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2012年考研数学二真题及答案

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1 2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

（1）曲线221xxyx渐近线的条数为（）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

【答案】：（C）

【解析】：221lim1xxxx，所以1x为垂直渐近线

22lim11xxxx，所以1y为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C）。

（2）设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen，其中n为正整数，则'(0)f

（A）1(1)(1)!nn （B）(1)(1)!nn

（C）1(1)!nn （D）(1)!nn

【答案】：（C）

【解析】：''22()(2)()(1)(2)()xxnxxxnxfxeeeneeen

所以'(0)f1(1)!nn，故选（C）。

（3）设0,(1,2,...)nan，1...nnsaa，则数列ns有界是数列na收敛的

(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.

（C）必要非充分条件. （D）即非充分地非必要条件.

【答案】：(B)

【解析】：由于0na，ns是单调递增的，可知当数列ns有界时，ns收敛，也即limnns是存在的，此时有11limlimlimlim0nnnnnnnnnassss，也即na收敛。

反之，na收敛，ns却不一定有界，例如令1na，显然有na收敛，但nsn是无界的。故数列ns有界是数列na收敛的充分非必要条件，选(B)。

（4）设20sinkxkIexdx (k=1,2,3),则有D 2 （A）123III (B) 321III

(C) 231III (D) 213III

【答案】：(D)

【解析】：由于当(,2)x时sin0x，可知22sin0xexdx，也即210II，可知12II。

又由于2223232sinsinsinxxxexdxexdxexdx，对232sinxexdx做变量代换tx得222232222sinsinsinsinttxxexdxetdtetdtexdx，

故22232sinsinxxxexdxeexdx由于当(,2)x时22sin0,0xxxee，可知23sin0xexdx，也即310II，可知31II。

综上所述有213III，故选(D).

（5）设函数(,)fxy可微，且对任意,xy 都 有(,)0fxyx，(,)0fxyy，则使得1122(,)(,)fxyfxy成立的一个充分条件是

(A) 1212,xxyy (B) 1212,xxyy

(C) 1212,xxyy (D) 1212,xxyy

【答案】：(D)

【解析】：(,)0fxyx，(,)0fxyy表示函数(,)fxy关于变量x是单调递增的，关于变量y是单调递减的。因此，当1212,xxyy时，必有1122(,)(,)fxyfxy，故选D

（6）设区域D由曲线,1,2,sinyxxy围成，则)(15dxdyyx

)(2)(2)()(DCBA

【答案】：（D）

【解析】：区域D如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再引入曲线sinyx将区域分为1234,,,DDDD四部分。由于12,DD关于y轴对 3 称，可知在12DD上关于x的奇函数积分为零，故1250DDxydxdy；又由于34,DD关于x轴对称，可知在34DD上关于y的奇函数为零，故3450DDxydxdy。

因此152sin21xDDxydxdydxdydxdy，故选（D）。

（7）设1234123400110,1,1,1cccc其中1234,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）

（A）123,, （B）124,,

（C）134,, （D）234,,

【答案】：（C）

【解析】：由于134113401111,,011011cccc，可知134,,线性相关。故选（C）。

（8）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1112PAP，123,,P，1223,,Q则1QAQ（ ）

（A）121 （B）112

（C）212 （D）221

【答案】：（B）

【解析】：100110001QP，则11100110001QP，

故 4 11100100100110011101101101110100100100120012QAQPAP

故选（B）。

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.

（9）设()yyx是由方程21yxye所确定的隐函数，则220xdydx________。

【答案】：1

【解析】：将0x代入原方程可得0y

方程21yxye两端对x求导，有2ydydyxedxdx，将0x、0y代入可得，所以00xdydx

再次求导得222222yydydydyeedxdxdx，再将0x、0y、00xdydx代入可得2201xdydx。

（10）计算22222111lim12xnnnnn…________。

【答案】：4

【解析】：原式11220111limarctan.141nnidxxnxin

（11）设1lnzfxy,其中函数()fu可微，则2zzxyxy________。

【答案】：0.

【解析】：因为211,zzffxxyy，所以20.zzxyxy

（12）微分方程2(3)0ydxxydy满足初始条件|1xy的解为________。

【答案】：2xy 5 【解析】：21(3)03dxydxxydyyxdyy13dxxydyy为一阶线性微分方程，所以

112133dydyyyxeyedyCydyCy31()yCy

又因为1y时1x，解得0C，故2xy.

