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2011年考研数学二真题及答案解析

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2011

数学(二)试题 第1页 (共13页)2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一

个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)

(1) 已知当时，与是等价无穷小，则( )0x

3sinsin3fxxxkcx

(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．1,4kc1,4kc3,4kc3,4kc

(2) 已知在处可导，且，则=( )

fx0x

00f

23

3

02

lim

xxfxfx

x



(A) ． (B) ． (C) ． (D) 0．

20f

0f

0f

(3) 函数的驻点个数为( )()ln(1)(2)(3)fxxxx

(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3．

(4) 微分方程的特解形式为( ) 2(0)xxyyee

(A) ． (B) ． ()xxaee

()xxaxee

(C) ． (D) ．()xxxaebe

2()xxxaebe

(5) 设函数均有二阶连续导数，满足且(),()fxgx(0)0,(0)0,fg(0)(0)0fg

，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是( ) ()()zfxgy(0,0)

(A) (B) (0)0,(0)0.fg(0)0,(0)0.fg

(C) (D) (0)0,(0)0.fg(0)0,(0)0.fg

(6) 设，，，则的大4

0lnsinIxdx



4

0lncotJxdx



4

0lncosKxdx

,,IJK

小关系是( )

(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．IJKIKJJIKKJI

(7) 设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3AABB

行得单位矩阵，记，，则( )

1100

110

001P







2100

001

010P







A

(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．

12PP1

12PP

21PP1

21PP

(8) 设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组

1234(,,,)A*AA(1,0,1,0)T

2011

数学(二)试题 第2页 (共13页)的一个基础解系，则的基础解系可为( ) 0Ax*0Ax

(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．

13,

12,

123,,

234,,

二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．)

(9) ．1

012

lim()

2x

x

x

(10) 微分方程满足条件的解为．'cosxyyex

(0)0y

(11) 曲线的弧长．

0tan(0)

4x

ytdtx

s

(12) 设函数则．,0,

()0,

0,0,xex

fx

x





()xfxdx



(13) 设平面区域由直线圆及轴围成，则二重积分D,yx222xyyy

Dxyd

．

(14) 二次型，则的正惯性指数222

123123121323(,,)3222fxxxxxxxxxxxxf

为 ．

三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．)

(15) (本题满分10分)

已知函数，设试求的取值范围．2

0ln(1)

()x

atdt

Fx

x



0lim()lim()0,

xxFxFx

a

(16) (本题满分11分)

设函数由参数方程确定，求的极值和曲线()yyx3

311

,

33

11

,

33xtt

ytt





()yyx

的凹凸区间及拐点．()yyx

(17) (本题满分9分)

设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在(,())zfxyygxf()gx

处取得极值，求．1x(1)1g2

1

1x

yz

xy





(18) (本题满分10分)

设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线()yx:()lyyxyx

2011

数学(二)试题 第3页 (共13页)1

2

1

1112

Oy

x222xyy

221xy在点处切线的倾角，若求的表达式．l(,)xy,ddy

dxdx

()yx

(19) (本题满分10分)

(I)证明：对任意的正整数n，都有 成立．111

ln(1)

1nnn

(II)设，证明数列收敛． 11

1ln(1,2,)

2nann

n

na

(20) (本题满分11分)

一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由y

与连接而成的．221

2()

2xyyy221

1()

2xyy

(I) 求容器的容积；

(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m

，重力加速度为，水的密度为)．2/gms3310/kgm

图１

(21) (本题满分11分)

已知函数具有二阶连续偏导数，且，，(,)fxy(1,)0fy(,1)0fx

，其中，计算二重积分(,)

Dfxydxdya

(,)|01,01Dxyxy

．(,)

xy

DIxyfxydxdy

(22) (本题满分11分)

设向量组，不能由向量组，

123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)TTT

1(1,1,1)T

，线性表示．

2(1,2,3)T

3(3,4,)Ta

(I) 求的值；a

(II) 将由线性表示．

123,,

123,,

(23) (本题满分11分)

为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且．AA

2rA1111

0000

1111A









2011

数学(二)试题 第4页 (共13页)(I) 求的特征值与特征向量；A

(II) 求矩阵．A

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一

个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)

(1)【答案】(C)．

【解析】因为

03sinsin3

lim

k

xxx

cx



03sinsincos2cossin2

lim

k

xxxxxx

cx





2

0sin3cos22cos

lim

k

xxxx

cx



2

1

03cos22cos

lim

k

xxx

cx





22

1

032cos12cos

lim

k

xxx

cx



22

11

0044cos4sin

limlim

kk

xxxx

cxcx





．

3

04

lim1

k

xcx



所以，故答案选(C)．4,3ck

(2)【答案】(B)．

【解析】 

23

3

02

lim

xxfxfx

x



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2011年考研数学二真题及答案解析

2011年考研数学二真题及答案解析

2011年考研数学二真题及答案解析

2011年考研数学二真题及答案解析

一、选择题部分

1. 如图，矩形OABC中，AB=4，BC=3，M为BC的中点，点D，E分别在AO，CO上，满足AD=CE，连接DE、BM相交于F。则DE/AB的值等于（ ）。

A．1/3 B．1/4 C．1/2 D．2/3

答案：A

解析：根据题意，首先连接AM，然后用面积比解法。

设矩形OABC的面积为S，则S=AB×BC=12。

由于AD=CE，所以AM=CM，即BM=1.5，MF=BM/2=0.75。

在ΔABF中，AF是BM的中线，所以AF=BM/2=0.75。

设AC与DE交点为G，则AG=(BC+DE)/2=3+DE/2。

在ΔEBG中，EF是AM的中线，所以EF=AM/2=1.25。

因此，S[DEFG]/S[OABC]=[1-(MF/BC)]×[1-(EF/AB)]=2/3。

所以DE/AB=[S[DEFG]/S[OABC]]1/2=1/3。

2. 若（cosx+sinx）tanx=3，则tan3x的值为（ ）。

A．1/2 B．1/3 C．1 D．3

答案：D

解析：将（cosx+sinx）tanx=3变形为cosx/(sinx+1/cosx)=3/sin^2(x)。

设y=sin(x)，则cos(x)=√(1-y^2)，所以上式化为(y+1/√(1-y^2))√(1-y^2)=3/y^2。 整理得y^5+3y^4+3y^3-8=0。

