高考数学大一轮复习 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线
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1 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
1．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________．
答案
2
解析
如图，设双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则AB＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，
∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，
∴BM＝AB＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝MN＝BMsin∠MBN＝2asin 60°＝3a，
x1＝OB＋BN＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入x2a2－y2b2＝1，可得a2＝b2，∴e＝ca＝
a2＋b2a2＝2.
2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－25，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为______________．
答案 x236＋y216＝1
解析 设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连结PF′，如图所示，因为F(－25，0)为C的左焦点，所以c＝25.
由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′. 2 在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得PF′＝FF′2－PF2＝452－42＝8.
由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，
所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(25)2＝16，所以椭圆的方程为x236＋y216＝1.
3．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
答案 94
解析 由已知得焦点坐标为F(34，0)，
因此直线AB的方程为y＝33(x－34)，
即4x－43y－3＝0.
方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得
4y2－123y－9＝0，
故|yA－yB|＝yA＋yB2－4yAyB＝6.
因此S△OAB＝12·OF·|yA－yB|＝12×34×6＝94.
方法二 联立方程得x2－212x＋916＝0，
故xA＋xB＝212.
根据抛物线的定义有AB＝xA＋xB＋p＝212＋32＝12，
同时原点到直线AB的距离为h＝|－3|42＋－432＝38，
因此S△OAB＝12·AB·h＝94.
4．(2016·北京)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
答案 2
解析 设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2， 3
∴c＝OB＝22，
又∠AOB＝π4，∴ba＝tanπ4＝1，即a＝b.
又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．
答案 x24－y23＝1
解析
由题意得，双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点坐标为(7，0)，(－7，0)，c＝7且双曲线的离心率为2×74＝72＝ca⇒a＝2，b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线的方程为x24－y23＝1.
题型一 求圆锥曲线的标准方程
例1 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和253，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为______________．
答案 x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1
解析 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，PF1＝453，PF2＝253.
由椭圆的定义，知2a＝PF1＋PF2＝25，即a＝5.
由PF1>PF2知，PF2垂直于长轴．
故在Rt△PF2F1中，4c2＝PF21－PF22＝609，
∴c2＝53，于是b2＝a2－c2＝103.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为x25＋3y210＝1或3x210 4 ＋y25＝1.
思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．
(2015·天津改编)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________________．
答案 x2－y23＝1
解析 双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点为F(2,0)，
则a2＋b2＝4，
①
双曲线的渐近线方程为y＝±bax，
由题意得2ba2＋b2＝3，
②
联立①②解得b＝3，a＝1，
所求双曲线的方程为x2－y23＝1.
题型二 圆锥曲线的几何性质
例2 (1)(2015·湖南改编)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．
(2)(2016·天津改编)设抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C72p，0，AF与BC相交于点E.若CF＝2AF，且△ACE的面积为32，则p的值为________．
答案 (1)53 (2)6
解析 (1)由条件知y＝－bax过点(3，－4)，∴3ba＝4，
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，
∴25a2＝9c2，∴e＝53.
(2)∵抛物线方程为y2＝2px(p>0)， 5
∴Fp2，0，
AB＝AF＝32p，
可得A(p，2p)．
易知△AEB∽△FEC，∴AEFE＝ABFC＝12，
故S△ACE＝13S△ACF＝13×3p×2p×12
＝22p2＝32，
∴p2＝6，∵p>0，∴p＝6.
思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．
已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为____________．
答案 2－1
解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为p2，0，设椭圆另一焦点为E.
当x＝p2时，代入抛物线方程得
y＝±p，
又因为PQ经过焦点F，所以Pp2，p且PF⊥OF.
所以PE＝ p2＋p22＋p2＝2p，
PF＝p，EF＝p. 6 故2a＝
2p＋p,2c＝p，e＝2c2a＝2－1.
题型三
最值、范围问题
例3
设椭圆M：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝2x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，2)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
解 (1)双曲线的离心率为2，
则椭圆的离心率e＝ca＝22，
由 2a＝4，ca＝22，b2＝a2－c2⇒ a＝2，c＝2，b＝2，
故椭圆M的方程为y24＋x22＝1.
(2)由 y＝2x＋m，x22＋y24＝1，得4x2＋22mx＋m2－4＝0，
由Δ＝(22m)2－16(m2－4)>0，得－22
∵x1＋x2＝－22m，x1x2＝m2－44，
∴AB＝1＋2|x1－x2|＝3·x1＋x22－4x1x2
＝3·12m2－m2＋4＝3·4－m22.
又P到直线AB的距离d＝|m|3，
则S△PAB＝12·AB·d＝12·3·4－m22·|m|3
＝12 m24－m22＝122m28－m2
≤122·m2＋8－m22＝2，
当且仅当m＝±2∈(－22，22)时取等号， 7 ∴(S△PAB)max＝2.
思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围．
直线l：x－y＝0与椭圆x22＋y2＝1相交于A，B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．
答案 2
解析 由 x－y＝0，x2＋2y2－2＝0，得3x2＝2，
∴x＝±63，设点A在第一象限，
∴A(63，63)，B(－63，－63)，∴AB＝433.
设与l平行的直线l′：y＝x＋m与椭圆相切于P点．
则△ABP面积最大．
由 y＝x＋m，x22＋y2＝1，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
∴Δ＝(4m)2－4×3×(2m2－2)＝0，
∴m＝±3.∴P到AB的距离即为l与l′的距离，
∴d＝32.∴S△ABC＝12×433×32＝2.
题型四 定值、定点问题
例4 (2016·全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
解 (1)因为AD＝AC，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以EB＝ED，故EA＋EB＝EA＋ED＝AD.