（13）曲线2(0)yxxx上曲率为22的点的坐标是________。

【答案】：1,0

【解析】：将21,2yxy’”代入曲率计算公式，有

323/222||22(1)21(21)yKyx

整理有2(21)1x，解得01x或，又0x，所以1x，这时0y，

故该点坐标为1,0

（14）设A为3阶矩阵，3A,*A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则*BA________。

【答案】：27

【解析】：**BABA，其中31*3,9BAAA，可知*27BA。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

已知函数11()sin,xfxxx，记0lim()xafx

（1）求a的值

（2）若当0x时，()fxa是kx的同阶无穷小，求k

【解析】：（1）2000011sinlim()limlimlim1sinsinsinxxxxxxxxfxxxxxx，即1a 6 （2）,当0x时，由11sin()()1sinsinxxfxafxxxxx

又因为，当0x时，sinxx与316x等价，故1()~6fxax，即1k

（16）（16）（本题满分10分）

求222,xyfxyxe的极值。

【解析】：222,xyfxyxe，

先求函数的驻点：令

2222222,10,0xyxxyyfxyxefxyxye，

解得驻点为1,0,1,0.又

222222222222311xyxxxyxyxyyyfxxefyxefxye

对点1,0，有11221111,02,1,00,1,0xxxyyyAfeBfCfe

所以，211110,0ACBA，故,fxy在点1,0处取得极大值121,0fe.

对点1,0，有11222221,02,1,00,1,0xxxyyyAfeBfCfe

所以，222220,0ACBA，故,fxy在点1,0处取得极小值121,0fe.

（17）（本题满分11分）

过点（0，1）点作曲线:lnLyx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB及x轴围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

【解析】：

如图设切点坐标为00,lnAxx，斜率为01x，所以设切线方程为0001lnyxxxx，又因为该切线过(0,1)B，所以20xe，

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2012年考研数学一真题及答案

2012年考研数学一真题及答案

2012年考研数学一真题及答案

2012年考研数学一真题及答案

2012年的考研数学一真题是考生备考过程中非常重要的资料之一。通过对该年真题的分析和解答，考生可以更好地了解考试的难度和出题规律，从而有针对性地进行备考。

一、选择题部分

选择题是考研数学一的必答题部分，也是考生们最容易得分的部分。2012年的数学一选择题主要涉及到了微积分、线性代数和概率统计等内容。

在微积分部分，有一道题目要求求解函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1的最大值和最小值。通过对函数求导并令导数为零，可以求得函数的驻点。进一步分析函数的二阶导数可以确定这些驻点是极大值还是极小值。

在线性代数部分，有一道题目要求判断矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]是否可逆。通过计算矩阵的行列式，可以得到矩阵的秩。如果矩阵的秩等于矩阵的阶数，那么该矩阵是可逆的。

在概率统计部分，有一道题目要求计算某事件的概率。通过使用概率的定义公式，可以计算出事件发生的可能性。

二、解答题部分

解答题是考研数学一的开放性题目部分，也是考生们需要发挥自己数学思维和解题能力的部分。2012年的数学一解答题主要涉及到了微积分、线性代数和概率统计等内容。

在微积分部分，有一道题目要求求解定积分∫[0,1] (x^2 + 1)dx。通过对被积函数进行积分运算，可以得到结果为5/3。 在线性代数部分，有一道题目要求求解线性方程组Ax = b。通过使用矩阵的逆运算，可以得到方程组的解x。

在概率统计部分，有一道题目要求计算某事件的概率。通过使用条件概率和全概率公式，可以计算出事件发生的可能性。

三、备考建议

备考考研数学一需要掌握扎实的数学基础知识和解题技巧。在备考过程中，考生可以通过以下几点来提高备考效果。

首先，要熟悉各个知识点的概念和公式。数学一的考试内容较为广泛，需要考生掌握微积分、线性代数和概率统计等多个学科的知识。熟悉各个知识点的概念和公式，可以帮助考生更好地理解题目和解题思路。

2012年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)

2012年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)

2012年考研（数学三）真题试卷 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 曲线渐近线的条数为( )．

A．0

B．1

C．2

D．3

正确答案：C

2． 设函数f(x)＝(ex－1)(e2x－2)…(enx－n)，其中n为正整数，则fˊ(0)＝( )．

A．(－1)n－1(n－1)!

B．(－1)n(n－1)!

C．(－1)n－1n!

D．(－1)nn!