由于y=0不是方程的解，所以可将其化为(y+1)^3=y^2+3y+8/3。

又因为y^2+3y+8/3=(y+3/2)^2+7/12>0，所以y只可能为y=-1或y=-1/2。

当y=-1时，得cos(x)=0，sin(x)=-1，此时tan3x不存在。

当y=-1/2时，得cos(x)=√(1-1/4)=√3/2，sin(x)=-1/2。

考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析)

考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析)

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编7 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． (2011年)函数f(χ)＝ln｜(χ－1)(χ－2)(χ－3)｜的驻点个数为

【 】

A．0．

B．1．

C．2．

D．3．

正确答案：C

解析： 令3χ2－12χ＋11＝0 由于△＝122－12χ＋11＞0，则该方程有两个实根，f(χ)有两个驻点． 知识模块：一元函数微分学

2． (2012年)曲线y＝渐近线的条数为 【 】

A．0．

B．1．

C．2．

D．3．

正确答案：C

解析：由于＝1，则该曲线有水平渐近线y＝1． 又＝∞，则χ＝1为该曲线的一条垂直渐近线，故应选

C． 知识模块：一元函数微分学

3． (2012年)设函数f(χ)＝(eχ－1)(e2χ－2)…(enχ－n)，其中，n为正整数，则f′(0)＝ 【 】

A．(－1)n-1(n－1)!．

B．(－1)n(n－1)!．

C．(－1)n-1n!．

D．(－1)nn!．

正确答案：A

解析：记g(χ)＝(e2χ－2)(e3χ－3)…(enχ－n)，则 f(χ)＝(eχ－1)g(χ)

f′(χ)＝eχg(χ)＋(eχ－1)g′(χ) 则f(0)＝g(0)＝(－1)(－2)…(－(n－1))＝(－1)n-1(n－1)! 故应选A 知识模块：一元函数微分学

4． (2013年)设函数y＝f(χ)由方程cos(χy)＋lny－χ＝1确定，则＝

【 】

A．2

B．1

C．－1

D．－2

正确答案：A

解析：由方程cos(χy)＋lny－χ＝1知，当χ＝0时，y＝1，即f(0)＝1，以上方程两端对χ求导得 －sin(χy)(y＋χy′)＋－1＝0 将χ＝0，y＝1代入上式得 y′｜χ＝0＝1，即f′(0)＝1 知识模块：一元函数微分学

考研数学二(函数、极限与连续)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)

考研数学二(函数、极限与连续)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)

考研数学二（函数、极限与连续）历年真题试卷汇编3 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． [2011年] 已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )．

A．k=1，c=4

B．k=1，c=一4

C．k=3，c=4

D．k=3，c=一4

正确答案：C

解析：利用等价无穷小定义、等价无穷小代换及泰勒展开式求之．解一 由题设有=1．即=1.因而k=3．当k=3时，由上式得到27／(6c)一1／(2c)=1，即c=4．仅(C)入选.解二当k一2=1即k=3时，=1，即c=4．仅(C)入选． 知识模块：函数、极限与连续

2． [2014年] 当x→0+时，若lnα(1+2x)，(1一cosx)1/α均是比x高阶的无穷小，则α的取值范围是( )．

A．(2，+∞)

B．(1，2)

C．(1／2，1)

D．(0，1／2)

正确答案：B

解析： 由lnα(1+2x)，(1一cosx)1/α均是比x高阶的无穷小，分别求出α的取值范围即可． a＞0时，显然有lnα(1+2x)～(2x)α=2αxα(x→0-)，(1一cosx)1/α～(x→0+)因它们均是比x高阶的无穷小，由分别得到α一1＞0，一l＞0，即1＜α＜2，因而α的取值范围为(1，2)．仅(B)入选． 知识模块：函数、极限与连续

3． [2000年] 若=0，则为( )．

A．0

B．6

C．36

D．∞

正确答案：C

解析： 消去未知函数f(x)，或求出其表达式，代入极限式求之．解一或=36．解

二 用带皮亚诺型余项的泰勒公式求之．题设相当于sin6x+xf(x)=o(x3)，将sin6x=6x一(6x)3／3!+o(x3)代入，得到 6+f(x)=36x2+o(x2)， [6+f(x)]／x2=36+o(1)，于是{[6+f(x)]／x2}=36．仅(C)入选． 知识模块：函数、极限与连续

2014考研英语二真题及答案解析

2014考研英语二真题及答案解析

1 2014年全国硕士研究生入学考试英语（二）试题

Section I Use of English

Directions：

Read the following text． Choose the best word（s） for each numbered blank and mark A，

B， C or D on ANSWER SHEET． （10 points）

Thinner isn‟t always better． A number of studies have __1___ that normal－weight people

are in fact at higher risk of some diseases compared to those who are overweight． And there are

health conditions for which being overweight is actually ___2___． For example， heavier women

are less likely to develop calcium deficiency than thin women． ___3___ among the elderly，

being somewhat overweight is often an ___4___ of good health．

Of even greater ___5___ is the fact that obesity turns out to be very difficult to define． It is

often defined ___6___ body mass index， or BMI． BMI ___7__ body mass divided by the square