2010年考研数学二真题及答案

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题参考答案

一、选择题

(1)【答案】(C).【解析】



000011111

limlim11lim1limxx

xxxx

xxxxeaxe

aeeaxeaxe

xxxxxx









001

limlim11xx

xxeaxe

a

xx





所以2a

.

(2)【答案】(A)．

【解析】因

12yy

是

0yPxy

的解,故

12120yyPxyy



,所以



1122()0yPxyypxy



,

而由已知

1122,yPxyqxyPxyqx



,所以



0qx

,①

又由于一阶次微分方程

ypxyqx

是非齐的,由此可知

0qx

,所以

0

．

由于

12yy

是非齐次微分方程

yPxyqx

的解,所以



1212yyPxyyqx



,

整理得

1122yPxyyPxyqx



,

即

qxqx

,由

0qx

可知1

,②由①②求解得1

2

,故应选(A)．

(3)【答案】(B).

【解析】



()()()fgxfgxgx



,





2

()()()()()()()fgxfgxgxfgxgxfgxgx



由于

0()gxa

是()gx

的极值,所以

0()0gx

.所以



0000()()()()fgxfgxgxfagx



由于

0()0gx

,要使

()0fgx



,必须有()0fa

,故答案为B.

(4)【答案】(C).【解析】因为10

10()1

limlimlim

()10x

x

xxxhxe

e

gxx



考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编21

(总分150,考试时间180分钟)

选择题

1. 1.[2014年] 设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )．

A. 当f′(x)≥0时，f(x)≥g(x)

B. 当f′(x)≥0时，f(x)≤g(x)

C. 当f″(x)≥0时，f(x)≥g(x)

D. 当f″(x)≥0时，f(x)≤g(x)

2. 2.[2018年] 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则( )．

A. 当f′(x)＜0时，f()＜0

B. 当f″(x)＜0时，f()＜0

C. 当f′(x)＞0时，f()＜0

D. 当f″(x)＞0时，f()＜0

3. 3.[2005年] 设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是( )．

A. (1／8)ln2+3

B. (一1／8)ln2+3

C. 一8ln2+3

D. 8ln2+3

4. 4.[2010年] 曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=( )．

A. 4e B. 3e

C. 2e D. e

5. 5.[2016年] 设函数fi(x)(i=l，2)具有二阶连续导数，且f″i(x0)＜0(i=1，2)，

若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有( )．

A. f1(x)≤f2(x)≤g(x)

B. f2(x)≤f1(x)≤g(x)

C. f1(x)≤g(x)≤f2(x)

D. f2(x)≤g(x)≤f1(x)

6. 6.[2014年] 曲线上对应于t=l的点处的曲率半径是( )．

A. B.

C. D.

]x

2010年考研数学一真题

一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)

⑴极限皿—［金而］_

(A) l (B)e

(C)ea~b (D)eb~a

【考点】Co

【解析】 【方法一】

这是一个“I00”型极限

Um [—— lx

(x-a)(x+b) (a-b)x+ab j (a-D)x+ad J(x- a)(x+ b)X

【方法二】

原式="Hl 評”(x-a)("b)

XT 8

rfii/im xln ----- - ----- = lim x/n(l + xt8 (x-a)(x+&) xt8 (x-a)(x+&)

【方法三】

对于“18”型极限可利用基本结论: 若Mm a(x) = 0, lim 0(x) = 0,且"m (a-b)x^ab

(―a)(+)

lim x •

*T8 (a-b)x+ab (x-a)(x+b) (等价无穷小代换)

x2

DM) ]x

a(x) 0(x) = A

由于"mis Q(x)0(x) = Um

曽；驚；；)• x

XT8 (x-a)(x+fc)

■ • (a-b)x2^abx f

=恐乔亦Li 则叫g[高而F =宀

【方法四】

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学一函数、极限.连续一无穷小量的性质及无穷

小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限

(A)x

(C)-x

【答案】Bo

【解析】

空=_鱼=_只(-召)+ E(一刼=Eg+f茫 缺 F； 磅 叫 9

dz

°y

综上所述，本题正确答案是(B)。 所以唏+y辭警現F, yfi -珈 X2

(x-a)(x+b). ：(x-a)(x+b)] -X

X2

=塑a 一 沪•慟(i+「宀 ea'b

(2)设函数z = z(x,y)由方程 F(gm = 0确定，其中F为可微函数，且

f”2工°，则燈+琲=

(D)-z

因为

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考

2010年 • 第1页 2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学试题详解及评分参考

数 学（一）

一．选择题：1 - 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个

是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.

(1)极限2

lim()

()()x

xx

xaxb

®¥=

-+

(A)1

(B)e

(C)abe-

(D)bae-

【答】 应选

(C)

.

【解】 因22lnln()ln()

limln()lim

()()1/x

xxxxxaxb

xaxbx

®¥®¥---+

=

-+

()

()()32

2211

2

=limlim

1

xxabxabx

xxaxb

ab

xxaxb

x®¥®¥--

-+

-+

==-

-+

-，所以2

lim()

()()xa

xbx

xaxbe

®¥-

=

-+，故选

(C)

.

(2)设函数(,)zzxy=由方程(,)0yz

F

xx=

确定，其中F

为可微函数，且

20F¢

¹，则

zz

xy

xy¶¶

+=

¶¶

(A)x

(B)z

(C)x-

(D)z-

【答】 应选

(B)

.

【解】 在方程两边分别对x

和对y

求偏导，得

122211

()0yz

FzF

xxxx¶

¢¢

-+-=

¶，

1211

0z

FF

xxy¶

¢¢

+=

¶

于是有

22()zz

xyFzF

xy¶¶

¢¢

+=

¶¶， 即zz

xyz

xy¶¶

+=

¶¶，故选

(B)

.

(3)设,mn

均是正整数，则反常积分2

1

0ln(1)m

nx

dx

x-

ò

的收敛性郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考

2010年 • 第2页 (A)仅与m

的取值有关(B)仅与n

的取值有关

(C)与,mn

的取值都有关(D)与,mn

的取值都无关

【答】 应选

(D)

.

【解】 显然该反常积分有且仅有两个瑕点0,1xx==

，于是需分成两个积分加以考察：

()

()

()

222

1

11

2

1

00

2ln1ln1ln1

mmm

nnnxxx

dxdxdx

xxx---