正确答案：A

3． 设函数f(t)连续，则二次积分

A． 

B． 

C． 

D． 

正确答案：B

4． 已知级数条件收敛，则α的取值范围为( )．

A．0＜α≤1／2

B．1／2＜α≤1

C．1＜α≤3／2

D．3／2＜α＜2

正确答案：D

5． 设其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是( )．

A．α1，α2，α3

B．α1，α2，α4

C．α1，α3，α4

D．α2，α3，α4

正确答案：C

6． 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝( )．

A． 

B． 

C． 

D． 

正确答案：B

7． 设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则P｛X2＋Y2≤1｝＝( )．

A．1／4

B．1／2

C．π／8

D．π／4

正确答案：D

8． 设X1，X2，X3，X4为来自总体N(1，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量服从的分布为( )．

A．N(0，1)

B．t(1)

C．x2(1)

D．F(1，1)

正确答案：B

填空题

9．

正确答案：

10．

正确答案：

11．

正确答案：

数二考研真题及答案

数二考研真题及答案

数二考研真题及答案

数学二是考研数学科目中的一部分，对于很多考生来说是一个相对难度较大的科目。在备考过程中，熟悉和掌握历年真题是非常重要的一步。本文将从数学二考研真题及答案的角度出发，探讨一些备考的技巧和方法。

首先，我们来看一道数学二的选择题真题：

【真题】设函数 $f(x)$ 连续，且 $f(0)=0$，对任意的 $x,y \in [0,1]$，有 $|f(x)-f(y)| \leq |x-y|$，则 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的零点个数最多为（ ）。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】A

这道题考察了函数的连续性和零点个数的关系。通过观察题干中的条件，我们可以发现函数 $f(x)$ 的变化不会超过自变量 $x$ 的变化，即函数的变化率有界。根据零点的定义，当函数在某个点上取值为0时，该点即为函数的零点。由于函数的变化率有界，即函数的变化不会超过自变量的变化，所以函数的零点个数最多为1个。因此，答案选A。

接下来，我们来看一道数学二的填空题真题：

【真题】已知 $f(x)=\int_0^x \frac{e^t}{1+t}dt$，则 $f''(x)=$ \_\_\_\_。

【答案】$\frac{e^x}{1+x}$

这道题考察了函数的求导和积分的运算。首先，我们对 $f(x)$ 进行求导，得到

$f'(x)=\frac{e^x}{1+x}$。然后，再对 $f'(x)$ 进行求导，即可得到 $f''(x)=\frac{e^x}{1+x}$。因此，答案为 $\frac{e^x}{1+x}$。

通过以上两道真题的分析，我们可以发现备考数学二的关键在于对基础知识的掌握和理解。在备考过程中，可以通过刷题来提高对知识点的熟悉程度。可以选择一些历年的数学二真题进行练习，通过分析题目的解题思路和方法，加深对知识点的理解。同时，也可以结合教材进行学习，通过系统地学习和总结，提高对数学二知识点的掌握程度。

2012年考研数学(三)真题

2012年考研数学(三)真题

2012年全国硕士研究生招生考试数学（三）真题

一、选择题（1—8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项符合题目要求）

1．曲线2

21xx

y

x

渐近线的条数为（ ）。

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

2．设函数2()(1)(2)()

xxnxfxeeen

，其中为正整数，则（ ）。 n'(0)f

（A） （B）1(1)(1)!

nn

(1)(1)!

nn

（C） （D）(1

1(1)!

nn

)!

nn

3．设函数连续，则二次积分)(t

f2

2

2

02cos()=dfrrd



r

（ ）。

（A）dyyxfyxdxx

xx)(224

2222

02

2

（B）dyyxfdxx

xx)(224

22

02

2

（C）dyyxfyxdxx

xx)(224

21222

02

2



（D）dyyxfdxx

xx)(224

212

02

2



4．已知级数



11

sin)1(

in

nn

绝对收敛，



12)1(

in

n

条件收敛，则

范围为（ ）。

（A）21

0

（B）1

21



（C）23

1

（D）2

23



5．设1234

123001

0,1,1,1

ccc

41

c









，其中为任意常数，则下列向

量组线性相关的是（ ）。 1234,,,cccc

（A）123,,

（B）124,,

（C）134,,

（D）234,,

6．设A

为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且 P

1100

010

002PAP









，1231223(,,),(,,)PQ



，则（ ）。 1QAQ



（A） （B） 100

020

001









100

010

002









（C） （D） 200

010

002







200

020

001