胞(cell)”（1665年发表），这是生物学中“细胞”一词的起源。他在 1672年发现光的衍射现象，并采用光波理论解释这种现象。1666年伦敦
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
第一种：平面应力问题 (Plane stress problem) 条件是：
（1）等厚度的薄板；
坐标系
（2）体力作用于体内，平行于板的中面， 沿板厚不变； （3）面力作用于板边，平行于板的中面， 沿板厚不变； （4）约束作用于板边，平行于板的中面， 沿板厚不变。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
z
第二种：平面应变问题 (Plane strain problem) 条件是：
（1）很长的常截面柱体；
（2）体力作用于体内， （3）面力作用于柱面， 平行于横截面，沿柱体长度方向不变； （4）约束作用于柱面， 平行于横截面，沿柱体长度方向不变。
y
x
平行于横截面，沿柱体长度方向不变；
1 x (σ x σ y σ z ), E 1 y (σ y σ z σ x ), E 1 z (σ z σ x σ y ), E 1 yz , G 1 zx , G 1 xy . G
坐标系
第二章
平面应力问题和平面应变问题
